30 câu Trắc nghiệm Cực trị của hàm số có đáp án (P1) (Nhận biết)

Đáp án B

Nếu f'(x) đổi dấu từ âm sang dương qua điểm $x_0$ thì $x_0$ là điểm cực tiểu của hàm số

Đáp án A

Nếu f'(x) đổi dấu từ dương sang âm qua điểm $x_0$ thì $x_0$ là điểm cực đại của hàm số

Đáp án A

Nếu $\left\{\begin{array}{c}f\text{'}\left(x_0\right)=0\\ f\text{'}\text{'}\left(x_0\right)>0\end{array}\right.$ thì $x_0$ là một điểm cực tiểu của hàm số

Đáp án D

Câu C đúng theo điều kiện cần của cực trị

Câu A, B đúng theo điều kiện đủ của cực trị

Câu D sai theo điều kiện đủ cho cực trị tồn tại

Đáp án A

Nếu $x_0$ là điểm cực tiểu của hàm số thì $f\left(x_0\right)$ là giá trị cực tiểu của hàm số

Đáp án B

Nếu $x_0$ là điểm cực đại của hàm số thì $f\left(x_0\right)$ là giá trị cực đại của hàm số

Đáp án D

Nếu $x_0$ là điểm cực đại của hàm số thì $\left(x_0;f\left(x_0\right)\right)$ là điểm cực đại của hàm số

Đáp án B

+ Ta có định lí: nếu f'(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x qua điểm $x_0$ (theo chiều tăng) thì hàm số đạt cực đại tại điểm $x_0$ $\Rightarrow$1 đúng.

+ Điều kiện cần để $x_0$ là điểm cực trị của hàm số là: $x_0$ là nghiệm của phương trình $f\text{'}\left(x\right)=0\Rightarrow 2$ sai

+ Nếu $f\text{'}\left(x_0\right)=0$ và f (x) có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm $x_0$ thì:

• Nếu $f\text{'}\text{'}\left(x_0\right)<0$ thì hàm số f (x) đạt cực đại tại điểm $x_0$
• Nếu $f\text{'}\text{'}\left(x_0\right)>0$ thì hàm số f (x) đạt cực tiểu tại điểm $x_0$
• Nếu $f\text{'}\left(x_0\right)=0$ và $f\text{'}\text{'}\left(x_0\right)=0$ thì ta không kết luận gì chứ không phải hàm số không  đạt cực trị tại điểm $x_0$

Khi $\left\{\begin{array}{c}f\text{'}\left(x_0\right)=0\\ f\text{'}\text{'}\left(x_0\right)=0\end{array}\right.$ thì ta không kết luận gì vì có thể xảy ra cả hai trường hợp là hàm số đạt cực trị hoặc không đạt cực trị tại $x_0$

Ví dụ:

 + TH1: xét hàm $f\left(x\right)=x^4$ có $f\text{'}\left(x\right)=4x^3=0\iff x=0$; $f\text{'}\text{'}\left(x\right)=12x^2$ và $f\text{'}\text{'}\left(0\right)=0$

Trong TH này hàm số có $f\text{'}\text{'}\left(0\right)=0$ nhưng vẫn đạt cực tiểu tại x = 0 vì đạo hàm $f\text{'}\left(x\right)$ đổi dấu từ âm sang dương qua x = 0.

+ TH2: xét hàm $f\left(x\right)=x^3$ có $f\text{'}\left(x\right)=3x^2=0\iff x=0$ ; $f\text{'}\text{'}\left(x\right)=6x\Rightarrow f\text{'}\text{'}\left(0\right)=0$

Trong TH này hàm số có $f\text{'}\text{'}\left(0\right)=0$ nhưng không đạt cực trị tại x = 0 vì đạo hàm $f\text{'}\left(x\right)=3x^2$ không đổi dấu tại x = 0.

$\Rightarrow$3 và 4 sai

Đáp án D

Phát biểu “Hàm số $y=f\left(x\right)$ đạt cực trị tại $x_0$ khi và chỉ khi $x_0$ là nghiệm của đạo hàm” là sai vì tồn tại hàm số có cực trị tại điểm $x_0$ không phải là nghiệm của đạo hàm (chẳng hạn hàm $y=\left|x\right|$ đạt cực trị tại x = 0 mà không có đạo hàm tại điểm đó)

Phát biểu “Nếu $f\text{'}\left(x_0\right)=0$ và $f\text{'}\text{'}\left(x_0\right)>0$ thì hàm số đạt cực đại tại $x_0$” là sai vì nếu $f\text{'}\left(x_0\right)=0$ và $f\text{'}\text{'}\left(x_0\right)>0$ thì hàm số đạt cực tiểu tại $x_0$

Phát biểu “Nếu $f\text{'}\left(x_0\right)=0$ và $f\text{'}\text{'}\left(x_0\right)=0$ thì $x_0$ không phải là cực trị của hàm số $y=f\left(x\right)$ đã cho” là sai vì tồn tại hàm số, chẳng hạn $y=x^4$ có $f\text{'}\left(0\right)=0$ và $f\text{'}\text{'}\left(0\right)=0$

Và x = 0 là cực trị của hàm số.

Phát biểu “Nếu $f\text{'}\left(x\right)$ đổi dấu khi x qua điểm $x_0$ và f (x) liên tục tại $x_0$ thì hàm số $y=f\left(x\right)$ đạt cực trị tại điểm $x_0$” là đúng.

Đáp án D

Điều kiện để hàm số bậc ba không có cực trị là phương trình $y\text{'}=0$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép

Đáp án A

Nếu hàm số bậc ba có phương trình $y\text{'}=0$ có nghiệm kép hoặc vô nghiệm thì hàm số bậc ba đó không có cực trị

Đáp án C

Hàm số bậc ba chỉ có thể có 2 cực trị hoặc không có cực trị nào nên nếu nó có cực đại thì chắc chắn có cực tiểu và ngược lại nên A, B sai.

Không phải lúc nào hàm bậc ba cũng có 2 cực trị, vẫn có trường hợp không có cực trị nên D sai.

Đáp án C

Hàm số bậc ba chỉ có thể có 2 cực trị hoặc không có cực trị nào nên nếu nó có cực đại thì chắc chắn có cực tiểu và ngược lại nên A, B sai.

Không phải lúc nào hàm bậc ba cũng có 2 cực trị, vẫn có trường hợp không có cực trị và ngược lại nênA, D sai.

Đáp án B

A sai vì trên đoạn (0; 2) vẫn có cực trị tại x = 1

Hàm số đạt cực đại tại x = 1 nên B đúng.

C sai vì hàm số đạt cực đại tại x = 1 không phải cực tiểu.

D sai vì đạo hàm không đổi dấu qua x = 0

Đáp án B

Từ bảng biến thiên ta thấy:

- Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương qua x = - 2 nên x = - 2 là điểm cực tiểu của hàm số (C đúng)

- Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương qua x = 2 nên x = 2 là điểm cực tiểu của hàm số (A đúng)

- Đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm qua x = 0 nên x = 0 là điểm cực đại của hàm số (D đúng)

- Qua điểm x = 3 thì đạo hàm không đổi dấu nên x = 3 không là điểm cực trị của hàm số (B sai)