5 bài tập Chứng minh bất đå̉ng thức (có lời giải)

Xét hiệu \(\left( {{{\rm{a}}^2} + {{\rm{b}}^2}} \right) - 2{\rm{ab}} = {({\rm{a}} - {\rm{b}})^2} \ge 0\). Vậy \({a^2} + {b^2} \ge 2ab\) (dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a = b\) ).

Ví dụ 1. Chứng minh bất đẳng thức \({{\rm{a}}^2} + {{\rm{b}}^2} \ge 2{\rm{ab}}\).

Do đó \(\frac{{{a^2} + {b^2} - 2ab}}{{ab}} \ge 0\) hay \(\frac{{{{(a - b)}^2}}}{{ab}} \ge 0\).

Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng nên bất đẳng thức đã cho là đúng (dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \({\rm{a}} = {\rm{b}}\)).

Ta có \(a > b > 0\) nên \(ab > 0\), do đó \(\frac{1}{{ab}} > 0\).

Nhân cả hai vế của bất đẳng thức \({\rm{a}} > {\rm{b}}\) với số dương \(\frac{1}{{{\rm{ab}}}}\) ta được : a. \(\frac{1}{{ab}} > b \cdot \frac{1}{{ab}}\) hay \(\frac{1}{b} > \frac{1}{a}\). Do đó \(\frac{1}{{\rm{a}}} < \frac{1}{{\;{\rm{b}}}}\).

Ta có \(a > b\). Cộng \(m\) vào hai vế ta được $a+m>b+m\left(1\right)$

Ta có \({\rm{m}} > {\rm{n}}\). Cộng b vào hai vế ta được: $b+m>b+n\left(2\right)$

Từ (1) và (2) suy ra : \({\rm{a}} + {\rm{m}} > {\rm{b}} + {\rm{n}}\) (tính chất bắc cầu)

Xét vế trái :\(T = \frac{{a + b}}{c} + \frac{{b + c}}{a} + \frac{{c + a}}{b}\)\( = \frac{a}{c} + \frac{b}{c} + \frac{b}{a} + \frac{c}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{b}\)\( = \left( {\frac{{\rm{a}}}{{\rm{c}}} + \frac{{\rm{c}}}{{\rm{a}}}} \right) + \left( {\frac{{\rm{b}}}{{\rm{c}}} + \frac{{\rm{c}}}{{\rm{b}}}} \right) + \left( {\frac{{\rm{b}}}{{\rm{a}}} + \frac{{\rm{a}}}{{\rm{b}}}} \right).\)

\({\rm{T}} \ge 2 + 2 + 2\) (Áp dụng kết quả ở ví dụ 2) \( \Leftrightarrow {\rm{T}} \ge 6.{\rm{ }}\) (dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \({\rm{a}} = {\rm{b}} = {\rm{c )}}{\rm{. }}\)