25 câu Trắc nghiệm Cực trị của hàm số có đáp án (P2) (Vận dụng)

Đáp án D

Đặt: gx=fx−4x

Ta có: g'x=f'x−4, g'x=0⇔f'x=4

Dựa vào đồ thị, suy ra phương trình f'x=4 có 2 nghiệm x1;x2 trong đó x1=−1 là nghiệm kép và x2>1 là nghiệm đơn.

⇒ Phương trình g'x=0 có 2 nghiệm x1;x2 nhưng g'x đổi dấu duy nhất 1 lần khi qua nghiệm x2 này. Vậy hàm số y=fx−4x có một điểm cực trị.

Đáp án B

Tập xác định: D=ℝ

y'=4x3−4mx=0⇔x=0x2=m

Hàm số đã cho có ba điểm cực trị ⇔m>0

Tọa độ điểm cực trị của đồ thị hàm số:

A0;1, Bm; −m2+1, C−m; −m2+1

Theo giả thiết BC=4⇔4m=16⇔m=4 ( thỏa mãn).

Đáp án A

Cách 1: PP tự luận

Ta có y'=4xx2−m−1

Xét y'=0⇔x=0x2=m+1. Để đồ thị số có ba điểm cực trị thì m>−1

Tọa độ ba điểm cực trị là A0; m2,Bm+1; −2m−1,C−m+1; −2m−1

Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng BC thì H0; −2m−1

Khi đó ba điểm cực trị lập thành tam giác vuông cân khi AH=BH

⇔m+14=m+1⇔m+14=m+1⇔m=0tmm=−1(ktm)

Chú ý: Điều kiện ba điểm cực trị lập thành tam giác vuông cân có thể sử dụng AB→.AC→=0 hoặc AB2+AC2=BC2.

Cách 2: PP trắc nghiệm

Điều kiện để đồ thị hàm trùng phương y=ax4+bx2+c có ba điểm cực trị là ab<0⇔m>−1

Khi đó ba điểm cực trị lập thành tam giác vuông cân khi b3+8a=0 ⇔−8m+13+8=0⇔m=0

Đáp án A

Vì hàm số y = f(x) có đúng ba điểm cực trị là x = -2, x = -1, x = 2 và có đạo hàm liên tục trên ℝ nên f'(x) = 0 có ba nghiệm là x = -2, x = -1, x = 2 (ba nghiệm bội lẻ).

Xét hàm số gx=fx2−2 có g'x=2x.f'x2−2

g'x=0⇔x=0f'x2−2=0⇔x=0x2−2=−2x2−2=−1x2−2=2⇔x=0x=±1x=±2

Do g'x=0 có các nghiệm bội lẻ x=±1;  x=±2;  x=0  suy ra g'x đổi dấu năm lần nên hàm số y=fx2−2 có năm điểm cực trị.

Đáp án A

Tập xác định D=ℝ

y'=4x3−4m−1x;y'=0⇔x=0x2=m−1

Hàm số có ba cực trị khi và chỉ khi m>1       *

Với điều kiện *, đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là A0 ; m2−m, Bm−1 ; m−1,C−m−1 ; m−1. Ta có AB→=m−1 ; −m2+2m−1, AC→=−m−1 ; −m2+2m−1.

Dễ thấy tam giác ABC luôn là tam giác cân tại A

Tam giác ABC là tam giác vuông khi và chỉ khi:

AB→.AC→=0⇔−m−1+m−14=0⇔m=1m=2

Đối chiều điều kiện * ta có m = 2. Vậy S=2 nên tổng tất cả các phần tử của S là 2.

Đáp án D

Đặt gx=fx2−2x. Ta có g'x=2x−2f'x2−2x

g'x=0⇔x=1x2−2x=−2x2−2x=1x2−2x=3⇔x=1x2−2x+2=0x2−2x−1=0x2−2x−3=0⇔x=1x=1±2x=−1x=3

Trong đó các nghiệm -1, 1, 3 là nghiệm bội lẻ và 1±2 là nghiệm bội chẵn. Vì vậy hàm số g'(x) chỉ đổi dấu khi đi qua các nghiệm -1, 1, 3.

Ta có g'0=−2f'0<0 (do f'0>0).

Bảng xét dấu g'(x)

Vậy hàm số y=fx2−2x có đúng 1 điểm cực tiểu là x = 1

Đáp án A

Ta có g'x=−3x2+3f'−x3+3x;

g'x=0⇔−3x2+3=0          1f'−x3+3x=0   2

1⇔x=1x=−1 ;

2⇔−x3+3x=aa<−2−x3+3x=b−2<b<0−x3+3x=c0<c<2

Xét hàm số hx=−x3+3x có đồ thị như hình vẽ

Dựa vào đồ thị hàm số y=hx, ta được:

−x3+3x=a⇔x=x1−x3+3x=b⇔x=x2x=x3x=x4−x3+3x=c⇔x=x5x=x6x=x7

Nhận xét: Tất cả 9 nghiệm của pt g'(x) = 0 đều là nghiệm đơn

⇒ Hàm số y=gx có 9 điểm cực trị.

Đáp án C

Đặt y=gx=efx.πf3x

g'x=efx.πf3x'=ef(x)'.πf3(x)+ef(x).πf3(x)'             =f'xef(x).πf3(x)+ef(x).πf3(x).lnπ.3f'x.f2x=f'xef(x).πf3(x)1+3lnπ.f2x

Do ef(x).πf3(x)1+3lnπ.f2x>0,∀x∈ℝ nên ta có g'(x) và f'(x) cùng dấu.

Dựa vào đồ thị hàm số y = f'(x) ta suy ra dấu của g'(x) từ đó có bảng biến thiên của hàm số đã cho như sau

Từ bảng biến thiên ta suy ra hàm số đã cho có 2 điểm cực đại.

Đáp án B

Đặt: gx=fx+m−2020. Ta có: gx=g−x, do vậy hàm số y=gx có đồ thị đối xứng qua trục tung.

Để g(x) có  điểm cực trị trên ℝ, khi đó ta chỉ cần xét hàm g(x) với x≥0 có hai điểm cực trị có hoành độ 0<x1<x2

Ta có g'x=f'x+m−2020, suy ra

g'x=0⇔x+m−2020=3x+m−2020=5⇔x=2023−m=x1x=2025−m=x2

Vậy 0<x1<x2⇔0<2023−m⇔m<2023

Đáp án C

y'=3x2−3m

Hàm số có hai điểm cực trị khi m>0 1

Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y=x3−3mx+2 có phương trình

y=−2mx+2⇔2mx+y−2=0

Diện tích tam giác IAB là

SΔIAB=12.IA.IB.sinAIB^=12.1.1.sinAIB^=12sinAIB^≤12

Dấu "=" xảy ra khi AIB^=90° tức là ΔIAB vuông tại I.

Khi đó dI,AB=22⇔2mxI+yI−22m2+12=22

⇔22m−1=2.4m2+1⇔m=2+32m=2−32 2

Từ (1) và (2) ta được m=2±32