62 bài tập Đa giác nội tiếp và đa giác đều có lời giải
62 câu hỏi
Chu vi bánh xe là \({\rm{C}} = 2\pi {\rm{R}} = 2\pi \cdot 15 = 30\pi ({\rm{cm}})\).
Quãng đường chú hề di chuyển được là \(30\pi \cdot 50 = 1500\pi ({\rm{cm}}) \approx 47,12(\;{\rm{m}})\).
Vậy khi bánh xe quay được 50 vòng thì chú hề di chuyển được quãng đường khoảng \(47,12\;{\rm{m}}\).
Bánh kính bánh xe là \(60:2 = 30(\;{\rm{cm}})\).
Chu vi bánh xe là \(2.3,14.30 = 188,4(\;{\rm{cm}})\).
Số vòng quay bánh xe là \(282600:188,4 = 1500\) (vòng).
Số vòng quay của bánh xe trong 3 phút là \(3.60.3 = 540\) (vòng).
Chu vi bánh xe là \(2\pi \cdot 6,5 = 13\pi ({\rm{cm}})\).
Quãng đường bánh xe đi được là \(540.13\pi \approx 22054(\;{\rm{cm}})\).
Bán kính bánh xe sau là \(1,672:2 = 0,836(\;{\rm{cm}})\).
Bán kính bánh xe trước là \(0,88:2 = 0,44(\;{\rm{cm}})\).
Chu vi bánh xe sau là \(2\pi \cdot 0,836 = 1,672\pi ({\rm{cm}})\).
Chu vi bánh xe trước là \(2\pi \cdot 0,44 = 0,88\pi ({\rm{cm}})\).
Quãng đường bánh xe sau đi được là \(1,672\pi \cdot 10 = 16,72\pi ({\rm{cm}})\).
Số vòng quay của bánh xe trước là \(16,72\pi :(0,88\pi ) = 19\) vòng.
Quãng đường pulley lớn đi được trong một phút là \(2\pi \cdot 25 \cdot x = 50\pi x(\;{\rm{cm}})\).
Quãng đường pulley nhỏ đi được trong một phút là \(2\pi \cdot 10 \cdot y = 20\pi y(\;{\rm{cm}})\).
Vì quãng đường đi của hai pulley bằng nhau nên \(50\pi x = 20\pi y \Rightarrow 50\pi x - 20\pi y = 0\)(1)
Vì pulley lớn quay ít hơn pulley nhỏ 90 vòng nên \(y - x = 90 \Rightarrow - x + y = 90\) (2).
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{50\pi x - 20\pi y = 0}\\{ - x + y = 90}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 60}\\{y = 150}\end{array}} \right.} \right.\) (nhận).
Vậy trong 1 phút pulley lớn quay được 60 vòng; pulley nhỏ quay được 150 vòng.
a) Tính bán kính đáy của bánh kem.
b) Tính diện tích bề mặt đáy của bánh kem. Các kết quả làm tròn đến độ chính xác \(d = 0,05\).
a) Bán kính đáy của bánh kem là: \(C = 2\pi R \Rightarrow R = \frac{C}{{2\pi }} = \frac{{40}}{{2\pi }} \approx 6,4(\;{\rm{m}})\).
b) Diện tích bề mặt đáy bánh kem là: \({\rm{S}} = \pi {{\rm{R}}^2} = \pi \cdot {(6,4)^2} = 128,7\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).
- Phạt cảnh cáo người từ đủ 14 tuổi đến dưới 16 tuổi.
- Phạt tiền từ 400.000 đồng đến 600.000 đồng đối với người từ đủ 16 tuổi đến dưới 18 tuổi điều khiển xe mô tô có dung tích xi lanh từ \(50\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\) trở lên.
Một vòng số 8 với hai hình tròn nhỏ bên trong có bán kính là \(2,3\;{\rm{m}}\). Tính tổng diện tích hai hình tròn đó (kết quả làm tròn hai số thập phân).
Tiếng trống
Tiếng trống vang rền
Giục chân trẻ nhỏ
Giờ học đừng quên
Trống luôn nhắc nhở
Nếu ai đi muộn
Trống buồn lặng thinh
Và nghe tiếng trống
Vang trong ngực mình.
Nguyễn Lãm Thắng
(Tập thơ Giấc mơ buổi sáng (2017)
Xã Tiên Sơn, thị xã Duy Tiên có một làng nghề cổ truyền, sản phẩm và uy tín của người thợ tài hoa đã nổi tiếng khắp mọi miền của đất nước. Đó là làng Đọi Tam chuyên sản xuất các loại trống. Ngày 20/12/2019, di sản văn hóa phi vật thể nghề làm trống Đọi Tam đã được Bộ Văn hóa, Thể thao và Du lịch đưa vào danh mục di sản văn hóa phi vật thể quốc gia theo Quyết định số 4608 / QĐ-BVHTTDL nhằm tôn vinh giá trị của nghề truyền thống độc đáo đã và đang phát triển gắn liền với vùng đất cổ Duy Tiên, Hà Nam.
Một cái trống trường với hai mặt trống có dạng hình tròn với đường kính 44 cm được làm từ nguyên liệu là gỗ và da trâu. Tính diện tich da để làm hai mặt trống biết phần da làm viền trống bằng \(5\% \) diện tích bề mặt da làm trống (kết quả làm tròn một số thập phân).
Bán kính bền mặt trống là \(44:2 = 22(\;{\rm{cm}})\).
Diện tích da làm hai mặt trống là \(\left( {\pi \cdot {{22}^2} \cdot 105\% } \right) \cdot 2 \approx 3193,1\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Một chiếc đu quay hình tròn có chu vi \(470\;{\rm{m}}\) , tâm của vòng quay ở độ cao \(80\;{\rm{m}}\) so với mặt đất. Thời gian thực hiện mỗi vòng đu quay là 30 phút.
a) Tính bán kính của đu quay (làm tròn đến hàng đơn vị).
b) Nếu một người vào cabin ở vị trí thấp nhất của đu quay thì sau 10 phút người đó có độ cao bao nhiêu so với mặt đất (giả sử đu quay quay đều trong suốt quá trình quay).
a) Bán kính của đu quay là: \({\rm{C}} = 2\pi {\rm{R}} \Rightarrow {\rm{R}} = \frac{{\rm{C}}}{{2\pi }} = \frac{{470}}{{2\pi }} \approx 75(\;{\rm{m}})\).
b) Xét cabin tại điểm A (vị trí thấp nhất của đu quay); C là vị trí của cabin sau 10 phút.
Gọi N là hình chiếu của C trên mặt đất. Kẻ OB vuông góc CN tại B .
Vì thời gian thực hiện mỗi vòng quay là 30 phút nên với thời gian 10 phút đu quay sẽ quay được với góc quét \(\frac{{360}}{{30}} \cdot 10 = {120^^\circ }\).
Ta có \({\rm{BOC}} = {120^^\circ } - {90^^\circ } = {30^^\circ }\).
Xét vuông tại \(B\) : \(\sin BOC = \frac{{CB}}{{OC}} \Rightarrow CB = OC \cdot \sin BOC = 75 \cdot \sin {30^^\circ } = 37,5(\;{\rm{m}})\).
Tứ giác OBNM là hình chữ nhật nên \({\rm{OM}} = {\rm{BN}} = 80\;{\rm{m}}\).
Ta có: \({\rm{CN}} = {\rm{BN}} + {\rm{CB}} = 80 + 37,5 = 117,5\;{\rm{m}}\).
Vậy sau 10 phút người đó ở độ cao khoảng \(117,5\;{\rm{m}}\) so với mặt đất.
Cho hình vuông \(ABCD\) có diện tích là \(128\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\). Lấy 4 điểm \({\rm{M}},{\rm{N}},{\rm{P}},{\rm{Q}}\) là điểm chính giữa của các cạnh hình vuông làm tâm vẽ 4 hình tròn có bán kính bằng nửa cạnh hình vuông \(MNPQ\). Tìm diện tích phần I (Lấy giá trị \(\pi = 3,14\) ).
Ta có diện tích hình vuông \(MNPQ\) bằng \(\frac{1}{2}\) diện tích hình vuông \(ABCD\) .
Nên diện tích hình vuông \(MNPQ\) là \(128:2 = 64\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Do đó độ dài cạnh hình vuông \(MNPQ\) là \(8(\;{\rm{cm}})\).
Tổng diện tích các hình số \(1;2;3;4\) bằng diện tích hình tròn bán kính là nửa cạnh hình vuông \(MNPQ\).
Nên tổng diện tích các hình số \(1;2;3;4\)là \(3,14.{\left( {\frac{8}{2}} \right)^2} = 50,24\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Diện tích phần tô màu là \(64 - 50,24 = 13,76\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Một chiếc bàn hình tròn được ghép bởi hai nửa hình tròn đường kính \(1,2\;{\rm{m}}\). Người ta muốn nới rộng mặt bàn bằng cách ghép thêm vào giữa một mặt hình chữ nhật có 1 kích thước là \(1,2\;{\rm{m}}\) như hình vẽ bên. Hỏi kích thước kia của hình chữ nhật phải là bao nhiêu để diện tích mặt bàn tăng gấp ba sau khi nới? (làm tròn đến hàng phần chục, đơn vị \({\rm{cm}},\pi = 3,14\) ).
Gọi \(x(\;{\rm{m}})\) là kích thước kia của hình chữ nhật \((x > 0)\).
Diện tích mặt bàn hình tròn là \(\pi \cdot {\left( {\frac{{1,2}}{2}} \right)^2} = 0,36\pi \left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Diện tích mặt bàn sau khi nới là \(0,36\pi + 1,2x\left( {\;{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Ta có phương trình: \(0,36\pi + 1,2x = 3.0,36\pi \Leftrightarrow 1,2x = 0,72\pi \Leftrightarrow x = 0,6\pi \approx 1,884\;{\rm{m}} = 188,4\;{\rm{cm}}\)
Vậy kích thước kia của hình chữ nhật là \(188,4\;{\rm{cm}}\).
Một bồn hoa trong công viên có dạng hình tròn, bán kính \(1,6\;{\rm{m}}\).
a) Tính chu vi và diện tích của bồn hoa, cho \(\pi = 3,14\).
b) Với kết quả của câu a, người ta muốn làm hàng rào nhựa bọc xung quanh mép bồn hoa để trang trí. Hãy tính chi phí làm hàng rào, biết hàng rào nhựa có giá khoảng 70000 đồng \(/{\rm{m}}\). (kết quả câu b làm tròn đến hàng nghìn).
a) Chu vi bồn hoa là \(2 \cdot 3,14.1,6 = 10,048(\;{\rm{m}})\).
Diện tích bồn hoa là \(3,14 \cdot 1,{6^2} = 8,0384\left( {\;{{\rm{m}}^2}} \right)\).
b) Chi phí làm hàng rào là \(10,048.70000 \approx 729000\) (đồng).
Vậy chi phí làm hàng rào là khoảng 729000 đồng.
Đài phun nước ở Công viên Hồ Khánh Hội, TP HCM vừa khánh thành vào ngày 31/08/2019. Đài phun nước có dạng đường tròn (gọi là đường tròn tâm \[O\]) và được thiết kế theo hình dáng những cánh hoa đan xen nhau, bên dưới là hệ thống phun nước với nhiều độ cao khác nhau kết hợp với hệ thống chiếu sáng và âm nhạc cùng các mảng cây xanh tạo không gian đô thị vui tươi, sinh động. Một học sinh vẽ tam giác đều \[ABC\] ngoại tiếp đường tròn\[\left( O \right)\]và tính được diện tích tam giác đều là \[1\,200\]m2. Bạn hãy tính bán kính và chu vi của đường tròn \[\left( O \right)\].(Kết quả làm tròn một chữ số thập phân và p = 3,14).
\[O\] là giao điểm 3 đường phân giác.
Mà \[\Delta ABC\] đều nên \[AH\]là đường phân giác cũng là đường cao, đường trung tuyến.
\[O\] là trọng tâm \[\Delta ABC\] và \[AH = 3.OH = 3.R\].
và \[\widehat {HAC} = \frac{{\widehat {BAC}}}{2} = {30^0};\,\,BC = 2.HC\]
Xét \[\Delta HAC\]vuông tại \[H\].
\[ \Rightarrow HC = AH.\tan 30^\circ = 3R.\frac{{\sqrt 3 }}{3} = R.\sqrt 3 \]
\[{S_{ABC}} = \frac{1}{2}AH.BC = AH.HC = 3R.R\sqrt 3 {\rm{ = 3}}\sqrt 3 {R^2}\]
\[ \Rightarrow 1\,200\,\, = \,\,3\sqrt 3 .{R^2}\,\]
\[ \Leftrightarrow R{\rm{ = }}\sqrt {\frac{{1200}}{{3\sqrt 3 }}} \,\, \approx 15,2\,\,\,\,\,\left( {\rm{m}} \right)\]
Chu vi đường tròn (O) là \[2.3,14.15,2 \approx 95,5\](m)
Vậy bán kính \[\left( O \right)\]là \[15,2\]m; chu vi là \[95,5\]m.
Diện tích cửa phần nửa hình tròn là: \[\frac{1}{2}.3,14.0,{6^2} = 0,5652({m^2})\]
Tổng diện tích của cửa sổ là: \[1,2 + 0,5652 = 1,7652({m^2})\]
Giá thành cửa sổ là: \[700000.1,7652 = 1235640\](đồng)
Chu vi bánh xe trước : \(\pi \times 0,88(m)\)
Khi bánh xe sau lăn được 10 vòng thì quãng đường đi được là \(\pi \times 1,672 \times 10 = \pi \times 16,72(m)\)
Khi đó số vòng lăn của bánh xe trước là \(\frac{{\pi \times 16,72}}{{\pi \times 0,88}} = 19\) (vòng)
Biết chiều cao ngọn đèn so với bề mặt nước biển là 65 m , bán kính của Trái Đất gần bằng 6400 km và điều kiện quan sát trên biển không bị che khuất thì một người quan sát đứng tại vị trí đèn của ngọn hải đăng thì có thể nhìn xa tối đa bao nhiêu km trên mặt biển (kết quả làm tròn một số thập phân).
Nên \(BH\) là tiếp tuyến của đường tròn.
Đổi đơn vị: \(65\;{\rm{m}} = 0,065\;{\rm{km}}\).
Ta có \({\rm{OB}} = {\rm{OA}} + {\rm{BA}} = 6400 + 0,065 = 6400,065\;{\rm{km}}\).
Xét \(\Delta {\rm{OBH}}\) vuông tại H , ta có: \({\rm{O}}{{\rm{B}}^2} = {\rm{O}}{{\rm{H}}^2} + {\rm{B}}{{\rm{H}}^2}\) (định lý Pythagore).
Nên \({\rm{BH}} = \sqrt {{\rm{O}}{{\rm{B}}^2} - {\rm{O}}{{\rm{H}}^2}} = \sqrt {6400,{{065}^2} - {{6400}^2}} \approx 28,8(\;{\rm{km}})\).
Vậy tầm nhìn xa nhất người đó có thể nhìn thấy là khoảng \(28,8\;{\rm{km}}\).
Vinasat-1 là vệ tinh địa tĩnh đầu tiên của Việt Nam được phóng vào vũ trụ lúc 22 giờ 17 phút ngày 18 tháng 4 năm 2008. Dự án vệ tinh Vinasat-1 đã khởi hành từ năm 1998 với tổng mức đầu tư khoảng hơn 300 triệu USD. Việt Nam đã tiến hành đàm phán với 27 quốc gia và vùng lãnh thổ để có được vị trí 132 độ Đông trên quỹ đạo địa tĩnh.
Hãy tìm khoảng cách từ vị trí Vinasat-1 (vị trí A ) đến mặt đất (vị trí điểm H ). Biết rằng khi vệ tinh phát ra tín hiệu vô tuyến đến một điểm xa nhất trên mặt đất (vị trí M) thì từ lúc phát tín hiệu đến mặt đất cho đến lúc vệ tinh thu lại được tín hiệu phản hồi mất khoảng thời gian 0,28 giây. Trái Đất được xem như một hình cầu có bán kính khoảng 6400 km . Giả sử vận tốc sóng vô tuyến là \(3 \cdot {10^8}\;{\rm{m}}/{\rm{s}}\).
Độ dài AM là \(0,14 \cdot 3 \cdot {10^8} = 0,42 \cdot {10^8}(\;{\rm{m}}) = 0,42 \cdot {10^5}(\;{\rm{km}})\).
Xét vuông tại M , ta có: \({\rm{O}}{{\rm{A}}^2} = {\rm{A}}{{\rm{M}}^2} + {\rm{O}}{{\rm{M}}^2}\) (định lý Pythagore).\( \Rightarrow {\rm{OA}} = \sqrt {{\rm{A}}{{\rm{M}}^2} + {\rm{O}}{{\rm{M}}^2}} \)
Ta có: \({\rm{AH}} = {\rm{OA}} - {\rm{OH}} = \sqrt {{\rm{A}}{{\rm{M}}^2} + {\rm{O}}{{\rm{M}}^2}} - {\rm{OH}} = \sqrt {{{\left( {0,42 \cdot {{10}^5}} \right)}^2} + {{6400}^2}} - 6400 \approx 36085(\;{\rm{km}})\).
Vậy khoảng cách từ vị trí Vinasat-1 (vị trí A) đến mặt đất (vị trí điểm H) khoảng 36085 km .
Xét vuông tại \(B\), ta có: \(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2}\) (định lý Pythagore).
Nên \(AB = \sqrt {{\rm{A}}{{\rm{C}}^2} - {\rm{B}}{{\rm{C}}^2}} = \sqrt {{{(6400 + 36600)}^2} - {{6400}^2}} = \sqrt {1808040000} (\;{\rm{km}})\) \( = \sqrt {1808040000} \cdot {10^3}(\;{\rm{m}})\)
Thời gian sóng truyền từ \(D\) đến \(A\) là \(\frac{{36600000}}{{3 \cdot {{10}^8}}} = \frac{{61}}{{500}}\) (giây).
Thời gian sóng truyền từ A đến B là \(\frac{{\sqrt {1808040000} \cdot {{10}^3}}}{{3 \cdot {{10}^8}}}\) (giây).
Khoảng thời gian lớn nhất mà sóng truyền hình đi từ đài phát đến một điểm trên mặt Trái Đất là \(\frac{{61}}{{500}} + \frac{{\sqrt {1808040000} \cdot {{10}^3}}}{{3 \cdot {{10}^8}}} \approx 0,264\) (giây).
Vậy khoảng thời gian lớn nhất mà sóng truyền hình đi từ đài phát đến một điểm trên mặt Trái Đất là khoảng 0,264 giây.
\( \Rightarrow {\rm{OA}} \bot {\rm{AB}}\) tại A và \({\rm{O'B}} \bot {\rm{AB}}\) tại B . Vẽ \(O'D \bot OA\) tại \(D\).
Tứ giác \({\rm{ABO'D}}\) là hình chư nhật (tứ giác có 3 góc vuông).\( \Rightarrow {\rm{AD}} = {\rm{O'B}} = 5\;{\rm{cm}};{\rm{AB}} = {\rm{O'D}}\)
Ta có: \(OD = OA - AD = 15 - 5 = 10\;{\rm{cm}}\).
Xét vuông tại D , ta có: \({\rm{O'}}{{\rm{O}}^2} = {\rm{O'}}{{\rm{D}}^2} + {\rm{O}}{{\rm{D}}^2}\) (định lý Pythagore).
Nên \(O'D = \sqrt {O'{O^2} - {\rm{O}}{{\rm{D}}^2}} = \sqrt {{{40}^2} - {{10}^2}} \approx 38,73(\;{\rm{cm}})\).
Vậy độ dài của đoạn dây xích (dây sơn) AB khoảng \(38,73\;{\rm{cm}}\).
Mà OK là đường cao nên OK cũng là đường trung tuyến nên K là trung điểm của AB .
Do đó: \({\rm{AK}} = \frac{{{\rm{AB}}}}{2} = \frac{2}{2} = 1(\;{\rm{m}})\).
Xét vuông tại K , ta có: \({\rm{O}}{{\rm{A}}^2} = {\rm{A}}{{\rm{K}}^2} + {\rm{O}}{{\rm{K}}^2}\) (định lý Pythagore).
\( \Rightarrow {\rm{O}}{{\rm{K}}^2} = {\rm{O}}{{\rm{A}}^2} - {\rm{A}}{{\rm{K}}^2} \Rightarrow {\rm{OK}} = \sqrt {{\rm{O}}{{\rm{A}}^2} - {\rm{A}}{{\rm{K}}^2}} = \sqrt {1,{8^2} - {1^2}} = \frac{{2\sqrt {14} }}{5}(\;{\rm{m}})\)
Vậy chiều cao của cánh cổng từ mặt đất đến vị trí cao nhất của cổng là khoảng \(\frac{{2\sqrt {14} }}{5} + 1,8 \approx 3,3\;{\rm{m}}\)
Mà OH là đường cao nên OH cũng là đường trung tuyến. Do đó H là trung điểm của AB .
Nên \(AH = \frac{{AB}}{2} = \frac{{100}}{2} = 50(\;{\rm{m}})\).
Xét vuông tại H , ta có: \({\rm{O}}{{\rm{A}}^2} = {\rm{A}}{{\rm{H}}^2} + {\rm{O}}{{\rm{H}}^2}\) (định lý Pythagore).
\({R^2} = {50^2} + {(R - 40)^2} \Leftrightarrow {R^2} = 2500 + {R^2} - 80R + 1600 \Leftrightarrow 80R = 4100 \Leftrightarrow R = 51,25\)
Vậy độ dài bán kính R của đường tròn chứa cung tròn là nhịp giữa của cầu là \(51,25\;{\rm{m}}\).
a) Một người quan sát đứng tại vị trí đèn của Hải đăng nhìn xa tối đa bao nhiêu km trên mặt biển?
b) Cách bao xa thì một người quan sát đứng ở trên tàu bắt đầu trông thấy ngọn đèn này, biết rằng mắt người quan sát đứng ở trên tàu có độ cao \(5m\) so với mặt nước biển?
(Cho biết bán kính Trái Đất gần bằng \(6400km\) và điều kiện quan sát trên biển là không bị che khuất).
\(65\;{\rm{m}} = 0,065\;{\rm{km}};5\;{\rm{m}} = 0,005\;{\rm{km}}\)
a) Ta có đồng dạng nên\(\frac{{MT}}{{MB}} = \frac{{MA}}{{MT}} \Rightarrow {M^2} = MA \cdot MB\)
\(MT = \sqrt {MA \cdot MB} = \sqrt {0,065 \cdot (0,065 + 2 \cdot 6400)} \approx 29(\;{\rm{km}})\)
Vậy một người quan sát đứng tại vị trí đèn của hải đăng nhìn xa tối đa khoảng 29 km .
b) Tương tự ta tính được: \({\rm{NT}} = \sqrt {{\rm{N}}{{\rm{O}}^2} - {\rm{O}}{{\rm{T}}^2}} = \sqrt {{{(0,005 + 6400)}^2} - {{6400}^2}} \approx 8(\;{\rm{km}})\).
Suy ra \({\rm{MN}} = 29 + 8 = 37(\;{\rm{km}})\).
Vậy cách khoảng 37 km thì một người quan sát đứng ở trên tàu bắt đầu trông thấy ngọn đèn này.
Dây Cu-roa là một trong những bộ truyền được sử dụng rộng rãi trong công nghiệp. Chiều dài dây cu-roa được xác định theo công thức:
\(L = 2a + \frac{{\pi \left( {{d_1} + {d_2}} \right)}}{2} + \frac{{{{\left( {{d_2} - {d_1}} \right)}^2}}}{{4a}}\)
Trong đó:
\[L\] : Chiều dài dây cu-roa.
\[a\] : Khoảng cách tâm của \[2\] pu-ly.
\({d_1}\): Đường kính của pu-ly \[1\] (hình tròn nhỏ màu vàng)
\({d_2}\): Đường kính của pu-ly \[2\] (hình tròn lớn màu vàng)
Cho \({d_1} = 10\,cm\); \({d_2} = 20cm\); \(a = 60\,cm\)
a) Tính chiều dài của dây cu-roa.
\(\begin{array}{l}L = 2a + \frac{{\pi \left( {{d_1} + {d_2}} \right)}}{2} + \frac{{{{\left( {{d_2} - {d_1}} \right)}^2}}}{{4a}}\\L = 2.60 + \frac{{\pi \left( {10 + 20} \right)}}{2} + \frac{{{{\left( {20 - 10} \right)}^2}}}{{4.60}}\\L \approx 167,5{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)\end{array}\)
b) Vẽ \[O'C\] vuông góc với \[OA\]\[\left( {C \in OA} \right)\]
Xét tứ giác\[CABO'\] có \(\widehat {CAB} = \widehat {BO'C} = \widehat {O'CA} = 90^\circ \) (Vì \[AB\]là tiếp tuyến chung của\[\left( O \right)\], \[\left( {O'} \right)\])
Suy ra tứ giác \[O'ABC\]là hình chữ nhật
Nên \[AC = BO'\]
\[OC = OA - AC = OA - O'B = R - r = 20 - 10 = 10{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)\]
Áp dụng định lý Py-ta-go cho\[\Delta OCO'\] vuông tại \[C\]:
\[\begin{array}{l}{\rm{ }}O{{O'}^2} = O{C^2} + O'{C^2}\\ \Leftrightarrow O'{C^2} = O{{O'}^2} - O{C^2}\\ \Leftrightarrow O'{C^2} = {60^2} - {10^2}\\ \Leftrightarrow O'{C^2} = 3500\\ \Leftrightarrow O'C = 10\sqrt {35} = AB\end{array}\]
Vậy \[AB = 10\sqrt {35} {\rm{ cm}}\]
\[ \Rightarrow OA\] là phân giác của \[\widehat {MAP}\]\[ \Rightarrow \widehat {MAO} = 60^\circ :2 = 30^\circ \].
Ta có \[\Delta AMO\] và \[\Delta ANI\] là tam giác nửa đều \[ \Rightarrow OI = 8r - 2r = 6r\].
Mặt khác \[IM' \bot OM\] nên tứ giác \[MM'IN\] là hình chữ nhật\[ \Rightarrow MN = M'I\].
Theo định lý Pitago trong tam giác vuông \[OM'I\]:
\[M'I = \sqrt {I{M^2} - O{M^2}} = 3r\sqrt 3 \]
Ta có \[\widehat {NIQ} = 120^\circ = \widehat {MOP}\]
Số đo cung lớn .
Độ dài cung nhỏ là \[{l_1} = \frac{{2\pi r}}{3}\].
Độ dài cung lớnlà: \[{l_2} = \frac{{16\pi r}}{3}\].
Độ dài hai đoạn \[MN\] và \[PQ\] của ròng rọc : \[2MN = 2.3r\sqrt 3 = 6r\sqrt 3 \].
Vậy độ dài của dây cua-roa là :
\[2MN + {l_1} + {l_2} = 6r\sqrt 3 + \frac{{2\pi r}}{3} + \frac{{16\pi r}}{3} = 6r\left( {\pi + \sqrt 3 } \right)\].
Mà nên
Vậy MOT
Vì số đo cung nhỏ MY bằng \(\frac{3}{{12}} + \frac{{\frac{3}{5}}}{{12}} = \frac{3}{{10}}\) số đo cả cung tròn mà số đo cả cung tròn bằng 3600
Nên
Vậy (góc ở tâm chắn cung MT).
Tính số đo góc \(\widehat {{\rm{KOI}}};\widehat {{\rm{IOM}}};\widehat {{\rm{TOE}}}\).
Do đó . Nên
Vì yếu tố giống chiếm tỉ lệ \(18\% \) nên số đo cung nhỏ IM chiếm \(18\% \) số đo cả cung tròn.
Do đó . Nên
Vì yếu tố kiểm soát cỏ dại và yếu tố khác chiếm \(4\% + 8\% = 12\% \) nên số đo cung nhỏ TE chiếm \(12\% \) số đo cả cung tròn. Do đó . Nên
Bánh xe nhỏ của một chi tiết máy có chu vi \(540\;{\rm{mm}}\) . Dây Cua-roa bao bánh xe theo cung \(AB\) có độ dài \(200\;{\rm{mm}}\) . Tính \(\widehat {{\rm{AOB}}}\) ? (làm tròn đến độ)
Độ dài cung nhỏ AB là:
Theo đề bài ta có: ,
Vậy góc
Một máy bay đi từ vị trí A đến vị trí B (ở hình 1) theo cung nhỏ AB . Với A và B nằm trên đường tròn \(({\rm{O}};{\rm{R}})\) ( O là tâm trái đất). Biết , bán kính \({\rm{R}} = {\rm{OA}} = 6410\;{\rm{km}},\pi \approx 3,14\). Hãy tính độ dài cung \(AB\) . (Đơn vị là km và làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
Ta có độ dài cung AB là: \({l_{{\rm{AB}}}} = \frac{{\pi {\rm{Rn}}}}{{180}} \approx \frac{{3,14.6410.62}}{{180}} \approx 6932,8(\;{\rm{km}})\).
Các tia sáng \({\rm{AB}},{\rm{AC}}\) của đèn pin chiếu đến bóng bàn là các tiếp tuyến của đường tròn \(({\rm{O}})\).
Vì đèn soi sáng \(\frac{1}{3}\) bóng bàn nên . Nên
Suy ra (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).
Ta có đường kính của quả bóng là 40 mm nên bán kính \({\rm{R}} = 20\;{\rm{mm}}\).
Xét vuông tại \(B\) :
Vậy cần đặt kính cách quả bóng bàn là 40 mm .
a) Em hãy tính diện tích hình quạt AOB được tạo bởi cây quạt giấy? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
b) Tính diện tích giấy để làm 100 cây quạt. Biết quạt dán 2 mặt và phần mép dán không đáng kể.
a) Diện tích hình quạt là: \({\rm{S}} = \frac{{\pi {{\rm{R}}^2}{\rm{n}}}}{{360}} = \frac{{\pi \cdot {{25}^2} \cdot 130}}{{360}} \approx 709\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).
b) Diện tích giấy làm 100 cây quạt là: \(709 \cdot 2 \cdot 100 = 141800\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Tại một vòng xoay ngã tư, người ta cần làm các bồn trồng hoa như hình 1 . Em hãy tính phần diện tích của 1 bồn hoa ở hình 2 (phần được tô đậm). Biết rằng bán kính của vòng tròn lớn là 7 m , vòng tròn nhỏ là 3 m và góc ở tâm là 600
Diện tích hình quạt có bán kính là 7 m : \({\rm{S}} = \frac{{{{\rm{R}}^2}\pi \cdot {\rm{n}}}}{{360}} = \frac{{{7^2}\pi \cdot 60}}{{360}} = \frac{{49}}{6}\pi \left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\)
Diện tích hình quạt có bán kính 3 m là: \({\rm{S}} = \frac{{{{\rm{R}}^2}\pi \cdot {\rm{n}}}}{{360}} = \frac{{{3^2}\pi \cdot 60}}{{360}} = \frac{3}{2}\pi \left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Diện tích phần tô đậm \(\frac{{49}}{6}\pi - \frac{3}{2}\pi = \frac{{20}}{3}\pi \left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Một viên gạch hình vuông \((40\;{\rm{cm}} \times 40\;{\rm{cm}})\) được trang trí họa tiết như trên hình, tính diện tích phần tô màu.
Diện tích phần tô màu bằng 8 lần diện tích hình viên phân BKH .
Diện tích hình viên phân
Diện tích cần tìm là: \(8 \cdot \left( {\frac{{\pi {\rm{K}}{{\rm{B}}^2} \cdot 90}}{{360}} - \frac{1}{2}{\rm{BK}} \cdot {\rm{BN}}} \right) = 8 \cdot \left( {\frac{{\pi \cdot {{20}^2} \cdot 90}}{{360}} - \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 20} \right)\)\( = 8 \cdot \left( {\frac{{\pi \cdot {{20}^2} \cdot 90}}{{360}} - \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 20} \right) \approx 913\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\)
Vòng đệm là một trong những chi tiết lót không thể thiếu giữa đai ốc và các thiết bị ghép nối trong các máy móc công nghiệp. Vòng đệm có tác dụng phân bố đều lực ép lên đai ốc, làm tăng độ chặt giữa các mối ghép. Một vòng đệm có thiết kế như hình vẽ bên, với A là tâm của hai đường tròn bán kính AD và AC . Biết D là trung điểm của AC và \({\rm{AD}} = 5\;{\rm{cm}}\). Tính diện tích phần tô đậm, kết quả làm tròn đến \({\rm{cm}}\) (cho \(\pi = 3,14)\).
Diện tích hình tròn \((A;AD):{S_1} = \pi {r^2} = 25\pi \left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).
\({\rm{AC}} = 2 \cdot {\rm{AD}} = 2.5 = 10(\;{\rm{cm}})\). Diện tích hình tròn \(({\rm{A}};{\rm{AC}}):{{\rm{S}}_2} = \pi \cdot {{\rm{R}}^2} = 100\pi \left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\)
Diện tích phần tô đậm: \(100\pi - 25\pi = 75\pi = 75 \cdot 3,14 = 236\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\)
Một sân vận động có hình dạng và kích thước được mô phỏng như hình vẽ. Biết . Hãy tính chu vi của sân vận động trên? (Làm tròn đến hàng phần trăm).
Kẻ \({\rm{OH}} \bot {\rm{AB}}\) tại \(H\), ta có:
Xét vuông tại \(H\), ta có:
Độ dài cung AB là:
Vậy chu vi sân khoảng 394,3 m.
Một nhà máy sản xuất ống thép, khi xuất xưởng các ống thép được bó lại tạo thành khối gồm 37 ống như hình vẽ. Biết các ống có dạng hình trụ đường kính đáy bằng nhau và bằng 10 cm . Tính độ dài của một sợi dây đai để buộc các ống thép lại với nhau (kết quả làm tròn một số thập phân).
Dây đai xem là hình giới hạn bởi 6 đoạn thẳng và 6 cung tròn bằng nhau như hình vẽ.
Độ dài mỗi đoạn chính là khoảng cách giữa hai tâm đường tròn biên gồm 4 đường tròn tiếp xúc nhau và tiếp xúc với dây đai. Độ dài mỗi cạnh: \(3 \cdot 10 = 30(\;{\rm{cm}})\).
Mỗi cung tròn có số đo cung bằng 600, độ dài mỗi cung bằng: \(\frac{{\pi Rn}}{{180}} = \frac{{\pi \cdot 5 \cdot 60}}{{180}} = \frac{{5\pi }}{3}(\;{\rm{cm}})\).
Độ dài dây đai là: \(30 \cdot 6 + \frac{{5\pi }}{3} \cdot 6 \approx 211,4(\;{\rm{cm}})\).
Một tấm khăn vải hình tròn có đường kính 180 cm , người ta dùng cái khăn đó để trải lên một mặt bàn hình tròn đường kính 140 cm . Tính diện tích phần vải rủ xuống mép bàn (kết quả làm tròn một số thập phân).
Diện tích mặt bàn là \(\pi {\left( {\frac{{140}}{2}} \right)^2} = 4900\pi \left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Diện tích tấm khăn là \(\pi {\left( {\frac{{180}}{2}} \right)^2} = 8100\pi \left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Diện tích phần mép vải rủ xuống là \(8100\pi - 4900\pi \approx 10053,1\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Có \(S = 1849\pi \)\( \Leftrightarrow \)\(\pi {R^2} = 1849\pi \)\( \Rightarrow R = 43\) (cm)
Bán kính mảnh vải là \(r = R + 20 = 63\) (cm)
Diện tích mảnh vài là \({S_{vai}} = \pi {r^2} = 3969\pi \) \(\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\)
Diện tích phần khăn rủ xuống là \(3969\pi - 1849\pi = 2120\pi \) \(\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\)
Chú thích:
\(AB\) : Độ dài của chiếc cầu;
\(MK\): Chiều cao từ mặt cầu đến đỉnh vòm cầu;
\(\left( O \right)\)là đường trònXét tam giác vuông\(\Delta AMK\) có \(A{M^2} = A{K^2} + M{K^2}\) (Pytago)
\(A{M^2} = {20^2} + {3^2} = 400 + 9 = 409\)
Xét tam giác vuông \(\Delta AMN\) đường cao \(AK\) có: \(A{M^2} = MK.MN\)\( \Rightarrow MN = \frac{{A{M^2}}}{{MK}} = \frac{{409}}{3}\)
Vậy bán kính đường tròn chứa cung tròn của vòm cầu là \(\frac{{409}}{3}:2 \approx 68,17\)m.
Cách 1 : Mỗi dây dây thừng dài \[20\]m.
Cách 2 : Một dây thừng dài \[30\]m và dây thừng kia dài \[10\]m.
Hỏi với cách buộc nào thì diện tích cỏ mà hai con dê có thể ăn được sẽ lớn hơn ?
Diện tích cỏ hai con dê có thể ăn là dạng hai hình quạt có số đo cung cùng bằng \[{90^{\rm{o}}}.\]
Trường hợp \({\rm{1:}}\) Mỗi dây thừng dài \[20\,{\rm{m}}\]\[ \Rightarrow {R_1} = {R_2} = 20\,{\rm{m}}{\rm{.}}\]
Diện tích cỏ mà hai con dê có thể ăn:
\[S = {S_1} + {S_2} = \frac{{{\rm{\pi }}R_1^2.90}}{{360}} + \frac{{{\rm{\pi }}R_2^2.90}}{{360}} = \frac{{{\rm{\pi }}{{.20}^2}.90}}{{360}} + \frac{{{\rm{\pi }}{{.20}^2}.90}}{{360}} = {\rm{200\pi }} \approx {\rm{628}}\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\]
Trường hợp \({\rm{2:}}\)Giả sử dây thừng cột dê ở \[A\] dài \[30\,{\rm{m,}}\]dây thừng cột dê ở \[B\] dài \[10\,{\rm{m}}{\rm{.}}\]
\[ \Rightarrow {R_1} = 30\,{\rm{m}},\,\,{R_2} = 10\,{\rm{m}}{\rm{.}}\]
Diện tích cỏ mà hai con dê có thể ăn:
\[S = {S_1} + {S_2} = \frac{{{\rm{\pi }}R_{\rm{1}}^{\rm{2}}.90}}{{360}} + \frac{{{\rm{\pi }}R_{\rm{2}}^{\rm{2}}.90}}{{360}} = \frac{{{\rm{\pi }}{\rm{.3}}{0^2}.90}}{{360}} + \frac{{{\rm{\pi }}{{.10}^2}.90}}{{360}} = 250{\rm{\pi }} \approx {\rm{758}}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right).\]
Vậy dùng hai sợi dây \[30\,{\rm{m}}\] và \[10\,{\rm{m}}\] thì diện tích cỏ hai con dê ăn sẽ nhiều hơn.
Một chiếc camera có thể tự xoay quanh trục của nó và tầm chiếu tối đa của nó là \(5\;{\rm{m}}\). Hãy tính diện tích mà camera có thể quan sát được nếu nó tự quay quanh trục của bản thân với góc quay là \(120^\circ \).
Hiệp định Genève 1954 về chấm dứt chiến tranh ở Đông Dương đã chọn vĩ tuyến \(17^\circ \) Bắc, dọc sông Bến Hải – tỉnh Quảng Trị làm khu vực phi quân sự, phân định giới tuyến Bắc – Nam tạm thời cho Việt Nam. Và dòng sông Bến Hải chạy dọc vĩ tuyến 17 này đã thành nơi chia cắt đất nước trong suốt hơn 20 năm chiến tranh Việt Nam. Em hãy tính độ dài mỗi vòng kinh tuyến và độ dài cung kinh tuyến từ vĩ tuyến 17 đến xích đạo. Biết bán kính trái đất là 6400 km.
\[C = 2R = 2.6400 = 12800\;40212,4{\rm{ }}\left( {{\rm{km\;\;}}} \right){\rm{\;\;\;\;}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\]
Độ dài của cung kinh tuyến từ vĩ tuyến 17 đến xích đạo là:
\[l = \frac{{\pi Rn}}{{180}} = \frac{{\pi .6400.17}}{{180}} = \frac{{5440\pi }}{9} \approx 1898,9{\rm{ }}\left( {{\rm{km}}} \right)\]
![Tính diện tích phần còn lại (không tô màu) của tam giác (cho biết \[\mu = 3,14\] và kết quả làm đúng đơn vị \[d{m^2}\]). (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/04/37-1744537767.png)
\[S\] (\[3\]hình quạt tròn) là \[\left( {3,14.2,{5^2}} \right):2 = 9,8125\]\[\left( {d{m^2}} \right)\]
\[S\] (tam giác đều cạnh \[5\]\[dm\]) là \[\left( {{5^2}.\sqrt 3 } \right):4 \approx 10,8125\]\[\left( {d{m^2}} \right)\]
\[S\]phần còn lại là: \[10,8125 - 9,8125 = 1\]\[\left( {d{m^2}} \right)\].
\(\widehat {AOI} = {82^0}20'\)
\(\widehat {AOC} = {164^0}40'\)
Độ dài cung lớn\[AC\]: \[AC = 2\pi .15 - \frac{{\pi {{.15.164}^0}40'}}{{{{180}^0}}} = \frac{{293\pi }}{{18}}\]
Độ dài cung nhỏ\[BD\]: \[BD = \frac{{\pi {{.7.164}^0}40'}}{{{{180}^0}}} \approx 20,118\]
Độ dài dây curoa:
\[\frac{{293}}{{18}}\pi + 20,118 + 2.4\sqrt {221} = 190,185cm\]
Trên bản đồ quy hoạch một khu dân cư có ba điểm dân cư \(A,B,C\). Tìm địa điểm \(M\) để xây một trường học sao cho trường học này cách đều ba điểm dân cư đó.
Ba điểm dân cư \(A,B,C\) tạo thành ba đỉnh của tam giác \(ABC\).
Do \(M\) cách đều ba điểm dân cư nên \(MA = MB = MC\). Do \(MA = MB\) nên \(M\) nằm trên đường trung trực của \(AB\). Do\(MB = MC\) nên \(M\)nằm trên đường trung trực của \(BC\). Do đó \(M\) là giao điểm ba đường trung trực của tam giác \(ABC\).
Vậy \(M\) là giao điểm ba đường trung trực của tam giác \(ABC\) với các đỉnh là các điểm dân cư \(A,B,C\).
Để xác định được bán kính ta cần xác định được tâm của đường tròn chứa chi tiết máy này. Ta xác định tâm như sau:
- Lấy ba điểm phân biệt \(A,B,C\) trên đường viền ngoài chiếc đĩa.
- Vẽ đường trung trực cạnh \(AB\)và cạnh \(BC\). Hai đường trung trực này cắt nhau tại \(D\). Khi đó\(D\)là tâm cần xác định.
- Bán kính đường tròn cần tìm là độ dài đoạn \(DB\) (hoặc \(DA\) hoặc \(DC\)).
“Kiềng ba chân” là vật dụng nấu ăn thường xuất hiện trong gian bếp của bà, của mẹ ngày xưa. Hình ảnh chiếc kiềng hình vòng cung có ba chân trụ vững và thường làm bằng sắt có độ bền theo thời gian. Chúng dùng để đặt nồi, chảo,... lên khi nấu ăn. Từ đó, thấy được mức độ vững chắc, kiên cố của kiềng trên mọi mặt phẳng. Một bếp lò có hình dạng kiềng ba chân với các điểm tiếp xúc trên mặt đất tạo thành một tam giác đều có cạnh 50 cm . Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều tạo bởi kiềng ba chân (kết quả làm tròn đến số thập phân thứ nhất).
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều là \(R = \frac{{a\sqrt 3 }}{3} = \frac{{50\sqrt 3 }}{3} \approx 28,9(\;cm)\).
Cẩu tháp là một loại thiết bị nâng hạ được thiết kế để nâng, hạ và di chuyển vật liệu xây dựng tại các công trường, đặc biệt là trong xây dựng các công trình cao tầng. Có khả năng hoạt động ở độ cao lớn và với tải trọng nặng, cẩu tháp được lắp đặt cố định hoặc có thể di chuyển trên ray tại công trường, giúp tăng hiệu quả công việc và đảm bảo an toàn lao động.
Ba vị trí \(A,B,C\) của một công trình là ba đỉnh của một tam giác đều. Trên công trình, người ta muốn đặt cẩu tháp tại điểm \(O\) sao cho bán kính quay của cẩu tháp đến các vị trí điểm \(A,B,C\) bằng nhau và bằng 60 m (hình bên). Tính khoảng cách từ \(A\) đến \(B\) (làm tròn đến số hàng đơn vị).
Vì \(O\) cách đều 3 đỉnh của tam giác \(ABC\) nên \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều \(ABC\).
Gọi \(a\left( {cm} \right)\) là độ dài cạnh của tam giác đều \(ABC{\rm{ }}\left( {a > 0} \right)\).
Ta có bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều là \(60cm\).
Nên \(R = \frac{{a\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow 60 = \frac{{a\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow a\sqrt 3 = 180 \Leftrightarrow a \approx 104\) (nhận).
Vậy khoảng cách từ \(A\) đến \(B\) khoảng \(104m\).
Một bức ảnh hình tròn có bán kính 40 cm, người ta làm một khung gỗ hình tam giác đều bao bên ngoài bức ảnh sao cho bức ảnh hình tròn tiếp xúc với các cạnh của khung gỗ. Tính độ dài cạnh khung gỗ (làm tròn đến số thập phân thứ nhất).
Vì khung ảnh hình tròn tiếp xúc với các cạnh của tam giác đều nên ta có đường tròn nội tiếp tam giác đều. Ta có có bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đều là \(R = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\) với \(a\) là độ dài cạnh tam giác đều.
Nên \(40 = \frac{{a\sqrt 3 }}{6} \Leftrightarrow a\sqrt 3 = 240 \Leftrightarrow a \approx 138,6(\;{\rm{cm}})\). Vậy chiều dài cạnh khung gỗ khoảng \(138,6\;{\rm{cm}}\).
Một hộp quà hình tam giác đều có cạnh là 5 cm. Bên trong hộp quà có chứa một viên kẹo hình cầu vừa khít với hộp (viên kẹo tiếp xúc với các cạnh của tam giác). Tính thể tích viên kẹo (làm tròn đến số thập phân thứ nhất).
Vì viên kẹo hình cầu tiếp xúc với các cạnh hộp hình tam giác đều nên ta có đường tròn nội tiếp tam giác đều.
Bán kính viên kẹo hình cầu là \(\frac{{5\sqrt 3 }}{6}\left( {\;{\rm{cm}}} \right)\). Thể tích viên kẹo là \(\frac{4}{3}\pi {\left( {\frac{{5.\sqrt 3 }}{6}} \right)^3} \approx 12,6\;c{m^3}\).
Vậy thể tích viên kẹo khoảng \(12,6\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\).
Người ta làm một tấm thớt hình tròn bằng cách cắt từ một miếng gỗ hình vuông có độ cạnh bằng 50 cm. Tính diện tích bề mặt gỗ bị cắt bỏ biết mặt thớt hình tròn tiếp xúc với các cạnh của tấm gỗ hình vuông (kết quả làm tròn một số thập phân).
Ta có đường kính đường tròn bằng với cạnh của hình vuông.
Nên bán kính mặt thớt hình tròn là \(50:2 = 25\left( {{\rm{cm}}} \right)\).
Diện tích bề mặt gỗ bị cắt bỏ là: \({50^2} - \pi {.25^2} \approx 536,5\left( {\;c{m^2}} \right)\).
Một hoa văn hình tròn có kích thước như hình vẽ. Tính bán kính đường tròn.
Vì hình chữ nhật nội tiếp đường tròn nên độ dài đường chéo hình chữ nhật là đường kính của đường tròn.
Nên bán kính đường tròn \(100:2 = 50\;\left( {{\rm{cm}}} \right)\).
Một hình có hoa văn gồm: hình vuông \(ABCD\) có bốn đỉnh nằm trên hình tròn tâm \(O\), bán kính 3 cm. Tìm tỉ số phần trăm của diện tích hình tròn và diện tích hình vuông đó.
Diện tích hình tròn là: \(\pi {.3^2} = 9\pi \left( {c{m^2}} \right)\). Áp dụng định lý Pythagore trong \(\Delta {\rm{OBC}}\) vuông tại \(O\) ta có:
\(BC = \sqrt {O{C^2} + O{B^2}} = 3\sqrt 2 \left( {cm} \right)\). Diện tích hình vuông là: \({\left( {3\sqrt 2 } \right)^2} = 18\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\). Tỉ số phần trăm của diện tích hình tròn và diện tích hình vuông là: \(\frac{{9\pi }}{{18}}.100\% \approx 157,1\% \).
Cho biết cạnh hình vuông lớn bằng 8 cm. Tính diện tích phần tô màu xanh trong hình vẽ bên:
Ta chia hình vuông ban đầu thành 4 phần bằng nhau. Bây giờ ta tính diện tích phần tô đậm nằm trong hình vuông \({O_1}\) ( \(\frac{1}{4}\) diện tích hình đã cho).
Diện tích phần tô đậm trong hình vuông \({O_1}\) là: \(S = {S_1} + {S_3} + {S_4}\).
Ta thấy: \({S_2} = {S_4} = {S_3} = {S_5}\) (Vì đều bằng \(\frac{1}{4}\) diện tích hình tròn bán kính 2 cm trừ đi diện tích hình tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng 2 cm).
Nên \(S = {S_1} + {S_2} + {S_5}\) và bằng \(\frac{1}{4}\) diện tích hình tròn bán kính 4 cm trừ đi diện tích hình tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng 4 cm . Ta có: \(S = 4.4.\pi .\frac{1}{4} - \frac{1}{2}.4.4 \approx 4,57\left( {\;c{m^2}} \right)\).
Diện tích phần tô đậm cần tìm là: \(4,57.4 \approx 18,28\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Mỗi bề mặt của lịch gỗ sau có dạng hình ngũ giác đều (các mặt bằng nhau). Hãy tính số đo các góc của mỗi bề mặt lịch.
Chia hình ngũ giác đều thành 3 tam giác nên ta có tổng các góc của ngũ giác đều là \(3.180^\circ = 540^\circ \).
Do tất cả các góc của ngũ giác đều bằng nhau nên số đo mỗi góc của ngũ giác đều là \(\frac{{540^\circ }}{5} = 108^\circ \).
Các kệ trang trí treo tường bên dưới có dạng hình lục giác đều cạnh 10 cm. Hãy tính chu vi và số đo các góc của các kệ đó.
Vì hình lục giác đều có các cạnh bằng nhau nên chu vi là: \(10.6 = 60\;{\rm{cm}}\). Chia lục giác đều thành 2 tam giác và 1 tứ giác nên tổng số đo các góc của hình lục giác đều là \(2.180^\circ + 360^\circ = 720^\circ \).
Vì hình lục giác đều có các góc bằng nhau nên số đo mỗi góc là \(\frac{{720^\circ }}{6} = 120^\circ \).
Số hiệu biển báo dừng lại: R.122.
- Tên biển báo: Dừng lại.
- Ý nghĩa biển báo: Biển báo giao thông này được đặt để buộc các xe cơ giới và thô sơ kể cả các xe được ưu tiên theo luật lệ Nhà nước quy định dừng lại truớc biển hoặc trước vạch ngang đường và chi được phép đi khi thấy các tín hiệu (do người điều khiển giao thông hoặc đèn, cờ) cho phép đi.
Hãy điền vào ô trống:
Tên đa giác | Số lượng đỉnh | Số lượng cạnh | Số đo mỗi góc |
…………… | …………… | …………… | …………… |
Tên đa giác | Số lượng đỉnh | Số lượng cạnh | Số đo mỗi góc |
Bát giác đều | 8 | 8 | \(135^\circ \) |
Chia bát giác đều ra thành 3 tứ giác nên tổng số đo các góc của bát giác đều là \(3.360^\circ = 1080^\circ \)
Số đo mỗi góc của bát giác đều là \(1080^\circ :8 = 135^\circ \).
Lưu ý: Tổng số đo các góc của hình \(n\)-giác bằng \((n - 2).180^\circ \).
Nên số đó mỗi góc của hình \(n\)-giác đều là \(\frac{{(n - 2).180^\circ }}{n}\).
Một tấm thớt bằng gỗ có hình dạng bát giác đều có độ dài cạnh là 25 cm. Tính diện tích bề mặt tấm thớt (kết quả làm tròn một số thập phân).
Ta có \({\rm{AIB}} = 360^\circ :8 = 45^\circ \).
\(\Delta AIB\) cân tại \(I\) nên \(IAH = \frac{{180^\circ - AIB}}{2} = 67,5^\circ \).
Ta có \(H\) là trung điểm của \(AB\) ( \(\Delta AIB\) cân tại \(I;{\rm{ }}IH\) là đường cao nên \(IH\) cũng là đường trung tuyến) nên \(AH = \frac{{AB}}{2} = \frac{{25}}{2} = 12,5\left( {cm} \right)\).
Xét \(\Delta AIH\) vuông tại \(H:\tan IAH = \frac{{IH}}{{AH}} \Rightarrow IH = AH.\tan IAH = 12,5.\tan 67,5^\circ \left( {cm} \right)\).
Diện tích \(\Delta AIB\) là \(\frac{1}{2}.IH.AB = \frac{1}{2}.12,5.\tan 67,5^\circ .25 = 156,25.\tan 67,5^\circ \left( {c{m^2}} \right)\).
Diện tích bề mặt tấm thớt là \(\left( {156,25.\tan 67,5^\circ } \right).8 \approx 3017,8\left( {\;c{m^2}} \right)\)
Lưu ý: Số đo góc đáy của tam giác cân \( = \left( {180^\circ - } \right.\) số đo góc đỉnh cân) : 2
Một viên gạch hình lục giác đều có diện tích bề mặt là \(259,8\;c{m^2}\). Hãy tính độ dài cạnh viên gạch (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Diện tích là \(259,8:6 = 43,3\left( {\;c{m^2}} \right)\). Ta có \(\widehat {FOE} = 360^\circ :6 = 60^\circ \).
Do đó \(\widehat {OEH} = 60^\circ \) ( \(\Delta OFE\) là tam giác đều). Diện tích \(\Delta OFE:S = \frac{1}{2}.OH.EF = \frac{1}{2}EF.\sqrt {O{E^2} - H{E^2}} \).
Mà \(OE = EF;HE = \frac{1}{2}EF\).
Nên \(S = \frac{1}{2} \cdot EF \cdot \sqrt {F{E^2} - {{\left( {\frac{1}{2}EF} \right)}^2}} = \frac{1}{2}.EF.\sqrt {F{E^2} - \frac{1}{4}F{E^2}} = \frac{1}{2}.EF.\sqrt {\frac{3}{4}F{E^2}} = \frac{{F{E^2}}}{4}\sqrt 3 \).
Suy ra \(43,3 = \frac{{F{E^2}}}{4}\sqrt 3 \Rightarrow F{E^2} = \frac{{43,3.4}}{{\sqrt 3 }} \approx 100 \Rightarrow FE = \sqrt {100} = 10\left( {\;cm} \right)\).
Lưu ý: Diện tích tam giác đều có cạnh \(a\) là \(S = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).
Tính diện tích hình hoa thị 6 cánh tạo bởi 6 cung tròn có bán kính 2 cm và tâm là các đỉnh của lục giác đều nội tiếp đường tròn bán kính 2 cm (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
Ta có \(\widehat {AOB} = 360^\circ :6 = 60^\circ \)
Diện tích hình quạt \(OAB\) là \(\frac{{\pi .R.n}}{{180}} = \frac{{\pi .2.60}}{{180}} = \frac{{2\pi }}{3}\left( {\;c{m^2}} \right)\). Diện tích tam giác đều \(OAB\) là \(\frac{{{2^2}\sqrt 3 }}{4} = \sqrt 3 \left( {\;c{m^2}} \right)\).
Diện tích hình viên phân là \(\frac{{2\pi }}{3} - \sqrt 3 \left( {\;c{m^2}} \right)\). Diện tích một cánh hoa là \(\left( {\frac{{2\pi }}{3} - \sqrt 3 } \right).2\left( {\;c{m^2}} \right)\).
Diện tích một bông hoa là \(\left( {\frac{{2\pi }}{3} - \sqrt 3 } \right).2.6 \approx 4,3\left( {\;c{m^2}} \right)\).
Ta có số đo mỗi góc của lục giác đều là \(120^\circ \).
Diện tích hình quạt tạo bởi 1 cung tròn là \(\frac{{\pi {{.3}^2}.120}}{{360}} = 3\pi \left( {c{m^2}} \right)\).
Diện tích 6 hình quạt tạo bởi 6 cung tròn là \(3\pi .6 = 18\pi \left( {c{m^2}} \right)\).
Diện tích tam giác đều cạnh 6 cm là \(\frac{{{6^2}\sqrt 3 }}{4} = 9\sqrt 3 \left( {\;c{m^2}} \right)\).
Diện tích hình lục giác đều là \(9\sqrt 3 .6 = 54\sqrt 3 \left( {\;c{m^2}} \right)\). Diện tích phần tô màu xám là \(54\sqrt 3 - 18\pi \approx 36,98\left( {\;c{m^2}} \right)\).
Một cái gương hình lục giác đều có các đỉnh nằm trên một hình tròn bằng gỗ đường kính 20 cm. Tính diện tích gương.
Bán kính hình tròn: \(20:2 = 10\left( {\;cm} \right)\).
Vì \(\Delta OAB\) là tam giác đều nên diện tích tam giác là: \(\frac{{{{10}^2}\sqrt 3 }}{4} = 25\sqrt 3 \left( {\;c{m^2}} \right)\).
Diện tích gương là \(25\sqrt 3 .6 \approx 260\left( {\;c{m^2}} \right)\).
