45 bài tập Phương trình quy về phương trình bậc nhất 2 ẩn và hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn có lời giải

a) Tổng số vé đã bán là 525 vé nên ta có phương trình thứ nhất là \(x + y = 525.\)

Mặt khác, tổng số tiền thu về là 35 triệu 800 nghìn đồng nên ta có phương trình thứ hai là: \(80x + 60y = 35800\) hay \(4x + 3y = 1790\).

Vậy ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 525}\\{4x + 3y = 1790.}\end{array}} \right.\)

b) Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có \(y = 525 - x\).

Thế vào phương trình thứ hai trong hệ ta được \(4x + 3(525 - x) = 1790\) hay \(x = 215\).

Thay \(x = 215\) vào phương trình thứ nhất của hệ ta được \(y = 525 - 215 = 310\).

Vậy khu du lịch đã bán được 215 vé giá 80 nghìn đồng và 310 vé giá 60 nghìn đồng.

Xét hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0,06Y - 5000r = 240}\\{0,06Y + 6000r = 900.}\end{array}} \right.\)

Trừ từng vế hai phương trình của hệ ta được \(11000r = 660\) hay \(r = 0,06\).

Thay \(r = 0,06\) vào phương trình thứ nhất của hệ ta được \(Y = 9000\).

Vậy mức thu nhập cân bằng là 9 tỉ đô la và lãi suất cân bằng là 0,06 (tức là \(6\% \)).

Từ hai phương trình cung và cầu ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{p + 0,00001x = 150}\\{p - 0,00002x = 60.}\end{array}} \right.\)

Trừ từng vế hai phương trình của hệ ta được \(0,00003x = 90\) hay \(x = 3000000\).

Thay \(x = 3000000\) vào phương trình thứ nhất của hệ ta được \(p = 120\).

Vậy điểm cân bằng của thị trường thiết bị kĩ thuật số cá nhân mới là \((120;3000000)\).

a) Do số câu hỏi nhiều lựa chọn gấp đôi số câu đúng/sai nên ta có phương trình \(y = 2x\) hay \(2x - y = 0\).

Mặt khác, tổng số điểm là 100, mỗi câu đúng/sai tính 2 điểm và mỗi câu nhiều lựa chọn tính 4 điểm nên ta có phương trình \(2x + 4y = 100\).

Vậy ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - y = 0}\\{2x + 4y = 100}\end{array}} \right.\)

b) Ta giải hệ phương trình nhận được ở câu a. Trừ từng vế hai phương trình của hệ ta được \(5y = 100\) hay \(y = 20\). Thay \(y = 20\) vào phương trình thứ nhất của hệ, ta có \(x = 10\).

Vậy trong bài kiểm tra đó, số câu hỏi đúng/sai là 10 câu và số câu hỏi nhiều lựa chọn là 20 câu.

Đổi: 120 triệu đồng = 120000 nghìn đồng.

a) Giá đơn vị của việc sản xuất \(x\) đĩa CD để bán là \[15x\] nghìn đồng. Mặt khác, chi phí cố định mà công ty đó phải thanh toán là 120000 nghìn đồng. Do đó, công thức tính tổng chi phí sản xuất \(x\) đĩa CD trong tháng của công ty là \(C = 120000 + 15x{\rm{ }}\)(nghìn đồng)

b) Công thức tính doanh thu khi bán được \(x\) đĩa CD, mỗi đĩa giá 30 nghìn đồng là \(R = 30x\) (nghìn đồng).

Công ty sẽ hoà vốn nếu \(C = R\), do đó ta có hệ phương trình xác định điểm hoà vốn là\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{C = 120000 + 15x}\\{C = 30x.}\end{array}} \right.\)

Thay \(C = 30x\) vào phương trình thứ nhất của hệ ta được\(30x = 120000 + 15x{\rm{ hay }}x = 8000.\)

Ta thấy \(x = 8000\) thoả mãn điều kiện của ẩn.

Khi đó, doanh thu \(R = 30 \cdot 8000 = 240000\) nghìn đồng, tức là 240 triệu đồng.

Vậy công ty sẽ hoà vốn nếu bán được 8000 đĩa CD và khi đó tổng doanh thu là 240 triệu đồng.

Gọi \(x\) và \(y\) lần lượt là số lần phóng vệ tinh thương mại và phi thương mại trong năm 2025.

Điều kiện: \(x,y \in {\mathbb{N}^*}\).

Vì tổng số lần phóng vệ tinh thương mại và phi thương mại trong năm 2005 là 55 lần nên ta có phương trình \(x + y = 55\).

Mặt khác, số lần phóng vệ tinh phi thương mại nhiều hơn 1 lần so với hai lần số lần phóng vệ tinh thương mại nên ta có phương trình \(y = 2x + 1\).

Do đó ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 55}\\{y = 2x + 1}\end{array}} \right.\).

Thế hệ thức thứ hai trong hệ phương trình trên vào phương trình thứ nhất ta được \(3x + 1 = 55\) hay \(x = 18\). Do đó, \(y = 2 \cdot 18 + 1 = 37\). Ta có \(x = 18,y = 37\) thoả mãn điều kiện của ẩn.

Vậy số lần phóng vệ tinh thương mại là 18 lần và số lần phóng vệ tinh phi thương mại là 37 lần.

Đổi 45 phút \( = \frac{3}{4}\) giờ.

Gọi vận tốc thực của ca nô là \(x(\;{\rm{km}}/{\rm{h}})\) và vận tốc dòng nước là \(y(\;{\rm{km}}/{\rm{h}})\). Do vận tốc thực của ca nô phải thắng được vận tốc dòng nước nên điều kiện của ẩn là \(x > y > 0\).

Vì ca nô đi ngược dòng 6 km hết \(\frac{3}{2}\) giờ nên ta có phương trình \(x - y = \frac{{6 \cdot 2}}{3} = 4\).

Mặt khác, ca nô đi xuôi dòng 6 km hết \(\frac{3}{4}\) giờ nên ta có phương trình \(x + y = \frac{{6 \cdot 4}}{3} = 8\).

Ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - y = 4}\\{x + y = 8}\end{array}} \right.\)

Cộng hai vế hai phương trình của hệ ta được \(2x = 12\) hay \(x = 6\). Thay \(x = 6\) vào phương trình thứ nhất của hệ ta được \(y = 2\). Ta có \(x = 6,y = 2\) thoả mãn điều kiện của ẩn.

Vậy vận tốc thực của ca nô là \(6\;{\rm{km}}/{\rm{h}}\) và vận tốc dòng nước là \(2\;{\rm{km}}/{\rm{h}}\).

Gọi \(x\) là số lít cồn nồng độ \(10\% \) và \(y\) là số lít cồn nồng độ \(70\% \) cần dùng. Điều kiện của ẩn: \(x > 0,y > 0\).

Theo đề bài tổng số lít dung dịch sau pha chế là 1000 lít nên ta có phương trình \(x + y = 1000\).

Mặt khác, dung dịch thu được có nồng độ \(16\% \) nên ta có phương trình \(0,1x + 0,7y = 0,16 \cdot 1000 = 160.\)

Ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 1000}\\{0,1x + 0,7y = 160}\end{array}} \right.\)

Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có \(x = 1000 - y\). Thế vào phương trình thứ hai ta được \(0,1(1000 - y) + 0,7y = 160\)hay \(y = 100\). Thay \(y = 100\) vào phương trình thứ nhất của hệ ta được \(x = 900\). Ta có \(x = 900,y = 100\) thoả mãn điều kiện của ẩn.

Vậy người ta cần dùng 900 lít cồn nồng độ \(10\% \) và 100 lít cồn nồng độ \(70\% \).

a) Gọi \[x,{\rm{ }}y\](phút) lần lượt là thời gian mà chị Hương dành cho thể dục nhịp điệu và giãn cơ.

Điều kiện của ẩn: \(x > 0,y > 0\).

Theo đề bài, mỗi buổi sáng chị Hương tập 40 phút nên ta có phương trình \(x + y = 40.\)

Mặt khác, theo dự định của chị Hương, mỗi buổi tập thể dục cần đốt cháy được 335 calo từ việc đốt 11 calo mỗi phút bằng thể dục nhịp điệu và 4 calo mỗi phút bằng giãn cơ nên ta có phương trình \(11x + 4y = 335\)

Vậy ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 40}\\{11x + 4y = 335.}\end{array}} \right.\)

b) Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có \(x = 40 - y\). Thế vào phương trình thứ hai ta được \(11(40 - y) + 4y = 335\) hay \(y = 15\). Thay \(y = 15\) vào phương trình thứ nhất ta được \(x = 25\).

Ta có \(x = 25,y = 15\) thoả mãn điều kiện của ẩn.

Vậy chị Hương nên tập thể dục nhịp điệu trong 25 phút và giãn cơ trong 15 phút để đạt được mục tiêu của mình.

Ta có điều kiện của ẩn \(x\) là \(x \in {\mathbb{N}^*}\).

Hoà vốn tức là \(C = R\) nên ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{R = 15x + 12000}\\{R = 18x - 6000}\end{array}} \right.\)

Thế phương trình thứ nhất vào phương trình thứ hai ta được \(15x + 12000 = 18x - 6000\) hay \(x = 6000\). Ta có \(x = 6000\) thoả mãn điều kiện của ẩn.

Vậy để hoà vốn công ty cần sản xuất và bán được 6000 đơn vị sản phẩm.

Khi đó doanh thu của công ty là \(R = 18 \cdot 6000 - 6000 = 102000\)(đô la)

Gọi số vé loại I, II bán được lần lượt là x, y (vé). Khi đó, điều kiện của ẩn là \(x,y \in \mathbb{N}\).

Theo đề bài buổi biểu diễn văn nghệ bán được 1500 vé nên ta có phương trình:\(x + y = 1500.\)

Mặt khác, mỗi vé loại I giá 250 nghìn đồng và loại II giá 150 nghìn đồng, với tổng số tiền bán là 285 triệu đồng hay 285000 nghìn đồng, nên ta có phương trình\(250x + 150y = 285000\)

Do đó, ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 1500}\\{250x + 150y = 285000.}\end{array}} \right.\)

Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có \(x = 1500 - y\). Thế vào phương trình thứ hai ta được \(250(1500 - y) + 150y = 285000\) hay \(375000 - 100y = 285000\) dẫn đến \(y = 900\). Do đó, \(x = 1500 - 900 = 600\). Ta có \(x = 600,y = 900\) thoả mãn điều kiện của ẩn.

Vậy buổi biểu diễn đó bán được 600 vé loại I và 900 vé loại II.

Gọi số lượng khẩu phần súp cà chua là \(x\) (phần) và số lượng lát bánh mì nguyên hạt là \(y\) (lát). Khi đó, điều kiện của ẩn là \(x \ge 0,y \ge 0\).

Theo đề bài, lượng calo cần có 230 calo nên ta có phương trình \(100x + 70y = 230\)

Theo đề bài lượng carbohydrate cần là 42 gam nên ta có phương trình \(18x + 13y = 42\)

Do đó, ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{100x + 70y = 230}\\{18x + 13y = 42.}\end{array}} \right.\)

Từ phương trình thứ hai trong hệ ta có \(x = \frac{7}{3} - \frac{{13}}{{18}}y\). Thế vào phương trình thứ nhất ta được \(100\left( {\frac{7}{3} - \frac{{13}}{{18}}y} \right) + 70y = 230\) hay \(y = \frac{3}{2}\). Thay \(y = \frac{3}{2}\) vào hệ thức \(x = \frac{7}{3} - \frac{{13}}{{18}}y\) ta được \(x = \frac{5}{4}\). Ta có \(x = \frac{5}{4},y = \frac{3}{2}\) thoả mãn điều kiện của ẩn.

Vậy cần \(\frac{5}{4}\) khẩu phần súp cà chua và \(\frac{3}{2}\) lát bánh mì nguyên hạt để có 230 calo và 42 gam carbohydrate.

Gọi quãng đường người đó đi xe ô tô trong thành phố và trên đường cao tốc lần lượt là \(x,y(\;{\rm{km}})\). Khi đó, điều

kiện của ẩn là \(x \ge 0,y \ge 0\).

Theo đề bài người đó đi cả quãng đường ở thành phố và cao tốc tiêu thụ hết 8,415 lít xăng nên ta có phương

trình: \(\frac{{8,1}}{{100}}x + \frac{{4,8}}{{100}}y = 8,415{\rm{ hay }}0,081x + 0,048y = 8,415.{\rm{ }}\)

Cả quãng đường người đó đi cao tốc và trong thành phố là 165 km nên ta có phương trình \(x + y = 165\).

Do đó ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 165}\\{0,081x + 0,048y = 8,415}\end{array}} \right.\)

Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có \(x = 165 - y\). Thế vào phương trình thứ hai ta được \(0,081(165 - y) + 0,048y = 8,415\) hay \(y = 150\).

Thay \(y = 150\) vào hệ thức \(x = 165 - y\) ta được \(x = 15\). Ta có \(x = 15,y = 150\) thoả mãn điều kiện của ẩn.

Vậy quãng đường người đó lái xe trong thành phố là 15 km và quãng đường người đó lái xe trên cao tốc là 150 km.

Gọi \(x(m),y(m)\) lần lượt là chiều dài và chiều rộng mảnh vườn \((x > 0,y > 0)\).

Chu vi của mảnh vườn là 34 m, nên ta có phương trình: \({\rm{x}} + {\rm{y}} = 17\).

Sau khi tăng chiều dài thêm 2 m, tăng chiều rộng thêm 3 m thì diện tích tăng thêm \(45\;{{\rm{m}}^2}\), nên ta có phương trình: \((x + 3)(y + 2) = xy + 45\) hay \(2x + 3y = 39\). (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 17}\\{2x + 3y = 39}\end{array}} \right.\).

Giải hệ phương trình, ta được \(x = 12,y = 5\) (thoả mãn).

Vậy chiều dài của mảnh vườn là 12 m, chiều rộng của mảnh vườn là 5 m.

Gọi \(x\)là số câu trả lời đúng, \(y\) là số câu trả lời sai \((x \in \mathbb{N},y \in \mathbb{N})\).

Nhóm học sinh đã trả lời 20 câu hỏi, nên ta có phương trình: \(x + y = 20\).(1)

Nhóm học sinh đạt 28 điểm với mỗi câu trả lời đúng được 2 điểm, mỗi câu trả lời sai bị trừ 1 điểm nên ta có phương trình: \(2x - y = 28\).(2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 20}\\{2x - y = 28}\end{array}} \right.\).

Giải hệ phương trình, ta được \(x = 16,y = 4\) (thoả mãn).

Vậy có 16 câu trả lời đúng và 4 câu trả lời sai.

Gọi \(x\) (đồng) là giá niêm yết của một cái quạt điện, \(y\) (đồng) là giá niêm yết của một cái bàn ủi điện \(({\rm{x}} > 0,{\rm{y}} > 0)\).

Tổng số tiền theo giá niêm yết của hai sản phẩm là 900000 đồng, nên ta có phương trình: \(x + y = 900000\).(1)

Tổng số tiền của hai sản phẩm sau khi đã giảm giá là 780000 đồng, nên ta có phương trình: \(0,85x + 0,9y = 780000\)(2)

Từ (1) và \((2)\), ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 900000}\\{0,85x + 0,9y = 780000.}\end{array}} \right.\)

Giải hệ phương trình, ta được \(x = 600000,y = 300000\) (thoả mãn).

Vậy giá niêm yết của một cái quạt điện là 600000 đồng, giá niêm yết của một cái bàn ủi điện là 300000 đồng.

Gọi \(x,y\)lần lượt là số chi tiết máy tổ Một và tổ Hai sản xuất được trong tháng 9\(\left( {{\rm{x}} \in {\mathbb{N}^*},{\rm{y}} \in {\mathbb{N}^*}} \right){\rm{. }}\)

Ta có hệ phương trình:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 1100}\\{1,15x + 1,2y = 1295}\end{array}} \right.\)

Giải hệ phương trình ta được \({\rm{x}} = 500,{\rm{y}} = 600\) (thoả mãn).

Vậy trong tháng 9, tổ Một sản xuất được 500 chi tiết máy, tổ Hai sản xuất được 600 chi tiết máy.

Gọi \(x\) (giờ) và \(y\) (giờ) lần lượt là thời gian ô tô di chuyển hết quãng đường AB và \(BC(x > 0,y > 0)\).

Ta có hệ phương trình:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{60x + 55y = 200}\\{y - x = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\)

Giải hệ phương trình, ta được \(x = \frac{3}{2},y = 2\) (thoả mãn).

Vậy thời gian di chuyển hết quãng đường AB là 1giờ30 phút, thời gian ô tô di chuyển hết quãng đường BC là 2 giờ.

Gọi \(x(m),y(m)\) lần lượt là chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn \((x > 0,y > 0)\).

Chu vi mảnh vườn là 360 m, nên ta có phương trình \(x + y = 180\).

Chiều dài bằng \(\frac{5}{4}\) lần chiều rộng nên ta có phương trình \(x = \frac{5}{4}y\) hay \(4x - 5y = 0\).

Ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 180}\\{4x - 5y = 0.}\end{array}} \right.\)

Giải hệ phương trình, ta được \({\rm{x}} = 100,{\rm{y}} = 80\) (thoả mãn).

Vậy chiều dài của mảnh vườn là 100 m, chiều rộng của mảnh vườn là 80 m.

Gọi \(x\) và \(y\) lần lượt là số xe loại 45 chỗ và 30 chỗ ( \(x \in {\mathbb{N}^*},{\rm{y}} \in {\mathbb{N}^*}\) ).

Ta có hệ phương trình:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 5}\\{45x + 30y = 195}\end{array}} \right.\)

Giải hệ phương trình, ta được \({\rm{x}} = 3,{\rm{y}} = 2\) (thoả mãn).

Vậy nhà trường cần thuê 3 xe loại 45 chỗ và 2 xe loại 30 chỗ.

Lời giải

Gọi \(x\) và \(y\) lần lượt là số gam đồng và kẽm có trong vật đó \((0 < x,y < 124)\).

Vì khối lượng của vật là 124 g nên ta có phương trình \(x + y = 124\).

Thể tích của \(x({\rm{g}})\) đồng là \(\frac{{10}}{{89}}{\rm{x}}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).

Thể tích của \(y({\rm{g}})\) kẽm là \(\frac{1}{7}y\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).

Vì thể tích của vật là \(15\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\) nên ta có phương trình \(\frac{{10}}{{89}}x + \frac{1}{7}y = 15\).

Ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 124}\\{\frac{{10}}{{89}}x + \frac{1}{7}y = 15.}\end{array}} \right.\)

Giải hệ phương trình, ta được \(x = 89,y = 35\) (thoả mãn).

Vậy vật đó có 89 g đồng và 35 g kẽm.

Gọi \[x,{\rm{ }}y\]lần lượt là số bông hoa hồng và số bông hoa cẩm chướng người đó mua \(\left( {x \in {\mathbb{N}^*},y \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).

Ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 36}\\{5500x + 4000y = 174000.}\end{array}} \right.\)

Giải hệ phương trình, ta được \(x = 20,y = 16\) (thoả mãn).

Vậy người đó đã mua 20 bông hoa hồng và 16 bông hoa cẩm chướng.

Gọi \(x({\rm{km}}/{\rm{h}})\) là tốc độ dự định, \[y\](giờ) là thời gian dự định của xe tải đó \(\left( {x > 10;y > \frac{1}{2}} \right)\);

Ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(x - 10)\left( {y + \frac{3}{4}} \right) = xy}\\{(x + 10)\left( {y - \frac{1}{2}} \right) = xy}\end{array}} \right.\) hay \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{3}{4}x - 10y = \frac{{30}}{4}}\\{ - \frac{1}{2}x + 10y = 5.}\end{array}} \right.\)

Giải hệ phương trình, ta được \({\rm{x}} = 50,{\rm{y}} = 3\) (thoả mãn).

Vậy tốc độ dự định của xe là \(50\;{\rm{km}}/{\rm{h}}\), thời gian dự định di chuyển từ A đến B là 3 giờ.

Gọi \(x\)(đồng) là giá một vé người lớn, \(y\) (đồng) là giá một vé trẻ em \((x > 0,y > 0)\)

Ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4x + 3y = 370000}\\{2x + 2y = 200000}\end{array}} \right.\)

Giải hệ phương trình, ta được \(x = 70000,y = 30000\) (thoả mãn).

Vậy giá một vé ngườ lớn là 70000 đồng, giá một vé trẻ em là 30000 đồng.

Gọi \(x\), \(y\) lần lượt là số học sinh của lớp bóng rổ và lớp bóng chuyền \(\left( {x \in {\mathbb{N}^*}{\rm{,y}} \in {\mathbb{N}^*},x < 85,y < 85} \right)\)

Giải hệ phương trình, ta được \({\rm{x}} = 50,{\rm{y}} = 35\) (thoả mãn).

Vậy lớp bóng rổ có 50 học sinh, lớp bóng chuyền có 35 học sinh.

Khối thứ nhất có đồng chiếm tỉ lệ: \(\frac{8}{{10}} = 80\% \).

Khối thứ hai có đồng chiếm tỉ lệ: \(\frac{3}{{10}} = 30\% \).

Khối hợp kim sau luyện có đồng chiếm tỉ lệ: \(\frac{5}{{10}} = 50\% \).

Gọi \({\rm{x}}({\rm{kg}})\) và \({\rm{y}}({\rm{kg}})\) lần lượt là khối lượng khối hợp kim thứ nhất và khối hợp kim thứ hai \((0 < x,y < 250)\).

Ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 250}\\{80\% x + 30\% y = 50\% (x + y)}\end{array}} \right.\) hay \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 250}\\{3x - 2y = 0.}\end{array}} \right.\)

Giải hệ phương trình, ta được \({\rm{x}} = 100,{\rm{y}} = 150\) (thoả mãn).

Vậy khối hợp kim thứ nhất có khối lượng 100 kg, khối hợp kim thứ hai có khối lượng 150 kg.

Gọi \(x\) (triệu đồng), \(y\) (triệu đồng) lần lượt là số tiền mà cửa hàng đã vay từ ngân hàng A, \({\rm{B}}(x > 0,y > 0)\).

Theo giả thiết, ta có phương trình: \(x + y = 600\).

Mặt khác, ta có phương trình: \(8{\rm{\% }} \cdot x + 9{\rm{\% }} \cdot y = 51,5\) hay \(8x + 9y = 5150\).

Ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 600}\\{8x + 9y = 5150}\end{array}} \right.\)

Từ phương trình (1), ta có: \(y = 600 - x\).

Thế \(y = 600 - x\) vào phương trình (2), ta được: \(8x + 9\left( {600 - x} \right) = 5150\)

Giải phương trình (3):

\(\begin{array}{*{20}{c}}{8x + 9\left( {600 - x} \right)\; = 5150\,\,\,\,}\\{8x + 5400 - 9x\; = 5150\,\,\,\,\,}\\{ - x + 5400\; = 5150\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{x\; = 250}\end{array}\)

Thay \(x = 250\) vào phương trình \(y = 600 - x\), ta có:

Do đó, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {250;350} \right)\).

Vậy số tiền mà cửa hàng đã vay từ ngân hàng \({\rm{A}},{\rm{B}}\) lần lượt là 250 triệu đồng, 350 triệu đồng.

Gọi \(x\) (tấn), \(y\) (tấn) lần lượt là khối lượng xi măng loại I, loại II trung bình mỗi ngày nhà máy sản xuất đ̛ược với \(x > 0,y > 0\). Ta lập được hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0,5x + 0,8y = 1700}\\{0,3x + 0,45y = 975}\end{array}} \right.\)

Giải hệ phương trình, ta tìm được \(x = 1000\) (thoả mãn \(x > 0\)) và \(y = 1500\) (thoả mãn \(y > 0\)). Vậy khối lượng xi măng loại \(I\) và loại II trung bình mỗi ngày nhà máy sản xuất được lần lượt là 1000 tấn và 1500 tấn.

Gọi \(x\) (triệu đồng), \(y\) (triệu đồng) lần lượt là số tiền mà bác Lan đầu tư vào trái phiếu và gửi tiết kiệm ngân hàng với \(x > 0,y > 0\). Ta lập được hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{r}}{x + y}&{\; = 500}\\{0,07x + 0,06y}&{\; = 32}\end{array}} \right.\)

Giải hệ phương trình, ta tìm được \(x = 200\) (thoả mãn \(x > 0\)) và \(y = 300\) (thoả mãn \(y > 0\)). Vậy số tiền mà bác Lan đầu tư vào trái phiếu và gửi tiết kiệm ngân hàng lần lượt là 200 triệu đồng và 300 triệu đồng.

Gọi \(x\left( {{\rm{\;km}}} \right)\) là quãng đường \(AB\) và \(y\) (giờ) là thời gian ô tô dự định đi với \(x > 0\), \(y > \frac{1}{2}\). Ta lập được hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{r}}{\frac{x}{{40}} - y}&{ = \frac{3}{2}}\\{y - \frac{x}{{60}}}&{ = \frac{1}{2}}\end{array}{\rm{\;hay\;}}\left\{ {\begin{array}{*{20}{r}}{x - 40y}&{ = 60}\\{ - x + 60y}&{ = 30}\end{array}} \right.} \right.\)

Giải hệ phương trình, ta tìm được \(x = 240\) (thoả mãn \(x > 0\)) và \(y = 4,5\) (thoả mãn \(y > \frac{1}{2}\)). Vậy quãng đường \(AB\) dài \(240{\rm{\;km}}\) và thời gian ô tô dự định đi là 4,5 giờ.

Ta lập được hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{r}}{\frac{{\left( {7 + 11} \right)y}}{2} - 4x}&{ = 69}\\{2x}&{ = y - 3}\end{array}{\rm{\;hay\;}}\left\{ {\begin{array}{*{20}{r}}{ - 4x + 9y}&{ = 69}\\{2x - y}&{ = - 3}\end{array}} \right.} \right.\)

Giải hệ phương trình, ta tìm được \(x = 3\) và \(y = 9\).

Gọi \(x,y\) lần lượt là số ngày làm riêng để hoàn thành công việc của đội thứ nhất, đội thứ hai với \(x > 0,y > 0\). Khi đó, trong mỗi ngày thì đội thứ nhất làm được \(\frac{1}{x}\) công việc và đội thứ hai làm được \(\frac{1}{y}\) công việc. Ta lập được hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{2}{x} + \frac{2}{y} = 1}\\{\frac{4}{x} + \frac{1}{y} = 1}\end{array}} \right.\)

Coi \(\frac{1}{x}\) và \(\frac{1}{y}\) là hai ẩn và giải hệ phương trình, ta tìm được \(\frac{1}{x} = \frac{1}{6}\) và \(\frac{1}{y} = \frac{1}{3}\). Suy ra \(x = 6\) (thoả mãn \(x > 0\)) và \(y = 3\) (thoả mãn \(y > 0\)). Vậy thời gian làm riêng để hoàn thành công việc của đội thứ nhất và đội thứ hai lần lượt là 6 ngày và 3 ngày.

Đổi: 30 triệu đồng = 30000 nghìn đồng.

Gọi \(x\) là số lượng đĩa CD mà anh Hưng và ban nhạc của anh cần bán để hoà vốn.

Khi đó, điều kiện của ẩn là \(x \in {\mathbb{N}^*}\).

Gọi \(y\) (nghìn đồng) là số tiền khi anh Hưng và ban nhạc hoà vốn. Khi đó, điều kiện của ẩn là \(y > 0\).

Số tiền anh Hưng và ban nhạc bỏ ra để thu âm và sản xuất \(x\) đĩa là \(30000 + 8x\) (nghìn đồng). Do đó, ta có phương trình \(y = 30000 + 8x\).

Mặt khác, doanh thu của ban nhạc khi bán hết \(x\) đĩa là\(20x\)(nghìn đồng). Do đó, ta có phương trình \(y = 20x\).

Ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = 30000 + 8x}\\{y = 20x.}\end{array}} \right.\)

Thế hệ thức thứ hai vào phương trình thứ nhất trong hệ ta được \(20x = 30000 + 8x{\rm{ hay }}x = 2500.\)

Do đó, \(y = 50000\). Ta có \(x = 2500,y = 50000\) thoả mãn điều kiện của ẩn.

Vậy ban nhạc đó cần bán 2500 đĩa CD để hoà vốn và doanh thu khi hoà vốn là 50000 nghìn đồng, tức là 50 triệu đồng.

Gọi giá mỗi cuốn sách mới và cũ lần lượt là \(x,y\) (đồng). Khi đó, điều kiện của ẩn là \(x > 0,y > 0\).

Theo đề bài, Mai chi 112500 đồng để mua 3 cuốn sách mới và 4 cuốn sách cũ nên ta có phương trình

\(3x + 4y = 112500.\)

Linh chi 157500 đồng để mua 10 cuốn sách cũ và 3 cuốn sách mới nên ta có phương trình \(3x + 10y = 157500\)

Ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x + 4y = 112500}\\{3x + 10y = 157500.}\end{array}} \right.\)

Trừ từng vế hai phương trình của hệ ta được \(6y = 45000\) hay \(y = 7500\). Thay \(y = 7500\) vào phương trình thứ nhất ta được \(x = 27500\). Ta có \(x = 27500,y = 7500\) thoả mãn điều kiện của ẩn.

Vậy giá mỗi cuốn sách mới và cũ lần lượt là 27500 đồng và 7500 đồng.

Gọi \(v\) là vận tốc riêng của máy bay (tính bằng dặm/giờ) và \(w\) là vận tốc gió (tính bằng dặm/giờ). Khi đó, để vận tốc máy bay thắng vận tốc gió thì điều kiện của ẩn là \(v > w > 0\).

Khi máy bay đi từ Atlanta đến Paris (đi về phía đông), thời gian di chuyển là 8 giờ và khoảng cách là 4000 dặm, nên ta có phương trình\(v + w = \frac{{4000}}{8} = 500.\)

Khi máy bay đi từ Paris về Atlanta (đi về phía tây), thời gian di chuyển là 10 giờ và khoảng cách là 4000 dặm, nên ta có phương trình \(v - w = \frac{{4000}}{{10}} = 400.{\rm{ }}\)

Ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{v + w = 500}\\{v - w = 400.}\end{array}} \right.\)

Cộng từng vế hai phương trình của hệ ta được \(2v = 900\) hay \(v = 450\).

Thay giá trị này vào phương trình thứ nhất của hệ ta được \(w = 50\).

Ta có \(v = 450,w = 50\) thoả mãn điều kiện của ẩn.

Vậy vận tốc riêng của máy bay là 450 dặm/giờ và vận tốc gió là 50 dặm/giờ.

Gọi số tuần sau tuần đầu tiên cho đến tuần mà hai người có độ dài quãng đường chạy bằng nhau (tính cả tuần mà hai người chạy với quãng đường bằng nhau) là \(n\) và quãng đường ở tuần thứ \(n + 1\) là \(d\). Khi đó, điều kiện của ẩn là \(n,d > 0;n,d \in \mathbb{N}\).

Từ kế hoạch của Hùng thì ta có phương trình là \(d = 4 + n\).

Mặt khác, từ kế hoạch của Huy ta có phương trình \(d = 1 + 2n\).

Ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{d = 4 + n}\\{d = 1 + 2n}\end{array}} \right.\)

Từ đây, ta có \(4 + n = 1 + 2n\) hay \(n = 3\). Thay \(n = 3\) vào phương trình thứ nhất của hệ ta được \(d = 7\). Ta có \(n = 3,d = 7\) thoả mãn điều kiện của ẩn.

Vậy ở tuần thứ 4, hai người có tổng quãng đường chạy bằng nhau và bằng 7 km.