26 bài tập Toán 9 Chân trời sáng tạo Bài 1. Bất đẳng thức có đáp án

Ta có: \[{(x - y)^2} \ge 2xy\] với mọi số thực \[x,y\]

Suy ra \[{x^2} + {y^2} \ge 2xy\]

Suy ra \[{x^2} + {y^2} - 2xy \ge 0\]

Dấu “=” xảy ra khi \[{(x - y)^2} = 0\] suy ra \[x = y\]

Ta có \[a < b + c\]( bất đẳng thức tam giác)

\[ \Rightarrow 2a < a + b + c \Rightarrow a < \frac{{a + b + c}}{2}\]

Ta có: \[A = 2{x^2} + 28x + 98 + 3 = 2{(x + 7)^2} + 3 \ge 3\].

Do đó min \[A = 3\] khi và chỉ khi \[x =  - 7\]

\({x^2}y - x{y^2} = xy(x - y)\). Sau đó xét dấu của tích xy, xét dấu của hiệu \(x - y\).

Ta có \({\rm{a}} < {\rm{b}} + {\rm{c}}\) (bất đẳng thức tam giác).\( \Rightarrow 2a < a + b + c \Rightarrow a < \frac{{a + b + c}}{2}{\rm{. }}\)

a) \(ab \le \frac{{{{(a + b)}^2}}}{4} \Leftrightarrow 4ab \le {a^2} + 2ab + {b^2}\).\( \Leftrightarrow {a^2} - 2ab + {b^2} \ge 0 \Leftrightarrow {(a - b)^2} \ge 0\)

b) Ta có \(\quad {a^2} + 1 \ge 2a;{b^2} + 1 \ge 2b;{c^2} + 1 \ge 2c\). Do đó \(\quad {a^2} + {b^2} + {c^2} + 3 \ge 2(a + b + c)\) (dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \({\rm{a}} = {\rm{b}} = {\rm{c}} = 1\) ).

a) \(A = 2{x^2} + 28x + 98 + 3 = 2{(x + 7)^2} + 3 \ge 3\). Do đó \(\min A = 3\) khi và chỉ khi \({\rm{x}} =  - 7\).

b) \(B = \frac{{{{(x + 1)}^2}}}{x} = \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{x} = x + \frac{1}{x} + 2\). Vì \(x > 0\) nên \(x + \frac{1}{x} \ge 2\), do đó \(B \ge 4\).

Vậy \(\min B = 4\) khi và chỉ khi \(x = \frac{1}{x} \Leftrightarrow x = 1\).

a) \(C =  - {x^2} + 5x =  - \left( {{x^2} - 5x} \right)\) \( =  - \left( {{x^2} - 2 \cdot \frac{5}{2}x + \frac{{25}}{4} - \frac{{25}}{4}} \right)\)\( =  - \left[ {{{\left( {x - \frac{5}{2}} \right)}^2} - \frac{{25}}{4}} \right] =  - {\left( {x - \frac{5}{2}} \right)^2} + \frac{{25}}{4} \le \frac{{25}}{4}\)

Do đó \(\max {\rm{C}} = \frac{{25}}{4}\) khi và chỉ khi \(x = \frac{5}{2}\).

b) \(D = (2 - 2x)(2x - 1) \le \frac{{{{[(2 - 2x) + (2x - 1)]}^2}}}{4}\)\( \Leftrightarrow {\rm{D}} \le \frac{1}{4}{\rm{. }}\)$

Do đó \(\max D = \frac{1}{4}\) khi và chỉ khi \(2 - 2x = 2x - 1 \Leftrightarrow x = \frac{3}{4}\).

\(\frac{1}{{\;{\rm{b}}}} - \frac{1}{{\rm{a}}} = \frac{{{\rm{a}} - {\rm{b}}}}{{{\rm{ab}}}} > 0 \Rightarrow \frac{1}{{\;{\rm{b}}}} > \frac{1}{{\rm{a}}}\)

a) \(\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{ a }} < b \Rightarrow a + c < b + c}\\{c < d \Rightarrow c + b < d + b}\end{array}} \right\} \Rightarrow a + c < b + d\). b)\(\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{a}} < {\rm{b}} \Rightarrow {\rm{ac}} < {\rm{bc}}}\\{c < {\rm{d}} \Rightarrow {\rm{bc}} < {\rm{bd}}}\end{array}}\end{array}} \right\} \Rightarrow {\rm{ac}} < {\rm{bd}}\).

a) \({(x + y)^2} \le 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \Leftrightarrow 0 \le {(x - y)^2}\).

b) \({x^2} + {y^2} + {z^3} + 3 \ge 2(x + y + z) \Leftrightarrow {(x - 1)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 1)^2} \ge 0\).

\({\rm{ c) }}\frac{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{3} \ge {\left( {\frac{{x + y + z}}{3}} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow 2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 2xy - 2yz - 2zx \ge 0\)\( \Leftrightarrow {(x - y)^2} + {(y - z)^2} + {(z - x)^2} \ge 0.\)

\((1 + a)(1 + b) = 1 + a + b + ab > 1 + a + b\)

Giả sử \({\rm{x}},{\rm{y}} > 0\) và \({\rm{x}} + {\rm{y}} = {\rm{k}}\) (không đổi).Ta có \(:(x - y) + 4xy = {(x + y)^2} = {k^2} \Rightarrow xy \le \frac{{{k^2}}}{4}\).

\(A = \frac{1}{2}(2 - 2x)(2x - 1):\max A = \frac{1}{8}\)

a)\(B = x + \frac{1}{x} + 2 \ge 4;\min B = 4 \Leftrightarrow x = \frac{1}{x} \Leftrightarrow x = 1\).

b)\(C = x - 1 + \frac{1}{{x - 1}} + 1 \ge 3;\min C = 3 \Leftrightarrow x = 2\).

\({\rm{D}} = \frac{{{{\rm{x}}^2} + 4x + 4 - {{\rm{x}}^2} - 1}}{{{{\rm{x}}^2} + 1}} = \frac{{{{(x + 2)}^2}}}{{{{\rm{x}}^2} + 1}} - 1 \ge  - 1\).

\({\rm{D}} = \frac{{4\left( {{{\rm{x}}^2} + 1} \right) - \left( {4{{\rm{x}}^2} - 4x + 1} \right)}}{{{x^2} + 1}} = 4 - \frac{{{{(2x - 1)}^2}}}{{{x^2} + 1}} \le 4\).

\(\min D =  - 1,\max D = 4\)