123 bài tập Nón trụ cầu và hình khối có lời giải
123 câu hỏi
Một cái ly thủy tinh (như hình vẽ), phần phía trên là hình nón có chiều cao 7 cm, có đáy đường tròn bán kính 4 cm. Biết thể tích hình nón được tính theo công thức \({\rm{V}} = \frac{1}{3}\pi {{\rm{r}}^2}\;{\rm{h}}\) với r là bán kính đường tròn đáy của hình nón; h là chiều cao của hình nón.
a) Tính thể tích của cái ly (bề dày của ly không đáng kể).
b) Biết trong ly đang chứa rượu với mức rượu đang cách miệng ly là 3 cm. Hỏi thể tích còn lại của ly rượu chiếm bao nhiêu phần của thể tích ly. (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai; lấy \(\pi \approx 3,14\).)
a) Thể tích của cái ly: \({{\rm{V}}_1} = \frac{1}{3}\pi {\rm{O}}{{\rm{A}}^2} \cdot {\rm{OC}} = \frac{1}{3}\pi \cdot {4^2} \cdot 7 = \frac{{112}}{3}\pi \approx 117,23\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\)
b) Ta có: \({\rm{IB//OA}} \Rightarrow \frac{{{\rm{CI}}}}{{{\rm{CO}}}} = \frac{{{\rm{IB}}}}{{{\rm{OA}}}}\) (hệ quả của định lí Thales) \( \Rightarrow {\rm{IB}} = \frac{{{\rm{CI}} \cdot {\rm{OA}}}}{{{\rm{CO}}}} = \frac{{(7 - 3) \cdot 4}}{7} = \frac{{16}}{7}\)
Thể tích rượu có trong ly: \({{\rm{V}}_2} = \frac{1}{3}\pi {\rm{I}}{{\rm{B}}^2} \cdot {\rm{CI}} = \frac{1}{3}\pi \cdot {\left( {\frac{{16}}{7}} \right)^2} \cdot 4 = \frac{{1024}}{{147}}\pi \left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\)
Thể tích còn lại trong ly (phần không chứa rượu): \({{\rm{V}}_3} = {{\rm{V}}_1} - {{\rm{V}}_2} = \frac{{112}}{3}\pi - \frac{{1024}}{{147}}\pi = \frac{{1488}}{{49}}\pi \)
Vậy thể tích còn lại của ly rượu chiếm \(\frac{{{{\rm{V}}_3}}}{{\;{{\rm{V}}_1}}} \cdot 100\% \approx 81,34\% \) thể tích ly.
Vừa qua trên mạng xã hội, nhiều người dùng truyền tai nhau hình ảnh về một hiện tượng tự nhiên vô cùng kỳ lạ, xuất hiện vào sáng ngày 24/11/2022. Được biết, bức ảnh này được chụp lại núi Bà Đen, một địa điểm du lịch vô cùng nổi tiếng của Tây Ninh.
Trong hình ảnh, đỉnh núi được bao phủ bởi một lớp mây trắng xóa. Không chỉ có vậy, những đám mây còn tạo thành một lớp “vỏ” có phần kỳ bí. Nhiều người gọi đây là hiện tượng “mây vờn”, có người nhận xét trông đám mây như một chiếc nón. Ước tính chiều cao của nón là 200 m, bán kính đáy của nón là 300 m, độ dày đám mây là \(l = 100\;m\). Tính thể tích đám mây?
Biết thể tích hình nón là \(V = \frac{1}{3}\pi {R^2}\;h\) (trong đó \(R\) là bán kính đường tròn đáy; \(h\) là chiều cao hình nón, lấy \(\pi \approx 3,14\), các kết quả làm tròn chữ số thập phân thứ nhất).
Thể tích hình nón lớn: \({{\rm{V}}_{{\rm{lon }}}} = \frac{1}{3}\pi {{\rm{R}}^2}\;{\rm{h}} = \frac{1}{3}\pi {{\rm{R}}^2}\;{\rm{h}} = \frac{1}{3} \cdot 3,14 \cdot {300^2} \cdot 200 = 18840000\left( {\;{{\rm{m}}^3}} \right)\)
Thể tích hình nón nhỏ:
\({{\rm{V}}_{{\rm{nho }}}} = \frac{1}{3}\pi {{\rm{R}}^2}\;{\rm{h}} = \frac{1}{3}\pi {{\rm{R}}^2}\;{\rm{h}} = \frac{1}{3} \cdot 3,14 \cdot {(300 - 100)^2} \cdot (200 - 100) = \frac{{12560000}}{3}\left( {\;{{\rm{m}}^3}} \right)\)
Thể tích đám mây là: \({{\rm{V}}_{{\rm{m\^a y }}}} = 18840000 - \frac{{12560000}}{3} = \frac{{43960000}}{3} \approx 14653333,3\left( {\;{{\rm{m}}^3}} \right)\)
Nón lá Câu thơ là một đặc trưng của xứ Huế. Nón thường được đan bằng các loại lá khác nhau như lá cọ, lá buông, rợ, tre, lá cối, lá hồ, lá du quy diệp chuyên làm nón,. Để làm ra một chiếc nón lá người thợ thủ công lấy từng chiếc lá, làm cho phẳng rồi lấy kéo cắt chéo đầu trên, rối lấy kim xâu chúng lại với nhau một lượt, sau đó xếp đều trên khuôn nón. Lá nón mỏng và cũng dễ hư khi gặp trời mưa nhiều nên các thợ thủ công đã tận dụng bẹ tre khô để làm lớp giữa hai lớp lá nón làm cho nón vừa cứng lại vừa bền. Đường kính của vòng tròn lớn nhất của chiếc nón khoảng 40 cm; chiều cao của chiếc nón là khoảng 19 cm. Hỏi cần bao nhiêu chiếc lá đã làm phẳng đề làm thành 1 chiếc nón lá, biết rằng diện tích 1 chiếc lá làm phẳng là \(72\;c{m^2}\), diện tích xung quanh của hình nón là \({S_{xq}} = \pi rl(\pi = 3,14\); làm tròn đến hàng đơn vị)
Diện tích xung quanh của hình nón là: \({{\rm{S}}_{{\rm{xq}}}} = \pi {\rm{rl}} = 3,14 \cdot \frac{{40}}{2} \cdot 19 \approx 1193\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\)
Số lượng chiếc lá phẳng cần là: \(1193:72 \approx 17\) (chiếc)
Một hình nón có bán kính đáy bằng \(5cm\) và diện tích xung quanh là \(65\pi \)\(c{m^2}\). Tính thể tích của hình nón đó.
Diện tích xung quang của hình nón là: \({S_{xq}} = \pi Rl = \pi 5l\)
Theo đề Câu, ta có \({S_{xq}} = 65\pi \Rightarrow 65\pi = \pi .5.l \Leftrightarrow l = 13\;cm\)
Gọi H là tâm của đường tròn đáy, AB là đường kính của (H), O là đỉnh của hình nón.
Xét \[\Delta OHA\]vuông tại H, có:
\[O{A^2} = O{H^2} + A{H^2} \Rightarrow O{H^2} = O{A^2} - A{H^2} = {13^2} - {5^2} = 169 - 25 = 144 \Rightarrow OH = 12\;cm\]
Thể tích của hình nón là: \(V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h = \frac{1}{3}\pi {.5^2}.12 = 100\pi \,(c{m^3})\)
Nón Huế là một hình nón có đường kính đáy bằng \[40cm\], độ dài đường sinh là \[30cm\]. Người ta lát mặt xung quanh hình nón bằng ba lớp lá khô. Tính diện tích lá cần dùng đề tạo nên một chiếc nón Huế như vậy (làm tròn \[c{m^2}\])
Chiếc nón Huế là một hình nón có đường kính đáy \(d = 40\,\left( {cm} \right)\), nên bán kính đáy \(R = \frac{d}{2} = \frac{{40}}{2} = 20\,\left( {cm} \right)\)
Độ dài đường sinh: \(l = 30\,\left( {cm} \right)\)
Vậy diện tích xung quanh của hình nón này là: \(S = \pi Rl = 3,14.20.30 = 1884\,\left( {c{m^2}} \right)\)
Vì người ta lợp nón bằng 3 lớp lá, nên diện tích lá cần dùng để tạo nên một chiếc nón Huế sẽ là: \(1884.3 = 5652\,\left( {c{m^2}} \right)\).
Chiến nón do làng Chuông (Thanh Oai – Hà Nội) sản xuất là hình nón có đường sinh bằng \(30{\rm{cm}}\), đường kính bằng \(40{\rm{cm}}\). Người ta dùng hai lớp lá để phủ lên bề mặt xung quanh của nón.
Minh họa hình nón như hình vẽ dưới đây.
Trong đó, đường sinh \[l = SA = 30\,{\rm{cm}}\]
Đường kính \(2r = AB = 40\,{\rm{cm}}\) \( \Rightarrow r = 40:2 = 20\,{\rm{cm}}\).
Lớp lá phủ lên bề mặt xung quanh của chiếc nón chính là diện tích xung quanh của hình nón \(\left( {{S_{xq}}} \right)\).
\({S_{xq}} = \pi rl = \pi .20.30 = 600\pi \)\(\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\)
Vì người ta dùng 2 lớp lá để phủ lên mặt xung quanh của nón nên diện tích lá cần dùng để làm một chiếc nón là:
\(2.{S_{xq}} = 2.600\pi = 1200\pi \)\(\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\)
Vậy diện tích lá cần dùng để làm một chiếc nón là \(1200\pi \)\({\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\).
Nhân ngày 8/3, Hoa định mua một chiếc nón lá để tặng cô Anna - cô giáo dạy tiếng Anh. Chiếc nón có dạng hình nón với đường kính của đáy là 40cm, chiều cao của nón là 20cm. Hãy tính được diện tích lá cần dùng để phủ kín một lớp lên bề mặt của chiếc nón?
Độ dài đường sinh của hình nón là: l =\(l = \sqrt {{{20}^2} + {{\left( {\frac{{40}}{2}} \right)}^2}} = 20\sqrt 2 cm\)
Diện tích lá cần sử dụng chính là diện tích xung quanh của hình nón là:
\({S_{xq}} = \pi Rl = 20.20\sqrt 2 \pi = 400\sqrt 2 \pi (c{m^2})\).
Nhà hát Cao Văn Lầu, Trung tâm triển lãm văn hóa nghệ thuật tỉnh Bạc Liêu có hình dáng \(3\) chiếc nón lá lớn nhất Việt Nam, mái nhà hình nón làm bằng vật liệu composite và được đặt hướng vào nhau. Em hãy tính thể tích của một mái nhà hình nón biết đường kính là \(45m\) và chiều cao là \(24m\) (lấy \(\pi \approx 3,14\), kết quả làm tròn đến hàng đơn vị, ba hình nón có bán kính bằng nhau).
Mái nhà hình nón đường kính là \(45m\) suy ra bán kính \(R = \frac{{45}}{2}\)\(m\).
Thể tích của một mái nhà hình nón là \(V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h = \frac{1}{3} \cdot 3,24.{\left( {\frac{{45}}{2}} \right)^2}.24 = 12717\,{m^3}\).
Một hình nón có bán kính đáy bằng \(5\)cm và diện tích xung quanh là \(65\pi \,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\). Tính thể tích của khối nón đó.
Ta có:\({S_{xq}} = \pi rl\)\( = \pi .5.AB = 65\pi \)\( \Rightarrow AB = 13\) cm.
Áp dụng dịnh lý Pytago cho \(\Delta OAB\) vuông tại \(O\) có:
\(A{B^2} = O{A^2} + O{B^2}\)\( \Rightarrow {13^2} = O{A^2} + {5^2}\)\( \Rightarrow O{A^2} = 144\)\( \Rightarrow OA = 12\)cm
Vậy thể tích khối nón là:\(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h\)\( \Rightarrow V = \frac{1}{3}\pi .O{B^2}.OA\)\( \Rightarrow V = \frac{1}{3}\pi {.5^2}.12 = 100\pi \,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\)
Nón lá là biểu tượng cho sự dịu dàng, bình dị, thân thiện của người Phụ nữ Việt Nam từ ngàn đời nay; nón lá Câu thơ là một đặc trưng của xứ Huế. Một chiếc nón lá hoàn thiện cần qua nhiều công đoạn từ lên rừng hái lá, rồi sấy lá, mở, ủi, chọn lá, xây độn vànhchằm, cắt lá, nức vành, cắt chỉ,… Nhằm làm đẹp và tôn vinh thêm cho chiếc nón lá xứ Huế, các nghệ nhân còn ép tranh và vài dòng thơ vào giữa hai lớp lá:
“Ai ra xứ Huế mộng mơ
Mua về chiếc nón Câu thơ làm quà”.
Khung của nón lá có dạng hình nón được làm bởi các thanh gỗ nối từ đỉnh tới đáy như các đường sinh (l), 16 vành nón được làm từ những thanh tre mảnh nhỏ, dẻo dai uốn thành những vòng tròn có đường kính to, nhỏ khác nhau, cái nhỏ nhất to bằng đồng xu.
– Đường kính \[\left( {d = 2r} \right)\] của chiếc nón lá khoảng 40 (cm);
– Chiều cao \(\left( h \right)\) của chiếc nón lá khoảng 19 (cm).
a) Tính độ dài của thanh tre uốn thành vòng tròn lớn nhất của vảnh chiếc nón lá.(không kể phần chắp nối, tính gần đúng đến 2 chữ số thập phân, biết\(\pi \approx 3,14\)).
b) Tính diện tích phần lá phủ xung quanhcủa chiếc nón lá. (không kể phần chắp nối,tính gần đúng đến 2 chữ số thập phân). Biết diện tích xung quanhcủa hình nón là \(S = \pi .R.l\).
Lời giải
a) \(C = \pi d\) thay số vào \( \Rightarrow C \simeq 125,6\)cm.
b) \(l = \sqrt {{{20}^2} + {{19}^2}} = \sqrt {761} \)(cm).
\(S = \pi .R.l\)thay số \( \Rightarrow S = 1732,42\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\).
Một đống cát có dạng hình nón có chu vi đáy là \(25,12\;{\rm{m}}\) và độ cao là \(1,5\;{\rm{m}}\).
a) Tính thể tích của đống cát trên? Biết công thức tính chu vi đường tròn là \({\rm{C}} = 2\pi {\rm{R}}\) và công thức tính thể tích hình nón là \({\rm{V}} = \frac{1}{3}\pi {{\rm{R}}^2}\;{\rm{h}}\) (trong đó R là bán kính đường tròn đáy; h là chiều cao hình nón, lấy \(\pi = 3,14\) )
b) Người ta dùng xe cải tiến để vận chuyển đống cát đó đến khu xây dựng. Biết thùng chứa của xe cải tiến có dạng hình hộp chữ nhật có kích thước dài 1 m, rộng 6 dm và cao 3 dm. Trong mỗi chuyến xe, thùng xe có thể chứa nhiều hơn thể tích thực của nó là \(10\% \) để vận chuyển được nhiều cát hơn. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu chuyến xe cải tiến để chuyển hết đống cát trên?
a) Hình nón có chu vi đáy là \(25,12\;{\rm{m}}\) nên ta có:\({\rm{C}} = 2\pi {\rm{R}} = 25,12 \Leftrightarrow {\rm{R}} = \frac{{25,12}}{{2.3,14}} = 4(\;{\rm{m}})\)
Thể tích của đống cát trên: \({\rm{V}} = \frac{1}{3}\pi {{\rm{R}}^2}\;{\rm{h}} = \frac{1}{3} \cdot 3,14 \cdot {4^2} \cdot 1,5 = 25,12\left( {\;{{\rm{m}}^3}} \right)\)
Vậy thể tích của đống cát là \(25,12\;{{\rm{m}}^3}\).
b) \(6{\rm{dm}} = 0,6\;{\rm{m}};3{\rm{dm}} = 0,3\;{\rm{m}}\).
Thể tích của thùng chứa là \(1.0,6.0,3 = 0,18\left( {\;{{\rm{m}}^3}} \right)\)
Trong mỗi chuyến xe, thùng xe có thể chứa: \(0,18 + 0,18.10\% = 0,198\left( {\;{{\rm{m}}^3}} \right)\)
Số chuyến xe để có thể chuyển hết đống cát
Khi đó \(n = \frac{{25,12}}{{0,198}} \approx 126,87 \approx 127\) chuyến.
Vậy cần ít nhất 127 chuyến xe để chuyển hết đống cát.
Bạn Nam dự định tổ chức buổi tiệc sinh nhật và chọn loại ly có phần chứa nước dạng hình nón với bán kính đáy \(R = 4\;{\rm{cm}}\) và độ dài đường sinh \(l = 10\;{\rm{cm}}\) để khách uống nước trái cây.
a) Tính thể tích phần chứa nước của ly (ghi kết quả làm tròn đến hàng đơn vị). Biết công thức thể tích hình nón là \(V = \frac{1}{3}\pi {{\rm{R}}^2}\;{\rm{h}}\) (với R là bán kính đáy hình nón; h là chiều cao hình nón).
b) Bạn Nam cần chuẩn bị một số hộp nước trái cây có lượng nước trong mỗi hộp là 1,2 lít. Biết rằng buổi tiệc sinh nhật có 14 người (đã bao gồm Nam). Nếu mỗi người trung bình uống 3 ly nước trái cây và lượng nước rót bằng \(90\% \) thể tích ly thì bạn Nam cần chuẩn bị ít nhất bao nhiêu hộp nước trái cây? Biết 1 lít \( = 1000\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\).
a) Chiều cao phần chứa nước của ly là: \(h = \sqrt {{{10}^2} - {4^2}} = \sqrt {84} = 2\sqrt {21} (\;{\rm{cm}})\).
Thể tích phần chứa nước của ly là: \({{\rm{V}}_{{\rm{ly}}}} = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot {4^2} \cdot 2\sqrt {21} \approx 154\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).
b) Đổi \(154\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3} = 0,154\) lít
Lượng nước rót ra của một ly là: \(90\% .0,154 = 0,1386\) (lít).
Lượng nước mỗi bạn uống là: \(0,1386 \cdot 3 = 0,4158\) (lít).
Lượng nước 14 bạn uống là: \(0,4158.14 = 5,8212\) (lít).
Số hộp nước trái cây bạn Nam cần chuẩn bị là: \(5,8212:1,2 = 4,851 \approx 5\) (hộp).
Vậy bạn Nam cần chuẩn bị ít nhất 5 hộp nước trái cây.
Một chiếc xô hình nón cụt làm bằng tôn để đựng nước. Các bán kính đáy là \(14{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)\) và \(9{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)\), chiều cao là \[23{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)\]. Tính dung tích của xô.
Dung tích của xô là: \(V = \frac{{\pi .23}}{3}\left( {{{14}^2} + {9^2} + 14.9} \right) = \frac{{9269\pi }}{3}\left( {c{m^3}} \right)\).
Một chiếc xô bằng tôn dạng hình nón cụt. Các bán kính đáy là \[12\] cm và \[8\] cm, chiều cao là \[24\] cm. Tính diện tích tôn để làm xô (không kể diện tích các chỗ ghép và xô không có nắp).
Độ dài đường sinh của xô là : \[l = \sqrt {{{24}^2} + {{\left( {12 - 8} \right)}^2}} = 4\sqrt {37} \left( {{\rm{cm}}} \right)\].
Diện tích xung quanh của xô là : \[{S_{xq}} = {\rm{\pi }}\left( {{r_1} + {r_2}} \right)l = {\rm{\pi }}.\left( {12 + 8} \right).4.\sqrt {37} = 80\sqrt {37} {\rm{\pi }}\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\].
Diện tích đáy xô là : \[{S_d} = {\rm{\pi }}r_1^2 = 64{\rm{\pi }}\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\].
Diện tích tôn để làm xô là : \(S = {S_{xq}} + {S_d} = 80\sqrt {37} {\rm{\pi + 64\pi }}\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).
Người ta muốn làm một xô nước dạng chóp cụt như hình bên
a) Hãy tính diện tích tôn cần thiết để gò nên xô nước theo các kích thước đã cho (xem phần ghép mí không đáng kể)
b) Hỏi xô nước đã làm có thể chứa được tối đa bao nhiêu lít nước?
a) Diện tích tôn cần để gò nên cái xô:
\[{S_{xq}} = p\left( {R{\rm{ }} + {\rm{ }}r} \right)l \approx 3,14.\left( {20{\rm{ }} + {\rm{ }}10} \right).30 = 2826{\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\]
b) Thể tích của cái xô là:
\(V = \frac{1}{3}\pi h({R^2} + Rr + {r^2}) \approx \frac{1}{3}.3,14.25.({20^2} + 20.10 + {10^2}) \approx 18316\)(cm3)
Vậy xô đã làm có thể chứa được tối đa \[18,316\] lít nước.
Một xô đựng nước có dạng hình nón cụt. Đáy xô có đường kính là\[28\,{\rm{cm}}\], miệng xô là đáy lớn của hình nón cụt có đường kính là\[36\,{\rm{cm}}\]. Hỏi xô có thể chứa bao nhiêu lít nước nếu chiều cao của xô là\[32\,{\rm{cm}}\]?
Bán kính hai đáy lần lượt là 14cm và 18cm, chiều cao\[h = 32\,{\rm{cm}}\].
Thể tích xô là thể tích hình nón cụt
\(\begin{array}{l}V = \frac{1}{3}\pi h(R_1^2 + R_2^2 + {R_1}{R_2})\\\,\,\,\,\, = \frac{1}{3}\pi .32.({18^2} + {14^2} + 18.14)\\\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{3}\pi .32.772 \approx 25870 \approx 26000\,(c{m^3})\end{array}\)
Vậy xô nước chứa được khoảng 26 lít nước
a) Người ta muốn làm một xô nước dạng hình nón cụt như hình bên, hãy tính diện tích tôn cần thiết để gò nên xô nước theo các kích thước đã cho (kể cả đáy). Cho biết phần ghép mí không đáng kể.
b) Hỏi xô nước đã làm có thể chứa được 25 lít nước không?
Cho biết:- Diện tích xung quanh hình nón cụt: \({S_{xq}} = \pi .l.\left( {{r_1} + {r_2}} \right)\)- Thể tích hình nón cụt: \(V = \frac{1}{3}\pi .h.\left( {r_1^2 + r_2^2 + {r_1}{r_2}} \right)\)Với: \({r_1},{r_2}\) là các bán kính đáy; \(l\) là độ dài đường sinh; \(h\) là chiều cao.
Ta có hình minh họa
 |  |
a) Diện tích tôn cần dùng chính là diện tích xung quanh và diện tích đáy xô:
\(S = {S_{xq}} + {S_{(O')}} = \pi (20 + 10).30 + \pi {.10^2} = 1000\pi \approx 3141,6\,\)\(\left( {c{m^2}} \right)\)
b) Vẽ \[BC \bot \;OA\]tại\[C\].
Chiều cao chiếc xô:
\(OO' = BC = \sqrt {A{B^2} - A{C^2}} = \sqrt {{{30}^2} - {{\left( {20 - 10} \right)}^2}} = 20\sqrt 2 \)\((cm)\)
Thể tích xôlà
V = \(\frac{1}{3}\pi \left( {{{20}^2} + {{10}^2} + 20.10} \right).20\sqrt 2 \)\( = \frac{{14000\pi \sqrt 2 }}{3}\)
\( \approx \) 20 733,5\(\left( {c{m^3}} \right)\)\( \approx 20,7\left( {d{m^3}} \right) = 20,7\left( l \right) < 25\)\(\left( l \right)\)
Vậy xô nước không chứa được 25 lít nướcCho ….
Một xô đựng nước có dạng hình nón cụt (có các kích thước như hình). Đáy xô có đường kính là 20 cm, miệng xô là đáy lớn của hình nón cụt có đường kính 30 cm và chiều cao của xô là 22 cm.
a) Xô có thể chứa tối đa bao nhiêu lít nước? Biết rằng thể tích của hình nón cụt có \[R,r,h\] lần lượt là bán kính đáy lớn, bán kính đáy nhỏ và chiều cao là: \(V = \frac{1}{3}\pi h\left( {{R^2} + Rr + {r^2}} \right)\) (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
b) Bác Năm dùng hai xô nước để lấy nước từ một hồ để sử dụng trong sinh hoạt và trồng trọt. Gia đình bác sử dụng trung bình mỗi ngày 150 lít nước. Hỏi bác Năm cần phải lấy ít nhất bao nhiêu lần mỗi ngày (mỗi lần xách 2 xô) để phục vụ cho sinh hoạt và trồng trọt, biết rằng mỗi lần xách nước về thì lượng nước bị hao hụt khoảng \(5\% \).
a) Bán kính miệng xô là: \({\rm{R}} = \frac{{30}}{2} = 15(\;{\rm{cm}})\)
Bán kính đáy xô là: \({\rm{r}} = \frac{{20}}{2} = 10(\;{\rm{cm}})\)
Thay \({\rm{h}} = 22,{\rm{R}} = 15,{\rm{r}} = 10\) vào \({\rm{V}} = \frac{1}{3}\pi {\rm{h}}\left( {{{\rm{R}}^2} + {\rm{Rr}} + {{\rm{r}}^2}} \right)\), ta có:
\({\rm{V}} = \frac{1}{3}\pi \cdot 22 \cdot \left( {{{15}^2} + 15 \cdot 10 + {{10}^2}} \right) \Rightarrow {\rm{V}} = \frac{{10450}}{3}\pi \left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right) \Leftrightarrow {\rm{V}} = \frac{{209}}{{60}}\pi {\rm{ (l\'i t)}} \Leftrightarrow {\rm{V}} \approx 11{\rm{ (l\'i t)}}{\rm{. }}\)
Vậy xô có thể chứa tối đa 11 lít nước.
b) Lượng nước mỗi lần xách là: \(2 \cdot \frac{{209}}{{60}}\pi \cdot (100\% - 5\% ) = \frac{{3971}}{{600}}\pi \) (lít)
Bác Năm cần phải lấy ít nhất số lần là: \(150:\frac{{3971}}{{600}}\pi \approx 8\) lần.
Vậy bác Năm cần phải lấy ít nhất 8 lần.
Trong hình vẽ, 6 lon nước có dạng hình trụ được đặt sát nhau trong một thùng các-tông (carton) để bán. Đường kính và chiều cao của mỗi lon nước lần lượt là \(7cm\) và \(11cm\).
a) Tìm thể tích của 6 lon nước.
b) Tính thể tích phần trống trong thùng các-tông khi đựng 6 lon nước (làm tròn đến đơn vị \({\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\). Biết thể tích hình trụ được tính theo công thức: \({\rm{V}} = {{\rm{R}}^2}\pi \).h với R là bán kính đáy và h là đường cao của hình trụ)
a) Thể tích 6 lon nước \({\rm{V}} = 6 \cdot {\left( {\frac{7}{2}} \right)^2}\pi \cdot 11 = 2540\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\)
b) Thể tích phần trống trong thùng các-tông khi đựng 6 lon nước là: \(3.7.2.7.11 - 6.{\left( {\frac{7}{2}} \right)^2}.\pi .\left( {11} \right) = 694c{m^3}\)
Một nhà kính trồng rau sạch có dạng nửa hình trụ đường kính đáy là 30 m, chiều dài là 45 m. Người ta dùng màng nhà kính Politiv - Israel để bao quanh phần diện tích xung quanh nửa hình trụ và hai nửa đáy hình trụ. Khi thi công hao phí khoảng \(10\% \) diện tích nhà kính.
a) Tính diện tích phần màng cần cho nhà trồng rau trên (làm tròn đến hàng đơn vị). Biết \({{\rm{S}}_{{\rm{xq}}}} = 2\pi {\rm{Rh}};{{\rm{S}}_{\rm{d}}} = \pi {{\rm{R}}^2}\), trong đó \({{\rm{S}}_{{\rm{xq}}}}\) là diện tích xung quanh của hình trụ \({{\rm{S}}_{\rm{d}}}\) là diện tích đáy của hình trụ, h là chiều cao hình trụ, \(R\) là bán kính hình trụ.
b) Tính chi phí cần có để mua màng làm kính trên biết rằng màng có khổ rộng \(2,2\;{\rm{m}}\) và dài 100 m có giá 13000 đồng \(/{{\rm{m}}^2}\) (chỉ bán theo cuộn).
a) Bán kính đáy hình trụ là: \(30:2 = 15(\;{\rm{m}})\)
Diện tích xung quanh hình trụ là: \(2\pi \cdot 15 \cdot 45 = 1350\pi \left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\)
Diện tích 1 đáy hình trụ là: \(\pi \cdot {15^2} = 225\pi \left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\)
Diện tích toàn phần hình trụ là: \(1350\pi + 2.225\pi = 1800\pi \left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\)
Diện tích phần màng cần là: \(\frac{1}{2} \cdot 1800\pi \cdot (1 + 10\% ) = 990\pi \approx 3110\left( {\;{{\rm{m}}^2}} \right)\)
b) Diện tích màng của một cuộn là: \(2,2.100 = 220\left( {\;{{\rm{m}}^2}} \right)\)
Số tiền mua 1 cuộn màng là: \(220.13000 = 2860000\) (đồng)
Số cuộn cần mua làm màng là: \(3110:220 \approx 14,1\) (cuộn)
Vì chỉ bán theo cuộn nên để làm màng kính cần mua 15 cuộn.
Tổng chi phí cần có để mua màng làm kính là: \(15.2860000 = 42900000\) (đồng).
Bạn An đi mua giúp bố cây lăn sơn ở cửa hàng nhà bác Toàn. Một cây lăn sơn tường có dạng một khối trụ với bán kính đáy là \(5cm\) và chiều cao là \(23cm\) (hình vẽ bên). Nhà sản xuất cho biết sau khi lăn 1000 vòng thì cây sơn tường có thể bị hỏng. Hỏi bạn An cần mua ít nhất mấy cây lăn sơn tường biết diện tích tường mà bố bạn An cần sơn là \(100\;{{\rm{m}}^2}\)?
Diện tích xung quanh của cây lăn sơn: \({{\rm{S}}_{{\rm{xq}}}} = 2\pi {\rm{R}} \cdot {\rm{h}} = 2 \cdot \pi \cdot 2,5 \cdot 23 = 115\pi {\rm{c}}{{\rm{m}}^2} = 115\pi \cdot {10^{ - 4}}\;{{\rm{m}}^2}\)
Số cây lăn sơn cần mua để sơn được \(100\;{{\rm{m}}^2}:\frac{{100}}{{115 \cdot \pi \cdot {{10}^{ - 4}} \cdot 1000}} \approx 2,77 = 3\) cây.
Một ngôi biệt thự có 10 cây cột nhà hình trụ tròn, tất cả đều có chiều cao \(4,2\;{\rm{m}}\). Trong đó, 4 cây cột trước đại sảnh có đường kính 40 cm và 6 cây cột còn lại bên thân nhà có đường kính 26 cm. Chủ nhà dùng loại sơn giả đá để sơn 10 cây cột đó. Nếu giá của một loại sơn giả đá là 380000 đồng \(/{{\rm{m}}^2}\) (gồm cả tiền thi công) thì người chủ phải chi ít nhất bao nhiêu tiền để sơn 10 cây cột đó? (Số tiền làm tròn đến hàng nghìn).
Đổi \(40\;{\rm{cm}} = 0,4\;{\rm{m}},26\;{\rm{cm}} = 0,26\;{\rm{m}}\).
Diện tích cần sơn chính là tổng diện tích xung quanh của các hình trụ.
Tổng diện tích xung quanh của 4 cây cột đường kính 40 cm là: \({{\rm{S}}_1} = 4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot {{\rm{r}}_1} = 4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot 0,2 \cdot 4,2 = 6,72\pi \left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\)
Tổng diện tích xung quanh của 6 cây cột đường kính 26 cm là: \({{\rm{S}}_2} = 6 \cdot 2 \cdot \pi \cdot {{\rm{r}}_2} \cdot l = 6 \cdot 2 \cdot \pi \cdot 0,13 \cdot 4,2 = 6,552\pi \left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\)
Tổng diện tích xung quanh của 10 cây cột là: \({\rm{S}} = {{\rm{S}}_1} + {{\rm{S}}_2} = 6,72\pi + 6,552\pi = 13,272\pi \left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\)
Số tiền cần dùng là: \(13,272\pi \cdot 380000 \approx 15844000\) (đồng).
a) Một bồn nước inox hình trụ nằm ngang có kích thước đường kính là \(1900mm\), chiều dài \(6300mm\) chứa được 15000 lít nước. Hỏi thể tích nước bằng bao nhiêu phần trăm thể tích bồn (làm tròn tới hàng đơn vị).
b) Hệ thống chữa cháy tự động Sprinkler (xem hình) khi nhiệt độ cháy sẽ làm những Sprinkler tự động phun nước chữa cháy, một Sprinkler bảo vệ cho phần diện tích tối đa là \(12\;{{\rm{m}}^2}\), lưu lượng tối thiểu cho một Sprinkler là 3456 lít/giờ. Theo tiêu chuẩn phòng cháy chữa cháy của Việt Nam thì 1 Sprinkler hoạt động tối thiểu trong 0,5 giờ. Giả sử tầng hầm tòa nhà chung cư Carina Plaza rộng \(1200\;{{\rm{m}}^2}\) thì chung cư cần bao nhiêu bồn inox ở câu a để trữ nước cho hệ thống chữa cháy?
a) Thể tích bồn nước là: \({\left( {\frac{{1900}}{2}} \right)^2} \cdot 6300\pi = 1,8 \cdot {10^{10}}\left( {\;{\rm{m}}{{\rm{m}}^3}} \right) = 18000\) (lít)
Phần trăm thể tích nước là: \(\frac{{15000}}{{18000}} \cdot 100 \approx 83(\% )\)
b) Số Sprinkler cho \(1200\;{{\rm{m}}^2}\) là \(\frac{{1200}}{{12}} = 100\) (Sprinkler)
Số lít nước tối thiểu cho 1 Sprinkler hoạt động trong 1 giờ: \(3456.0,5 = 1728\) (lít)
Số lít nước tối thiểu cho 100 Sprinkler: \(1728.100 = 172800\) (lít)
Số bồn inox là: \(\frac{{172800}}{{15000}} \approx 12\) (bồn)
Vậy chung cư cần khoảng 12 bồn inox.
Hộp phô mai hình trụ có đường kính đáy \(12,2\;{\rm{cm}}\), chiều cao \(2,4\;{\rm{cm}}\).
a) Biết rằng 8 miếng phô mai được xếp nằm sát nhau vừa khít trong hộp. Hỏi thể tích một miếng phô mai là bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất)
b) Người ta gói từng miếng phô mai bằng một loại giấy đặc biệt. Giả sử phần giấy gói vừa khít miếng phô mai. Hãy tính diện tích phần giấy gói mỗi miếng phô mai. (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
a) Thể tích hộp phô mai là: \({\rm{V}} = {{\rm{S}}_{{\rm{dayy }}}} \cdot {\rm{h}} = \pi \cdot {\left( {\frac{{12,2}}{2}} \right)^2} \cdot 2,4 = 89,3\pi \left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).
Thể tích của một miếng phô mai là: \(\frac{{89,3\pi }}{8} \approx 35,1\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\).
b) Diện tích giấy gói mặt trên và dưới của miếng phô mai:
\(2\;{{\rm{S}}_{{\rm{quat }}}} = 2 \cdot \frac{{\pi {{\rm{R}}^2}{\rm{n}}}}{{360}} = 2 \cdot \frac{{\pi {{(12,2:2)}^2}(360:8)}}{{360}} = \frac{{3721}}{{400}}\pi \left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\)
Diện tích giấy gói hai mặt bên của miếng pho mai: \(2\;{{\rm{S}}_1} = 2(12,2:2) \cdot 2,4 = 29,28\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Diện tích giấy gói mặt trước của miếng phô mai: \({{\rm{S}}_2} = \frac{{2 \cdot \pi \cdot \frac{{12,2}}{2}}}{8} \cdot 2,4 = 3,66\pi \left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Diện tích giấy gói miếng phô mai là: \(\frac{{3721}}{{400}}\pi + 29,28 + 3,66\pi \approx 70\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Các ống hút nhựa thường khó phân hủy và gây hại cho môi trường. Mỗi ngày có 60 triệu ống hút thải ra môi trường gây hậu quả nghiêm trọng. Ngày nay người ta chủ động sản xuất các loại ống hút dễ phân hủy. Tại tỉnh Đồng Tháp có cơ sở chuyên sản xuất ông hút "thân thiện với môi trường" xuất khẩu ra thị trường thế giới và được nhiều nước ưa chuộng. Ông hút được làm từ bột gạo, các màu chiết xuất từ củ dền, lá dứa, bông sen, bông điên điển,.
Một ống hút hình trụ, đường kính 12 mm, bề dày ống 2 mm, chiều dài ống 180 mm. Em hãy tính xem để sản xuất mỗi ống thì thể tích bột gạo được sử dụng là bao nhiêu. (Biết thể tích hình trụ: \({\rm{V}} = \pi \cdot {{\rm{R}}^2}\).h với R là bán kính đáy và h là chiều cao; kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2 với \(\pi \approx 3,14\) ).
Thể tích của ống hút là: \(V = \pi \cdot {{\rm{R}}^2} \cdot {\rm{h}} = 3,14 \cdot {6^2} \cdot 180 = 20347,2\left( {\;{\rm{m}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).
Thể tích phần rỗng của ống hút là: \({\rm{V}} = \pi \cdot {{\rm{R}}_1}^2 \cdot {\rm{h}} = 3,14 \cdot {4^2} \cdot 180 = 9043,2\left( {\;{\rm{m}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).
Thể tích phần bột gạo để làm 1 ống hút là: \(20347,2 - 9043,2 = 11304\left( {\;{\rm{m}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).
Một cái chai có chứa một lượng nước, phần chứa nước là hình trụ có chiều cao 10 cm, khi lật ngược chai lại thì phần không chứa nước cũng là một hình trụ có chiều cao 8 cm (như hình vẽ bên). Biết thể tích của chai là \(1413\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\). Tính bán kính của đáy chai (giả sử độ dày của thành chai và đáy chai không đáng kể).
Gọi \({\rm{R}}({\rm{cm}})\) là bán kính đáy chai. \(({\rm{R}} > 0)\)
Thể tích nước trong chai (hình trụ có chiều cao 10 cm ) là: \({{\rm{V}}_1} = \pi {{\rm{R}}^2}.{{\rm{h}}_1} = 10\pi {{\rm{R}}^2}\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\)
Thể tích không chứa nước trong chai khi lật ngược chai (hình trụ có chiều cao 8 cm ) là: \({{\rm{V}}_2} = \pi {{\rm{R}}^2}\;{{\rm{h}}_2} = 8\pi {{\rm{R}}^2}\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\)
Thể tích của chai \(\left( {450\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\) là tổng thể tích của nước và phần không chứa nước trong chai khi lật ngược chai lại, nên ta có: \({{\rm{V}}_1} + {{\rm{V}}_2} = 450\pi \)
\(10\pi {R^2} + 8\pi {R^2} = 1413 \Leftrightarrow 18\pi {R^2} = 450\pi \Leftrightarrow {R^2} = 25 \Leftrightarrow R = 5\)
Vậy bán kính của đáy chai là 5 cm.
Có hai cốc thủy tinh hình trụ, cốc thứ nhất (hình A) có đường kính đáy là 30 cm, chiều cao 20 cm đựng đầy nước. Cốc thứ hai (hình B ) có đường kính đáy là 40 cm, chiều cao là 12 cm. Hỏi nếu đổ hết nước từ cốc thứ nhất sang cốc thứ hai nước có bị tràn ra ngoài hay không? Giải thích tại sao? (xem như bề dày của đáy cốc không đáng kể).
Thể tích của cốc A là \({{\rm{V}}_1} = {\rm{S}} \cdot {\rm{h}} = \pi \cdot {\left( {\frac{{30}}{2}} \right)^2} \cdot 20 \approx 14137,17\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\).
Thể tích của cốc B là \({{\rm{V}}_2} = {\rm{S}} \cdot {\rm{h}} = \pi \cdot {\left( {\frac{{30}}{2}} \right)^2} \cdot 12 \approx 15079,64\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\).
Vì \(14137,17 < 15079,64\).
Vậy cốc B có thể chứa được nước hơn cốc A nên sẽ không bị tràn.
Hãy tính thể tích của bình chữa cháy bột 4 kg có dạng hình trụ, biết chiều cao \(49\;\left( {cm} \right)\) và diện tích toàn phần là \(784\pi \left( {c{m^2}} \right)?\)
Ta có: \({S_{{\rm{tp}}}} = 2\pi \cdot {r^2} + 2\pi r \cdot h \Rightarrow 784\pi = 2\pi {r^2} + 2\pi r \cdot 49 \Rightarrow 2{r^2} + 98r - 784 = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{r_1} = - 56}&{{\rm{ (loai) }}}\\{{r_2} = 7}&{{\rm{ (nh\^a n }})}\end{array}} \right.\)
Thể tích bình chữa cháy là: \(V = \pi \cdot {r^2} \cdot h = \pi \cdot {7^2} \cdot 49 = 2401\pi \).
Anh Minh vừa mới xây một cái hồ trữ nước cạnh nhà có hình hộp chữ nhật kích thước\(2\;{\rm{m}} \times 2\;{\rm{m}} \times 1\;{\rm{m}}\). Hiện hồ chưa có nước nên anh Minh phải ra sông lấy nước. Mỗi lần ra sông anh gánh được 1 đôi nước đầy gồm hai thùng hình trụ bằng nhau có kích thước đáy \(0,2\;{\rm{m}}\), chiều cao \(0,4\;{\rm{m}}\).
a) Tính lượng nước \(\left( {{{\rm{m}}^3}} \right)\) anh Minh đổ vào hồ sau mỗi lần gánh (ghi kết quả làm tròn đến hai chữ số thập phân). Biết trong quá trình gánh nước về hao hụt khoảng \(10\% \) và công thức tính thể tích hình trụ là \({\rm{V}} = \pi {{\rm{R}}^2}\;{\rm{h}}\).
b) Hỏi anh Minh phải gánh ít nhất bao nhiêu lần để đầy hồ? Bỏ qua thể tích thành hồ.
a) Thể tích hình trụ: \({{\rm{V}}_{{\rm{tru}}}} = \pi {{\rm{R}}^2}\;{\rm{h}} = \pi \cdot 0,{2^2} \cdot 0,4 = 0,05\left( {\;{{\rm{m}}^3}} \right)\).
Lượng nước anh Minh đổ vào hồ trong mỗi lần gánh là: \({\rm{V}} = 2\;{{\rm{V}}_{{\rm{tru}}}} \times 90\% = 0,09\left( {\;{{\rm{m}}^3}} \right)\).
b) Thể tích cái hồ là: \({\rm{V}} = 2 \cdot 2 \cdot 1 = 4\).
Số lần gánh của anh Minh để đầy hồ là: \(\frac{4}{{0,09}} = 44,4\).
Vậy anh Minh cần gánh ít nhất 45 lần.
Có hai lọ thủy tinh hình trụ, lọ thứ nhất phía bên trong có đường kính đáy là \(30cm\), chiều cao \(20cm\), đựng đầy nước. Lọ thứ hai bên trong có đường kính đáy là \(40cm\), chiều cao \(12cm\). Hỏi nếu đổ hết nước từ trong lọ thứ nhất sang lọ thứ hai nước có bị tràn ra ngoài không ? Tại sao ? (Lấy \(\pi \approx 3,14\))
Gọi thể tích lọ thủy tinh có đường kính đáy là \(30cm\), chiều cao \(20cm\)là \({V_1}\) \( \Rightarrow {V_1} = \pi .{\left( {\frac{{30}}{2}} \right)^2}.20 \approx 3,14.4500\)
Gọi thể tích lọ thứ hai bên trong có đường kính đáy là \(40cm\), chiều cao \(12cm\) là \({V_2}\) \( \Rightarrow {V_2} = \pi .{\left( {\frac{{40}}{2}} \right)^2}.12 \approx 3,14.4800\)
Vậy \({V_1} < {V_2}\), do đó nếu đổ hết nước từ lọ thứ nhất sang lọ thứ 2 sẽ không bị tràn.
Có hai lọ thủy tinh hình trụ, lọ thứ nhất phía bên trong có đường kính đáy là \[30\] cm, chiều cao \[20\] cm, đựng đầy nước. Lọ thứ hai bên trong có đường kính đáy là \[40\] cm, chiều cao \[12\] cm. Hỏi nếu đổ hết nước từ trong lọ thứ nhất sang lọ thứ hai nước có bị tràn ra ngoài không? Tại sao? (Lấy \(\pi \approx 3,14\)).
\(V\)hình trụ 1 \[{\rm{ = }}\pi {r_1}^2{h_1} = 3,{14.15^2}.20 \approx 14130\,{\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\]\[\]
\(V\)hình trụ 2 \[{\rm{ = }}\pi {r_2}^2{h_2} = 3,{14.20^2}.12 \approx 15072{\rm{ }}\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\]
Vậy khi đổ nước từ lọ thứ nhất sang lọ thứ hai thì nước không bị tràn vì thể tích của lọ thứ hai lớn hơn thể tích của lọ thứ nhất.
Có hai lọ thủy tinh hình trụ, lọ thứ nhất phía bên trong có đường kính đáy là \[30\] cm, chiều cao \[20\] cm, đựng đầy nước. Lọ thứ hai bên trong có đường kính đáy là \[40\] cm, chiều cao \[12\] cm. Hỏi nếu đổ hết nước từ trong lọ thứ nhất sang lọ thứ hai nước có bị tràn ra ngoài không? Tại sao? (Lấy \(\pi \approx 3,14\)).
\(V\)hình trụ 1 \[{\rm{ = }}\pi {r_1}^2{h_1} = 3,{14.15^2}.20 \approx 14130\,{\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\]\[\]
\(V\)hình trụ 2 \[{\rm{ = }}\pi {r_2}^2{h_2} = 3,{14.20^2}.12 \approx 15072{\rm{ }}\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\]
Vậy khi đổ nước từ lọ thứ nhất sang lọ thứ hai thì nước không bị tràn vì thể tích của lọ thứ hai lớn hơn thể tích của lọ thứ nhất.
Một bồn nước inox có dạng một hình trụ với chiều cao là \[1,65\]m và diện tích đáy là\[0,42{\rm{ }}{m^2}\]. Hỏi bồn nước này đựng đầy được bao nhiêu mét khối nước? (Bỏ qua bề dày của bồn nước).
Bồn nước đựng được số mét khối nước là: \(1,65.0,42 = 0,693\left( {{m^3}} \right)\).
Tính diện tích tôn cần thiết để làm một cái thùng hình trụ có chiều cao là \(80\)(cm) và đáy có diện tích là \(5024\)\(\left( {c{m^2}} \right)\) (không tính diện tích các chỗ mối ghép và nắp thùng). Lấy \(\pi = 3,14\).
Gọi bán kính đáy, chiều cao, diện tích xung quanh và diện tích đáy của thùng hình trụ lần lượt là \(r\)(cm), \(h\) (cm), \({S_{xq}}\)(cm2), \({S_{\rm{d}}}\) (cm2).
Vì \({S_d} = \pi {r^2}\) nên bán kính đáy là : \(r = \sqrt {\frac{{{S_d}}}{\pi }} \approx \sqrt {\frac{{5024}}{{3,14}}} = \sqrt {1600} = 40\) (cm).
Diện tích xung quanh của hình trụ là : \({S_{xq}} = 2\pi R.h \approx 2.3,14.40.80 = 20096\) (cm2).
Vậy diện tích tôn cần thiết để làm thùng là :\({S_{xq}} + {S_d} \approx 20096 + 5024 = 25120\) (cm2).
Bạn Toán đi mua giúp bố cây lăn sơn ở cửa hàng nhà bác Học. Một cây lăn sơn tường có dạng một khối trụ với bán kính đáy là \(5{\rm{ cm}}\) và chiều cao là \(23{\rm{ cm}}\) (hình vẽ bên). Nhà sản xuất cho biết sau khi lăn \(1000\) vòng thì cây sơn tường có thể bị hỏng. Hỏi bạn Toán cần mua ít nhất mấy cây lăn sơn tường biết diện tích tường mà bố bạn Toán cần sơn là \(100{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}\). (Cho \(\pi = 3,14\))
Đổi \(5{\rm{ cm }} = {\rm{ }}0,05{\rm{ m}}\), \(23{\rm{ cm }} = {\rm{ }}0,23{\rm{ m}}\).
Diện tích tường được sơn khi lăn cây lăn sơn 1 vòng bằng diện tích xung quanh của hình trụ có bán kính \(0,05{\rm{ m}}\) và chiều cao \(0,23{\rm{ m}}\).
Diện tích xung quanh của hình trụ bằng:\({S_{xq}} = 2\pi rh = 2 \times 3,14 \times 0,05 \times 0,23 = 0,023\pi \) \(\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\)
Diện tích mỗi cây sơn có thể sơn được là \(1000 \times {S_{xq}} = 23\pi {\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Vì \(\frac{{100}}{{23\pi }} \approx 1,38\) nên số cây lăn sơn tối thiểu cần phải mua là \(2\) cây.
Tính diện tích tôn cần thiết để làm một cái thùng hình trụ có chiều cao là \(80\)(cm) và đáy có diện tích là \(5024\)\(\left( {c{m^2}} \right)\) (không tính diện tích các chỗ mối ghép và nắp thùng). Lấy \(\pi = 3,14\).
Gọi bán kính đáy, chiều cao, diện tích xung quanh và diện tích đáy của thùng hình trụ lần lượt là \(r\)(cm), \(h\) (cm), \({S_{xq}}\)(cm2), \({S_{\rm{d}}}\) (cm2).
Vì \({S_d} = \pi {r^2}\)nên bán kính đáy là :\(r = \sqrt {\frac{{{S_d}}}{\pi }} \approx \sqrt {\frac{{5024}}{{3,14}}} = \sqrt {1600} = 40\) (cm).
Diện tích xung quanh của hình trụ là : \({S_{xq}} = 2\pi R.h \approx 2.3,14.40.80 = 20096\) (cm2).
Vậy diện tích tôn cần thiết để làm thùng là :\({S_{xq}} + {S_d} \approx 20096 + 5024 = 25120\) (cm2).
Một chai dung dịch rửa tay khô hình trụ cao \(12\)cm, đường kính đáy bằng \(5\)cm. Tính thể tích chai dung dịch đó.
Gọi \(d\), \(r\) thứ tự là đường kính và bán kính mặt đáy của chai dung dịch.
\(d = 5\,cm\)\( \Rightarrow r = 2,5\,cm\).
Thể tích chai dung dịch đó là: \(V = \pi {r^2}h = {\left( {2,5} \right)^2}.12\pi = 75\pi \left( {c{m^3}} \right)\)
Một lon coca chiều cao là \[11,7cm\]; bán kính đáy bằng \[3cm\]. Hỏi \[3\] lon coca như vậy có đổ đầy một chai 1 lít không? (lấy \(\pi \approx 3,14\) và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất )
Lon coca có dạng là một hình trụ cao \[11,7cm\] và bán kính đáy \[3cm\]. Thể tích của một lon coca là: \(V = Sh = \pi {R^2}h \approx 3,{14.3^2}.11,7 \approx 330,6\;\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).
Thể tích của 3 lon coca là \(330,6.3 = 991,8\,\;\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).
Vì \[991,8\;\,c{m^{\rm{3}}} < 1\left( l \right) = 1000\,\;c{m^3}\] nên 3 lon coca như vậy không thể đổ đầy một chai 1 lít.
Một tàu đánh cá khi ra khơi cần mang theo \[50\] thùng dầu, mỗi thùng dầu coi là hình trụ có chiều cao là \[90\]cm, đường kính đáy thùng là \[60\]cm. Hãy tính xem lượng dầu tàu phải mang theo khi ra khơi là bao nhiêu lít (lấy \[\pi = 3,14\] kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?
Bán kính của đáy thùng dầu là \(R = 60:2 = 30\) (cm)
Thể tích của mỗi thùng dầu là \(V = \pi {R^2}h = 3,{14.30^2}.90 = 254340\)\[\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\]hay \(V = 254,34\)\[\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\]
\( \Rightarrow \) Thể tích của \(50\) thùng dầu là \(254,34.50 = 12717\)\[\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\]hay \(12717\) (lít).
Vậy khi ra khơi tàu phải mang theo \(12717\) lít dầu.
Người ta làm một thùng chứa nước dạng hình trụ không có nắp bằng tôn. Diện tích tôn tối thiểu cần để làm thùng đó bằng \(5\pi \)\[{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\] với \(\pi \approx 3,14\). Tính thể tích của thùng đó biết chiều cao của thùng bằng đường kính đáy (làm tròn đến hai chữ số thập phân).
Gọi bán kính hình tròn đáy của thùng chứa nước hình trụ là \(r\) (m) (Điều kiện: \(r > 0\))
\( \Rightarrow \) Chiều cao của thùng chứa nước là \(h = 2r\) (m)
\( \Rightarrow \) Diện tích xung quanh và một đáy của thùng chứa nước là: \(S = 2\pi rh + \pi {r^2} = 5\pi {r^2}\) (\[{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\])
Vì diện tích tôn tối thiểu cần để làm thùng đó bằng \(5\pi \)\[{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\] nên ta có phương trình:
\(5\pi {r^2} = 5\pi \Leftrightarrow {r^2} = 1 \Leftrightarrow r = 1\) (vì \(r > 0\))
Vậy thể tích thùng chứa nước là: \(V = \pi {r^2}h = 3,{14.1^2}.2 = 6,28\) \[{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\]
Lon nước ngọt hình trụ có đường kính đáy là \(5\) cm, chiều cao là \(12\) cm. Tính thể tích lon nước ngọt? (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ 2 và lấy \(\pi \approx 3,14\))
Lon nước ngọt đó có bán kính đáy \(r = 2,5\)cm; chiều cao \(h = 12\) cm. Thể tích của lon nước đó là: \(V = \pi {r^2}h = 3,14.{\left( {2,5} \right)^2}.12 = 235,5\) (\({\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\))
Một chiếc cốc hình trụ có đường kính đáy là \(10\) cm, chiều cao bằng \(\frac{6}{5}\) đường kính đáy. Tính thể tích của chiếc cốc đó.
Chiếc cốc hình trụ có đường kính đáy là \(10cm\) thì bán kính đáy \(r = \frac{{10}}{2} = 5cm\)
Chiều cao của chiếc cốc hình trụ là: \(\frac{6}{5}.10 = 12cm\)
Suy ra thể tích của chiếc cốc đó là \(V = \pi .{r^2}.h \approx 3,{14.5^2}.12 = 942\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\)
Một téc nước hình trụ mà phía trong có đường kính đáy là \(0,6\,m\) chiều cao \(1\,m\). Tính thể tích nước chứa đầy trong 45 téc như vậy.
Thể tích của téc nước hình trụ là: \(V = \pi {R^2}h\).
Theo đề ta có: \(d = 0,6\,\,\left( m \right) \Rightarrow R = 0,3\,\,\left( m \right)\).
Vậy thể tích của 1 téc đầy nước là: \(V = \pi .0,{3^2}.1 = 0,09\pi \approx 0,2827\,\left( {{m^3}} \right)\).
Vậy thể tích nước được chứa đầy trong 45 téc nước như trên là: \(\frac{{81\pi }}{{20}} \approx 45.0,2827 = 12,723\,\left( {{m^3}} \right)\).
Một lon nước ngọt hình trụ có đường kính đáy là \(5\) cm, độ dài trục là \(12\)cm. Tính diện tích toàn phần của lon nước hình trụ đó.
Chiều cao của lon nước là \(h = 12\)(cm)
Bán kính đáy của lon nước hình trụ là \(R = 5:2 = 2,5\) (cm)
Diện tích toàn phần của lon nước hình trụ là :
\(S = 2\pi Rh + 2\pi {R^2} = 2\pi .2,5.12 + 2\pi .2,{5^2} = 72,5\pi \)(cm2)
Một chiếc cốc thủy tinh hình trụ có đường kính đáy là 6 cm, chiều cao 12 cm. Tính lượng nước chứa được khi rót nước đầy cốc.
Bán kính đáy: \(r = 6:2 = 3\)cm.
Thể tích của cốc nước: \(V = \pi .{r^2}.h = \pi {.3^2}.12\)\( = 108\pi \left( {c{m^3}} \right)\).
Một hộp sữa hình trụ có bán kính đáy là 4cm, chiều cao là 10cm. Tính diện tích vật liệu dùng để tạo nên một vỏ hộp hộp sữa đó nếu tỉ lệ hao hụt là 5%?
Diện tích toàn phần của hộp sữa là :
\[S = 2\pi rh + 2\pi {r^2} = 2\pi .4.10 + 2\pi {.4^2} = 112\pi \] (cm2)
Vì tỉ hệ hao hụt là \[5\% \] nên diện tích vật liệu dùng để tạo nên vỏ hộp sữa là:
\[112\pi \,.\,105\% \approx 369,26\] (cm2)
Một hộp sữa hình trụ có đường kính đáy là\[12{\rm{ cm}}\], chiều cao là\[10{\rm{ cm}}\]. Tính diện tích vật liệu dùng để tạo nên vỏ hộp như vậy. (Không tính phần mép nối).
Bán kính đáy hộp sữa: \(R = \frac{d}{2}\)\( = \frac{{12}}{2}\)\( = 6\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\)
Diện tích xung quanh là \({S_{xq}} = 2\pi Rh\)\( = 2\pi .6.10\) \[ = 120\pi \;\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\]
Diện tích hai đáy là \(2.{S_{day}} = 2\pi {R^2} = 72\pi \,\left( {c{m^2}} \right)\)
Tổng diện tích vật liệu cần dùng là \[120\pi \; + 72\pi = 192\pi \,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\]
Người ta nhấn chìm hoàn toàn một tượng đá nhỏ vào một lọ thủy tinh có dạng hình trụ. Diện tích đáy lọ thủy tinh là \(21,6\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\). Nước trong lọ dâng lên \(9,5\,{\rm{mm}}\). Hỏi thể tích của tượng đá là bao nhiêu?
Khi nhấn chìm hoàn toàn một tượng đá nhỏ vào một lọ thủy tinh có dạng hình trụ, nước trong lọ dâng lên chính là thể tích của tượng đá.
Đổi: \(9,5\,{\rm{mm}} = 0,95\,{\rm{cm}}\).
Thể tích khối nước hình trụ dâng lên là: \(V = S.h = 21,6.0,95 = 20,52\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\).
Vậy thể tích tượng đá là \(20,52\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\).
Một bồn hình trụ đang chứa dầu, được đặt nằm ngang, có chiều dài bồn là \(5m\), có bán kính đáy \(1m\), với nắp bồn đặt trên mặt nằm ngang của mặt trụ. Người ta đã rút dầu trong bồn tương ứng với \(0,5m\) của đường kính đáy. Tính thể tích gần đúng nhất của khối dầu còn lại trong bồn (lấy \(\pi \approx 3,14\), kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai, theo đơn vị \({m^3}\))
Ta có: \(HO = OC - CH = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\) \(\left( m \right)\)
Ta có: \(HB = \sqrt {O{B^2} - O{H^2}} = \sqrt {{1^2} - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)\( \Rightarrow AB = 2HB = \sqrt 3 \) \(\left( m \right)\)
Ta có: \({S_{\Delta OAB}} = \frac{1}{2}AB\,.\,OH = \frac{1}{2}\sqrt 3 \,.\,\frac{1}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\) \(\left( {{m^2}} \right)\)
Tam giác OHBcó sinHOB^=HBOB=32⇒HOB^=60°⇒AOB^=2HOB^=120°.
Gọi \({S_1}\) là diện tích hình quạt tròn \(OACB\), ta có:
\({S_1} = \frac{{\pi {R^2}\,.\,120}}{{360}} = \frac{\pi }{3}\,\,\left( {{m^2}} \right)\)
Gọi \({S_2}\) là diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây \(AB\) và cung nhỏ , ta có:
\({S_2} = {S_1} - {S_{\Delta OAB}} = \frac{\pi }{3} - \frac{{\sqrt 3 }}{4} = \frac{{4\pi - 3\sqrt 3 }}{{12}}\) \(\left( {{m^2}} \right)\)
Thể tích phần dầu đã hút đi là: \({V_1} = \frac{1}{3}{S_2}\,.\,5 = \frac{{5\left( {4\pi - 3\sqrt 3 } \right)}}{{36}}\)\(\left( {{m^3}} \right)\)
Thể tích của thùng dầu là: \(V = \frac{1}{3}\pi {R^2}.5 = \frac{{5\pi }}{3}\,\,\left( {{m^3}} \right)\)
Thể tích dầu còn lại trong thùng là: \({V_2} = V - {V_1} = \frac{{5\pi }}{3} - \frac{{5\left( {4\pi - 3\sqrt 3 } \right)}}{{36}} \approx 4,21\,\,\left( {{m^3}} \right)\)
Một hình trụ có bán kính đường tròn đáy là 6 cm, chiều cao 9 cm. Hãy tính diện tích xung quanh của hình trụ.
Diện tích xung quanh của hình trụ là: \({S_{xq}} = 2\pi rh\)
\({S_{xq}} \approx 2.3,14.6.9 \approx 339,12\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).
Một bể nước hình trụ có chiều cao 2,5 m và diện tích đáy là 4,8 m2. Nếu một vòi nước được đặt phía trên miệng bể và chảy được 4800 lít nước mỗi giờ thì sau bao lâu bể đầy? (Biết ban đầu bể cạn nước và bỏ qua bề dày của thành bể).
1) Thể tích bể \[V = {\rm{ }}Sh = 12\,({{\rm{m}}^{\rm{3}}})\]
Vận tốc vòi \[4800{\rm{ l\'i t/ }}gi\^o {\o}{\rm{ = }}4,8\,\,{{\mathop{\rm m}\nolimits} ^3}/gi\^o {\o}\]
Vậy thời gian chảy đầy bể của vòi nước là: \[12:4,8 = 2,5\] (giờ)
Vậy thời gian để vòi nước chảy đầy bể lúc bể cạn nước là 2 giờ 30 phút.
Một cây lăn sơn tường có dạng là một khối trụ với bán kính đáy là 5cm và chiều cao (chiều dài lăn) là 30 cm. Nhà sản xuất cho biết sau khi lăn 500 vòng thì cây sơn tường có thể sẽ bị hỏng. Tính diện tích mà cây sơn tường sơn được trước khi hỏng.
Diện tích xung quanh của cây lăn sơn tường là: \({S_{xq}} = 2.\pi .5.30 = 300\pi \left( {c{m^2}} \right)\)
1 vòng cây sơn tường sẽ quét được số diện tích là: \(300\pi \left( {c{m^2}} \right)\)
Vậy 500 thì cây sơn tường quét được số diện tích là: \(300\pi .500 = 150000\pi \left( {c{m^2}} \right)\)
Một chiếc cốc có dạng hình trụ với chiều cao \(8\,{\rm{cm}}\), bán kính đáy là \(3\,{\rm{cm}}\). Hỏi chiếc cốc này có đựng được \(180\,{\rm{ml}}\) sữa không? (Bỏ qua bề dày của chiếc cốc).
Thể tích của chiếc cốc là: \(\pi {.3^2}.8 = 226\)\(\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\)
Vì \(226\)\({\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\)\( = \)\(226\)\({\rm{ml}}\)\( > \)\(180\)\({\rm{ml}}\).
Nên chiếc cốc này có thể đựng được \(180\) \({\rm{ml}}\) sữa.
Một hộp phomai con bò cười gồm có \(8\)miếng, độ dày mỗi miếng là \(20\,{\rm{mm}}\), nếu xếp chúng lại trên một đĩa thì thành hình trụ có đường kính \(100\,{\rm{mm}}\).
a) Tính thể tích của miếng phomai.
b) Biết khối lượng của mỗi miếng phomai là \(15\,{\rm{g}}\), hãy tính trọng lượng riêng của nó? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)
(Biết trọng lượng riêng của vật cho bởi công thức \(d = \frac{P}{V}\). Trong đó trọng lượng của vật là \(P = 9,8.\,m\), đơn vị \(N\),với \(m\) là khối lượng vật đơn vị \({\rm{kg}}\); \(V\) là thể tích vật, đơn vị \({m^3}\); \(d\) có đơn vị \(N/{m^3}\)).
2) a) Thể tích của \(8\) miếng phomai là:
\(V = S.h = \pi {R^2}h \approx 3,{14.50^2}.20 = 157000\left( {{\rm{m}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right) = 0,000157\left( {{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\)
b) Đổi \(15\,{\rm{g}} = 0,015\,{\rm{kg}}\)
Trọng lượng riêng của miếng phomai là:
\(d = \frac{P}{V} = \frac{{9,8.0,015.8}}{{0,000157}} \approx 7490\,\left( {{\rm{N/}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\).
Một cái bánh hình trụ có bán kính đường tròn đáy là 3cm, chiều cao 4cm được đặt thẳng đứng trên mặt bàn. Một phần của cái bánh bị cắt rời ra theo các bán kính OA, OB và theo chiều thẳng đứng từ trên xuống dưới với AOB^=300. Tính thể tích phần còn lại của cái bánh sau khi cắt.
Phần cái bánh bị cắt đi là: 3003600=112 (cái bánh)
Phần cái bánh còn lại: \(1 - \frac{1}{{12}} = \frac{{11}}{{12}}\) (cái bánh)
Thể tích phần còn lại của cái bánh: \(\pi {.3^2}.4.\frac{{11}}{{12}} = 33\pi \) (\(c{m^3}\))\[ \approx 103,62\left( {c{m^3}} \right)\]
Vậy thể tích phần còn lại của cái bánh là \[103,62\,c{m^3}\].
Một mẫu pho mát được cắt ra từ một khối pho mát dạng hình trụ (có các kích thước như trên hình vẽ). Tính theo gam khối lượng của mẫu pho mát biết khối lượng riêng của pho mát là \(3g/c{m^3}\).
Thể tích khối trụ bán kính đáy 10 cm, chiều cao 8 cm là: \[3,{14.10^2}.8 = 2512\] cm3.
Thể tích miếng pho mát là: \[\frac{{2512.15}}{{360}} = \frac{{314}}{3}\] cm3.
Khối lượng của mẫu pho mát \[\frac{{314}}{3}.3 = 314\]\[ = 314\]g.
Một hộp thực phẩm có hình trụ. Biết diện tích của đáy là 60,24 \(c{m^2}\).
a) Hãy tính bán kính của đường tròn đáy của hình trụ. Biết \(\pi \approx 3,14\).
b) Biết chiều cao của hình trụ là 5cm. Hãy tính thể tích của hộp thực phẩm.
a) Bán kính của đường tròn đáy của hình trụ là: \(3,14.{R^2} = 60,24 \Leftrightarrow R \approx 4,38\left( {cm} \right)\)
b) Thể tích của hộp thực phẩm là: \(V = S.h = 6,24.5 = 301,2\left( {c{m^3}} \right)\)
Một cốc nước hình trụ cao 15cm, đường kính đáy là 6cm. Lượng nước ban đầu cao 10cm. Thả vào cốc 5 viên bi hình cầu cùng đường kính 2cm. Hỏi sau khi thả 5 viên bi mực nước cách miệng cốc bao nhiêu cm? (Làm tròn lấy 2 chữ số thập phân).
Thể tích của 5 viên bi:
\[5.\frac{4}{3}.\pi .{\left( {\frac{2}{2}} \right)^3} = \frac{{20}}{3}\pi (c{m^3})\]
Chiều cao mực nước dâng lên thêm sau khi thả 5 viên bi là
\[\frac{{20}}{3}\pi :\left[ {\pi {{\left( {\frac{6}{2}} \right)}^2}} \right] = \frac{{20}}{{27}}(cm)\]
Mực nước cách miệng cốc 1 khoảng là:
\[15--10--\;\frac{{20}}{{27}} \approx 4,26(cm)\]
Khi thả chìm hoàn toàn tượng một con ngựa nhỏ bằng đá vào một ly nước có dạng hình trụ thì người ta thấy nước trong ly dâng lên \(1,5\,{\rm{cm}}\) và không tràn ra ngoài. Biết diện tích đáy của ly nước bằng \[80{\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}.\] Hỏi thể tích của tượng ngựa đá bằng bao nhiêu?
Thể tích phần nước trong ly dâng lên chính là thể tích của tượng ngựa đá.
Diện tích đáy ly nước hình trụ là \(S = \pi {r^2} = 80\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\)\( \Rightarrow {r^2} = \frac{{80}}{\pi }\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\).
Chiều cao mực nước dâng lên \(h = 1,5\;\left( {{\rm{cm}}} \right)\).
Thể tích cần tìm là \(V = \pi {r^2}h = \pi .\frac{{80}}{\pi }.1,5 = 120\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).
Các ống hút nhựa thường khó phân hủy và gây hại cho môi trường. Mỗi ngày có 60 triệu ống hút thải ra môi trường gây hậu quả nghiêm trọng. Ngày nay người ta chủ động sản xuất các loại ống hút dễ phân hủy. Tại tỉnh Đồng Tháp có cơ sở chuyên sản xuất ống hút “thân thiện với môi trường” xuất khẩu ra thị trường thế giới và được nhiều nước ưa chuộng. Ống hút được làm từ bột gạo, các màu chiết xuất từ củ dền, lá dứa, bông sen, bông điên điển,…Một ống hút hình trụ, đường kính 12mm, bề dày ống 2mm, chiều dài ống 180mm. Em hãy tính xem để sản xuất mỗi ống thì thể tích bột gạo được sử dụng là bao nhiêu (Biế\[\pi \approx 3,14\])
Thể tích ống hút: \(V = \pi {R^2}.h = \pi {6^2}.180 = 6480\pi \,\,\left( {m{m^3}} \right)\)
Thể tích phần lõi rỗng bên trong ống hút: \(v = \pi {r^2}.h = \pi {\left( {6 - 2} \right)^2}.180 = 2880\pi \,\,\left( {m{m^3}} \right)\)
Thể tích bột gạo được sử dụng: \(V - v = 6480\pi - 2880\pi = 3600\pi \simeq 11304\,\,\left( {m{m^3}} \right)\)
Một cái bánh hình trụ có bán kính đường tròn đáy là \[5cm,\] chiều cao \[9cm,\] được đặt thẳng đứng trên một mặt bàn. Một phần của cái bánh đã bị cắt rời ra theo các bán kính \[OA,\]\[OB\] và theo chiều thẳng đứng từ trên xuống với góc \[AOB\] bằng như hình vẽ. Tính thể tích phần còn lại của cái bánh sau khi bị cắt.
Lời giải
Phần bánh bị cắt đi chiếm \[\frac{{60}}{{360}} = \frac{1}{6}\] (cái bánh)
Phần bánh còn lại chiếm \[1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}\] (cái bánh)
Thể tích phần bánh còn lại là \[\frac{5}{6}.\pi .{R^2}.h = \frac{5}{6}.\pi {.5^2}.9 \approx 589\,\,\,c{m^3}\]
Nước giải khát thường đựng trong lon nhôm và cỡ lon phổ biến chứa được khoảng \(330\,ml\) chất lỏng, được thiết kế hình trụ với chiều cao khoảng \(10,2\,cm\) (phần chứa chất lỏng), đường kính đáy khoảng \(6,42\,cm\).
Nhưng hiện nay các nhà sản xuất có xu hướng tạo ra những lon nhôm với kiểu dáng cao thon hơn. Tuy chi phí sản xuất những chiếc lon cao này tốn kém hơn, nhưng nó lại dễ đánh lừa thị giác và được người tiêu dùng ưa chuộng hơn.
a/ Một lon nước ngọt cao \(13,41\,cm\) (phần chứa chất lỏng), đường kính đáy là \(5,6\,cm\). Hỏi lon nước ngọt cao này có thể chứa được hết lượng nước ngọt của một lon có cỡ phổ biến không? Vì sao? (Biết thể tích hình trụ: \(V = \pi {r^2}h\), với \(\pi \approx 3,14\)).
b/ Vì sao chi phí sản xuất chiếc lon cao tốn kém hơn chiếc lon cỡ phổ biến?
Biết diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình trụ được tính theo công thức:
\({S_{xq}} = 2\pi rh\) và \({S_{tp}} = {S_{xq}} + 2{S_{\~n a\`u y}}\).
a/ Thể tích lon nước ngọt cao là: \(\pi .{\left( {\frac{{5,6}}{2}} \right)^2}.13,41 \approx 330,1c{m^3} = 330,1\,ml\).
Vậy lon nước ngọt cao này có thể chứa được hết lượng nước ngọt của một lon có cỡ phổ biến.
b/ Diện tích vỏ nhôm của lon cao: \(S = \pi .5,6.13,41 + 2.\pi .{\left( {\frac{{5,6}}{2}} \right)^2} \approx 285\,c{m^2}\)
Diện tích vỏ nhôm của lon cũ: \(S = \pi .6,42.10,32 + 2.\pi .{\left( {\frac{{6,42}}{2}} \right)^2} \approx 272,7\,c{m^2}\).
Vậy giá thành lon cao mắc hơn.
Thùng phuy (hay thùng phi) là một vận dụng hình ống dùng để chứa và chuyên chở chất lỏng với dung tích lớn. Mỗi thùng phuy có đường kính nắp và đáy là\[584{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} mm\], chiều cao là \[876{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} mm\]. Hãy tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của một thùng phuy? (Biết công thức tính diện tích xung quanh là\[{{\bf{S}}_{{\bf{xq}}}} = 2\pi rh\], diện tích toàn phần là và thể tích hình trụ là \[V = \pi {r^2}h\], với \(\pi \approx 3,14\)).
Diện tích xung quanh của thùng phuy là:
\({S_{xq}} = 2\pi Rh = 2\pi \frac{{584}}{2}.876 = 511584\pi (m{m^2})\).
Diện tích toàn phần của thùng phuy là:
\({S_{tp}} = 2\pi Rh + 2\pi {R^2} = 2\pi \frac{{584}}{2}.876 + 2\pi {\left( {\frac{{584}}{2}} \right)^2} = 682112\pi (m{m^2})\).
Thể tích của thùng phuy là:
\(V = 2\pi {R^2}h = 2\pi {\left( {\frac{{584}}{2}} \right)^2}.876 = 74691264\pi (m{m^3})\).
Có hai lọ thủy tinh hình trụ, lọ thứ nhất phía bên trong có đường kính đáy là \(30\)cm, chiều cao \(20\)cm đựng đầy nước, lọ thứ hai bên trong có đường kính đáy là \(40\)cm chiều cao là\(12\)cm. Hỏi nếu đổ hết nước từ lọ thứ nhất sang lọ thứ hai nước có bị tràn ra ngoài hay không? Tại sao?
Thể tích hình trụ lọ thứ nhất, thứ hai là:
\[\begin{array}{l}{V_1} = {S_1}.{h_1} \approx 14130\,\,c{m^3}\\{V_2} = {S_2}.{h_2} \approx 15072\,\,c{m^3}\\ \Rightarrow {V_1} < {V_2}\end{array}\]
Vậy khi đổ nước từ lọ 1 qua lọ 2 nước không tràn ra ngoài.
Khi thả chìm hoàn toàn một viên xúc xắc nhỏ hình lập phương vào một ly nước có dạng hình trụ thì người ta thấy nước trong ly dâng lên \(0,5\;{\rm{cm}}\) và không tràn ra ngoài. Biết diện tích đáy của ly nước bằng \(250\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\). Hỏi cạnh của viên viên xúc xắc dài bao nhiêu cm?
Thể tích phần nước trong ly dâng lên chính là thể tích của viên xúc xắc.
Diện tích đáy ly nước hình trụ là \({\rm{S}} = 250\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\)
Chiều cao mực nước dâng lên \({\rm{h}} = 0,5\;{\rm{cm}}\)
Thể tích của viên xúc xắc là: \({\rm{V}} = {\rm{S}}.{\rm{h}} = 250 \cdot 0,5 = 125\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\)
Cạnh của viên viên xúc xắc dài \({\rm{a}}({\rm{cm}}):{{\rm{a}}^3} = 125 \Rightarrow {\rm{a}} = 5\;{\rm{cm}}\).
Nước giải khát thường đựng trong lon nhôm và cỡ lon phổ biến chứa được khoảng 330 ml chất lỏng, được thiết kế hình trụ với chiều cao khoảng \(10,2\;cm\); đường kính đáy khoảng \(6,42\;cm\). Nhưng hiện nay các nhà sản xuất có xu hướng tạo ra những lon nhôm với kiểu dáng cao thon hơn. Tuy chi phí sản xuất những chiếc lon cao này tốn kém hơn, nhưng nó lại dễ đánh lừa thị giác và được người tiêu dùng ưa chuộng hơn.
a) Một lon nước ngọt cao \(13,41\;cm\), đường kính đáy là \(5,6\;cm\). Hỏi lon nước ngọt cao này có thể chứa được hết lượng nước ngọt của một lon có cỡ phổ biến không? Vì sao?
Biết thể tích hình trụ: \(V = \pi {r^2}\;h\), với \(\pi \approx 3,14\).
b) Biết chi phí sản xuất một chiếc lon tỉ lệ thuận với diện tích toàn phần của lon. Hỏi chi phí sản xuất chiếc lon cao tăng bao nhiêu phần trăm so với chi phí sản xuất chiếc lon cỡ phổ biến? (làm tròn 1 chữ số thập phân). Biết diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình trụ được tính theo công thức: \({S_{xq}} = 2\pi rh{\rm{ }}v\`a {\rm{ }}{S_\varphi } = {S_{xq}} + 2\;{S_{{\rm{d }}}}\).
a) Thể tích lon nước ngọt cao là: \(\pi {\left( {\frac{{5,6}}{2}} \right)^2} \cdot 13,41 \approx 330,1\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3} = 330,1{\rm{ }}ml\).
Vậy lon nước ngọt cao này có thể chứa được hết lượng nước ngọt của một lon có cỡ phổ biến.
b) Diện tích vỏ nhôm của lon cao: \({\rm{S}} = \pi \cdot 5,6.13,41 + 2\pi {\left( {\frac{{5,6}}{2}} \right)^2} = 90,776\pi \left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\)
Diện tích vỏ nhôm của lon cũ: \({\rm{S}} = \pi \cdot 6,42 \cdot 10,32 + 2\pi {\left( {\frac{{6,42}}{2}} \right)^2} = 86,8626\pi \left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\)
Số phần trăm tăng thêm: \(\frac{{90,776\pi - 86,8626\pi }}{{86,8626\pi }} = 4,5\% \).
Vậy chi phí sản xuất chiếc lon cao tăng thêm khoảng \(4,5\% \) so với chi phí sản xuất chiếc lon cỡ phổ biến.
Bún bò Huế là một đặc sản của ẩm thực Huế, tuy là bún bò nhưng ngoài thịt bò còn có thịt heo. Hương vị đặc biệt của món ăn này chủ yếu là ở vị cay nồng, mùi sả đặc trưng của nước lèo. Vốn là một hương vị Huế không lẫn vào đâu được và chính điều đó khiến người ăn cứ nhớ mãi về món ăn này. Quán nhà bạn An dùng 2 chiếc nồi hình trụ có bán kính đáy nồi là \(0,3\;m\), chiều cao nồi là \(0,8\;m\) để nấu nước lèo bún bò Huế. Sau khi vớt xương và các gia vị thì lượng nước lèo trong nồi chiếm \(90\% \) thể tích nồi.
a) Tính thể tích mỗi nồi nước lèo nhà bạn An nấu, biết lượng nước lèo ở mỗi nồi là như nhau (ghi kết quả đến \(c{m^3}\)).
b) Đề bán bún bò, mỗi lần bán 1 tô bún mẹ bạn An dùng cái vá có dạng nửa hình cầu bán kính \(6,5\;cm\) và múc đúng 1 vá cho mỗi tô. Hỏi sau khi bán hết bún bò thì quán nhà bạn An thu được bao nhiêu tiền? Biết giá 1 tô bún bò là 35000 đồng. Biết công thức tính thể tích hình trụ là \(V = 3,14.{r^2}\;h\) và công thức tính thể tích hình cầu là \(V = \frac{4}{3}.3,14.{R^3}\).
a) Đổi \(0,3\;{\rm{m}} = 30\;{\rm{cm}},0,8\;{\rm{m}} = 80\;{\rm{cm}}\)
Thể tích mỗi nồi nước lèo nhà bạn An nấu: 2.3,14.30 \(^2 \cdot 80 \cdot 90\% = 406944\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\)
b) Thể tích 1 vá nước lèo là: \({\rm{V}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot 3,14 \cdot 6,{5^3} \approx 574,88\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\)
Sau khi bán hết bún bò thì quán nhà bạn An thu được số tiền là: \(707.35000 = 24745000\) (đồng).
Một xe chở xăng dầu, bên trên có một bồn chứa hình trụ dài \(2,6\;m\)và đường kính đáy là \(1,4\;m\). Theo tiêu chuẩn an toàn thì bồn chi chứa được tối đa \(80\% \) thể tích khi xe di chuyển trên đường.
a) Mỗi chuyến xe có thể chở nhiều nhất bao nhiêu lít nhiên liệu? (cho \(\pi = 3,14\)).
b) Trên đường vận chuyển, xe chở xăng dầu trên phải đi qua 1 cây cầu có tải trọng 5 tấn. Biết xe khi chưa chở hàng nặng 3 tấn. Hỏi nếu muốn đi qua cây cầu đó thì xe chở tối đa bao nhiêu lít xăng? Biết khối lượng riêng của xăng là \(0,713\;kg/\)lít (Các kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
a) Bán kính đáy: \(1,4:2 = 0,7(\;{\rm{m}})\)
Số lít nhiên liệu xe có thể chở nhiều nhất: \(3,14.2,6.0,{7^2}.80\% \approx 3,2\left( {\;{{\rm{m}}^3}} \right) = 3200\) (lít)
b) Khối lượng xăng xe có thể chở tối đa để qua cầu: \(5 - 3 = 2\) (tấn) \( = 2000(\;{\rm{kg}})\)
Số lít xăng xe chở tối đa để qua cầu: \(2000:0,713 \approx 2805\) (lít).
Một tháp nước có bể chứa là một hình cầu, đường kính bên trong của bể đo được là 6 mét. Người ta dự tính lượng nước đựng đầy trong bể đủ dùng cho một khu dân cư trong 5 ngày. Cho biết khu dân cư đó có \(1304\) người. Hỏi người ta đã dự tính mức bình quân mỗi người dùng bao nhiêu lít nước trong một ngày? (Lấy \(\pi \approx 3,14\), kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)
Bán kính hình cầu cuả bể nước là:\[R = 6:2 = 3\left( m \right)\]
Thể tích của bể nước hình cầu là: \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}.3,{14.3^3} = 113,04\left( {{m^3}} \right) = 113040\,\)(lít)
Lượng nước chứa đầy bể xấp xỉ 113040 lít nước
Lượng nước trung bình mỗi người dùng trong một ngày là: \[113040{\rm{ }}:{\rm{ }}1304{\rm{ }} \approx {\rm{86,9}}\] (lít).
Một viên bi sắt hình cầu có bán kính bằng 5cm, tính thể tích của viên bi đó.( Kết quả làm tròn đến 2 chữ số thập phân ) (Lấy \[\pi \]\( \approx 3,14\)).
Thể tích viên bi là: \(V = \frac{4}{3}\pi {r^3} \approx \frac{4}{3}.3,{14.5^3} \approx 523,33\,\) (cm3).
Cần phải có ít nhất bao nhiêu lít nước để thay nước cho một chậu thủy tinh nuôi cá cảnh? (Chậu nước được xem như một phần mặt cầu đường kính \(3\,dm\)). Biết lượng nước đổ vào chiếm \(\frac{2}{3}\) thể tích hình cầu và 1 lít \( = 1\,d{m^3}\).
Bán kính hình cầu là \(R = \frac{d}{2} = \frac{3}{2} = 1,5\)\(\left( {dm} \right)\).
Thể tích hình cầu là \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi .{(1,5)^3} = 4,5\pi \) \(\left( {d{m^3}} \right)\).
Lượng nước ít nhất cần thay cho bể cá là \(\frac{2}{3}.4,5\pi = 3\pi \approx 9,42d{m^3} = 9,42\) (lít).
Tính diện tích da dùng để làm quả bóng hình cầu nếu không tính đến tỉ lệ hao hụt. Biết khi bơm căng thì quả bóng có đường kính là 14 cm.
Diện tích da cần dùng để làm quả bóng là \(\pi {.14^2}\)\( = 196\pi \,\)(cm2).
Tính thể tích không khí \[\left( {k{m^3}} \right)\] trong tầng đối lưu của trái đất biết rằng bán kính trái đất là khoảng 6371 km và tầng đối lưu được tính từ mặt đất cho đến khoảng 10 km so với mặt đất.( làm tròn đến \[k{m^3}\])?
Thể tích trái đất: \[{V_1} = \frac{4}{3}\pi {.6371^3}\left( {k{m^3}} \right)\].
Thể tích tính đến hết tầng đối lưu:\[{V_2} = \frac{4}{3}\pi {\left( {6371 + 10} \right)^3}\left( {k{m^3}} \right)\].
Do đó thể tích không khí tầng đối lưu: \[V = {V_2} - {V_2} = \frac{4}{3}\pi .\left( {{{6381}^3} - {{6371}^3}} \right) \approx 5\,\,108\,\,654\,\,963\left( {k{m^3}} \right)\].
Một lọ nước hoa có hình dạng bên ngoài là hình cầu làm bằng thuỷ tinh có đường kính 8 cm. Lòng bên trong của lọ cũng là một hình cầu nhỏ cùng tâm với hình cầu bên ngoài để chứa nước hoa. Hỏi phải làm lọ nước hoa có độ dày thành lọ là bao nhiêu cm để chứa được lượng nước hoa bên trong là 120 ml? (làm tròn đến hàng phần mười). Biết rằng lượng nước hoa được chứa trong lọ chiếm \(80\% \) thể tích của phần có thể chứa nước hoa.
Thể tích lượng nước hoa: \({\rm{V}} = 120({\rm{ml}}) = 120\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\)
Thể tích của hình cầu chứa nước hoa: \({\rm{V}} = 120:80\% = 150\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\)
Bán kính của hình cầu chứa nước hoa: \({\rm{V}} = \frac{4}{3}\pi {{\rm{R}}^3} \Leftrightarrow 150 = \frac{4}{3}\pi .{{\rm{R}}^3} \Leftrightarrow {{\rm{R}}^3} = \frac{{225}}{{2\pi }} \Leftrightarrow {\rm{R}} = \sqrt[3]{{\frac{{225}}{{2\pi }}}}({\rm{cm}})\)
Độ dày thành lọ nước hoa: \(\frac{8}{2} - \sqrt[3]{{\frac{{225}}{{2\pi }}}} \approx 0,7(\;{\rm{cm}})\).
Một quả bóng bàn dạng một hình cầu có bán kính bằng 2 cm. Tính diện tích bề mặt của quả bóng bàn đó ( lấy \[\pi \approx 3,14\]).
Vì quả bóng bàn hình cầu có bán kính \[R = 2cm\]nên diện tích bề mặt quả bóng là:
\[{S_{{\rm{c\c{C}u}}}}\]\[ = 4\pi {R^2} = 4.3,{14.2^2} = 50,24\]\[(c{m^2})\]
Vậy diện tích bề mặt quả bóng bàn là 50,24\[c{m^2}\].
Một quả bóng bằng da có đường kính \(22cm\). Tính diện tích da cần dùng để làm quả bóng nếu không tính tỉ lệ hao hụt (lấy \[\pi = 3,14\]).
Vì quả bóng da hình cầu có bán kính \(R = \frac{{22}}{2} = 11\left( {cm} \right)\) nên diện tích bề mặt của quả bóng là:
\(S = 4\pi {R^2} = 4.3,{14.11^2} = 1519,8\left( {c{m^2}} \right)\).
Vậy diện tích da cần dùng để làm quả bóng là \(1519,8\left( {c{m^2}} \right)\).
Trái Đất, hành tinh chúng ta đang sống, dạng hình cầu có bán kính là \(6370{\rm{ }}km\). Biết rằng \(29\% \) diện tích bề mặt Trái Đất không bị bao phủ bởi nước bao gồm núi, sa mạc, cao nguyên, đồng bằng và các địa hình khác. Tính diện tích bề mặt mặt Trái Đất bị bao phủ bởi nước. (Lấy \(\pi = 3,14\), kết quả làm tròn đến chữ số hàng đơn vị).
Vì Trái Đất hình cầu có bán kính \(R = 6370{\rm{ }}\left( {km} \right)\) nên diện tích bề mặt Trái Đất là:
\[S = {\rm{ }}4\pi {R^2} = {\rm{ }}4.{\rm{ }}3,14.{\rm{ }}{6370^2}\; = {\rm{ }}509645864{\rm{ }}\left( {k{m^2}} \right)\].
Vậy diện tích bề mặt Trái Đất bị bao phủ bởi nước là \[\left( {100\% {\rm{ }}--{\rm{ }}29\% } \right).{\rm{ }}509645864{\rm{ }} = 361848563\left( {k{m^2}} \right)\].
Ngày 4-6-1783, anh em nhà Mông-gôn-fi-ê (người Pháp) phát ra khinh khí cầu dùng không khí nóng. Coi khinh khí cầu này là hình cầu có đường kính \(11m\) và được làm bằng vải dù để là khinh khí cầu đó (lấy \(\pi \approx 3,14\) và làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Vì khinh khí cầu có bán kính \(R = 11:2 = 5,5m\)
Nên \[S = 4\pi {R^2} = 4.3,14.{(5,5)^2} = 379,94{m^2}\]
Vậy diện tích bằng vải dù để là khinh khí cầu là \[379,94{m^2}\]
Một tháp nước có bể chứa hình cầu, đường kính bên trong của bể đo được là 6m
a) Tính thể tích của tháp nước đó?
b) Người ta dự tính lượng nước đựng đầy trong bể đủ dùng cho một khu dân cư trong 5 ngày. Cho biết khu dân cư đó có 1304 người. Hỏi người ta đã dự tính mức bình quân mỗi người dùng bao nhiêu lít nước trong một ngày? (Lấy π≈3,14, kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
a) Vì tháp nước hình cầu có \[R = \frac{6}{2} = 3m\]nên thể tích của tháp nước là:
\[V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}.3,{14.3^3} = 113,04({m^3}) = 113040\,(l)\]
b) Một ngày khu dân cư dùng hết số nước là: \[113040:5 = 22608\,(l)\]
Vậy trong một ngày mức bình quân mỗi người dùng: \[22608:1304 = 17,34l\]
Một quả pha lê hình cầu có diện tích mặt cầu bằng \[144\pi \,c{m^2}\]. Tính thể tích quả pha lê đó.
Vì quả pha lê hình cầu có diện tích mặt cầu bằng \[144\pi \,c{m^2}\]nên:
\[\begin{array}{l}S = 4\pi {R^2}\\ \Rightarrow R = \sqrt {\frac{S}{{4\pi }}} = \sqrt {\frac{{144\pi }}{{4\pi }} = 6cm} \end{array}\]
Vậy thể tích của quả cầu là: \[V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi {.6^3} = 228\pi \,c{m^3}\]
Giả sử một quả dưa hấu không hạt ruột đỏ dạng hình cầu có đường kính \(25cm\) và phần vỏ dày \(2cm\).
a) Coi phần ruột màu đỏ cũng có dạng hình cầu và đặc. Thể tích phần ruột màu đỏ chiếm bao nhiêu phần trăm thể tích quả dưa hấu? (Kết quả làm tròn tới chữ số thập phân thứ hai).
Cho biết công thức tính thể tích hình cầu là \({\rm{V}} = \frac{4}{3}\pi {{\rm{R}}^3}\), với R là bán kính hình cầu, \(\pi = 3,14\).
b) Người ta ép phần ruột màu đỏ của quả dưa hấu trên thì thể tích nước ép thu được bằng \(80\% \) thể tích phần ruột. Nước ép dưa hấu được đựng trong một một ly thủy tinh, phần lòng trong dạng hình trụ có chiều cao 10 cm và đường kính đáy lòng trong là\(5cm\). Mỗi ly chỉ chứa \(70\% \) nước ép dưa hấu. Hỏi dùng nước ép của một quả dưa hấu nói trên thì làm ra bao nhiêu ly nước ép dưa hấu? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
a) Thể tích phần ruột quả dưa hấu là: \(\frac{4}{3} \cdot \pi \cdot {{\rm{R}}^3} = \frac{4}{3} \cdot 3,14{\left( {\frac{{25 - 4}}{2}} \right)^3} = 4846,59\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).
Phần trăm thể tích phần ruột so với quả dưa là: \(\frac{{\frac{4}{3} \cdot 3 \cdot 14{{\left( {\frac{{25 - 4}}{2}} \right)}^3}}}{{\frac{4}{3} \cdot 3,14{{\left( {\frac{{25}}{2}} \right)}^3}}} = \frac{{9261}}{{15625}} \approx 59,27\% \)
b) Thể tích lòng trong ly thủy tinh là: \(\pi {{\rm{r}}^2}\;{\rm{h}} = 3,14 \cdot 2,{5^2} \cdot 10 = 196,25\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).
Số ly nước ép dưa hấu là \(\frac{{4846,59.80\% }}{{196,25.70\% }} \approx 28,2\) (ly).
Hình bên là một mẫu pho mát được cắt ra từ một khối pho mát dạng hình trụ (có các kích thước như hình vẽ). Biết khối lượng riêng của pho mát là \(3\;{\rm{g}}/{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\) và công thức khối lượng riêng là \({\rm{D}} = \frac{{\rm{m}}}{{\rm{V}}}\) (Trong đó \({\rm{D}}\left( {{\rm{g}}/{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\) là khối lượng riêng, \({\rm{m}}({\rm{g}})\) là khối lượng, \({\rm{V}}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\) là thể tích).
a) Hãy tính diện tích 1 mặt đáy và khối lượng của mẫu pho mát trên. Biết thể tích hình trụ \({{\rm{V}}_{{\rm{tru }}}} = {\rm{S}}\).h. Trong đó S là diện tích 1 đáy và h là chiều cao của hình trụ.
b) Chiếc hộp thực phẩm hình hộp chữ nhật có kích thước lần lượt là \(189\;{\rm{mm}},103\;{\rm{mm}},101\;{\rm{mm}}\) (xem hình bên) có thể chứa hết phần còn lại của khối pho mát không?
a) Diện tích 1 mặt đáy là: \({{\rm{S}}_{{\rm{quat }}}} = \frac{{{{\rm{n}}^^\circ }\pi {{\rm{R}}^2}}}{{{{360}^^\circ }}} = \frac{{{{15}^^\circ } \cdot \pi \cdot {{10}^2}}}{{{{360}^^\circ }}} = \frac{{25}}{6}\pi \left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\)
Khối lượng của mẫu pho mát trên là: \(\frac{{25}}{6}\pi \cdot 8 \cdot 3 = 100\pi \approx 314,2(\;{\rm{g}})\)
b) Thể tích hình hộp là: \({{\rm{V}}_{{\rm{h\^o p }}}} = \frac{{189}}{{10}} \cdot \frac{{103}}{{10}} \cdot \frac{{101}}{{10}} \approx 1966,2\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\)
Thể tích phần còn lại của pho mát là:
\({{\rm{V}}_{{\rm{pho m\'a t }}}} = \pi \cdot {{\rm{R}}^2} \cdot {\rm{h}} - \frac{{25}}{6}\pi \cdot 8 = \pi \cdot {10^2} \cdot 8 - \frac{{25}}{6}\pi \cdot 8 = \frac{{2300}}{3}\pi \approx 2408,6\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\)
Vì \({{\rm{V}}_{{\rm{h\^o p }}}} < {{\rm{V}}_{{\rm{ph\^o m\'a t }}}}\) nên chiếc hộp thực phẩm hình hộp chữ nhật không thể chứa hết phần còn lại của khối pho mát.
Vậy dùng nước ép của một quả dưa hấu nói trên thì đủ nguyên liệu làm ra 28 ly.
Một khối gỗ hình lập phương cạnh 8 cm, được khoét bởi một hình nón, đường sinh \({\rm{AB}} = 8,6\;{\rm{cm}}\). và đỉnh chạm mặt đáy của khối gỗ (xem hình bên). Hãy tính bán kính đáy của hình nón và thể tích của khối gỗ còn lại. Biết \({{\rm{V}}_{{\rm{lap phuong }}}} = {{\rm{a}}^3}\) (a là cạnh hình lập phương); \({{\rm{V}}_{{\rm{hinh n\'o n }}}} = \frac{1}{3}\pi {{\rm{R}}^2}\;{\rm{h}}({\rm{R}} = {\rm{OB}}\) là bán kính mặt đáy, \({\rm{h}} = {\rm{OA}}\) là chiều cao của hình nón \();\pi \approx 3,14\).
Xét vuông tại \(O\), ta có: \(O{A^2} + O{B^2} = A{B^2}\) (Định lý Pythagore)
\({\rm{O}}{{\rm{B}}^2} = {\rm{A}}{{\rm{B}}^2} - {\rm{O}}{{\rm{A}}^2} = 8,{6^2} - {8^2} = 9,96 \Leftrightarrow {\rm{OB}} \approx 3,16\;{\rm{cm}}\)
\(\;{{\rm{V}}_{{\rm{l\^a p phuong }}}} = {8^3} = 512\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\)
\(\;{{\rm{V}}_{{\rm{hinh n\'o n }}}} = \frac{1}{3}\pi {{\rm{R}}^2}\;{\rm{h}} = \frac{1}{3} \cdot 3,14 \cdot 3,{16^2} \cdot 8 = 83,61\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\)
Thể tích của khối gỗ còn lại: \({{\rm{V}}_{{\rm{l\^a p phuong }}}} - {{\rm{V}}_{{\rm{h\`i nh n\'o n }}}} = 512 - 83,61 = 428,39\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\)
Một xe bồn chở nước sạch cho một khu dân cư có 200 hộ dân. Bồn xe có hình dạng và kích thước như hình vẽ bên dưới, mỗi đầu của bồn xe là nửa hình cầu. Xe chở đầy nước và lượng nước chia đều cho từng hộ dân. Tính xem mỗi hộ dân được nhận bao nhiêu lít nước sạch.
Bán kính mặt cầu là \(R = 1,8:2 = 0,9\;{\rm{m}}\)
Thể tích của bồn chở nước sạch là: \(\frac{4}{3}\pi \cdot 0,{9^3} + \pi \cdot 0,{9^2} \cdot 3,62 = 12,265\left( {\;{{\rm{m}}^3}} \right)\)
Đổi \(12,265\;{{\rm{m}}^3} = 12265\) lít nước.
Số lít nước sạch mỗi hộ dân nhận được là: \(12265:200 \approx 61,3\) lít nước.
Một hãng sản xuất rượu vang đã đặt hàng một công ty sản xuất thủy tinh một kiểu ly có phần đựng rượu cao 6 cm, đường kính miệng ly là 6 cm. Biết rằng để tạo thành một cái ly là sự kết hợp gồm thành ly là một hình trụ cao 3 cm, phần đáy ly là một nửa khối cầu có đường kính bằng với đường kính của miệng ly.
a) Hãy tính thể tích rượu được chứa tối đa khi đổ vào ly? Cho biết: \({{\rm{V}}_{{\rm{tru}}}} = \pi {{\rm{r}}^2}\;{\rm{h}}\) với r là bán kính đáy; h là chiều cao hình trụ. \({{\rm{V}}_{{\rm{cau }}}} = \frac{4}{3}\pi {{\rm{R}}^3}\) với R là bán kính hình cầu.
b) Ông A cần chuẩn bị một số chai rượu vang, lượng rượu trong mỗi chai là 0,85 lít. Biết rằng trong bữa tiệc có 12 người ( bao gồm luôn ông A ), mỗi người uống 4 ly rượu, lượng rượu được rót bằng \(60\% \) thể tích của ly. Ông A cần chuẩn bị ít nhất bao nhiêu chai rượu vang?
a) Thể tích rượu được chứa tối đa khi đổ vào ly là:
\({{\rm{V}}_{{\rm{tr}}u}} + \frac{1}{2}\;{{\rm{V}}_{{\rm{cau}}}} = \pi {{\rm{r}}^2}\;{\rm{h}} + \frac{1}{2}\left( {\frac{4}{3}\pi {{\rm{R}}^3}} \right) = \pi \cdot {3^2} \cdot 3 + \frac{1}{2}\left( {\frac{4}{3} \cdot \pi \cdot {3^3}} \right) = 45\pi \left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\)
b) Lượng rượu khi được rót vào một ly là: \(60\% .45\pi = 27\pi \left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\)
Số ly rượu được uống trong bữa tiệc có 12 người là: \(12.4 = 48\) (Ly).
Tổng số lượng rượu được sử dụng trong bữa tiệc là: \(48.27\pi = 1296\pi \left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\)
\(0,85{\rm{ l\'i t }} = 0,85{\rm{d}}{{\rm{m}}^3} = 850\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\)
Ta có: \(1296\pi :850 = 4,79\) (chai).
Vậy ông A cần chuẩn bị ít nhất 5 chai rượu.
Một chiếc đồng hồ cát bằng thủy tinh có dạng hình trụ, phần chứa cát là hai nửa hình cầu bằng nhau (Hình vẽ bên với các kích thước đã cho là bản thiết kế thiết diện qua trục của chiếc đồng hồ này, giả sử phần thông nhau không đáng kể). Khi đó, lượng thủy tinh làm chiếc đồng hồ cát là bao nhiêu? (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Bán kính của phần hình cầu là: \({\rm{r}} = (13,2 - 2.1):2 = 5,6\;{\rm{cm}}\).
Bán kính đáy hình trụ là: \({\rm{R}} = 13,2:2 = 6,6\;{\rm{cm}}\).
Thể tích hình trụ là: \({{\rm{S}}_1} = \pi {{\rm{R}}^2}\;{\rm{h}} = \pi \cdot 6,{6^2} \cdot 13,2 = 574992\pi \left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\)
Thể tích hai nửa hình cầu là: \({{\rm{S}}_2} = \frac{4}{3}\pi {{\rm{r}}^3} = \frac{{87808}}{{375}}\pi \left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\)
Thể tích thủy tinh cần để làm đồng hồ là: \({\rm{S}} = {{\rm{S}}_1} - {{\rm{S}}_2} = 574992\pi - \frac{{87808}}{{375}}\pi \approx 1805655,02\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\)
Vậy thể tích cần tính khoảng \(1805655,02\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).
Cối xay gió của Đôn-ki-hô-tê có dạng một hình nón. Chiều cao của hình nón là 42 cm và thể tích của nó là \(17600\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\). Em hãy giúp chàng Đôn-ki-hô-tê tính:
a) Bán kính của hình nón.
b) Diện tích gạch cần để xây ngôi nhà hình trụ bên dưới, biết nhà có chiều cao 250 cm. Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất với đơn vị đề-xi-mét. 
a) \({\rm{V}} = 17600\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3} = 17,6{\rm{d}}{{\rm{m}}^3};42\;{\rm{cm}} = 4,2{\rm{dm}}\).
Thay \({\rm{V}} = 17,6{\rm{d}}{{\rm{m}}^3}\) vào công thức ta được: \(17,6 = \frac{1}{3} \cdot 4,2\pi {{\rm{R}}^2}\)
\({\rm{R}} \approx 2,0{\rm{dm}}\)
b) Đổi: \(250\;{\rm{cm}} = 25{\rm{dm}}\).
Diện tích xung quanh hình trụu bên dưới: \({\rm{S}} = 2\pi {\rm{Rh}} \approx 2 \cdot 3,14 \cdot \sqrt {17,6 \cdot 3:(4,2 \cdot 3,14)} \cdot 25 = 314,1\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^2}} \right)\)
Một bình nước hình hộp chữ nhật có chiều rộng, chiều dài đáy bình và chiều cao lần lượt tỉ lệ với \(2;3\) và 5. Biết chiều cao của bình là 20 cm.
a) Tính thể tích nước tối đa mà bình chứa được.
b) Bình nước được rót ra các ly hình trụ có đường kính đáy là 5 cm, chiều cao 12 cm. Biết bình đựng đầy nước và rót vào ly \(90\% \) thể tích của ly. Tính số ly nước chứa hết số nước từ bình.
a) Gọi \(x,y(\;{\rm{cm}})\) lần lượt là chiều rộng và chiều cao của bình nước \((x,y > 0)\)
Theo đề Câu ta có: \(\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{{20}}{5} = 4\)
Chiều rộng đáy bình: \(4.2 = 8(\;{\rm{cm}})\); Chiều dài đáy bình: \(4.3 = 12(\;{\rm{cm}})\)
Thể tích nước tối đa bình nước chứa được: \(8 \cdot 12.20 = 1920\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\)
b) Thể tích ly nước: \(\pi {\left( {\frac{5}{2}} \right)^2} \cdot 12 = 75\pi \left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\)
Thể tích nước đổ vào 1 ly: \(90\% .75\pi = 67,5.\pi \left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\)
Số ly nước có thể đổ lượng nước cần từ bình nước trên: \(\frac{{1920}}{{67,5.\pi }} \approx 9,1{\rm{ ly}}\).
Vậy số ly nước cần dùng là 10 ly.
Một cốc thủy tinh hình trụ đựng đầy nước có chiều cao bằng 10 cm và thể tích bằng \(90\pi {\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\). Người ta thả vào cốc một viên bi sắt hình cầu có bán kính bằng bán kính đáy cốc nước, viên bi sắt ngập toàn bộ trong nước. Tính lượng nước bị tràn ra khỏi cốc? (làm tròn kết quả đến chữ số thâp phân thứ nhất).
Bán kính của cốc nước là: \({\rm{R}} = \sqrt {\frac{{90\pi }}{{\pi \cdot 10}}} = 3(\;{\rm{cm}})\).
Vì viên bi sắt có bán kính bằng bán kính đáy cốc nên bán kính viên bi cũng là 3 cm.
Thể tích nước tràn ra ngoài là: \(\frac{4}{3} \cdot \pi \cdot {3^3} = 36\pi \left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right) \approx 113,1\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).
Một cốc nước hình trụ có chiều cao \(15cm\), bán kính đáy là \(3cm\) và lượng nước ban đầu trong cốc cao \(12cm\). Thả chìm hoàn toàn vào cốc nước 3 viên bi thủy tinh hình cầu có cùng bán kính là \(2cm\). (Giả sử độ dày của thành cốc và đáy cốc không đáng kể - mô phỏng bằng hình vẽ)
a) Tính thể tích của nước trong cốc.
b) Khi thả 3 viên bi hình cầu vào cốc thì nước trong cốc có bị tràn ra ngoài không? Nếu có hãy tính thể tích nước bị tràn ra ngoài?
(Biết công thức tính thể tích của hình trụ là \({\rm{V}} = \pi {{\rm{r}}^2}\;{\rm{h}}\), thể tích hình cầu là \({\rm{V}} = \frac{4}{3}\pi {{\rm{R}}^3}\), lấy \(\pi = 3,14\) các kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2 )
a) Thể tích của nước trong cốc: \({\rm{V}} = \pi {{\rm{r}}^2}\;{\rm{h}} = 3,14 \cdot {3^2} \cdot 12 = 339,12\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\)
b) Thể tích của cốc hình trụ: \({\rm{V}} = \pi {{\rm{r}}^2}\;{\rm{h}} = 3,14 \cdot {3^2} \cdot 15 = 423,9\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\)
Thể tích của nước trong cốc và thể tích của 3 viên bi hình cầu: \(339,12 + 3 \cdot \frac{4}{3} \cdot 3,14 \cdot {2^3} = 439,6\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\)
Tổng thể tích của nước và bi lớn hơn thể tích của cốc nên nước bị tràn ra ngoài, thể tích bị tràn là: \(439,6 - 423,9 = 15,7\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\)
Một cái mũ như hình bên, gồm một hình nón và một hình vành khăn. Tính diện tích vải cần dùng để tạo ra bề mặt bên ngoài của cái mũ. Biết công thức tính diện tích xung quanh của hình nón là \({\rm{S}} = \pi {\rm{r}}l\) ( r là bán kính đáy hình nón, \(l\) là độ dài đường sinh hình nón), công thức tính diện tích hình vành khăn là \({\rm{S}} = \pi \left( {{{\rm{R}}^2} - {{\rm{r}}^2}} \right)\) ( R là bán kính đường tròn lớn, \(r\) là bán kính đường tròn nhỏ) và diện tích vải bị hao hụt khi may nón là \(17\% \) (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Bán kính đường tròn lớn là \({\rm{R}} = \frac{{35}}{2} = 17,5(\;{\rm{cm}})\).
Bán kính đường tròn nhỏ là \({\rm{r}} = \frac{{35 - 2.10}}{2} = 7,5(\;{\rm{cm}})\).
Diện tích xung quanh của hình nón là \({{\rm{S}}_1} = \pi rl = \pi \cdot 7,5 \cdot 30 = 225\pi \left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Diện tích hình vành khăn là \({{\rm{S}}_2} = \pi \left( {{{\rm{R}}^2} - {{\rm{r}}^2}} \right) = \pi \left( {17,{5^2} - 7,{5^2}} \right) = 250\pi \left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Diện tích vải cần dùng để tạo ra mặt ngoài của mũ là:\({\rm{S}} = \left( {{{\rm{S}}_1} + {{\rm{S}}_2}} \right)(1 + 17\% ) = (225\pi + 250\pi )(1 + 17\% ) \approx 1746\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\)
Cho hình bên là một thúng gạo vun đầy. Thúng có dạng nửa hình cầu với đường kính 50 cm, phần gạo vun lên có dạng hình nón cao 15 cm.
a) Tính thể tích phần gạo trong thúng (làm tròn đến dạng 0,1 ).
Biết thể tích hình nón là \({\rm{V}} = \frac{1}{3}\pi {{\rm{R}}^2}\;{\rm{h}}\), hình trụ là \({\rm{V}} = \pi {{\rm{R}}^2}\;{\rm{h}}\) và hình cầu là \({\rm{V}} = \frac{4}{3}\pi {{\rm{R}}^3}\)
b) Nhà Danh dùng lon sữa bò cũ có dạng hình trụ (bán kính đáy bằng 5 cm, chiều cao 15 cm ) để đong gạo mỗi ngày. Biết mỗi ngày nhà Danh ăn 5 lon gạo và mỗi lần đong thì lượng gạo chiếm \(90\% \) thể tích lon. Hỏi với lượng gạo ở thúng trên thì nhà Danh có thể ăn nhiều nhất là bao nhiêu ngày.
a) Bán kính hình cầu là: 50:2 = 25(cm)
Thể tích gạo trong thúng là: \({{\rm{V}}_{{\rm{gao }}}} = {{\rm{V}}_{{\rm{n\'o n }}}} + \frac{1}{2}\;{{\rm{V}}_{{\rm{h}}{\rm{.c\^a u }}}} = \frac{1}{3}\pi {{\rm{R}}^2}\;{\rm{h}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}\pi {{\rm{R}}^3}\)\( = \frac{1}{3}\pi {25^2} \cdot 15 + \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}\pi \cdot {25^3} = \frac{{40625}}{3}\pi \approx 42542,4\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right).\)
b) Thể tích gạo 1 lần đong là: \(90\% \pi {{\rm{R}}^2}\;{\rm{h}} = 0,9 \cdot \pi \cdot {5^2} \cdot 15 = \frac{{675}}{2}\pi \left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).
Thể tích gạo 1 ngày nhà Danh ăn là: \(5 \cdot \frac{{675}}{2}\pi = \frac{{3375}}{2}\pi \left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).
Với lượng gạo trong thúng số ngày nhiều nhất nhà Danh có thể ăn được là: \(\frac{{40625}}{3}\pi :\left( {\frac{{3375}}{2}\pi } \right) \approx 8\) ngày
Một chai nước suối của hãng A được thiết kế gồm ba phần: phần miệng chai có dạng hình trụ với chiều cao \(2,5\;{\rm{cm}}\) và đường kính đường tròn đáy là 3 cm, phần cổ chai có dạng hình nón cụt với chiều cao 5 cm, phần thân chai có dạng hình trụ với chiều cao 10 cm và đường kính đường tròn đáy là 6 cm (như hình vẽ).
a) Tính thể tích của chai nước (làm tròn đến hàng đơn vị). Biết thể tích hình trụ là \(V = \pi {{\rm{R}}^2}h\) với R là bán kính đường tròn đáy, \(h\) là chiều cao hình trụ, thể tích hình nón cụt là \({\rm{V}} = \frac{1}{3}\pi {\rm{h'}}\left( {{\rm{r}}_1^2 + {\rm{r}}_2^2 + {{\rm{r}}_1}{{\rm{r}}_2}} \right)\) với \({{\rm{r}}_1},{{\rm{r}}_2}\) là hai bán kính đường tròn đáy của hình nón cụt, h' là chiều cao của hình nón cụt.
b) Người ta đóng nước vào chai và để tránh tình trạng dãn nở vì nhiệt, nhà sản xuất chỉ đóng vào chai một lượng nước bằng \(90\% \) so với thể tích của chai nước. Đồng thời Viện y tế quốc gia Hoa Kỳ (NIH) khuyến nghị mỗi người nên uống đủ 2 lít nước mỗi ngày. Hỏi cần mua tối thiểu bao nhiêu chai nước suối của hãng A để đảm bảo theo khuyến nghị của NIH?
a) Thể tích của hình trụ nhỏ là: \({{\rm{V}}_1} = \pi {{\rm{R}}_1}^2\;{{\rm{h}}_1} = \pi {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2}2,5 \approx 18\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).
Thể tích của hình trụ lớn là: \({{\rm{V}}_2} = \pi {{\rm{R}}_2}^2\;{{\rm{h}}_2} = \pi {\left( {\frac{6}{2}} \right)^2}10 \approx 283\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).
Thể tích của hình nón cụt là: \({{\rm{V}}_3} = \frac{1}{3}\pi \cdot {{\rm{h}}_3}\left( {{{\rm{R}}_1}^2 + {{\rm{R}}_2}^2 + {{\rm{R}}_1}{{\rm{R}}_2}} \right) = \frac{1}{3}\pi \cdot 5 \cdot \left[ {{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{6}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{6}{2}} \right] \approx 82\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\)
Thể tích của chai nước là: \({\rm{V}} = {{\rm{V}}_1} + {{\rm{V}}_2} + {{\rm{V}}_3} = 18 + 283 + 82 = 383\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).
b) Đổi 2 lít \( = 2000\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\)
Thể tích nước được đóng trong chai là: \({{\rm{V}}_{\rm{n}}} = 90\% .383 \approx 345\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).
Số chai nước suối tối thiểu cần mua để đảm bảo theo khuyến nghị NIH là: \(\frac{{2000}}{{345}} \approx 6\) (chai).
Vậy cần mua tối thiểu 6 chai để đảm bảo theo khuyến nghị NIH.
Một hộp kem hình trụ có đường kính 12 cm và chiều cao 15 cm đựng đầy kem. Kem sẽ được người bán hàng chia vào các bánh ốc quế hình nón có chiều cao 12 cm và đường kính 6 cm, có hình bán cầu trên đỉnh như hình vẽ.
a) Tính thể tích hộp kem hình trụ?
b) Tính số que kem có thể chia được? Biết rằng người bán hàng đã chia kem vào bánh ốc quế ít hơn \(5\% \) so với
thể tích thực của chiếc bánh như hình vẽ trên tính luôn phần bán cầu. Cho biết công thức tính thể tích:
Hình trụ là: \({\rm{V}} = {\rm{S}}\).h trong đó S là diện tích đáy hình trụ, h là chiều cao hình trụ
Hình nón: \({\rm{V}} = \frac{1}{3}\;{\rm{S}}\).h trong đó S là diện tích đáy hình nón, h là chiều cao hình nón
Hình cầu: \({\rm{V}} = \frac{4}{3}\pi {{\rm{R}}^3}\) trong đó \(\pi \approx 3,14;{\rm{R}}\) là bán kính hình cầu.
a) Thể tích hộp kem hình trụ: \({\rm{V}} = {\rm{S}} \cdot {\rm{h}} = \pi {{\rm{R}}^2}\;{\rm{h}} = \pi \cdot {6^2} \cdot 15 \approx 1695,6\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).
b) Thể tích que kem hình bánh ốc quế là: \({\rm{V}} = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot {3^2} \cdot 12 + \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot {3^3} \approx 131,88\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).
Lượng kem mà người bán bỏ vào bánh là: \({\rm{V}} = 131,88.95\% = 125,29\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).
Số que kem có thể chia được là: \(1695,6:125,29 \approx 13,58 \approx 16\) (que).
Vậy ta có thể chia được 16 que kem.
Hình bên miêu tả một chiếc bình đựng nước trong hai trường hợp: khi được đặt thẳng đứng và khi úp ngược lại. Biết phần gạch chéo trong hình là phần chứa nước và các số đo như trong hình vẽ. Biết rằng công thức tính thể tích hình trụ là \(V = \pi {R^2}.h\) với \(R\)là bán kính đáy và \(h\) là chiều cao hình trụ.
a) Hãy tính thể tích nước trong bình.
b) Hãy tính thể tích của bình?
(Các kết quả trong Câu làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)
a) Thể tích của lượng nước trong chai là: \({\rm{V}} = \pi {{\rm{R}}^2} \cdot {\rm{h}} = \pi \cdot {\left( {\frac{{20}}{2}} \right)^2} \cdot 18 \approx 5654,9\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\)
b) Thể tích của chai là: \(V = 5654,9 + \pi \cdot {10^2} \cdot 23 \approx 12880,6\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).
Một bình nước có dạng hình trự, phần lòng bên trong của bình nước cũng có dạng hình trụ có chiều cao là 20 cm và chu vi mặt đáy là \(10\pi cm\).
a) Tính thể tích nước có thể chứa trong bình khi đổ đầy. (Kết quả chính xác hai chữ số thập phân)
b) Hiện tại mực nước có trong bình cao 10 cm, một con quạ muốn uống nước trong bình thì cần phải thả vào bình những viên sỏi có thể tích tương đương một khối cầu đường kính là 4 cm. Hỏi con quạ phải thả tối thiểu vào trong bình bao nhiêu viên sỏi như nhau để có thể uống nước trong bình, biết tầm với của mỏ con quạ là 6 cm.
a) \({\rm{C}} = 2\pi {\rm{R}} \Rightarrow {\rm{R}} = \frac{{\rm{C}}}{{2\pi }} = \frac{{10\pi }}{{2\pi }} = 5(\;{\rm{cm}})\)
Thể tích nước có thể chứa trong bình khi đổ đầy: \({\rm{V}} = \pi {{\rm{R}}^2}\;{\rm{h}} = \pi \cdot {5^2} \cdot 20 = 1570,796327 \approx 1570,80\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right).\)
b) Tầm với của mỏ quạ là 6 cm nên chiều cao của nước tối thiểu trong bình để con quạ có thể uống được là: \(20 - 6 = 14\;{\rm{cm}}\).
Chiều cao nước cần dâng lên tối thiếu là: \(14 - 10 = 4\;{\rm{cm}}\).
Thể tích của đá bỏ vào (hay thể tích nước dâng lên) là: \({\rm{V}} = \pi {{\rm{R}}^2}\;{\rm{h}} = \pi \cdot {5^2}.4 = 100\pi \left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).
Thể tích một viên đá: \({{\rm{V}}_1} = \frac{4}{3}\pi {{\rm{R}}^3} = \frac{4}{3}\pi {(4:2)^3} = \frac{{32\pi }}{3}\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\)
Số viên đá bỏ vào là: \(100:\frac{{32\pi }}{3} = 2,9841551 \approx 3\)
Con quạ phải thả tối thiểu vào trong bình 3 viên sỏi như nhau để có thể uống nước trong bình.
Một người nông dân gánh một quang gánh gồm 2 thúng gạo có kích thước và chứa lượng gạo hai bên như nhau. Một thúng gạo là nửa hình cầu có đường kính là 40 cm và để có thể đem được nhiều gạo hơn, người dân mới đổ đầy gạo vào thúng và vun gạo lên trên thành một hình nón có chiều cao 15 cm.
a) Tính lượng gạo trong 1 thúng của quang gánh (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)
b) Người nông dân dùng lon sữa bò có dạng hình trụu có bán kính đáy 4 cm, chiều cao bằng 10 cm để đong gạo vào thúng. Mỗi lần đong được lượng gạo bằng \(95\% \) thể tích lon. Hỏi người nông dân cần đong ít nhất bao nhiêu lon gạo để đủ gạo cho quang gánh như trên. Biết thể tích hình nón \(V = \frac{1}{3}.3,14.{R^2}.h\); thể tích hình cầu
\(V = \frac{4}{3}.3,14.{R^3}\); thể tích hình \[V = 3,14.{R^2}.h\].
a) Lượng gạo trong 1 thúng gạo là:
\(\frac{1}{3} \cdot 3,14 \cdot {20^2} \cdot 15 + \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot 3,14 \cdot {20^3} = \frac{{69080}}{3}\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3} \approx 23026,7\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\)
b) Lượng gạo 1 lon đong được vào thúng: \(95\% \cdot 3,14 \cdot {4^2} \cdot 10 = 477,28\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\).
Số lon gạo cần đong để đủ gạo cho quang gánh là: \((2.23026,7):477,28 = 96,5\) lần.
Vậy cần đong ít nhất 97 lần sẽ đầy gạo vào quang gánh.
Một tháp đồng hồ có phần dưới có dạng hình hộp chữ nhật, đáy là hình vuông có cạnh dài 5 m, chiều cao của hình hộp chữ nhật là 12 m. Phần trên của tháp có dạng hình chóp đều, các mặt bên là các tam giác cân chung đinh (hình vẽ). Mỗi cạnh bên của hình chóp dài 8 m.
a) Tính theo mét chiều cao của tháp đồng hồ? (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
b) Cho biết thể tích của hình hộp chữ nhật được tính theo công thức \(V = S.h\), trong đó \(S\) là diện tích mặt đáy, \(h\) là chiều cao của hình hộp chữ nhật. Thể tích của hình chóp được tính theo công thức \(V = \frac{1}{3}\;S.h\), trong đó \(S\) là diện tích mặt đáy, \(h\) là chiều cao của hình chóp. Tính thể tích của tháp đồng hồ này? (Làm tròn đến hàng đơn vị).
a) Độ dài đường chéo \({\rm{A'C'}}\) của hình vuông \(A'B'C'D'\) là: \(A'C' = 5\sqrt 2 \;{\rm{m}}\).
Suy ra \(O'C' = \frac{{A'C'}}{2} = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\;{\rm{m}}\).
Áp dụng định lí Pythagore cho \(\Delta {\rm{S}}O'C'\) vuông tại \({\rm{O'}}\) ta có:
\({\rm{S}}{C'^2} = {\rm{S}}{O'^2} + O'{C'^2} \Rightarrow {8^2} = {\rm{S}}{O'^2} + {\left( {\frac{{5\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} \Rightarrow {\rm{S}}{O'^2} = \frac{{103}}{2} \Rightarrow SO' \approx 7,2\)
Vậy chiều cao của tháp khoảng \(19,2\;{\rm{m}}\).
b) Thể tích của hình hộp chữ nhật: \({V_1} = S \cdot h = 5 \cdot 5 \cdot 12 = 300\;{{\rm{m}}^3}\).
Thể tích của hình chóp: \({{\rm{V}}_2} = \frac{1}{3}\;{\rm{S}} \cdot {\rm{h}} = \frac{1}{3}5 \cdot 5 \cdot 7,2 = 60\;{{\rm{m}}^3}\).
Thể tích của tháp đồng hồ: \({\rm{V}} = {{\rm{V}}_1} + {{\rm{V}}_2} = 300 + 60 = 360\;{{\rm{m}}^3}\).
Cho tháp nước như hình dưới đây, tháp được thiết kế gồm thân tháp có dạng khối trụ, phần mái phía trên có dạng khối nón và đáy là nửa khối cầu. Không gian bên trong toàn bộ tháp được minh hoạ theo hình vẽ với đường kính đáy hình trụ, hình cầu và của hình nón đều bằng 3 m, chiều cao hình trụ là 2 m, chiều cao hình nón là 1 m. Tính thể tích của toàn bộ không gian bên trong tháp nước.
Thể tích của phần không gian bên trong của khối nón là \({{\rm{V}}_1} = \frac{1}{3}\pi \cdot {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} \cdot 1 = \frac{{3\pi }}{4}\left( {\;{{\rm{m}}^3}} \right)\).
Thể tích của phần không gian bên trong của khối trụ là \({{\rm{V}}_2} = \pi \cdot {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} \cdot 2 = \frac{{9\pi }}{2}\left( {\;{{\rm{m}}^3}} \right)\).
Thể tích của phần không gian bên trong của nửa khối cầu là \({{\rm{V}}_3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}\pi \cdot {\left( {\frac{3}{2}} \right)^3} = \frac{{9\pi }}{4}\left( {\;{{\rm{m}}^3}} \right)\).
Thể tích của toàn bộ không gian bên trong tháp nước là \({\rm{V}} = {{\rm{V}}_1} + {{\rm{V}}_2} + {{\rm{V}}_3} = \frac{{15}}{2}\pi \left( {{{\rm{m}}^3}} \right)\).
Đặt quả bóng vào trong một hộp hình lập phương sao cho quả bóng tiếp xúc với các mặt của hình lập phương đó. Hãy tính đường kính \(d\) của quả bóng, biết thể tích hình khối lập phương\(V\, = \,4096\;\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\)
Độ dài một cạnh của hình lập phương là:
\(\sqrt[3]{{4096}}\, = \,16\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\)
Đường kính của quả bóng chính bằng độ dài cạnh của hình lập phương.
Vậy quả bóng có đường kính là: \(16\;{\rm{cm}}\).
Một xe bồn chở nước sạch cho một khu chung cư có 200 hộ dân. Mỗi đầu của bồn chứa nước là 2 nửa hình cầu (có kích thước như hình vẽ). Bồn chứa đầy nước và lượng nước chia đều cho từng hộ dân. Tính xem mỗi hộ dân nhận được bao nhiêu lít nước sạch? (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai, lấy \(\pi = 3,14\)).
Hình trụ có bán kính đáy bằng bán kính hình cầu \(R = 0,9\) (m) và có chiều cao \(h = 3,62\left( m \right)\).
Thể tích phần hình trụ của bồn nước là: \({V_1} = \pi {R^2}.h\)\( = 3,14.{\left( {0,9} \right)^2}.3,62\) \(\left( {{m^3}} \right)\)
Hai đầu của bồn nước có thể tích bằng thể tích của một hình cầu có bán kính chính là bán kính của đáy hình trụ nên thể tích hai đầu của bồn nước là:
\({V_2} = \frac{4}{3}\pi {R^3}\)\( = \frac{4}{3} \cdot 3,14.{\left( {0,9} \right)^3}\) \(\left( {{m^3}} \right)\)
Thể tích bồn nước là:
\(V = {V_1} + {V_2}\)\( = 3,14.{\left( {0,9} \right)^2}.3,62 + \frac{4}{3} \cdot 3,14.{\left( {0,9} \right)^3} \approx 12,26\left( {{m^3}} \right)\)
Lượng nước sạch mỗi hộ dân nhận được là: 12 260:200 = 61,3 (lít).
Một bình hình trụ có đường kính đáy 1dm, chiều cao 2dm bên trong có chứa viên bi hình cầu có bán kính 4cm. Hỏi phải đổ vào bình bao nhiêu lít nước để nước đầy bình (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
Cho biết: \(\)\({V_{Tru}} = \pi .{r^2}h\) với \(r\) là bán kính đáy; \(h\) là chiều cao hình trụ.
\({V_{{\rm{C\c{C}u}}}} = \frac{{\rm{4}}}{{\rm{3}}}\pi {R^3}\) với \(R\) là bán kính hình cầu
Đổi đơn vị: 4 cm = 0,4 dm.
Thể tích của viên bi là: \({V_C} = \frac{4}{3}\pi {R^3}\)\[ = \frac{4}{3}\pi .{\left( {0,4} \right)^3}\]\[ = \frac{{32}}{{375}}\pi \] (dm3)
Hình trụ có bán kính đáy bằng \(r = 0,5\) dm và có chiều cao \(h = 2\)dm.
Thể tích của hình trụ là \[{V_T} = \pi .{r^2}h\]\[ = \pi .{\left( {0.5} \right)^2}.2 = \frac{\pi }{2}\](dm3).
Số nước cần phải đổ để nước đầy bình là: \[\frac{\pi }{2} - \frac{{32\pi }}{{375}} = \frac{{311\pi }}{{750}} \approx 1,3\](dm3)
Vậy số nước cần phải đổ để nước đầy bình là: 1,3 lít.
Một cái mũ bằng vải của nhà ảo thuật với kích thước như hình vẽ.
Hãy tính tổng diện tích vải cần để làm cái mũ đó biết rằng vành mũ hình tròn và ống mũ hình trụ (làm tròn đến hàng đơn vị).
Ống mũ là hình trụ với chiều cao 35 cm, bán kính đáy \(R = \frac{{35 - 2.10}}{2} = 7,5{\kern 1pt} cm\)
Diện tích vải để làm ống mũ là: \({S_1} = 2\pi Rh + \pi {R^2} = 2\pi .7,5.35 + \pi 7,{5^2} = 506,25\pi \;(c{m^2})\)
Diện tích vải để làm vành mũ là: \({S_2} = \pi .17,{5^2} - \pi .7,{5^2} = 250\pi \;(c{m^2})\)
Vậy tổng diện tích vải cần để làm cái mũ là: \(506,25\pi \; + 250\pi = 756,25\pi \;(c{m^2}) \approx 2376(c{m^2})\)
Ở hai quầy hàng \[A\] và \[B\] trong hội hoa xuân, người ta bán hai loại bắp rang bơ lần lượt được đựng trong hai loại hộp hình nón và hình trụ với thông tin về giá cả và định lượng như trong hình dưới đây. Vỏ hộp được làm bằng giấy, phần này nhận được tài trợ của công ty giấy, nên cả hai quầy không tốn chi phí làm vỏ hộp. Hỏi bạn \[H\] nên mua bắp rang bơ ở quầy \[A\] hay quầy \[B\] để bạn có lợi hơn? Tại sao?
Ta có: \[{V_A} = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}.\pi {.3^2}.6 = 18\pi \]
\[\begin{array}{l}{V_{\bf{B}}} = \pi {r^2}h = \pi {.3^2}.6 = 54\pi \\ \Rightarrow {V_B} = 3{V_A}\end{array}\]
Mà giá quầy hàng \[B\] gấp \[2\] lần giá quầy hàng \[A\]
Vậy bạn \[H\] nên mua bắp rang bơ ở quầy \[B\] thì có lợi hơn
Bạn đang tìm kiếm 1 món đồ mà mọi người nhìn vào biết ngay bạn là một Ảo thuật gia thực sự? Đó là một chiếc nón bằng vải nỉ được may theo phong cách cao bồi. Chiếc mũ ảo thuật này chính là sản phẩm mà bất kỳ các nhà ảo thuật gia nào cũng đều đội khi biểu diễn. Ảo thuật gia gỡ chiếc nón xuống và bắt đầu tạo nên phép màu. Đầu tiên chiếc nón huyền bí bắn ra một loạt bông tuyết với một tiếng nổ lớn. Sau tiếng nổ là một ngọn lửa bốc cháy dữ dội từ bên trong chiếc mũ, và điều đặc biệt nhất chính là từ trong ngọn lửa, chú chim bồ câu xuất hiện một cách thật là thần kỳ. Không chỉ thế bạn còn có thể lấy ra thỏ, chim hoặc 1 số vật dụng bạn yêu thích. Đặc biệt chiếc mũ này còn là một đạo cụ thích hợp cho những ai diễn sân khấu.
Một chiếc mũ bằng vải của nhà ảo thuật với kích thước như hình vẽ. Hãy tính tổng diện tích vải cần để làm cái mũ đó. Biết rằng vành mũ hình tròn và ống mũ hình trụ.
Ống mũ là hình trụ với chiều cao h = 35 cm và có bán kính đáy \(R = \frac{{35 - 2.10}}{2} = 7,5\) (cm).
Diện tích vải để làm ống mũ là: \({S_1} = 2R\pi h + {R^2}\pi = 2.(7,5).\pi .35 + {(7,5)^2}.\pi = 581,25\pi \) (cm2).
Diện tích vải để làm vành mũ là: \({S_2} = R_1^2\pi - R_2^2\pi = {(17,5)^2}.\pi - {(7,5)^2}.\pi = 250\pi \) (cm2).
Tổng diện tích vải cần để làm cái mũ là: \(581,25\pi + 250\pi = 831,25\pi \left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Từ một khúc gỗ hình trụ cao \[15\,\,cm,\] người ta tiện thành một hình nón có đáy là hình tròn bằng với đáy hình trụ, chiều cao của hình nón bằng chiều cao của hình trụ. Biết phần gỗ bỏ đi có thể tích là \[3610\pi \] (cho biết \[\pi \approx 3,14\]). Công thức tính thể tích hình trụ: \[V{\rm{ }} = \pi {R^2}h,\] thể tích hình nón: \[V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h\] (với \[R\] là bán kính đáy, \[h\] là chiều cao khúc gỗ). Tính thể tích khúc gỗ hình trụ, (làm tròn tới hàng đơn vị).
Ta có \[\pi {R^2}h - \frac{1}{3}\pi \pi {R^2}h - \frac{1}{3}\pi {R^2}h = 3640\pi \Leftrightarrow {R^2}\left( {15 - \frac{1}{3}.15} \right) = 3610\]
\( \Leftrightarrow {R^2} = 361 \Leftrightarrow R = 19\left( {cm} \right)\)
Thể tích khúc gỗ: \(V = \pi {R^2}h = 3,{14.19^2}.15 \approx 17003\left( {c{m^3}} \right)\)
Làm lại:
Ta có, thể tích của phần gỗ bỏ đi là: \[\pi {R^2}h - \frac{1}{3}\pi {R^2}h = 3640\pi \]\[\left( {c{m^2}} \right)\]
\[ \Leftrightarrow {R^2}\left( {15 - \frac{1}{3}.15} \right) = 3610 \Leftrightarrow {R^2} = 361 \Leftrightarrow R = 19\]cm
Thể tích khúc gỗ hình trụ ban đầu là:
\(V = \pi {R^2}h \approx 3,{14.19^2}.15 \approx 17003\left( {c{m^3}} \right)\)
Một xô đựng nước có dạng hình nón cụt (như hình vẽ). Đáy xô có bán kính \({\rm{MN}} = 9\;{\rm{cm}}\), miệng xô là đáy lớn của hình nón cụt có \({\rm{BC}} = 21\;{\rm{cm}}\), chiều cao của xô là \({\rm{BN}} = {\rm{h}},{\rm{MC}} = 36\;{\rm{cm}}\). Biết \(\widehat {{\rm{ANM}}} = \widehat {{\rm{ABC}}} = {90^^\circ }\).
a) Hỏi xô có thể chứa bao nhiêu lít nước? (Ghi kết quả làm tròn 1 chữ số thập phân). Biết công thức tính thể tích hình nón cụt là \({\rm{V}} = \frac{1}{3}\pi {\rm{h}}\left( {{\rm{r}}_1^2 + {\rm{r}}_2^2 + {{\rm{r}}_1}{{\rm{r}}_2}} \right)\) với h là chiều cao của hình nón cụt; \({{\rm{r}}_1},{{\rm{r}}_2}\) lần lượt là bán kính 2 đáy của hình nón cụt.
b) Bạn Nam dùng xô trên để lấy nước cho vào bể chứa hình hộp chữ nhật có kích thước \(120\;{\rm{cm}} \times 100\;{\rm{cm}} \times 90\;{\rm{cm}}\). Biết trong mỗi lần lấy nước cho vào bể chứa thì lượng nước hao hụt là \(20\% \). Hỏi bạn Nam cần lấy ít nhất bao nhiêu lần để đầy bể chứa? Bỏ qua thể tích thành bể.
a) Ta có: \(IC = 21 - 9 = 12\;{\rm{cm}}\). \({\rm{IM}} = \sqrt {{{36}^2} - {{12}^2}} = 33,94\;{\rm{cm}} = {\rm{h}}\)
\({\rm{V}} = \frac{1}{3}\pi {\rm{h}}\left( {{\rm{r}}_1^2 + {\rm{r}}_2^2 + {{\rm{r}}_1}{{\rm{r}}_2}} \right)\)
\({\rm{V}} = \frac{1}{3}3,14.33,94\left( {{9^2} + {{21}^2} + 9.21} \right)\)
\({\rm{V}} = 25257\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3} = 25,3{\rm{ l\'i t }}\)(vẽ \({\rm{MI}} \bot {\rm{BC}}\) tại \({\rm{I}};{\rm{MN}} = {\rm{BI}})\)
Vậy xô có thể chứa khoảng 25,3 lít nước.
b) Thể tích bể hình hộp chữ nhật: \(120.100.90 = 1080000\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\)
Số xô cần (hao hụt \(20\% /\) lần): 1080000: ( \(25257.80\% \) ) \( = 34,2\) xô
Vậy anh cần khoảng 35 xô để đổ đầy bể.
Một bồn nước inox có dạng hình hộp chữ nhật có chiều dài \(1,5\,{\rm{m}}\), chiều rộng \(1,2\,{\rm{m}}\), chiều cao \(1,4\,{\rm{m}}\). Hỏi bồn nước đựng đầy được bao nhiêu mét khối nước? (Bỏ qua bề dày của bồn nước).
Thể tích của bồn nước hình hôp chữ nhật là: \(1,5.1,2.1,4 = 2,52\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\)
Vậy bồn nước đựng được \(2,52\,{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\)nước
Một thùng hình hộp chữ nhật có chiều dài là \(0,5\,{\rm{m}}\); chiều rộng là \(0,4\,{\rm{m}}\); chiều cao là \(3\,{\rm{dm}}\). Hỏi cần phải mua bao nhiêu lít dầu để đổ đầy thùng?
\(0,5m = 5dm\)
\(0,4m = 4dm\)
Thể tích thùng là: \(V = 5.4.3 = 60\,{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\)
\( \Rightarrow \) Cần phải mua \(60\) lít dầu để đổ đầy thùng
Một trường THCS ở thành phố chuẩn bị xây dựng một hồ bơi cho học sinh với kích thước như sau: chiều rộng là \[6\] m, chiều dài \[12,5\] m, chiều sâu \[2\] m. Sức chứa trung bình \[0,5{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}\]/ người (Tính theo diện tích mặt đáy). Thiết kế như hình vẽ sau
a) Hồ bơi có sức chứa tối đa bao nhiêu người?
b) Tính thể tích của hồ bơi? Lúc này người ta đổ vào trong đó lít nước. Tính khoảng cách của mực nước so với mặt hồ? (\[1{\rm{ }}{{\rm{m}}^3} = {\rm{ }}1000\]lít)
a) Diện tích mặt đáy của hồ bơi là: \[6.12,5 = 75\,\,{m^2}\]
Sức chứa tối đa của hồ bơi là: \[75:0,5 = 150\](người)
b) Chiều cao của mực nước so với đáy: \[120:75 = 1,6\,\,\left( m \right)\]
Chiều cao của mực nước so với mặt hồ: \[2 - 1,6 = 0,4\,\,\left( m \right)\].
Hình lập phương có thể tích là \(125\;{{\rm{m}}^3}\).
a) Tính độ dài \(d\) là độ dài đường chéo một mặt của hình lập phương.
b) Tính độ dài \(D\) là độ dài đường chéo của hình lập phương.
a) Tính độ dài \(d\) là độ dài đường chéo một mặt của hình lập phương.
Ta có thể tích của hình lập phương là \(V = {a^3} = 125\;\left( {{{\rm{m}}^3}} \right)\), dó đó ta có độ dài cạnh của hình lập phương là \(a = 5\;\left( {\rm{m}} \right)\).
Do các mặt của hình lập phương là hình vuông nên đường chéo \(d\) của một mặt hình lập phương là cạnh huyền của tam giác vuông có hai cạnh góc vuông có độ dài là \(a\).
Áp dụng định lí Pytago, ta được: \(d = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = \sqrt {50} = 5\sqrt 2 \;\left( {\rm{m}} \right)\).
b) Tính độ dài \(D\) là độ dài đường chéo của hình lập phương.
Hình lập phương có các mặt vuông góc với nhau nên đường chéo \(D\) của hình lập phương là cạnh huyền của tam giác vuông có độ dài cạnh góc vuông lần lượt là \(a\) và \(d\).
Áp dụng định lí Pytago ta được \(D = \sqrt {{a^2} + {d^2}} = \sqrt {{5^2} + {{\left( {5\sqrt 2 } \right)}^2}} = \sqrt {75} = 5\sqrt 3 \;\left( {\rm{m}} \right)\).
Vậy \(d = 5\sqrt 2 \;{\rm{m}}\), \(D = 5\sqrt 3 \;{\rm{m}}\).
Một bình chứa nước hình hộp chữ nhật có diện tích đáy là \[20\,d{m^2}\] và chiều cao \[3\,dm\]3dm. Người ta rót hết nước trong bình ra những chai nhỏ mỗi chai có thể tích là \[0,35\,d{m^3}\]được tất cả 72 chai. Hỏi lượng nước có trong bình chiếm bao nhiêu phần trăm thể tích bình?
Thể tích của lượng nước trong 72 chai nhỏ:\[0,35.72 = 25,2\,\,\left( {d{m^3}} \right)\].
Thể tích của bình: \[20.3 = 60\,\,\left( {d{m^3}} \right)\].
Thể tích nước trong bình chiếm: \[25,2:60 = 42\% \] thể tích bình.
Một bể kính nuôi cá có dạng hình hộp chữ nhật có chiều dài \(100\)cm, chiều rộng \(50\)cm, chiều cao \(60\)cm. Mực nước trong bể cao bằng\(\frac{3}{4}\) chiều cao bể. Tính thể tích nước trong bể đó. (độ dày kính không đáng kể). Công thức tính thể tích nước trong bể là\(V = S.h\) với \(S\) là diện tích mặt đáy bể và \(h\) là chiều cao mực nước trong bể.
Chiều cao mực nước trong bể: \(h = \frac{3}{4} \cdot 60 = 45\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\)
Thể tích nước trong bể là: \(V = 100.50.45 = 225\,000\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\)
Một xe tải đông lạnh chở hàng có thùng xe dạng hình hộp chữ nhật với kích thước như hình bên. Bạn hãy tính giúp thể tích của thùng xe và diện tích phần Inox đóng thùng xe (tính luôn sàn).
Tính đúng thể tích thùng xe : \[2.\;1,5.\;3 = 9\;\left( {{m^3}} \right)\]
Tính đúng diện tích toàn phần :
\[2.\;\left( {2.\;1,5 + 3.\;1,5 + 2.\;3} \right) = 27\;\left( {{m^2}} \right)\]
Một xe tải chở hàng có thùng xe dạng hình hộp chữ nhật với kích thước như hình bên.
a) Hãy tính thể tích của thùng xe. (Độ dày của thùng xe xem như không đáng kể)
b) Người ta xếp vào thùng xe tải trên các thùng hàng loại A có dạng hình lập phương độ dài cạnh 40 cm để vận chuyển. Hỏi mỗi lần vận chuyển xe có thể chở được nhiều nhất bao nhiêu thùng hàng loại A?
a) Thể tích thùng xe: \(2 \cdot 3 \cdot 1,5 = 9\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\)
b) \(2\;{\rm{m}} = 200\;{\rm{cm}};3\;{\rm{m}} = 300\;{\rm{cm}};1,5\;{\rm{m}} = 150\;{\rm{cm}}\)
Số thùng hàng nhiều nhất có thể xếp được theo chiều cao của xe là 3 thùng vì \(150:40 = 3,75\)
Số thùng hàng nhiều nhất có thể xếp được theo chiều rộng của xe là 5 thùng vì \(200:40 = 5\)
Số thùng hàng nhiều nhất có thể xếp được theo chiều dài của xe là 7 thùng vì \(300:40 = 7,5\)
Số thùng hàng nhiều nhất mỗi lần vận chuyển xe có thể chở được: 3.5.7 = 105 (thùng)
Một vật chặn giấy bằng nhựa đặc có dạng hình lăng trụ đứng, hai đáy là các tam giác đều cạnh 60 mm, chiều cao lăng trụ là 150 mm.
a) Tính diện tích toàn phần khối lăng trụ.
b) Tính thể tích khối lăng trụ (làm tròn đến \({\rm{m}}{{\rm{m}}^3}\)), cho biết công thức tính diện tích tam giác đều là \({\rm{S}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\), trong đó \(a\) là độ dài cạnh tam giác đều.
a) Diện tích xung quanh hình lăng trụ đứng: \({{\rm{S}}_{{\rm{xq}}}} = 3.60.150 = 27000\left( {\;{\rm{m}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Diện tích đáy hình lăng trụ đứng: \({\rm{S}} = \frac{{{{60}^2}\sqrt 3 }}{4} \approx 1559\left( {\;{\rm{m}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Diện tích toàn phần hình lăng trụ đứng: \({{\rm{S}}_{{\rm{tp}}}} = {{\rm{S}}_{{\rm{xq}}}} + 2\;{\rm{S}} \approx 27000 + 2.1559 \approx 30118\left( {\;{\rm{m}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).
b) Thể tích khối lăng trụ đứng: \({\rm{V}} = {\rm{S}} \cdot {\rm{h}} = 1559.150 = 233850\left( {\;{\rm{m}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).
Một chiếc lều ở trại hè của học sinh có dạng hình chóp tứ giác đều: chiều cao \(SO\) là 2,8 mét và cạnh đáy hình vuông \(ABCD\) là 3 mét. \(SE\) là chiều cao đại diện cho một mặt bên.
a) Tính thể tích không khí trong chiếc lều.
b) Tính diện tích vải dùng may lều (không tính các phần mép may liên kết) biết lều này không có đáy. Biết thể tích hình chóp đều cho bởi công thức \({\rm{V}} = \frac{1}{3} \cdot \) S. \(h\); trong đó, \(S\) là diện tích đáy và \(h\) là chiều cao của hình chóp đều, kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất.
a) Diện tích đáy là \({3^2} = 9\left( {\;{{\rm{m}}^2}} \right)\)
Thể tích không khí trong lều là \({\rm{V}} = \frac{1}{3} \cdot {\rm{S}} \cdot {\rm{h}} = \frac{1}{3} \cdot 9 \cdot 2,8 = 8,4\left( {\;{{\rm{m}}^3}} \right)\).
b) \({\rm{OE}} = 3:2 = 1,5\;{\rm{m}}\). Xét tam giác SOE vuông tại O có \({\rm{S}}{{\rm{E}}^2} = {\rm{S}}{{\rm{O}}^2} + {\rm{O}}{{\rm{E}}^2}\) (Pythagore)
\({\rm{SE}} = \sqrt {2,{8^2} + 1,{5^2}} \approx 3,2(\;{\rm{m}})\)
Vậy tổng diện tích vải cần cho chiếc lều là: 4⋅S△SDC=4⋅12DC⋅SE=4⋅12⋅3,2⋅3=19,2 m2
Bạn An làm một mô hình kim tự tháp để giới thiệu về lịch sử Ai Cập cổ đại. Vì kích thước của khu trưng bày, An quyết định làm mô hình kim tự tháp từ một tấm bìa hình vuông có cạnh là 5 dm. Nhờ sự giúp đỡ của thầy, An đã tạo một mô hình kim tự tháp bằng cách cắt bỏ bốn tam giác cân bằng nhau có đáy là cạnh của hình vuông rồi gấp lên sau đó ghép lại để thành một hình chóp tứ giác đều như hình vẽ. An đã cắt miếng bia trên sao cho cạnh đáy của khối chóp tứ giác đều là \(2\sqrt 2 dm\). Em hãy tính thể tích của khối chóp tứ giác đều đó (theo đơn vị\(d{m^3}\)), biết thể tích của hình chóp được tính theo công thức: \(V = \frac{1}{3}\;S.h\), trong đó \(S\) là diện tích mặt đáy, \(h\) là chiều cao hình chóp, các mặt bên của hình chóp tứ giác đều là các tam giác cân bằng nhau, \(CB \bot GH\) và \(A\) là tâm hình vuông.
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác $C D E$ vuông cân tại \(E\), ta có: \(CD = 5\sqrt 2 ({\rm{dm}})\). \({\rm{DF}} + {\rm{FB}} + {\rm{BC}} = {\rm{CD}} \Leftrightarrow 2{\rm{BC}} = {\rm{CD}} - {\rm{BF}} = 5\sqrt 2 - 2\sqrt 2 = 3\sqrt 2 \Rightarrow {\rm{BC}} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}({\rm{dm}})\)
(Vì \({\rm{BC}} = {\rm{DF}}\), tính chất hình chóp tứ giác đều)
Áp dụng định lí Pythagore, ta có: \({\rm{C}}{{\rm{A}}^2} + {\rm{A}}{{\rm{B}}^2} = {\rm{B}}{{\rm{C}}^2} \Leftrightarrow {\rm{C}}{{\rm{A}}^2} = {\rm{B}}{{\rm{C}}^2} - {\rm{A}}{{\rm{B}}^2}\)
\( \Leftrightarrow {{\rm{h}}^2} = {\left( {\frac{{3\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} - {\left( {\frac{{2\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} \Leftrightarrow {\rm{h}} = \frac{{\sqrt {10} }}{2}({\rm{dm}})\)
Thể tích của khối chóp tứ giác đều là: \({\rm{V}} = \frac{1}{3} \cdot {\rm{B}}{{\rm{F}}^2} \cdot {\rm{CA}} = \frac{1}{3} \cdot {(2\sqrt 2 )^2} \cdot \frac{{\sqrt {10} }}{2} = 4,22{\rm{d}}{{\rm{m}}^3}\).
Người ta thiết kế chậu trồng cây có dạng hình chóp tam giác đều (như hình vẽ bên) biết cạnh đáy khoảng 20 cm, chiều cao khoảng 35 cm, độ dài trung đoạn khoảng 21 cm.
a) Người ta muốn sơn các bề mặt xung quanh chậu. Hỏi diện tích bề mặt cần sơn là bao nhiêu?
b) Tính thể tích của chậu trồng cây đó (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm). Biết đường cao của mặt đáy hình chóp là 17 cm.
a) Diện tích bề mặt cần sơn là: \({{\rm{S}}_{{\rm{xq}}}} = \frac{1}{2} \cdot {\rm{C}} \cdot {\rm{d}} = \frac{1}{2} \cdot (3 \cdot 20) \cdot 21 = 630\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\)
b) Thể tích của chậu trồng cây đó là: \({\rm{V}} = \frac{1}{3}\;{\rm{S}} \cdot {\rm{h}} = \frac{1}{3} \cdot \left( {\frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 17} \right) \cdot 35 = 1983,33\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\).
Một số khu vực vùng núi tỉnh Hà Giang nước ta vào mùa khô rất thiếu nước. Để có nước dùng các hộ dân ở đây đều xây dựng các hồ chứa nước mưa. Một hộ dân xây một hồ chứa nước mưa hình lập phương có thể tích là \(64\;{m^3}\).
a) Tính độ dài \(D\) là độ dài đường chéo của hình lập phương.
b) Nếu dùng 2 vòi nước cùng chảy vào bể thì mất bao nhiêu phút mới đầy bể? (làm tròn đến phút). Biết vòi 1 sau 2 giây chảy được 17 lít nước, vòi 2 sau 3 giây chảy được 35 lít nước.
a) Tính độ dài D là độ dài đường chéo của hình lập phương.
Độ dài cạnh a của hình lập phương là 4 m.
Độ dài đường chéo một mặt của hình lập phương là: \(d = \sqrt {{{\rm{a}}^2} + {{\rm{a}}^2}} = \sqrt {32} = 4\sqrt 2 (\;{\rm{m}})\)
Độ dài đường chéo của hình lập phương là: \({\rm{D}} = \sqrt {{{\rm{a}}^2} + {{\rm{d}}^2}} = 4\sqrt 3 (\;{\rm{m}})\).
b) Vòi 1 trong 1 giây chảy được \(\frac{{17}}{2} = 8,5\) (lít); Vòi 2 trong 1 giây chảy được \(\frac{{35}}{3}\) (lít)
Trong 1 giây cả 2 vòi chảy được: \(\frac{{35}}{3} + 8,5 = \frac{{121}}{6}\) (lít).
Đổi \(64\;{{\rm{m}}^3} = 64000\) (lít). Chảy đầy bể cần: \(64000:\frac{{121}}{6} = 3173,55(s) \approx 53\) phút.
Để tạo một mô hình kim tự tháp (hình chóp tứ giác đều) từ tấm bìa, bạn Hạ cắt theo hình bên (ở giữa là hình vuông cạnh 4 dm, các tam giác bên ngoài là tam giác cân có chiều cao 3 dm) rồi gấp 4 tam giác lại chung đỉnh. Hãy tính thể tích của mô hình được tạo thành ở trên (làm tròn đến 1 chữ số thập phân)
Cạnh bên của hình chóp là: \(\sqrt {9 + 4} = \sqrt {13} \) \(\left( {dm} \right)\)
Độ dài đường chéo của mặt đáy là: \(\sqrt {16 + 16} = \sqrt {32} = 4\sqrt 2 \) \(\left( {dm} \right)\)
Chiều cao của hình chóp là \(h = \sqrt {13 - 8} = \sqrt 5 \) (dm)
Diện tích đáy của hình chóp là \(S = 4.4 = 16\) \(\left( {d{m^2}} \right)\)
Vậy thể tích của hình chóp là: \(V = \frac{1}{3}S.h \Rightarrow V = \frac{{16\sqrt 5 }}{3} \approx 11,9\)\(\left( {d{m^3}} \right)\)
Một cái lều ở trại hè có dạng lăng trụ đứng tam giác (với các kích thước trên hình: \[AH = 1,2\,m\]; \[BC = 3,2\,m\]; \[CC' = 5\,m\]).
a) Tính thể tích khoảng không ở bên trong lều.
b) Cần phải có ít nhất bao nhiêu m2 vải bạt để dựng lều đó?(Không tính các mép và nếp gấp của lều)
a) Diện tích đáy (tam giác): \(S = \frac{1}{2}.3,2.1,2 = 1,92\left( {{m^2}} \right)\)
Thể tích khoảng không ở bên trong lều \(V = S.h = 1,92.5 = 9,6\left( {{m^3}} \right)\)
b) Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông \(AHC\), ta tính được AC = 2m
Số m2 vải bạt ít nhất cần có: \(2.(1,92 + 2.5) = 23,84{m^2}\)
Một hồ bơi có dạng là một lăng trụ đứng tứ giác với đáy là hình thang vuông (mặt bên (1) của hồ bơi là 1 đáy của lăng trụ) và các kích thước như đã cho (xem hình 2). Biết rằng người ta dùng một máy bơm với lưu lượng là 42 m3/phút và sẽ bơm đầy hồ mất 25 phút. Tính chiều dài của hồ.
Một máy bơm với lưu lượng là \[42{\rm{ }}{m^3}\]/phút và sẽ bơm đầy hồ mất 25 phút, nên thể tích của hồ bơi là:\[42{\rm{ }}x{\rm{ }}25{\rm{ }} = {\rm{ }}1050\]m3
Gọi \[x\](m) là chiều dài của hồ bơi \[\left( {x{\rm{ }} > {\rm{ }}0} \right)\]
Một hồ bơi có dạng là một lăng trụ đứng tứ giác với đáy là hình thang vuông (mặt bên (1) của hồ bơi là 1 đáy của lăng trụ) nên diện tích mặt đáy là:
\[1050{\rm{ }}:{\rm{ }}6{\rm{ }} = {\rm{ }}175{\rm{ }}{m^2}\]
Do mặt bên là hình thang cân nên: \(\frac{1}{2}.x\left( {0,5 + 3} \right) = 175\)\[ \Leftrightarrow x{\rm{ }} = {\rm{ }}100\] (nhận)
Vậy chiều dài hồ bơi là \[100\]m.
