26 bài tập Toán 9 Chân trời sáng tạo Bài 1. Bất đẳng thức có đáp án
26 câu hỏi
Bất đẳng thức nào biểu thị đúng thứ tự các só? Vì sao?
a) \( - 7 \le - 6 - 1\); b) \(5( - 3) > - 16\);
c) \(12 < ( - 3).5\); d) \(4( - 2) > ( - 7)( - 2)\)
a) So sánh \({\rm{a}} - 1\) và \({\rm{a}}; - 2\;{\rm{b}}\) và \( - 2\;{\rm{b}} + 1\).
b) Cho \({\rm{a}} < {\rm{b}}\) so sánh \(2{\rm{a}}\) và \(2\;{\rm{b}} + 1; - 3{\rm{a}}\) và \( - 3\;{\rm{b}} - 1\).
a) \(a - 1 < a; - 2b < - 2b + 1\).
b) \(2a < 2b + 1; - 3a > - 3b - 1\).
a) Cho \({\rm{a}} \ne 0\), hãy so sánh \({{\rm{a}}^2}\) và \(0; - {{\rm{a}}^2}\) và 0.
b) So sánh \({{\rm{a}}^2} + 1\) và \(0: - {{\rm{a}}^2} - 3\) và 0.
Cho \(0 < a < b\), hãy so sánh:
a) \({a^2}\) và \(ab;{b^2}\) và\[ab\].
b)\({a^2}\) và \({b^2};{a^3}\) và \({b^3}\).
Dùng kí hiệu >, <, \[ \ge \], \[ \le \] để diễn tả:
a) Tốc độ \[v\] đúng quy định với biển báo giao thông hình dưới
b) Trọng tải \[P\] của toàn bộ xe khi đi qua cầu đúng quy định với biển báo giao thông ở hình 4b
a) \[\frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} < {a^2} + \frac{4}{5}\] với \[a \ne 0\]
b) \[2m + 4 > 2n + 3\] với \[m > n\]
a) ta có: \[\frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{1}{4} = \frac{5}{{20}}\]
Mà \[\frac{4}{5} = \frac{{16}}{{20}}\] nên \[\frac{5}{{20}} < \frac{{16}}{{20}}\]
Do đó: \[\frac{1}{4} < \frac{4}{5} < {a^2} + \frac{4}{5}\] với \[a \ne 0\]
Vậy \[\frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} < {a^2} + \frac{4}{5}\] với \[a \ne 0\]
b) \[2m + 4 > 2n + 3\] với \[m > n\]
Ta có: \[m > n\]
Nhân \[2\] vào hai vế
Ta được \[2m > 2n\]
Cộng \[4\] vào hai vế
Ta được \[2m + 4 < 2n + 3\]
a) Cho \[a > b > 0\]. Chứng minh \[\frac{1}{a} < \frac{1}{b}\]
b) áp dụng kết quả trên, so sánh \[\frac{{2022}}{{2023}}\] và \[\frac{{2023}}{{2024}}\]
a) Cho \[a > b > 0\]. Chứng minh \[\frac{1}{a} < \frac{1}{b}\]. Ta có \[a > b > 0\] do đó \[\frac{1}{{ab}} > 0\]
Nhân hai vế của bất đẳng thức \[a > b\] cho \[\frac{1}{{ab}}\]
Ta được \[a.\frac{1}{{ab}} > b.\frac{1}{{ab}}\] hay \[\frac{1}{b} > \frac{1}{a}\]
Do đó \[\frac{1}{a} < \frac{1}{b}\]
b) Áp dụng kết quả trên, so sánh \[\frac{{2022}}{{2023}}\] và \[\frac{{2023}}{{2024}}\]
Ta có:
\[\begin{array}{l}\frac{{2022}}{{2023}} = 1 - \frac{1}{{2023}}\\\frac{{2023}}{{2024}} = 1 - \frac{1}{{2024}}\end{array}\]
Vì \[\frac{1}{{2023}} > \frac{1}{{2024}}\] nên \[1 - \frac{1}{{2023}} > 1 - \frac{1}{{2024}}\] hay \[\frac{{2022}}{{2023}} < \frac{{2023}}{{2024}}\]
Ta có: \[{(x - y)^2} \ge 2xy\] với mọi số thực \[x,y\]
Suy ra \[{x^2} + {y^2} \ge 2xy\]
Suy ra \[{x^2} + {y^2} - 2xy \ge 0\]
Dấu “=” xảy ra khi \[{(x - y)^2} = 0\] suy ra \[x = y\]
Ta có \[a < b + c\]( bất đẳng thức tam giác)
\[ \Rightarrow 2a < a + b + c \Rightarrow a < \frac{{a + b + c}}{2}\]
Ta có: \[A = 2{x^2} + 28x + 98 + 3 = 2{(x + 7)^2} + 3 \ge 3\].
Do đó min \[A = 3\] khi và chỉ khi \[x = - 7\]
Ta có: \[C = - {x^2} + 5x = - ({x^2} - 5x)\]
\[\begin{array}{l} = - \left( {{x^2} - 2.\frac{5}{2}x + \frac{{25}}{4} - \frac{{25}}{4}} \right)\\ = - \left[ {{{\left( {x - \frac{5}{2}} \right)}^2} - \frac{{25}}{4}} \right]\\ = - {\left( {x - \frac{5}{2}} \right)^2} + \frac{{25}}{4} \le \frac{{25}}{4}\end{array}\]
Vậy max \[C = \frac{{24}}{5}\] khi và chỉ khi \[x = \frac{5}{2}\].
a) \(ab \le \frac{{{{(a + b)}^2}}}{4}\) b) \({a^2} + {b^2} + {c^2} + 3 \ge 2(a + b + c)\).
a) \(ab \le \frac{{{{(a + b)}^2}}}{4} \Leftrightarrow 4ab \le {a^2} + 2ab + {b^2}\).\( \Leftrightarrow {a^2} - 2ab + {b^2} \ge 0 \Leftrightarrow {(a - b)^2} \ge 0\)
b) Ta có \(\quad {a^2} + 1 \ge 2a;{b^2} + 1 \ge 2b;{c^2} + 1 \ge 2c\). Do đó \(\quad {a^2} + {b^2} + {c^2} + 3 \ge 2(a + b + c)\) (dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \({\rm{a}} = {\rm{b}} = {\rm{c}} = 1\) ).
Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:
a) \(A = 2{x^2} + 28x + 101\) b) \({\rm{B}} = \frac{{{{({\rm{x}} + 1)}^2}}}{{\rm{x}}}\) với \({\rm{x}} > 0\).
a) \(A = 2{x^2} + 28x + 98 + 3 = 2{(x + 7)^2} + 3 \ge 3\). Do đó \(\min A = 3\) khi và chỉ khi \({\rm{x}} = - 7\).
b) \(B = \frac{{{{(x + 1)}^2}}}{x} = \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{x} = x + \frac{1}{x} + 2\). Vì \(x > 0\) nên \(x + \frac{1}{x} \ge 2\), do đó \(B \ge 4\).
Vậy \(\min B = 4\) khi và chỉ khi \(x = \frac{1}{x} \Leftrightarrow x = 1\).
Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức:
a) \(C = - {x^2} + 5x\) b) \(D = 2(1 - x)(2x - 1)\).
a) \(C = - {x^2} + 5x = - \left( {{x^2} - 5x} \right)\) \( = - \left( {{x^2} - 2 \cdot \frac{5}{2}x + \frac{{25}}{4} - \frac{{25}}{4}} \right)\)\( = - \left[ {{{\left( {x - \frac{5}{2}} \right)}^2} - \frac{{25}}{4}} \right] = - {\left( {x - \frac{5}{2}} \right)^2} + \frac{{25}}{4} \le \frac{{25}}{4}\)
Do đó \(\max {\rm{C}} = \frac{{25}}{4}\) khi và chỉ khi \(x = \frac{5}{2}\).
b) \(D = (2 - 2x)(2x - 1) \le \frac{{{{[(2 - 2x) + (2x - 1)]}^2}}}{4}\)\( \Leftrightarrow {\rm{D}} \le \frac{1}{4}{\rm{. }}\)$
Do đó \(\max D = \frac{1}{4}\) khi và chỉ khi \(2 - 2x = 2x - 1 \Leftrightarrow x = \frac{3}{4}\).
a) Cho \({\rm{a}} < {\rm{b}}\) và \({\rm{c}} < {\rm{d}}\), chứng minh \({\rm{a}} + {\rm{c}} < {\rm{b}} + {\rm{d}}\).
b) a, b, c, d dương và \({\rm{a}} < {\rm{b}},{\rm{c}} < {\rm{d}}\). Chứng minh \({\rm{ac}} < {\rm{bd}}\).
Chứng minh các bất đẳng thức:
a) \({(x + y)^2} \le 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\)
b) \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 3 \ge 2(x + y + z)\)
c) \(\frac{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{3} \ge {\left( {\frac{{x + y + z}}{3}} \right)^2}\)
a) \({(x + y)^2} \le 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \Leftrightarrow 0 \le {(x - y)^2}\).
b) \({x^2} + {y^2} + {z^3} + 3 \ge 2(x + y + z) \Leftrightarrow {(x - 1)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 1)^2} \ge 0\).
\({\rm{ c) }}\frac{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{3} \ge {\left( {\frac{{x + y + z}}{3}} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow 2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 2xy - 2yz - 2zx \ge 0\)\( \Leftrightarrow {(x - y)^2} + {(y - z)^2} + {(z - x)^2} \ge 0.\)
Giả sử \({\rm{x}},{\rm{y}} > 0\) và \({\rm{x}} + {\rm{y}} = {\rm{k}}\) (không đổi).Ta có \(:(x - y) + 4xy = {(x + y)^2} = {k^2} \Rightarrow xy \le \frac{{{k^2}}}{4}\).
\(A = \frac{1}{2}(2 - 2x)(2x - 1):\max A = \frac{1}{8}\)
Chứng minh rằng: Nếu hai số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau. Áp dụng: Tìm giá trị nhỏ nhất của:
a) \(B = \frac{{{{(x + 1)}^2}}}{x}(\) với \(x > 0)\); b) \({\rm{C}} = {\rm{x}} + \frac{1}{{{\rm{x}} - 1}}(\) với \({\rm{x}} > 1)\).
a)\(B = x + \frac{1}{x} + 2 \ge 4;\min B = 4 \Leftrightarrow x = \frac{1}{x} \Leftrightarrow x = 1\).
b)\(C = x - 1 + \frac{1}{{x - 1}} + 1 \ge 3;\min C = 3 \Leftrightarrow x = 2\).
\({\rm{D}} = \frac{{{{\rm{x}}^2} + 4x + 4 - {{\rm{x}}^2} - 1}}{{{{\rm{x}}^2} + 1}} = \frac{{{{(x + 2)}^2}}}{{{{\rm{x}}^2} + 1}} - 1 \ge - 1\).
\({\rm{D}} = \frac{{4\left( {{{\rm{x}}^2} + 1} \right) - \left( {4{{\rm{x}}^2} - 4x + 1} \right)}}{{{x^2} + 1}} = 4 - \frac{{{{(2x - 1)}^2}}}{{{x^2} + 1}} \le 4\).
\(\min D = - 1,\max D = 4\)
