50 câu Trắc nghiệm Toán 12 Bài 2: Cực trị của hàm số có đáp án (Mới nhất) (Đề 2)

Ta có  $y\text{'}=6x^2-6\left(2a+1\right)x+6a\left(a+1\right);y\text{'}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=a=x_1\\ x=a+1=x_2\end{array}\right..$

Vậy  $P=\left|x_2-x_1\right|=\left|\left(a+1\right)-a\right|=1$. 

Nhận xét. Nếu phương trình  $y\text{'}=0$ không ra nghiệm đẹp như trên thì ta dùng công thức tổng quát  $P=\left|x_2-x_1\right|=\left|\frac{\sqrt{\Delta }}{a}\right|.$

Ta có  $y\text{'}=6x^2+2mx-12.$

Do  $\Delta \text{'}=m^2+72>0,\forall m\in ℝ$ nên hàm số luôn có hai điểm cực trị $x_1,x_2$ với  $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình  $y\text{'}=0$. Theo định lí Viet, ta có  $x_1+x_2=-\frac{m}{3}.$  

Gọi  $A\left(x_1;y_1\right)$ và  $B\left(x_2;y_2\right)$ là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Yêu cầu bài toán  $\iff \left|x_1\right|=\left|x_2\right|\iff x_1=-x_2$ (do  $x_1\ne x_2$)

 $\iff x_1+x_2=0\iff -\frac{m}{3}=0\iff m=0.$ Chọn D.

Ta có  $y\text{'}=-3x^2+6mx=-3x\left(x-2m\right);y\text{'}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=2m\end{array}\right.$.

Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị  $\iff m\ne 0$.

Khi đó gọi  $A\left(0;-3m-1\right)$ và  $B\left(2m;4m^3-3m-1\right)$ là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Suy ra trung điểm của AB là điểm  $I\left(m;2m^3-3m-1\right)$ và $\overrightarrow{AB}=\left(2m;4m^3\right)=2m\left(1;2m^2\right)$.

Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là  $\overrightarrow{u}=\left(8;-1\right).$

Ycbt  $\iff \left\{\begin{array}{l}I\in d\\ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u}=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m+8\left(2m^3-3m-1\right)-74=0\\ 8-2m^2=0\end{array}\right.\iff m=2.$ Chọn D.

Đạo hàm  $y\text{'}=x^2-2\left(m+1\right)x+\left(2m+1\right);y\text{'}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=2m+1\end{array}\right..$

Do  $m>0\stackrel{}{\to }2m+1\ne 1$ nên đồ thị hàm số luôn có hai điểm cực trị.

Do  $m>0\stackrel{}{\to }2m+1>1\stackrel{}{\to }$ hoành độ điểm cực đại là  $x=1$ nên  $y_{\text{CD}}=y\left(1\right)=m-1.$

Yêu cầu bài toán  $\iff y_{\text{CD}}=0\iff m-1=0\iff m=1$ : thỏa mãn. Chọn B.

Yêu cầu bài toán  $\iff m\left(m+1\right)<0\iff -1<m<0$. Chọn C.

Đạo hàm $y\text{'}=3x^2+6x+m$. Ta có  $△{\text{'}}_{y\text{'}}=9-3m$.

Hàm số có cực đại và cực tiểu khi  $△{\text{'}}_{y\text{'}}>0\iff m<3.$

Ta có  $y=\left(\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}\right).y\text{'}+\left(\frac{2m}{3}-2\right)x+\left(\frac{2m}{3}-2\right).$ 

Gọi  $x_1,x_2$ là hoành độ của hai điểm cực trị khi đó  $\left\{\begin{array}{l}{y}_1=\left(\frac{2m}{3}-2\right)x_1+\left(\frac{2m}{3}-2\right)\\ y_2=\left(\frac{2m}{3}-2\right)x_2+\left(\frac{2m}{3}-2\right)\end{array}\right..$

Theo định lí Viet, ta có  $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-2\\ x_1{x}_2=\frac{m}{3}\end{array}\right..$ 

Hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành khi  $y_1.y_2<0$ 

 $\iff {\left(\frac{2m}{2}-2\right)}^2\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)<0\iff {\left(\frac{2m}{2}-2\right)}^2\left(x_1{x}_2+x_1+x_2+1\right)<0$

 $\iff {\left(\frac{2m}{3}-2\right)}^2\left(\frac{m}{3}-1\right)<0\iff \left\{\begin{array}{l}m<3\\ m\ne 3\end{array}\right.\iff m<3$: thỏa mãn. Chọn C.

Ta có  $y\text{'}=3x^2+2ax+b$.

Thực hiện phép chia y cho y', ta được $y=\left(\frac{1}{3}x+\frac{1}{9}a\right).y\text{'}+\left(\frac{2}{3}b-\frac{2}{9}{a}^2\right)x+c-\frac{1}{9}ab$.

Suy ra phương trình đường thẳng  $AB$ là:  $y=\left(\frac{2}{3}b-\frac{2}{9}{a}^2\right)x+c-\frac{1}{9}ab$.

Do AB đi qua gốc tọa độ  $O\stackrel{}{\to }c-\frac{1}{9}ab=0\iff ab=9c$. Chọn C.

Ta có  $y^{\text{'}}=3x^2-6x-m.$

Để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị  $\iff$ phương trình $y^{\text{'}}=0$  có hai nghiệm phân biệt  $\iff {\Delta }^{\text{'}}=9+3m>0\iff m>-3.$

Ta có   $y=y^{\text{'}}.\left(\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}\right)-\left(\frac{2m}{3}+2\right)x+2-\frac{m}{3}.$

=>  đường thẳng đi qua hai điểm cực trị A và B là  $\Delta :y=-\left(\frac{2m}{3}+2\right)x+2-\frac{m}{3}.$

Đường thẳng  $d:x+4y-5=0$ có một VTPT là  ${\overrightarrow{n}}_d=\left(1;4\right).$ 

Đường thẳng $\Delta :y=-\left(\frac{2m}{3}+2\right)x+2-\frac{m}{3}$ có một VTPT là  ${\overrightarrow{n}}_{\Delta }=\left(\frac{2m}{3}+2;1\right).$

Ycbt  $\stackrel{}{\leftrightarrow }\frac{\sqrt{2}}{2}=\cos {45}^0=\text{cos}\left(d,\Delta \right)=\left|\text{cos}\left({\overrightarrow{n}}_d,{\overrightarrow{n}}_{\Delta }\right)\right|=\frac{\left|1.\left(\frac{2m}{3}+2\right)+4.1\right|}{\sqrt{1^2+4^2}.\sqrt{{\left(\frac{2m}{3}+2\right)}^2+1^2}}$

 $\stackrel{}{\leftrightarrow }60m^2+264m+117=0\iff \left[\begin{array}{l}m=-\frac{1}{2}\\ m=-\frac{39}{10} \end{array}\right.\stackrel{m>-3}{\to }m=-\frac{1}{2}:$ thỏa mãn. Chọn A.

Đạo hàm  $y\text{'}=x^2-2mx+2m-1.$ 

Yêu cầu bài toán  $\iff$  phương trình  $y\text{'}=0$ có hai nghiệm  $x_1,x_2$ phân biệt và cùng dấu  $\iff \left\{\begin{array}{l}\Delta \text{'}=m^2-\left(2m-1\right)>0\\ P=2m-1>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m\ne 1\\ m>\frac{1}{2}\end{array}\right..$Chọn A.

Ta có  $y\text{'}=6x^2-6\left(m+1\right)x+6m,y\text{'}=0\iff x^2-\left(m+1\right)x+m=0\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=m\end{array}\right..$

Để hàm số có hai điểm cực trị  $\iff m\ne 1.$

Tọa độ các điểm cực trị là  $A\left(1;m^3+3m-1\right)$ và  $B\left(m;3m^2\right)$.

Suy ra  $A{B}^2={\left(m-1\right)}^2+{\left(m^3-3m^2+3m-1\right)}^2={\left(m-1\right)}^2+{\left(m-1\right)}^6.$

Ycbt  $\iff A{B}^2=2\iff {\left(m-1\right)}^6+{\left(m-1\right)}^2-2=0\iff {\left[{\left(m-1\right)}^2\right]}^3-1+\left[{\left(m-1\right)}^2-1\right]=0$

 $\iff \left[{\left(m-1\right)}^2-1\right].\left[{\left(m-1\right)}^4+{\left(m-1\right)}^2+2\right]=0\iff {\left(m-1\right)}^2-1=0\iff \left[\begin{array}{l}m=2\\ m=0\end{array}\right.:$thỏa. Chọn B.

Ta có  $y\text{'}=3x^2-6mx=3x\left(x-2m\right);y\text{'}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=2m\end{array}\right..$

Đề đồ thị hàm số có hai điểm cực trị  $\iff m\ne 0$.

Khi đó tọa độ hai điểm cực trị là  $A\left(0;4m^2-2\right)$ và  $B\left(2m;4m^2-4m^3-2\right)$.

Do I(1;0) là trung điểm của AB nên $\left\{\begin{array}{l}{x}_A+x_B=2x_I\\ y_A+y_B=2y_I\end{array}\right.$ 

$\iff \left\{\begin{array}{l}0+2m=2\\ \left(4m^2-2\right)+\left(4m^2-4m^3-2\right)=0\end{array}\right.\iff m=1:$ thỏa mãn. Chọn C.

Ta có $y\text{'}=3x^2-6mx=3x\left(x-2m\right);y\text{'}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=2m\end{array}\right..$

Hàm số có hai điểm cực trị  $\iff y\text{'}=0$ có hai nghiệm phân biệt  $\iff 0\ne 2m\iff m\ne 0.$

Tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là:  $A\left(0;2\right)$ và  $B\left(2m;2-4m^3\right)$.

Suy ra  $\overrightarrow{MA}=\left(-1;4\right)$,  $\overrightarrow{MB}=\left(2m-1;4-4m^3\right)$.

Theo giả thiết A, B và M thẳng hàng  $\iff \frac{2m-1}{-1}=\frac{4-4m^3}{4}\iff \left[\begin{array}{l}m=0\left(loaïi\right)\\ m=\pm \sqrt{2}\left(thoûamaõn\right)\end{array}\right..$

Chọn D.

Ta có  $y\text{'}=-3x^2+3m=-3\left(x^2-m\right).$

Để hàm số có hai điểm cực trị  $\iff x^2-m=0$ có hai nghiệm phân biệt  $\iff m>0.$

Tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là:  $A\left(-\sqrt{m};1-2m\sqrt{m}\right)$ và  $B\left(\sqrt{m};1+2m\sqrt{m}\right)$.

Yêu cầu bài toán  $\iff \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=0\iff 4m^3+m-1=0\iff m=\frac{1}{2}\left(thoûamaõn\right).$ Chọn C.

Ta có  $y\text{'}=4a{x}^3+2bx=2x\left(2a{x}^2+b\right);y\text{'}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x^2=-\frac{b}{2a}\end{array}\right..$

Để hàm số có một điểm cực tiểu và hai điểm cực đại  $\iff \left\{\begin{array}{l}a<0\\ -\frac{b}{2a}>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a<0\\ b>0\end{array}\right.$. Chọn B.

Ta có $y\text{'}=4a{x}^3+2bx=2x\left(2a{x}^2+b\right);y\text{'}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x^2=-\frac{b}{2a}\left(*\right)\end{array}\right..$

Để hàm số có một điểm cực trị  $\iff \left(\ast \right)$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép bằng 0

 $\iff -\frac{b}{2a}\le 0\iff \left[\begin{array}{l}b=0\\ ab>0\end{array}\right.$.                                      (1) 

Khi đó, để điểm cực trị này là điểm cực tiểu thì a>0.    (2)

Từ (1) và (2), suy ra $a>0,b\ge 0$. Chọn D.

Ta có $y\text{'}=4x^3+4mx=4x\left(x^2+m\right);y\text{'}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x^2=-m\end{array}\right..$

Để hàm số có ba điểm cực trị <=> $y\text{'}=0$ có ba nghiệm phân biệt $\iff -m>0\iff m<0.$

Chọn C.

TH1. Với $a=0\leftrightarrow m=0$, khi đó $y=x^2+1$ có đồ thị là một parabol có bề lõm quay lên nên hàm số có duy nhất một điểm cực tiểu.

=> $m=0$ thỏa mãn.

TH2. Với $a>0\leftrightarrow m>0$, ycbt $\iff ab\ge 0\iff m\left(m+1\right)\ge 0$: đúng với  $m>0.$

=> $m>0$ thỏa mãn.

TH3. Với $a<0\leftrightarrow m<0$, ycbt $\iff ab<0\stackrel{a<0}{\to }b>0\leftrightarrow m+1>0\leftrightarrow m>-1$

=> $-1<m<0$ thỏa mãn.

Hợp các trường hợp ta được $m>-1$. 

Nhận xét. Bài toán hỏi hàm số có một điểm cực tiểu nên hàm số có thể có điểm cực đại hoặc không có điểm cực đại. Khi nào bài toán hỏi hàm số có đúng một cực tiểu và không có cực đại thì lúc đó ta chọn đáp án B.

Nếu m=0 thì $y=-x^2+1$ là hàm bậc hai nên chỉ có duy nhất một cực trị.

Khi $m\ne 0$, ta có $y\text{'}=4m{x}^3+2\left(m-1\right)x=2x\left[2m{x}^2+\left(m-1\right)\right];y\text{'}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x^2=\frac{1-m}{2m}\end{array}\right.$.

Để hàm số có đúng một điểm cực trị khi $\frac{1-m}{2m}\le 0\iff \left[\begin{array}{l}m\ge 1\\ m<0\end{array}\right.$.

Kết hợp hai trường hợp ta được $\left[\begin{array}{l}m\le 0\\ m\ge 1\end{array}\right.$. Chọn D.

Ta có $y\text{'}=4x^3-6x+a$ và $y\text{'}\text{'}=12x^2-6$.

Do $A\left(2;-2\right)$ là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số nên $\stackrel{}{\to }\left\{\begin{array}{l}y\text{'}\left(2\right)=0\\ y\left(2\right)=-2\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}32-12+a=0\\ 16-12+2a+b=-2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=-20\\ b=34\end{array}\right..$

Thử lại với $\left\{\begin{array}{l}a=-20\\ b=34\end{array}\right.\stackrel{}{\to }y=x^4-3x^2-20x+34$.

Tính đạo hàm và lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại $x=2$ (thỏa).

Vậy $\left\{\begin{array}{l}a=-20\\ b=34\end{array}\right.\stackrel{}{\to }S=a+b=14.$ Chọn B.

Ta có $y\text{'}=4a{x}^3+2bx$.