120 câu Bài tập Cực trị hàm số cơ bản, nâng cao có lời giải (P3)

Chọn D

[Phương pháp trắc nghiệm]

Để hàm số bậc 3 có 2 cực trị: $b^2-3ac>0$

Để $x_{CĐ}<x_{CT}\iff a>0$

Vậy ta có: $\left\{\begin{array}{l}4-m^2>0\\ \frac{m}{3}>0\end{array}\right.\iff 0<m<2$

Chọn B

$y^{\text{'}}=x^2+2mx+m+6$

Hàm số có cực đại và cực tiểu$\iff y^{\text{'}}=0$ có hai nghiệm phân biệt

Chọn A

Hàm số có 2 cực trị $\iff y^{\text{'}}=0$ có hai nghiệm phân biệt.

Chọn A

Hàm số có 2 cực trị $\iff y^{\text{'}}=0$  có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thỏa mãn: $-1<x_1<x_2$

Chọn B

Hàm số đạt cực tiểu tại x = -2 khi

$\iff m=3$

Chọn B

$y^{\text{'}}=m{x}^2-2(m-1)x+3(m-2)$

Yêu cầu của bài toán $\iff y^{\text{'}}=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thỏa mãn:$x_1+2x_2=1$

Chọn C

Trường hợp 1: m = 0

Ta có hàm số: $y=-x^2$, hàm số này có 1 cực trị.

Vậy m = 0 thỏa mãn.

Trường hợp 2: m ≠ 0

$y^{\text{'}}=4m{x}^3+2(m-1)x$

Hàm số có đúng 1 cực trị.

Kết hợp TH1 và TH2

Chọn C

Hàm số có 3 cực trị

Cách 2: Phương pháp trắc nghiệm

Với $m\ne 0$ hàm số là hàm trùng phương.

Hàm trùng phương có 3 cực trị $\iff ab<0\iff m(m-1)(m-3)<0$ 

Lập bảng xét dấu ta được: $m\in (-\infty ; 0) \cup (1; 3)$

Chọn D

Hàm số có 3 điểm cực trị $\iff m\ne 0$

Khi đó 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số là

Do tính chất đối xứng, ta có $∆ABC$ cân tại đỉnh A

Vậy $∆ABC$ chỉ có thể vuông cân tại đỉnh A

Kết hợp điều kiện ta có: $m=\pm 1$ ( thỏa mãn).

Lưu ý: có thể sử dụng công thức $\frac{b^3}{8a}+1=0$.

Chọn B

Chọn C

Hàm số có 3 cực trị $\iff m>0$

Khi đó 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số là 

Do tính chất đối xứng, ta có $∆ABC$ cân tại đỉnh A

Vậy $∆ABC$ đều chỉ cần AB = BC

Kết hợp điều kiện ta có $m=\sqrt[3]{3}$(thỏa mãn)

Lưu ý: có thể sử dụng công thức $\frac{b^3}{8a}+3=0$

$\frac{{(-2m)}^3}{8}+3=0\iff m^3=3m\iff m=\sqrt[3]{3}$

Chọn C

Ta có: $y=x^3-3x$

$y\text{'}=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$

Các điểm cực trị:$A(1;-2);B(-1;2)$

Nên ta có $AB=2\sqrt{5}$

Chọn A

Ta có: $y=\frac{1}{4}{x}^4-2x^2+3$

Các điểm cực trị: $A(-2;-1);B(0;3); C(2;-1)$

Các điểm cực trị tạo thành tam giác cân tại B $H(0;-1)$ là trung điểm của AC

Nên $S_{∆ABC}=\frac{1}{2}BH.AC=8$

Chọn A

Chọn A

Để hàm số có ba cực trị thì trước hết hàm số phải là hàm số trùng phương tức m ≠ 0

Ta có:

Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi $y^{\text{'}}$ có 3 nghiệm phân biệt

$\iff \frac{m^2-9}{2m}<0$

Vậy các giá trị cần tìm của m là m < - 3 hoặc 0 < m < 3.

Chọn B

Hàm trùng phương chỉ có 1 cực trị và cực trị đó là CT

$\iff \left\{\begin{array}{l}a>0\\ b\ge 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m+1>0\\ -m\ge 0\end{array}\right.$$\iff -1<m\le 0$

Chọn D

Ta có $y^{\text{'}}=3x^2-6mx+m-1$

Hàm số có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi PT $y^{\text{'}}=0$ có hai nghiệm phân biệt

Điều này tương đương

Hai điểm cực trị có hoành độ dương

Vậy các giá trị cần tìm của m là m >1

Chọn D

Ta có $y^{\text{'}}=-3x^2+3m$

$y^{\text{'}}=0\iff x^2-m=0$(*)

Đồ thị hàm số (1) có 2 điểm cực trị 

$\iff PT(*)$ có 2 nghiệm phân biệt $\iff m>0(**)$

Khi đó 2 điểm cực trị

Tam giác OAB vuông tại O

$Vậy m=\frac{1}{2}$

Chọn D

$Ta có y^{\text{'}}=3x^2-6(m+1)x+12m$

Hàm số có hai cực trị $\iff y^{\text{'}}=0$ có hai nghiệm phân biệt

$\iff 9m^2+18m+9-36m>0$

$A(2;9m), B(2m;-4m^3+12m^2-3m+4)$

ABC nhận O làm trọng tâm

Chọn C

Ta có:$y^{\text{'}}=2x^2-2mx-2(3m^2-1)$

$g\left(x\right)=x^2-mx-3m^2+1$ là tam thức bậc hai có $∆=13m^2-4$

Do đó hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi $y^{\text{'}}$ có hai nghiệm phân biệt

$\iff g\left(x\right)$ có hai nghiệm phân biệt

$x_1;x_2$ là các nghiệm của g(x) nên theo định lý Vi-ét, ta có

Đối chiếu với điều kiện (1), ta thấy chỉ $m=\frac{2}{3}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán

Chọn B

[Phương pháp tự luận]

$y^{\text{'}}=3x^2-6mx+3(m^2-1)$

Hàm số luôn luôn có cực trị với moi m

Theo định lí Viet

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2m\\ x_1.x_2=m^2-1\end{array}\right.$

${x_1}^2+{x_2}^2-x_1{x}_2=7$

$\iff {\left(2m\right)}^2-3(m^2-1)=7$

$\iff m=\pm 2$