120 câu Bài tập Cực trị hàm số cơ bản, nâng cao có lời giải (P4)

Chọn B

[Phương pháp tự luận]

$y^{\text{'}}=4(m-1)x^3-6mx=0$ (*)

TH1 : Nếu m = 1 , (*) trở thành : $y^{\text{'}}=-6x=0$ hay x= 0 ,$y^{\text{'}\text{'}}=-6<0$ 

Vậy m = 1 hàm số đạt cực đại tại x = 0 

TH2 : Nếu m ≠ 1

Hàm số có cực đại mà ko có cực tiểu

Kết hợp 2 trường hợp : $m\in [0;1]$

Chọn C

[Phương pháp tự luận]

Hàm số có cực đại , cực tiểu khi và chỉ khi $\left|m\right|<1$

Tọa độ điểm cực trị  A$(0;m+1)$

Phương trình đường thẳng BC:$y+m^4-2m^2-m=0$

Vậy S đạt giá trị lớn nhất $\iff m=0$

[Phương pháp trắc nghiệm]

Vậy S đạt giá trị lớn nhất $\iff m=0$

Chọn A

Phương pháp tự luận]

$y^{\text{'}}=6x^2+6(m-3)x$

Hàm số có 2 cực trị $\iff m\ne 3$

Khi đó đồ thị hàm số đã cho có 2 điểm cực trị A(0;11-3m)

Phương trình đt AB: ${(3-m)}^{2}x+y-11+3m=0$

Chọn B

[Phương pháp tự luận]

$y^{\text{'}}=3x^2-3m$

Hàm số có 2 cực trị khi và chỉ khi m > 0

Khi đó tọa độ 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số là :$M(\sqrt{m};-2m\sqrt{m}+2)$

Phương trình đt MN : $2mx+y-2=0$

$\iff m=1\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Chọn C

[Phương pháp tự luận]

Ta có : $y=6x^2-6(m+1)x+6m$

Do a + b + c = 6 - 6(m + 1) + 6m = 0 nên

Điều kiện để hàm số có 2 điểm cực trị là m ≠ 1

Hệ số góc đt AB là $k=-{(m-1)}^2$

Đt AB vuông góc với đường thẳng y = x + 2

Chọn D

Hàm số có 2 điểm cực trị $x_1,x_2$

Chia y cho y’ ta được :

Điểm cực trị tương ứng :

Với $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=4\\ x_1{x}_2=m+2\end{array}\right.$nên $y_1{y}_2={(m-2)}^2(4m+17)$

Hai cực trị cùng dấu $\iff y_1{y}_2>0$

Kết hợp đk : $\frac{-17}{4}<m<2$

Chọn B

[Phương pháp tự luận]

Ta có $y^{\text{'}}=6x^2-18x+12$

$A(1;5+m) và B(2;4+m)$ là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

Chu vi của $∆OAB$ là: 

(Sử dụng tính chất $\left|\overline{u}\right|+\left|\overline{v}\right|\ge \left|\overline{u}+\overline{v}\right|$) với $\overrightarrow{u}=\left(1; -5 - m\right) và \overrightarrow{v}=\left(2; 4 + m\right)$

Từ đó ta có:

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\overline{u},\overline{v}$ cùng hướng

Vậy chu vi $∆OAB$ nhỏ nhất bằng $(\sqrt{10}+\sqrt{2})$ khi $m=\frac{-14}{3}$

Chọn D

$y^{\text{'}}=4x^3-4mx$

Hàm số có 3 điểm cực trị $\iff m>0$

Khi đó đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là

A (0;m-1)

$B(\sqrt{m};-m^2+m-1)$

C$(-\sqrt{m};-m^2+m-1)$

Vì B,C đối xứng nhau qua trục tung nên $BC\perp OA$

Do đó O là trực tâm tam giác ABC

Với $\stackrel{\rightharpoonup }{OB}=(\sqrt{m},-m^2+m-1),\stackrel{\rightharpoonup }{AC}=(-\sqrt{m},-m^2)$

Từ đó ta có:  $-m-m^2\left(-m^2+m-1\right)=0$

Vậy m = 1 là gtct

Chọn C

$e=\frac{m^2+1}{3}$

Chọn A

Chọn A

[Phương pháp trắc nghiệm]

$y^{\text{'}}=3x^2+2mx+7$

Bấm máy tính

Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là

Chọn D

Chọn A

[Phương pháp trắc nghiệm]

$y^{\text{'}}=3x^2-6x-m$

Hàm số có 2 cực trị m > -3 , gọi $x_1,x_2$là hai nghiệm của phương trình $y^{\text{'}}=0$,

ta có: $x_1+x_2=2$

Bấm máy tính

Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là

Gọi I là trung điểm của AB

$\Rightarrow I(1;-m)$

Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là

Yêu cầu bài toán

Kết hợp với điều kiện thì m = 0

Chọn B

Ta có :

Hàm số đã cho có ba điểm cực trị khi m > 0(*)

Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là

$A(0;m-1), B(-\sqrt{m};-m^2+m-1), C(\sqrt{m};-m^2+m-1)$

$S_{∆ABC}=\frac{1}{2}\left|y_B-y_A\right|\left|x_c-x_B\right|$

Kết hợp điều kiện (*) ta có

[Phương pháp trắc nghiệm]

Áp dụng công thức

Kết hợp điều kiện (*) ta có

Chọn B

Ta có :

Hàm số đã cho có ba điểm cực trị khi m > 0(*)

Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là

$A(0;m-1), B(-\sqrt{m};-m^2+m-1)$

$S_{∆ABC}=\frac{1}{2}\left|y_B-y_A\right|\left|x_c-x_B\right|$

Kết hợp điều kiện (*) ta có

[Phương pháp trắc nghiệm]

Áp dụng công thức

Kết hợp điều kiện (*) ta có

Chọn A

$y^{\text{'}}=4x^3-4m^{2}x$

Hàm số có 3 điểm cực trị khi m ≠ 0

Khi đó 3 điểm cực trị là

Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp( nếu có) của tứ giác ABOC .

Do tính chất đối xứng , ta có

A,O,I thẳng hàng

 $\Rightarrow AO$là đường kính của đường tròn ngoại tiếp( nếu có) của tứ giác ABOC

Kết hợp điều kiện $m=\pm 1$ ( thỏa mãn)

Chọn D

[Phương pháp trắc nghiệm]

Hàm số có 3 điểm cực trị khi m ≠ 0 

Áp dụng công thức

$$\begin{gathered} \iff \frac{{\left(-8m^2\right)}^2}{4.1}\sqrt{-\frac{-8m^2}{2.1}}=64 \\ \iff \frac{64m^4}{4}.2m=64 \end{gathered}$$

$\iff m=\sqrt[5]{2}$ ( thỏa mãn).

Chọn B

[Phương pháp tự luận]

Hàm số có 3 điểm cực trị khi m > 0 

Ba điểm cực trị là

Gọi I là trung điểm của $BC\Rightarrow I(0;m-m^2)$

$S_{∆ABC}=\frac{1}{2}AI.BC=m\sqrt{m}$

Chu vi của $∆ABC$ là:

Bán kính đường tròn nội tiếp $∆ABC$ là:

$r=\frac{S_{∆ABC}}{p}=\frac{m\sqrt{m}}{\sqrt{m+m^4}+\sqrt{m}}$

Theo bài ra: $r>1\iff \frac{m\sqrt{m}}{\sqrt{m+m^4}+\sqrt{m}}>1$ 

$\iff \frac{m\sqrt{m}(\sqrt{m+m^4}-\sqrt{m})}{m^4}>1$(vì m > 0 )

So sánh điều kiện suy ra m > 2 thỏa mãn.

[Phương pháp trắc nghiệm]

Sử dụng công thức

Theo bài ra:

So sánh điều kiện suy ra m > 2 thỏa mãn.

Chọn A

[Phương pháp trắc nghiệm]

Hàm số có 3 điểm cực trị khi $m>\frac{1}{3}$ 

Áp dụng công thức:

Phương trình đường tròn ngoại tiếp $∆ABC$ là:

Thay vào ta có phương trình:

Sử dụng chức năng SOLVE ,

tìm ra nghiệm duy nhất thỏa mãn là m = 3

Chọn B

[Phương pháp tự luận]

Hàm số có 3 điểm cực trị khi m > 0

Ba điểm cực trị là:

Tứ giác OBAC đã có OB=OC ,AB=AC.

Vậy tứ giác OBAC là hình thoi chỉ cần thêm điều kiện

( thỏa mãn).

Chọn A

Chọn D

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi

2m ≠ 0$\iff m\ne 0$(1)

Khi đó, các điểm cực trị của đồ thị hàm số là

Ta có: $\stackrel{\rightharpoonup }{OA}(0;3m^3)\Rightarrow OA=3\left|m^3\right|$(2)

Ta thấy $A\in Oy\Rightarrow OA\equiv Oy$

$\Rightarrow d(B,OA)=d(B,Oy)=2\left|m\right|\left(3\right)$

Từ (2) và (3) suy ra

$S_{∆OAB}=\frac{1}{2}.OA.d(B,OA)=3m^4$

Do đó: $S_{∆OAB}=48\iff m=\pm 2$  (thỏa mãn (1)

Chọn A

Ta có:

Hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi :

$y^{\text{'}}$ có 3 nghiệm phân biệt

$\iff m+1>0\iff m>-1 (*)$

Khi đó, ta có $y^{\text{'}}=0$

(vai trò của B, C trong bài toán là như nhau ) nên ta giả sử

Ta có:$\overline{OA}(0;m)\Rightarrow OA=\left|m\right|\Rightarrow BC=2\sqrt{m+1}$

Do đó OA = BC

$\iff m=2\pm 2\sqrt{2}(thỏa mãn) (*)$

Vậy $m=2\pm 2\sqrt{2}$

Chọn D

$y^{\text{'}}=3x^2-6mx$

Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì m ≠ 0

Giả sử hàm số có hai điểm cực trị là

Trung điểm của đoạn AB là $I(m;2m^3)$

Điều kiện để AB đối xứng nhau qua đường thẳng y = x là AB vuông góc với đường thẳng

$\left(d\right):y=x và I\in \left(d\right)$

Kết hợp với điều kiện ta có $m=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Chọn C

Ta có $y^{\text{'}}=3x^2-6mx+3(m^2-1)$

Hàm số (1) có cực trị thì PT $y^{\text{'}}=0$ có 2 nghiệm phân biệt

$\iff x^2-2mx+m^2-1=0$ có 2 nhiệm phân biệt

Khi đó, điểm cực đại $A(m-1;2-2m)$ và điểm cực tiểu $B(m+1;-2m)$

Ta có $OA=\sqrt{2}OB\iff m^2+6m+1=0$

Chọn A

Ta có:

Hàm số (C) có ba điểm cực trị $\iff m\ne 0$ (*) .

Với điều kiện (*) gọi ba điểm cực trị là:

.

Do đó nếu ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân, thì sẽ vuông cân tại đỉnh A.

Do tính chất của hàm số trùng phương, tam giác ABC đã là tam giác cân rồi, cho nên để thỏa mãn điều kiện tam giác là vuông, thì AB vuông góc với AC

Tam giác ABC vuông khi:

Vậy với $m=\pm 1$ thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

[Phương pháp trắc nghiệm]

Yêu cầu bài toán

$\iff \frac{b^3}{8a}+1=0\iff -m^6+1=0$

$\iff m=\pm 1$

Chọn D

Ta có:$y^{\text{'}}=m(3x^2-6x)$ 

Với mọi m ≠ 0, ta có $y^{\text{'}}=0$

 .

Vậy hàm số luôn có hai điểm cực trị.

Giả sử $A(0;3m-3); B(2;-m-3)$ .

Ta có

Vậy giá trị m cần tìm là:

Chọn A

Đường thẳng đi qua ĐCĐ, ĐCT là ${∆}_1:2x+y=0 có VTPT \overline{n_1}(2;1)$

Đường thẳng đã cho có $∆:x+my+3=0 có VTPT \overline{n_2}(1;m)$

Yêu cầu bài toán

Chọn C

Ta có

nên hàm số có 3 điểm cực trị khi m > 1.

Với đk m > 1 đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là:

Ta có:

Để 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo thành tam giác đều thì:

So sánh với điều kiện ta có: $m=1+\frac{\sqrt[3]{3}}{2}$ thỏa mãn.

[Phương pháp trắc nghiệm]

Yêu cầu bài toán

Chọn B

Ta có:

$\Rightarrow \forall m\in \mathrm{ℝ}$, hàm số luôn có CĐ, CT

Tọa độ các điểm CĐ, CT của đồ thị là

Suy ra $AB=\sqrt{2}$

và phương trình đường thẳng $x+y-2m^3-3m^2-m-1=0$

Do đó, tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất khi và chỉ khi khoảng cách từ M tới AB nhỏ nhất.

Ta có:

$\Rightarrow$đạt được khi m = 0