29 câu Trắc nghiệm Cực trị của hàm số có đáp án (P1) (Thông hiểu)

Đáp án B

Từ BBT ta thấy hàm số đồng biến trên $\left(-\infty ;-1\right);\left(-1;1\right)$ nên B sai vì trên khoảng $\left(-\infty ;1\right)$ thì hàm số gián đoạn tại x = - 1.

Hàm số nghịch biến trên $\left(1;+\infty \right)$ nên C đúng. Dễ thấy A đúng.

Lại có $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }x=-\infty$ nên x = - 1 là TCĐ của đồ thị hàm số.

Và $\underset{x\to -\infty }{\lim }y=1;\underset{x\to +\infty }{\lim }y=-1$ nên y = 1; y = - 1 là hai tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Vậy đồ thị hàm số có ba tiệm cận nên D đúng.

Đáp án A

TXĐ: $D=R\backslash \left\{2\right\}$

Dễ thấy $y\text{'}=\frac{1}{{\left(2-x\right)}^2}>0\forall x\in D$

$\Rightarrow$ hàm số đồng biến trên các khoảng $\left(-\infty ;2\right)$ và $\left(2;+\infty \right)$

$\Rightarrow$ hàm số không có cực trị.

Đáp án B

Có $y\text{'}=4x^3+6x^2=0\iff 2x^2\left(2x+3\right)=0$

$\iff \left[\begin{array}{c}x=-\frac{3}{2}\\ x=0\end{array}\right.$

Do $x=-\frac{3}{2}$ là nghiệm bội lẻ nên nó là một cực trị của hàm số.

x = 0 là nghiệm bội chẵn nên x = 0 không là điểm cực trị của hàm số.

Vậy hàm số đã cho có 1 cực trị.

Đáp án C

TXĐ: $D=R\backslash \left\{-2\right\}$

Ta có $y=\frac{5x-1}{x+2}$

$\Rightarrow y\text{'}=\frac{11}{{\left(x+2\right)}^2}>0\forall x\in D$

Do đó hàm số đồng biến trên khoảng xác định và không có điểm cực trị nào 

Đáp án A

$$\begin{gathered} y\text{'}=3x^2-6x \\ y\text{'}=0\iff 3x\left(x-2\right)=0 \\ \iff \left[\begin{array}{c}x=0\Rightarrow y=1\\ x=2\Rightarrow y=-3\end{array}\right. \end{gathered}$$

Từ đây suy ra hai điểm cực trị có tọa độ A (0; 1) và B (2; - 3)

Phương trình đường thẳng qua hai điểm A, B là:

$$\begin{gathered} \frac{x-0}{2-0}=\frac{y-1}{-3-1}\iff -4x=2\left(y-1\right) \\ \iff y=-2x+1 \end{gathered}$$

Đáp án C

TXĐ: D = R

Ta có: $y\text{'}=x^2-8x-1$

Lấy y chia cho y’ ta có: $y=\left(\frac{1}{3}x-\frac{4}{3}\right).y\text{'}-\frac{34}{3}x+\frac{8}{3}$

Ta có $A\left(x_1;y_1\right),B\left(x_2;y_2\right)$ là hai điểm cực trị

$y\text{'}\left(x_1\right)=y\text{'}\left(x_2\right)=0\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}{y}_1=-\frac{34}{3}{x}_1+\frac{8}{3}\\ y_2=-\frac{34}{3}{x}_2+\frac{8}{3}\end{array}\right.$

Khi đó ta có:

$$\begin{gathered} P=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\frac{-\frac{34}{3}{x}_1+\frac{8}{3}+\frac{34}{3}{x}_2-\frac{8}{3}}{x_1-x_2} \\ =\frac{-\frac{34}{3}(x_1-x_2)}{x_1-x_2}=-\frac{34}{3} \end{gathered}$$

Đáp án A

Đáp án A: $y\text{'}=3x^2\ge 0$ với mọi x nên hàm số đồng biến trên R. Do đó nó không có cực trị.

Vậy hàm số $y=x^3$ không có cực trị.

Đáp án B: $y\text{'}=3x^2+6x=3x\left(x+2\right)=0\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x=-2\end{array}\right.$

$y\text{'}\text{'}=6x+6\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}y\text{'}\text{'}\left(0\right)=6>0\\ y\text{'}\text{'}(-2)=-6<0\end{array}\right.$

Do đó x = 0 là điểm cực tiểu của hàm số, x = - 2 là điểm cực đại của hàm số.

Đáp án C: $y\text{'}=4x^3=0\iff x=0\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}y\text{'}>0,\forall x>0\\ y\text{'}<0,\forall x<0\end{array}\right.\Rightarrow x=0$ là điểm cực tiểu của hàm số.

Đáp án D: $y\text{'}=4x^3=0\iff x=0\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}y\text{'}>0,\forall x>0\\ y\text{'}<0,\forall x<0\end{array}\right.\Rightarrow x=0$ là điểm cực tiểu của hàm số.

Đáp án D

Xét hàm số $y=x^2+3$. Ta có: $y\text{'}=2x\Rightarrow y\text{'}=0\iff x=0$

Khi đó $y\text{'}\text{'}\left(0\right)=2>0\Rightarrow y=x^2+3$ có cực tiểu.

Do đó ta loại các đáp án A, B, C. Đáp án đúng là D

Đáp án D

Ta có: $f\left(x\right)=2\sin 2x-3$

TXĐ: D = R

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=4\cos 2x;f\text{'}\left(x\right)=0\iff \cos 2x=0 \\ \iff 2x=\frac{\pi }{2}+k\pi \iff x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2},k\in Z \\ f\text{'}\text{'}\left(x\right)=-8\sin 2x \end{gathered}$$

Ta có: $f\text{'}\text{'}\left(\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}\right)=-8\sin \left(\frac{\pi }{2}+k\pi \right),k\in Z$

Khi $k=2n\Rightarrow \sin \left(\frac{\pi }{2}+2n\pi \right)=\sin \frac{\pi }{2}=1$ nên $f\text{'}\text{'}\left(\frac{\pi }{4}+\frac{2n\pi }{2}\right)=-8<0$

Khi $k=2n+1\Rightarrow \sin \left(\frac{\pi }{2}+\left(2n+1\right)\pi \right)=\sin \frac{3\pi }{2}=-1$ nên $f\text{'}\text{'}\left(\frac{\pi }{4}+\frac{\left(2n+1\right)\pi }{2}\right)=8>0$

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại $x=\frac{\pi }{4}+\frac{\left(2k+1\right)\pi }{2}$

Đáp án B

Xét phương án B ta thấy: $y\text{'}=4x^3-4x=4x\left(x^2-1\right)=4x\left(x+1\right)\left(x-1\right)$

Phương trình y' = 0 có ba nghiệm đơn phân biệt cho nên thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ngoài ra, ta tính y’ và giải các phương trình y' = 0 ở từng đáp án ta thấy:

Đáp án A: $y\text{'}=4x^3+4x=4x\left(x^2+1\right)$ chỉ có 1 nghiệm x = 0 nên loại.

Đáp án C: $y\text{'}=8x^3+8x=8x\left(x^2+1\right)$ chỉ có 1 nghiệm x = 0 nên loại.

Đáp án D: $y\text{'}=-4x^3-4x=-4x\left(x^2+1\right)$ chỉ có 1 nghiệm x = 0 nên loại.

Đáp án D

Điều kiện:

$$\begin{gathered} x^3-3x>0\iff x\left(x^2-3\right)>0 \\ \iff x\left(x-\sqrt{3}\right)\left(x+\sqrt{3}\right)>0\iff \left[\begin{array}{c}-\sqrt{3}<x<0\\ x>\sqrt{3}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Ta có: $y\text{'}=e\left(3x^2-3\right){\left(x^3-3x\right)}^{e-1}$

$$\begin{gathered} \Rightarrow y\text{'}=0\iff \left(3x^2-3\right){\left(x^3-3x\right)}^{e-1}=0 \\ \iff 3x^2-3=0\iff \left[\begin{array}{c}x=-1\\ x=1\end{array}\right. \end{gathered}$$

Ta có bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu của hàm số ta thấy đạo hàm của hàm số chỉ đổi dấu qua 1 điểm $x=-1\Rightarrow$ hàm số có 1 điểm cực trị.

Đáp án A

$$\begin{gathered} y=-2x^4+4x^2+5\Rightarrow y\text{'}=-8x^3+8x \\ y\text{'}=0\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x=1\\ x=-1\end{array}\right. \end{gathered}$$

$y\text{'}=0$ có 3 nghiệm phân biệt

Vậy hàm số $y=-2x^4+4x^2+5$ có 3 điểm cực trị

Đáp án D

Ta có: $f\text{'}\left(x\right)=0$

$$\begin{gathered} \iff \left(x-1\right)\left(x^2-2\right)\left(x^4-4\right)=0 \\ \iff \left(x-1\right){\left(x^2-2\right)}^2\left(x^2+2\right)=0 \\ \iff \left[\begin{array}{c}x=1\\ x=\sqrt{2}\\ x=-\sqrt{2}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Một điểm được gọi là cực trị của hàm số khi đạo hàm của hàm số đổi dấu qua điểm đó.

Ta nhận thấy đạo hàm của hàm số chỉ đổi dấu qua x = 1 và không đổi dấu qua $x=\pm \sqrt{2}$

Vậy hàm số có 1 điểm cực trị

Đáp án A

TXĐ: D = R

$y={\left(x-1\right)}^{2017}\Rightarrow y\text{'}=2017{\left(x-1\right)}^{2016}\ge 0,\forall x$

Do đó hàm số đồng biến trên R nên không có cực trị.

Đáp án D

Ta có: $f\text{'}\left(x\right)=\left(x^2-1\right)\left(x^2-3x+2\right)$

$$\begin{gathered} \Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=0 \\ \iff \left(x^2-1\right)\left(x^2-3x+2\right)=0 \\ \iff \left[\begin{array}{c}{x}^2-1=0\\ x^2-3x+2=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}x=1\\ x=-1\\ x=1\\ x=2\end{array}\right. \end{gathered}$$

Ta thấy x = 1 là nghiệm bội 2 của phương trình $f\text{'}\left(x\right)=0\Rightarrow x=1$ không là cực trị của hàm số $y=f\left(x\right)$.

Vậy hàm số $y=f\left(x\right)$ có hai điểm cực trị là x = - 1 và x = 2