63 câu Trắc nghiệm Cực trị của hàm số có đáp án (P2)

Đáp án C

Ta có: $y\text{'}=4x^3-4mx=0\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x^2=m\end{array}\right.$

Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị $\iff pty\text{'}=0$ có 3 nghiệm phân biệt $\iff m>0\Rightarrow \left[\begin{array}{c}x=0\\ x=\sqrt{m}\\ x=-\sqrt{m}\end{array}\right.$

$\Rightarrow$ Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là: $A\left(0;2\right);B\left(-\sqrt{m};2-m^2\right),C\left(\sqrt{m};2-m^2\right)$

$\overrightarrow{AB}=\left(-\sqrt{m};-m^2\right).\overrightarrow{AC}=\left(\sqrt{m};-m^2\right)$

Dễ thấy $\Delta ABC$ cân tại A, để $\Delta ABC$ vuông cân thì nó phải vuông tại A

$$\begin{gathered} \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0\iff -m+m^4=0 \\ \iff m\left(m^3-1\right)=0 \\ \iff \left[\begin{array}{c}m=0\\ m^3-1=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}m=0\\ m=1\end{array}\right. \end{gathered}$$

Đáp án A

$$\begin{gathered} y\text{'}=4x^3-4mx \\ y\text{'}=0\iff 4x^3-4mx=0 \\ \iff 4x\left(x^2-m\right)=0\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x^2=m\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x=\pm \sqrt{m}\left(1\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

Hàm số $y=f\left(x\right)$ có 3 cực trị.

$\iff y\text{'}=0$ có 3 nghiệm phân biệt.

$\iff \left(1\right)$ có 2 nghiệm phân biệt khác 0

$\iff m>0$

Gọi ba điểm cực trị của hàm số lần lượt là: $A\left(0;a\right);B\left(-\sqrt{m};b\right),C\left(\sqrt{m};c\right)$. Khi đó:

$$\begin{gathered} + x=0\iff A\left(0;3m+2\right) \\ + x=-\sqrt{m} \\ \Rightarrow y={\left(-\sqrt{m}\right)}^4-2m.{\left(-\sqrt{m}\right)}^2+3m+2 \\ =m^2+2m^2+3m+2 \\ =-m^2+3m+2\Rightarrow B\left(-\sqrt{m};-m^2+3m+2\right) \\ + x=\sqrt{m}\iff y=-m^2+3m+2 \\ \Rightarrow C\left(\sqrt{m};-m^2+3m+2\right) \end{gathered}$$

Ta luôn có: AB = AC nên tam giác ABC đều

$$\begin{gathered} \iff AB=BC\iff A{B}^2=B{C}^2 \\ \iff {\left(-\sqrt{m}\right)}^2+{\left(-m^2\right)}^2={\left(2\sqrt{m}\right)}^2+0^2 \\ \iff m+m^4=4m\iff m^4-3m=0 \\ \iff m\left(m^2-3\right)=0\iff \left[\begin{array}{c}m=0\\ m=\sqrt[3]{3}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Kết hợp với điều kiện $m>0\Rightarrow m=\sqrt[3]{3}$

Đáp án B

Ta có: $y\text{'}=\frac{9}{2}{x}^3+6\left(m-3\right)x;y\text{'}=0$

$\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ 3x^2=4\left(3-m\right)(*)\end{array}\right.$

Để hàm số có ba điểm cực trị $\iff 4\left(3-m\right)>0\iff m<3$

Khi đó tọa độ ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

$$\begin{gathered} A\left(0;4m+2017\right), \\ B\left(2\sqrt{\frac{3-m}{3}};4m+2017-2{\left(3-m\right)}^2\right), \\ C\left(-2\sqrt{\frac{3-m}{3}};4m+2017-2{\left(3-m\right)}^2\right) \end{gathered}$$

Do tam giác ABC cân tại A nên yêu cầu bài toán $\iff A{B}^2=B{C}^2$

$$\begin{gathered} \iff \frac{4\left(3-m\right)}{3}+4{\left(3-m\right)}^4=\frac{16\left(3-m\right)}{3} \\ \iff {\left(3-m\right)}^4=3-m\iff \left[\begin{array}{c}3-m=0\\ 3-m=1\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{c}m=3\left(l\right)\\ m=2\left(tm\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

Đáp án C

$$\begin{gathered} y\text{'}=4x^3+4\left(1-m^2\right)x \\ y\text{'}=0\iff 4x^3+4\left(1-m^2\right)x=0 \\ \iff 4x\left(x^2+1-m^2\right)=0 \\ \iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x^2=m^2-1\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x=\pm \sqrt{m^2-1}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Điều kiện để hàm số có 3 cực trị: $m^2-1>0\iff \left[\begin{array}{c}m>1\\ m<-1\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} x=0\Rightarrow A\left(0;m+1\right) \\ x=-\sqrt{m^2-1} \\ \Rightarrow y={\left(-\sqrt{m^2-1}\right)}^4+2\left(1-m^2\right){\left(-\sqrt{m^2-1}\right)}^2+m+1 \\ \Rightarrow y={\left(m^2-1\right)}^2-2{\left(m^2-1\right)}^2+m+1 \\ =-{\left(m^2-1\right)}^2+m+1 \\ \Rightarrow B\left(-\sqrt{m^2-1};-{\left(m^2-1\right)}^2+m+1\right) \\ x=\sqrt{m^2-1}\Rightarrow C\left(\sqrt{m^2-1};-{\left(m^2-1\right)}^2+m+1\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} S_{ABC}=4\sqrt{2}\iff \frac{1}{2}AH.BC=4\sqrt{2} \\ \iff \left|y_A-y_C\right|.\left|HC\right|=4\sqrt{2} \\ \iff \left|y_A-y_C\right|.\left|x_C\right|=4\sqrt{2} \\ \iff \left|m+1+{\left(m^2-1\right)}^2-m-1\right|.\sqrt{m^2-1}=4\sqrt{2} \\ \iff {\left(m^2-1\right)}^2.\sqrt{m^2-1}=4\sqrt{2} \\ \iff {\left(m^2-1\right)}^5=32\iff m^2-1=2 \\ \iff m^2=3\iff m=\pm \sqrt{3} \end{gathered}$$

$m=\pm \sqrt{3}$ thỏa  mãn điều kiện $\left[\begin{array}{c}m>1\\ m<-1\end{array}\right.$

Đáp án A

$$\begin{gathered} y\text{'}=4x^3-4mx \\ y\text{'}=0\iff 4x^3-4mx=0 \\ \iff 4x\left(x^2-m\right)=0\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x=\pm \sqrt{m}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Điều kiện để hàm số có 3 cực trị: m > 0

$$\begin{gathered} x=0\Rightarrow A\left(0;m^2+m\right) \\ x=-\sqrt{m} \\ \Rightarrow y={\left(-\sqrt{m}\right)}^4-2m{\left(-\sqrt{m}\right)}^2+m^2+m \\ =m^2-2m^2+m^2+m=m\Rightarrow B\left(-\sqrt{m};m\right) \\ x=\sqrt{m}\Rightarrow C\left(\sqrt{m};m\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \overrightarrow{AB}=\left(-\sqrt{m};-m^2\right),\overrightarrow{AC}=\left(\sqrt{m};-m^2\right);\widehat{BAC}=120° \\ \iff \frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AC}\right|}=\cos 120° \\ \iff \frac{-m+m^4}{\sqrt{m+m^4}.\sqrt{m+m^4}}=-\frac{1}{2} \\ \iff 2\left(m^4-m\right)=-\left(m+m^4\right) \\ \iff 3m^4-m=0\iff m\left(3m^3-1\right)=0 \\ \iff \left[\begin{array}{c}m=0\left(l\right)\\ m=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Đáp án C

Ta có: $y\text{'}=12x^3+4\left(m-2018\right);$

$y\text{'}\text{'}=0\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ 3x^2=2018-m\end{array}\right.$

Để hàm số có ba điểm cực trị $\iff 2018-m>0\iff m<2018$

Khi đó, tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

$$\begin{gathered} A\left(0;2017\right), \\ B\left(\sqrt{\frac{2018-m}{3}};-\frac{{\left(m-2018\right)}^2}{3}+2017\right), \\ C\left(-\sqrt{\frac{2018-m}{3}};-\frac{{\left(m-2018\right)}^2}{3}+2017\right) \end{gathered}$$

Do tam giác ABC cân tại A nên ycbt $\iff 3A{B}^2=B{C}^2$

$$\begin{gathered} \iff 3\left[\frac{2018-m}{3}+\frac{{\left(m-2018\right)}^4}{9}\right]=4\frac{2018-m}{3} \\ \iff {\left(m-2018\right)}^3=-1\iff m=2017 \left(tm\right) \end{gathered}$$

Đáp án B

Có: $y=x^3+3m{x}^2-3x$

$\Rightarrow y\text{'}\left(x\right)=3x^2+6mx-3$

Phương trình đường thẳng d đi qua 2 cực trị của (C) nên $\left(x_0;y_0\right)\in d$ thỏa mãn:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}y\text{'}\left(x\right)=0\\ y_0=x_0^3+3m{x}_0^2-3x_0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}3x_0^3+6m{x}_0^2-3x_0=0\\ y_0=x_0\left(x_0^2+2m{x}_0\right)-3x_0+m{x}_0^2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}{x}_0^2+2m{x}_0=1\\ y_0=-2x_0+m{x}_0^2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}{x}_0^2=-2m{x}_0+1\\ y_0=-2x_0+m\left(-2m{x}_0+1\right)\end{array}\right. \\ \Rightarrow y_0=-2\left(m^2+1\right)x_0+m \end{gathered}$$

Đáp án B

Ta có: $y\text{'}=3x^2-6x-9;y\text{'}\text{'}=0$

$\iff \left[\begin{array}{c}x=-1\Rightarrow y=5+m\\ x=3\Rightarrow y=-27+m\end{array}\right.$

Suy ra tọa độ hai điểm cực trị là: $A\left(-1;5+m\right),B(3;-27+m)$

Suy ra đường thẳng đi qua hai điểm A, B có phương trình: $y=-8x+m-3$

Đáp án C

$y\text{'}=6x^2-6\left(m+1\right)x+6m$

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B $\iff$ phương trình $y\text{'}=0$ có hai nghiệm phân biệt

$$\begin{gathered} \iff \Delta \text{'}=9{\left(m+1\right)}^2-36m>0 \\ \iff 9m^2-18m+9>0\iff 9{\left(m-1\right)}^2>0 \\ \iff m\ne 1 \end{gathered}$$

Khi đó: $y=y\text{'}.\left(\frac{1}{3}x-\frac{m+1}{6}\right)+\left[4m-{\left(m+1\right)}^2\right]x+m\left(m+1\right)$

Đường thẳng AB: $y=\left[4m-{\left(m+1\right)}^2\right]x+m\left(m+1\right)$ có hệ số góc $k=4m-{\left(m+1\right)}^2$

Đường thẳng d: y = x - 9 có hệ số góc k = 1

$$\begin{gathered} AB\perp d\iff \left[4m-{\left(m+1\right)}^2\right].1=-1 \\ \iff 4m-m^2-2m-1=-1 \\ \iff -m^2+2m=0\iff \left[\begin{array}{c}m=0\\ m=2\end{array}\right. \end{gathered}$$

Đáp án A

Ta có: $y\text{'}=3x^2-6x-m$

Để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị $\iff$ phương trình $y\text{'}=0$ có hai nghiệm phân biệt

$\iff \Delta \text{'}=9+3m>0\iff m>-3$

Ta có: $y=y\text{'}.\left(\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}\right)-\left(\frac{2m}{3}+2\right)x+2-\frac{m}{3}$

$\Rightarrow$ Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị A và B là: $\Delta :y=-\left(\frac{2m}{3}+2\right)x+2-\frac{m}{3}$

Đường thẳng d: $x+4y-5=0$ có một VTPT là $\Delta :y=-\left(\frac{2m}{3}+2\right)x+2-\frac{m}{3}$

Đường thẳng $\Delta :y=-\left(\frac{2m}{3}+2\right)x+2-\frac{m}{3}$ có một VTPT là: $\overrightarrow{n_{\Delta }}=\left(\frac{2m}{3}+2;1\right)$

$$\begin{gathered} Ycbt\iff \frac{\sqrt{2}}{2}=\cos 45° \\ =\left|\cos \left(\overrightarrow{n_d},\overrightarrow{n_{\Delta }}\right)\right|=\frac{\left|1.\left(\frac{2m}{3}+3\right)+4.1\right|}{\sqrt{1^2+4^2}.\sqrt{{\left(\frac{2m}{3}+3\right)}^2+1^2}} \\ \iff 60m^2+264m+117=0 \\ \iff \left[\begin{array}{c}m=-\frac{1}{2}\\ m=-\frac{39}{10}\end{array}\right.\Rightarrow m=-\frac{1}{2}\left(dom>-3\right) \end{gathered}$$

Đáp án B

Hàm số g(x) có duy nhất một cực trị $\iff ptg\text{'}\left(x\right)=0$ có đúng một nghiệm $x_0$ thỏa mãn $g\text{'}\left(x\right)$ đổi dấu qua nghiệm đó.

Theo đề bài ta có: $g\text{'}\left(x\right)=f\left(x\right)+m\Rightarrow g\text{'}\left(x\right)=0\iff f\left(x\right)+m=0\iff f\left(x\right)=-m$

$\Rightarrow$Số nghiệm của phương trình $g\text{'}\left(x\right)=0$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ và đường thẳng y = - m.

Quan sát đồ thị ta thấy đường thẳng y = - m cắt đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ có hai điểm chung với đường thẳng $y=m$ nhưng một điểm là điểm tiếp xúc nên phương trình $g\text{'}\left(x\right)=0$ có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm kép và một nghiệm đơn.

Nên trong trường hợp này, hàm số $y=g\left(x\right)$ vẫn chỉ có một cực trị

Vậy $m\ge 0$ hoặc $m\le -4$

Đáp án C

Dựa vào đồ thị hàm số $y=f\text{'}\left(x\right)$, ta có các nhận xét sau:

$f\text{'}\left(x\right)$ đổi dấu từ - sang + khi đi qua điểm x = - 2 suy ra x = - 2 là điểm cực trị và là điểm cực tiểu của hàm số $y=f\left(x\right)$

$f\text{'}\left(x\right)$ không đổi dấu  khi đi qua điểm x = - 1, x = 1 suy ra x = - 1, x = 1 không là  các điểm cực trị của hàm số $y=f\left(x\right)$

Vậy hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm x = - 2

Đáp án B

Ta có $y\text{'}=3x^2+12x+3\left(m+2\right)$

$=3\left[x^2+4x+(m+2)\right]$

Yêu cầu bài toán $\iff y\text{'}=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thỏa mãn $x_1<-1<x_2$

Hàm số có hai điểm cực trị $\iff \Delta \text{'}=4-(m+2)=2-m>0\iff m<2$

Hai điểm cực trị thỏa mãn $x_1<-1<x_2\iff$ phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt

$\iff y\text{'}(-1)<0\iff m<1$

Đáp án D

Ta có $y\text{'}=6x^2+2mx-12$

Do $\Delta \text{'}=m^2+72>0,\forall m\in R$ nên hàm số luôn có hai điểm cực trị $x_1,x_2$ với $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình y’ = 0

Theo định lí Viet, ta có: $x_1+x_2=-\frac{m}{3}$

Gọi $A\left(x_1;y_1\right)$ và $B\left(x_2;y_2\right)$ là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

Yêu cầu bài toán $\iff \left|x_1\right|=\left|x_2\right|\iff x_1=-x_2(do{x}_1\ne -x_2)$

$\iff x_1+x_2=0\iff -\frac{m}{3}=0\iff m=0$

Đáp án D

Ta có:

$$\begin{gathered} y\text{'}=-3x^2+6mx=-3x\left(x-2m\right); \\ y\text{'}=0\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x=2m\end{array}\right. \end{gathered}$$

Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị $\iff m\ne 0$

Khi đó gọi $A\left(0;-3m-1\right)$ và $B\left(2m;4m^3-3m-1\right)$ là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Suy ra trung điểm của AB là điểm $I\left(m;2m^3-3m-1\right)$ và $\overrightarrow{AB}=\left(2m;4m^3\right)=2m\left(1;2m^2\right)$

Đường thẳng d có một vec tơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(8;-1\right)$

$$\begin{gathered} Ycbt\iff \left\{\begin{array}{c}I\in d\\ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u}=0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}m+8\left(2m^3-3m-1\right)-74=0\\ 8-2m^2=0\end{array}\right.\iff m=2 \end{gathered}$$

Đáp án A

Ta có: $y\text{'}=x^2-2\left(2m-1\right)x+m^2-m+7$

Điều kiện bài toán tương đương tìm m để phương trình $y\text{'}=0$ có hai nghiệm dương phân biệt $x_1,x_2$ thỏa mãn $x_1^2+x_2^2=74$

Phương trình $y\text{'}=0$ có hai nghiệm dương phân biệt $x_1,x_2$

Khi đó:

$$\begin{gathered} x_1^2+x_2^2=74\iff {\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2=74 \\ \Rightarrow 4{\left(2m-1\right)}^2-2\left(m^2-m+7\right)=74 \\ \iff 4\left(4m^2-4m+1\right)-2m^2+2m-14-74=0 \\ \iff 14m^2-14m-84=0\iff \left[\begin{array}{c}m=3\left(tm\right)\\ m=-2\left(ktm\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy m = 3

Đáp án C

Ta có: 

$$\begin{gathered} y\text{'}=3x^2-6mx=3x\left(x-2m\right); \\ y\text{'}=0\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x=2m\end{array}\right. \end{gathered}$$

Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị $\iff m\ne 0$

Khi đó tọa độ hai điểm cực trị là $A\left(0;4m^2-2\right)$ và $B\left(2m;4m^2-4m^3-2\right)$

Do $I(1;0)$ là trung điểm của AB nên $\left\{\begin{array}{c}{x}_A+x_B=2x_I\\ y_A+y_B=2y_I\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \left\{\begin{array}{c}0+2m=2\\ \left(4m^2-2\right)+\left(4m^2-4m^3-2\right)=0\end{array}\right. \\ \iff m=1 thỏa mãn \end{gathered}$$

Đáp án C

Ta có: $y\text{'}=3x^2-6m\Rightarrow y=y\text{'}.\left(\frac{1}{3}x\right)-4mx+4$

Do đó phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

$y=-4mx+4\iff 4mx+y-4=0$

Diện tích tam giác IAB là: 

$$\begin{gathered} S_{IAB}=\frac{1}{2}IA.IB.\sin \widehat{AIB} \\ =\frac{1}{2}.\sqrt{2}.\sqrt{2}.\sin \widehat{AIB}=\sin \widehat{AIB}\le 1 \end{gathered}$$

$\iff S_{IAB}$ đạt giá trị lớn nhất khi $\sin \widehat{AIB}=1\iff IA\perp IB$ hay tam giác IAB vuông cân tại I và $IA=IB=\sqrt{2}$

$$\begin{gathered} \Rightarrow AB=2\Rightarrow d\left(I,AB\right)=\frac{1}{2}AB=1 \\ \Rightarrow \frac{\left|4m.1+0-4\right|}{\sqrt{{\left(4m\right)}^2+1^2}}=1\iff \left|4m-4\right|=\sqrt{{\left(4m\right)}^2+1^2} \\ \iff 16m^2-32m+16=16m^2+1\iff m=\frac{15}{32}\in \left(0;1\right) \end{gathered}$$