41 bài tập Bất đẳng thức và bất phương trình bậc nhất 1 ẩn có lời giải
41 câu hỏi
Khi đi trên tuyến cao tốc Thành phố Hồ Chí Minh - Trung Lương, chúng ta thấy biển báo giao thông báo hiệu giới hạn tốc độ mà xe ô tô được phép đi trong điều kiện bình thường. Hãy viết các bất đẳng thức để mô tả tốc độ cho phép của ô tô
a) Ở làn ngoài cùng bên trái và ở làn giữa;
b) Ở làn ngoài cùng bên phải.
Gọi \(x(\;{\rm{km}}/{\rm{h}})\) là tốc độ cho phép của ô tô trên cao tốc Thành phố Hồ Chí Minh Trung Lương trong điều kiện bình thường. Khi đó:
a) \(60 \le x\) và \(x \le 100\). b) \(50 \le x\) và \(x \le 80\).
Viết bất đẳng thức để mô tả tình huống sau:
a) Bạn phải ít nhất 18 tuổi mới được đi bầu cử đại biểu Quốc hội.
b) Một thang máy chở được tối đa 700 kg.
c) Bạn phải mua hàng có tổng giá trị ít nhất 1 triệu đồng mới được giảm giá.
d) Bạn phải ném vào rổ ít nhất 5 quả bóng mới vào được đội tuyển bóng rổ.
a) Gọi \(t\) là tuổi của một người. Để người đó được đi bầu cử đại biểu Quốc hội thì \(t \ge 18\).
b) Gọi \(x(\;{\rm{kg}})\) là khối lượng hàng hoá thang máy chở được, khi đó \(x \le 700\).
c) Gọi \(y\) (đồng) là số tiền bạn mua hàng. Để được giảm giá thì \(y \ge 1000000\).
d) Gọi \(z\) là số bóng bạn ném được vào rổ, để được vào đội tuyển bóng rổ thì \(z \ge 5\).
Dùng các dấu \( > , < , \ge , \le \) để diễn tả:
a) Giá bán thấp nhất T của một chiếc điện thoại là 6 triệu đồng.
b) Điểm trung bình tối thiểu \(G\) để đạt học lực giỏi là 8.
c) Thời gian tối đa \(t\) để hoàn thành một dự án là 12 tháng.
a) \({\rm{T}} \ge 6\) (triệu đồng); b) \({\rm{G}} \ge 8\) (điểm); c) \({\rm{t}} \le 12\) (tháng).
Dùng kí hiệu \( > ,{\rm{ }} < ,{\rm{ }} \ge ,{\rm{ }} \le \) để diễn tả:
a) Tốc độ \(v\) đúng quy định với biển báo giao thông ở Hình 4a.
b) Trọng tải \(P\) của toàn bộ xe khi đi qua cầu đúng quy định với biển báo giao thông ở Hình 4b.
a) Để diễn tả tốc độ \(v\) đúng quy định với biển báo giao thông ở Hình 4a, ta có bất đẳng thức: \(v \le 70\).
b) Để diễn tả trọng tải \(P\) của toàn bộ xe khi đi qua cầu đúng quy định với biển báo giao thông ở Hình 4b, ta có bất đẳng thức: \(P \le 10\).
Nồng độ cồn trong máu (tiếng Anh là Blood Alcohol Content, viết tắt: BAC) được định nghĩa là tỉ lệ phẩn trăm lượng rượu (ethyl alcohol hoặc ethanol) trong máu của một người. Chẳng hạn, nồng độ cồn trong máu là \(0,05\% \) nghĩa là có \(50{\rm{mg}}\) rượu trong \(100{\rm{ml}}\) máu. Càng uống nhiểu rượu bia thì nồng độ cồn trong máu càng cao và càng nguy hiểm khi tham gia giao thông. Nghị định 100/2019/NĐ-CP quy định mức xử phạt vi phạm hành chính đối vồi người điểu khiển xe gắn máy uống rượu bia khi tham gia giao thông như sau:
Mức độ vi phạm | Hình thức xử phạt |
Mức 1: Nồng độ cồn trong máu dương và chưa vượt quá \[50mg/100ml\]máu | Từ 2 triệu đồng đến 3 triệu đồng và tước bằng lái xe từ 10 tháng đến 12 tháng |
Mức 2: Nồng độ cồn trong máu vượt quá\[50mg/100ml\]máu và chưa vượt quá \[80mg/100ml\] máu | Từ 4 triệu đồng đến 5 triệu đồng và tước bằng lái xe từ 16 tháng đến 18 tháng |
Mức 3: Nồng độ cồn trong máu vượtquá \[80mg/100ml\]máu | Từ 6 triệu đồng đến 8 triệu đồng và tước bằng lái xe từ 22 tháng đến 24 tháng |
Giả sử nồng độ cồn trong máu của một người sau khi uống rượu bia được tính theo công thức sau: \(y = 0,076 - 0,008t\), trong đó \(y\) được tính theo đơn vị \(\% \) và \(t\) là số giờ tính từ thời điểm uống rượu bia. Hỏi 3 giờ sau khi uống rượu bia, nếu người này điều khiển xe gắn máy tham gia giao thông thì sẽ bị xử phạt ở mức nào?
Sau 3 giờ uống rượu bia, nồng độ cồn trong máu của người đó là: \(y = 0,076 - 0,008.3 = 0,052(\% )\)
Tức là, nồng độ cồn trong máu là \(52{\rm{mg}}\) rượu trong \(100{\rm{ml}}\) máu.
Do \(50 < 52 < 80\) nên nếu người này điều khiển xe gắn máy tham gia giao thông thì sẽ bị xử phạt ở mức 2, với hình thức xử phạt từ 4 triệu đồng đến 5 triệu đồng và tước bằng lái xe từ 16 tháng đến 18 tháng.
Một ngân hàng đang áp dụng lãi suất tiết kiệm kì hạn 12 tháng là \(5,3\% /\) năm. Chị Hoa dự kiến gửi một khoản tiền vào ngân hàng này và cần số tiền lãi hằng năm ít nhất là 78 triệu để chi tiêu. Hỏi số tiền chị Hoa cần gửi tiết kiệm ít nhất là bao nhiêu (làm tròn đến triệu đồng)?
Gọi \(x\) (triệu đồng) là số tiền chị Hoa cần gửi tiết kiệm. Số tiền lãi gửi tiết kiệm (triệu đồng) trong một năm là \(0,053 \cdot x\). Để có số tiền lãi ít nhất là 78 triệu đồng/năm thì ta phải có:
\(0,053x \ge 78\)
\(x \ge 78:0,053\)
\(x \ge 1471,69.\)
Vậy chị Hoa cần gửi ngân hàng ít nhất 1472 triệu đồng.
Một kho chứa 100 tấn xi măng, mỗi ngày đều xuất đi 20 tấn xi măng. Gọi \(x\) là số ngày xuất xi măng của kho đó. Tìm \(x\) sao cho khối lượng xi măng còn lại trong kho ít nhất là 10 tấn sau \(x\) ngày xuất hàng.
Khối lượng xi măng xuất đi trong \(x\) ngày là: \(20x\) (tấn)
Khối lượng xi măng còn lại sau \(x\) ngày là: \(100 - 20x\) (tấn)
Để khối lượng xi măng còn lại trong kho ít nhất là 10 tấn thì \(100 - 20x \ge 10.\)
Giải bất phương trình trên, ta có: \(100 - 20x \ge 10 \Leftrightarrow - 20x \ge 10 - 100 \Leftrightarrow - 20x \ge - 90 \Leftrightarrow x \le 4,5\)
Vậy kho phải xuất 4 ngày để số xi măng còn lại trong kho ít nhất là 10 tấn.
Một kì thi Tiếng Anh gồm bốn kĩ năng: nghe, nói, đọc, viết. Kết quả của bài thi là điểm số trung bình của bốn kĩ năng này. Bạn Hà đã đạt được điểm số của ba kĩ năng nghe, đọc, viết lần lượt là 6,5; 6,5; 5,5. Hỏi bạn Hà cần đạt bao nhiêu điểm trong kĩ năng nói để đạt được của bài thi ít nhất là 6,25?
Gọi \(x\) là điểm kĩ năng nói. Theo đề bài ta có \(\frac{{6,5.2 + 5,5 + x}}{4} \ge 6,25 \Leftrightarrow 18,5 + x \ge 25 \Leftrightarrow x \ge 6,5\).
Vậy bạn Hà cần đạt ít nhất 6,5 điểm nói.
Một công ty chuyển nhà cần di chuyển một cây đàn piano nặng 260 kg bằng thang máy. Thang máy có thể chở được tối đa là 710 kg.
a) Viết và giải bất phương trình để xác định khối lượng thang máy có thể chở thêm được.
b) Ngoài chiếc đàn piano, thang máy có thể chở thêm được bao nhiêu người biết mỗi người nặng khoảng 60 kg
a) Gọi \(x(\;{\rm{kg}})\) là khối lượng mà thang máy có thể chở thêm được.
Khi đó, tổng khối lượng thang máy chở là \(x + 260\). Vì thang máy có thể chở được tối đa là 710 kg nên ta có:
\(x + 260 \le 710.\)
\(x \le 710 - 260\)
\(x \le 450.\)
Vậy thang máy có thể chở thêm được 450 kg.
b) Gọi \(y(y \in \mathbb{N})\) là số người thang máy có thể chở thêm được. Khi đó: \(60y \le 450{\rm{ hay }}y \le \frac{{15}}{2}.\)
Vì \(y\) là số tự nhiên nên \(y \le 7\). Vậy thang máy chở thêm tối đa được 7 người nữa.
Một ngân hàng đang áp dụng lãi suất gửi tiết kiệm kỉ hạn 1 tháng là \(0,4\% \). Hỏi nếu muốn có số tiển lãi hằng tháng ít nhất là 3 triệu đổng thì số tiển gửi tiết kiệm ít nhất là bao nhiêu (làm tròn đến triệu đổng)?
Gọi x (triệu đồng) là số tiền gửi tiết kiệm \((x > 0)\).
Khi đó số tiền lãi 1 tháng là \(0,4\% \cdot x = 0,004x\) (triệu đồng).
Để số tiền lãi hàng tháng ít nhất là 3 triệu đồng thì ta phải có: \(0,004x \ge 3\)\( \Leftrightarrow x \ge 750.\)
Vậy số tiền tiết kiệm ít nhất là 750 triệu đồng để có số tiền lãi hàng tháng ít nhất là 3 triệu đồng.
Một hãng taxi có giá mở cửa là 15 nghìn đổng và giá 12 nghìn đổng cho mỗi kilômét tiếp theo. Hői với 200 nghìn đổng thì hành khách có thể di chuyển được tối đa bao nhiêu kilômét (làm tròn đến hàng đơn vị)?
Gọi x là số kilômét mà hành khách đó có thể di chuyển với 200 nghìn đồng (x>0).
Giá tiền cho x km là \(12x\) (nghìn đồng).
Giá mở cửa của taxi là 15 nghìn đồng nên số tiền cần thanh toán khi đi x km là: \(15 + 12x\) (nghìn đồng).
Theo bài, ta có:\(15 + 12x \le 200\)\( \Leftrightarrow 12x \le 185 \Leftrightarrow \)\(x \le \frac{{185}}{{12}}\)
Mà \(x > 0\) và làm tròn đến hàng đớn vị nên với 200 nghìn đồng thì hành khách có thể di chuyển được tối đa 15 kilômét.
Người ta dùng một loại xe tải để chở bia cho một nhà máy. Mỗi thùng bia 24 lon nặng trung bình \(6,7\;{\rm{kg}}\). Theo khuyến nghị, trọng tải của xe (tức là tổng khối lượng tối đa cho phép mà xe có thể chở) là 5,25 tấn. Hỏi xe có thể chở được tối đa bao nhiêu thùng bia, biết bác lái xe nặng \(65\;{\rm{kg}}\)?
Đổi đơn vị: 5,25 tấn = \(5250\;{\rm{kg}}\).
Gọi x (thùng) là số sữa mà xe có thể chở ( \(\left. {x \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).
Khi đó, khối lượng sữa mà xe chở là: \(10x(kg)\).
Tổng khối lượng sữa và bác tài xế là: \(65 + 10x(kg)\).
Do trọng tải (tổng khối lượng tối đa cho phép mà xe có thể chở) là \(5250\;{\rm{kg}}\) nên ta có:
\(65 + 10x \le 5250\)\( \Leftrightarrow 10x \le 5185\)\( \Leftrightarrow x \le 518,5.\)
Mà \(x \in {\mathbb{N}^*}\) nên xe tải đó có thể chở tối đa 518 thùng sữa.
David có thể kiếm được 8 USD cho mỗi giờ làm việc tại công ty chuyên chăm sóc cây cảnh và anh ấy muốn kiếm được ít nhất 1200 USD trong mùa hè này.
a) Hãy viết một bất phương trình mô tả tình huống này.
b) Hỏi anh ấy cần làm việc ít nhất bao nhiêu giờ để kiếm được số tiền trên?
a) Gọi \(x\) (giờ) là số giờ David làm trong mùa hè. Ta có \(8x \ge 1200\).
b) Ít nhất 150 giờ
Chiều dài của một hình chữ nhật thì luôn lớn hơn hoặc bằng chiều rộng. Hãy viết và giải bất phương trình để tìm giá trị có thể của \(x(\;{\rm{cm}})\) trong hình vẽ dưới đây:
Ta có \(x - 3 \le 15\) hay \(x \le 18,x - 3 > 0\) hay \(x > 3\). Vậy giá trị có thể nhận là \(3 < x \le 18\).
Hà phải làm 4 bài kiểm tra tiếng Anh: nghe, nói, đọc và viết. Bài nghe, nói, đọc Hà đạt điểm số lần lượt là 78,83 và 89. Hỏi bài kiểm tra viết, Hà phải đạt điểm số là bao nhiêu để điểm số trung bình Hà đạt được của cả 4 bài kiểm tra ít nhất là 85?
Gọi điểm số bài kiểm tra viết của Hà là \(x\). Khi đó điểm số trung bình là \(\frac{{78 + 83 + 89 + x}}{4}\). Để điểm số trung bình đạt được ít nhất là 85, ta phải có: \(\frac{{78 + 83 + 89 + x}}{4} \ge 85\)
\(250 + x \ge 340\)
\(x \ge 90.\)
Vậy Hà cần đạt ít nhất 90 điểm ở bài thi viết.
Mức lương tối thiểu theo quy định ở Pháp năm 2022 là \[10,25{\rm{ }}\euro \]cho mỗi giờ làm việc.
Trong dịp hè, Laurent David làm thêm tại một khách sạn theo mức lương tối thiểu như quy định và anh ấy muốn kiếm được ít nhất \[1500\euro \]trong mùa hè này.
a) Hãy viết một bất phương trình mô tả tình huống này.
b) Hỏi anh ấy cần làm việc ít nhất bao nhiêu giờ để kiếm được số tiền trên?
(\[\euro \]là viết tắt của từ Euro, là loại tiền tệ mà 20 nước thuộc liên minh Châu Âu đang sử dụng chung)
a) Gọi \(x\) (giờ) là số giờ Laurent làm trong mùa hè. Số tiền mà Laurent kiếm được là\[10,25{\rm{ }}x{\rm{ }}\left( \euro \right)\]. Để kiếm được ít nhất \[1500{\rm{ }}\euro ,\]ta có bất phương trình: \(10,25x \ge 1500.{\rm{ }}\)
b) Ta có: \(10,25x \ge 1500\)
\(x \ge 1500:10,25\)
\(x \ge 146,34\)
Vậy Laurent cần ít nhất 147 giờ làm việc để kiếm được số tiền trên.
Bạn Thuý làm một bài thi Toán gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm, mỗi câu đúng được cộng 5 điểm, mỗi câu sai bị trừ 2 điểm, câu không làm thì không trừ cũng không cộng điểm. Bạn Thuý đã làm 19 câu và đạt hơn 62 điểm. Hãy cho biết số câu đúng tối thiểu mà Thuý đã làm được.
Gọi x là số câu đúng, ta có: \(5.x - 2 \cdot (19 - x) > 62\)
\(5x - 38 + 2x > 62\)
\(5x + 2x > 62 + 38\)
\(7x > 100\)
\(x > \frac{{100}}{7}\left( { = 14\frac{2}{7}} \right)\)
Vậy bạn Thuý đã làm được ít nhất 15 câu đúng.
Một quả táo có giá 20 nghìn đồng, một quả lê có giá 12 nghìn đồng. Bạn Chi có 200 nghìn đồng, bạn ấy muốn mua mỗi loại ít nhất 5 quả. Hỏi tổng số quả táo và lê nhiều nhất Chi có thể mua được là bao nhiêu?
Gọi \(x\) là tổng số quả táo và lê bạn Chi có thể mua được.
Mỗi loại bạn Chi mua ít nhất 5 quả và giá mỗi quả táo cao hơn mỗi quả lê, do đó bạn ấy chỉ nên mua 5 quả táo. Ta có: \(5.20 + 12(x - 5) \le 200\)
\(12x \le 160\)
\(x \le \frac{{40}}{3}\quad \left( { = 13\frac{1}{3}} \right)\)
Vậy bạn Chi có thể mua nhiều nhất 13 quả táo và lê.
Bình xăng của một chiếc xe ô tô đang chứa \(40{\rm{ }}l\) xăng. Biết rằng nếu xe đi 15 km thì tiêu thụ hết \(1{\rm{ }}l\)xăng. Hỏi xe có thể đi được quãng đường tối đa là bao nhiêu kilômét với lượng xăng đó?
Gọi \({\rm{S}}({\rm{km}})\) là quãng đường tối đa mà xe ô tô đi được, ta có: \({\rm{S}} \le 15.40\)
\(\;{\rm{S}} \le 600.\)
Vậy quãng đường tối đa mà ô tô đi được là 600 km.
Bạn Mai đi học ở Singapore, bạn ấy đã đạt điểm số của hai môn là 67 và 74 điểm. Muốn có phần thưởng bạn Mai phải đạt môn thứ ba bao nhiêu điểm? Biết rằng muốn đoạt giải thưởng thì điểm trung bình tối thiểu của ba môn phải là 75.
Gọi \(x\) là điểm số môn thứ ba bạn Mai phải đạt được \((0 < x < 100)\), ta có:
\(\frac{{67 + 74 + x}}{3} \ge 75\)
\(67 + 74 + x \ge 75.3\)
\(x \ge 225 - 67 - 74\)
\(x \ge 84.\)
Bạn Mai phải đạt tối thiểu 84 điểm ở môn thứ ba để đoạt giải thưởng.
Bạn Hà định mời 12 bạn thân đi ăn nhân dịp bạn ấy được học bổng. Mỗi bạn có thể chọn một tô mì hay một đĩa gà rán. Một tô mì có giá 36 nghìn đồng, một đĩa gà rán có giá 45 nghìn đồng.
a) Hỏi số tiền nhiều nhất và số tiền ít nhất mà bạn Hà phải chi là bao nhiêu?
b) Nếu bạn Hà có ý định chi không quá 400 nghìn đồng cho bữa tiệc thì số đĩa gà gán nhiều nhất mà các bạn có thể chọn là bao nhiêu? Biết rằng có hai bạn chắc chắn chọn món mì.
a) Gọi \(x\) là số tiền bạn Hà phải chi.
Một đĩa gà rán có giá 45 nghìn đồng, vì vậy \({\rm{x}} \le 12.45\) hay \({\rm{x}} \le 540\).
Số tiền nhiều nhất Hà phải chi là 540 nghìn đồng.
Một tô mì có giá 36 nghìn đồng, vì vậy \({\rm{x}} \ge 12\). 36 hay \({\rm{x}} \ge 432\).
Số tiền ít nhất Hà phải chi là 432 nghìn đồng.
b) Gọi \(x\) là số đĩa gà rán các bạn chọn thêm.
Có hai bạn chọn món mì và số tiền chi ra không quá 400 nghìn, vì vậy:
\(x.45 \le 400 - 36.2{\rm{ hay }}x \le \frac{{328}}{{45}}{\rm{ ( }} \approx 7,29{\rm{ )}}{\rm{. }}\)
Vậy số đĩa gà rán được gọi thêm nhiều nhất là 7 đĩa.
Bảng 1 cho biết sản lượng lúa các vụ của nước ta trong năm 2021. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?
Vụ lúa | Sản lượng (triệu tấn) |
Đông xuân | 20,63 |
Hè thu và thu đông | 15,16 |
Mùa | 8,06 |
Bảng 1 (Nguồn: Tổng cục Thống kê)
a) Tổng sản lượng lúa của cả ba vụ lớn hơn hai lần sản lượng lúa vụ đông xuân.
b) Sản lượng lúa vụ mùa lớn hơn \(70\% \) sản lượng lúa vụ đông xuân.
c) Tổng sản lượng lúa vụ hè thu và thu đông với sản lượng lúa vụ mùa lớn hơn sản lượng lúa vụ đông xuân.
a) Tổng sản lượng lúa của cả ba vụ là: \(20,63 + 15,16 + 8,06 = 43,85\) (triệu tấn).
Hai lần sản lượng lúa vụ đông xuân là: \(2 \cdot 20,63 = 41,26\) (triệu tấn).
Do \(43,85 > 41,26\) nên tổng sản lượng lúa của cả ba vụ lớn hơn hai lần sản lượng lúa vụ đông xuân.
Vậy phát biểu ở câu a là đúng.
b) \(70\% \) sản lượng lúa vụ đông xuân là: \(70\% .20,63 = 14,441\) (triệu tấn).
Do \(8,06 < 14,441\) nên sản lượng lúa vụ mùa nhỏ hơn \(70\% \) sản lượng lúa vụ đông xuân.
Vậy phát biểu ở câu b là sai.
c) Tổng sản lượng lúa vụ hè thu và thu đông với sản lượng lúa vụ mùa là: \(15,16 + 8,06 = 23,22\) (triệu tấn).
Do \(23,22 > 20,63\) nên tổng sản lượng lúa vụ hè thu và thu đông với sản lượng lúa vụ mùa lớn hơn sản lượng lúa vụ đông xuân. Vậy phát biểu ở câu c là đúng.
Theo Tổng cục Môi truờng, chỉ số chất lượng không khí được tính theo thang điểm (khoảng giá trị AQI ) tương ứng với biểu tượng và màu sắc để cảnh báo chất lượng không khí và mức độ ảnh hưởng tới sức khoẻ con người, cụ thể như sau (Bảng 2):
Khoảng giá trị AQI | Chất lượng không khí | Màu sắc |
\(0 - 50\) | Tốt | Xanh |
\(51 - 100\) | Trung bình | Vàng |
\(101 - 150\) | Kém | Da cam |
\(151 - 200\) | Xấu | Đỏ |
\(201 - 300\) | Rất xấu | Tím |
\(301 - 500\) | Nguy hại | Nâu |
Bảng 2:
Chỉ số AQI tại Hà Nội, Thái Nguyên, Hưng Yên, Sơn La ghi nhận vào sáng ngày 09/01/2023 lần lượt là: 338; 406; 312,9; 78 (Nguồn: Tạp chí điện tư Môi trường và Cuộc sống). Dựa vào Bảng 2, cho biết chất lượng không khí vào sáng 09/01/2023 tại Hà Nội, Thái Nguyên, Hưng Yên, Sơn La ở mức nào trong các mức sau: Tốt, Trung bình, Kém, Xấu, Rất xấu, Nguy hại.
Chất lượng không khí vào sáng ngày 09/01/2023 tại Hà Nội, Thái Nguyên, Hưng Yên, Sơn La lần lượt ở mức Nguy hại, Nguy hại, Nguy hại, Trung bình.
Một cửa hàng nhập về 60 chiếc điện thoại từ nước ngoài với giá nhập vào là 20 triệu đồng/chiếc. Thuế và phí vận chuyển của 60 chiếc điện thoại đó lần lượt là 36 triệu đồng và 20 triệu đồng. Khi về Việt Nam, cửa hàng đó đã bán mỗi chiếc điện thoại với giá bán bằng \(125\% \) giá nhập vào. Nhận định "Sau khi bán hết 60 chiếc điện thoại đó, cửa hàng đã lãi hơn 250 triệu đồng" là đúng hay sai? Vì sao?
Số tiền lãi mà cửa hàng đó thu được khi bán hết 60 chiếc điện thoại đó là:\((125\% .20.60) - (20.60 + 36 + 20) = 244\) (triệu đồng).
Do \(244 < 250\) nên nhận định đã cho là sai.
Bác Long dùng 80 m lưới thép gai để rào một mảnh vườn có dạng hình chữ nhật. Bác Long đã tận dụng bờ giậu có sẵn để làm một cạnh hàng rào của mảnh vườn. Tìm các kích thước của mảnh vườn có diện tích lớn nhất mà bác Long rào được bằng 80 m lưới thép gai.
Gọi \(x(\;{\rm{m}})\) là độ dài cạnh song song với bờ giậu và \(y(\;{\rm{m}})\) là độ dài cạnh vuông góc với bờ giậu \((x > 0,y > 0)\). Khi đó, ta có: \(x + 2y = 80\) hay \(x = 80 - 2y\).
Diện tích của mảnh vườn là:
\(S = xy = (80 - 2y)y = - 2{y^2} + 80y = - 2\left( {{y^2} - 40y + 400} \right) + 800\)\( = - 2{(y - 20)^2} + 800\left( {\;{{\rm{m}}^2}} \right).\)
Do \({(y - 20)^2} \ge 0\) với số \(y\) tuỳ ý nên \( - 2{(y - 20)^2} + 800 \le 800\). Do đó, diện tích lớn nhất của mảnh vườn mà bác Long rào được là \(800\;{{\rm{m}}^2}\). Dấu "=" xảy ra khi \(y - 20 = 0\) hay \(y = 20\). Thay \(y = 20\) vào \(x = 80 - 2y\), ta được: \(x = 80 - 2 \cdot 20 = 40\).
Vậy mảnh vườn có diện tích lớn nhất mà bác Long rào được có chiều dài 40 m và chiều rộng 20 m.
Cô Hạnh mang 500 nghìn đồng để mua thức ăn chuẩn bị cho bữa tiệc gia đình. Số tiền mua cá là
\(x\) (nghìn đồng) với \(x > 0\)). Số tiền mua thịt lợn nhiều hơn số tiền mua cá là 20 nghìn đồng. Số tiền mua thịt bò gấp ba lần số tiền mua thịt lợn.
a) Viết một bất phương trình bậc nhất ẩn \(x\), biết rằng sau khi mua cá, thịt lợn, thịt bò thì cô Hạnh vẫn còn tiền.
b) Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn ở câu a.
a) Số tiền mà cô Hạnh mua thịt lợn và thịt bò lần lượt là \(x + 20\) (nghìn đồng) và \(3(x + 20)\) (nghìn đồng) với \(x > 0\). Do sau khi mua cá, thịt lợn, thịt bò thì cô Hạnh vẫn còn tiền nên ta có bất phương trình:
\(500 - [x + x + 20 + 3(x + 20)] > 0{\rm{ hay }}420 - 5x > 0\) (1)
b) Giải bất phương trình (1):\(420 - 5x > 0\)
\( - 5x > - 420\)
\(x < 84\)
Vậy nghiệm của bất phương trình ở câu a là \(0 < x < 84\).
Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ \(A\) đến \(B\) trên cùng quãng đường dài 150 km. Vận tốc xe thứ nhất hơn vận tốc xe thứ hai là \(10\;{\rm{km}}/{\rm{h}}\) và xe thứ nhất đến \(B\) sớm hơn xe thứ hai là 30 phút. Hỏi vận tốc của hai xe là bao nhiêu?
Đổi 30 phút \( = \frac{1}{2}\) giờ.
Gọi vận tốc của xe thứ nhất là \(x(\;{\rm{km}}/{\rm{h}})(x \ge 10)\). Khi đó vận tốc của xe thứ hai là \(x - 10(\;{\rm{km}}/{\rm{h}})\).
Thời gian xe thứ nhất đi từ \(A\) đến \(B\) là \(\frac{{150}}{x}\) (giờ). Thời gian xe thứ hai đi từ \(A\) đến \(B\) là \(\frac{{150}}{{x - 10}}\) (giờ).
Ta có \(\frac{{150}}{{x - 10}} - \frac{{150}}{x} = \frac{1}{2}\) hay \(\frac{{150x - 150(x - 10)}}{{(x - 10)x}} = \frac{1}{2}\)
\(\frac{{1500}}{{{x^2} - 10x}} = \frac{1}{2}\)
\({x^2} - 10x = 3000\)
\({x^2} - 10x + 25 = 3025\)
\({(x - 5)^2} = 3025\)
\(x - 5 = 55\) (do \(x \ge 10\) nên \(x - 5 > 0{\rm{ ) }}\)
\(x = 60.\)
Vậy vận tốc xe thứ nhất là \(60\;{\rm{km}}/{\rm{h}}\) và vận tốc xe thứ hai là \(50\;{\rm{km}}/{\rm{h}}\).
Bà Mai dành không quá 4 giờ để gói bánh tẻ và bánh nếp. Bánh tẻ cần 3 phút để gói xong một chiếc, còn bánh nếp cần 2 phút để gói xong một chiếc. Tính số bánh tẻ mà bà Mai có thể gói nhiều nhất, biết bà Mai đã gói được 75 chiếc bánh nếp.
Gọi \(x\) là số chiếc bánh tẻ mà bà Mai gói \(\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).
Khi đó, tổng thời gian bà Mai dùng để gói hai loại bánh là: \(3x + 2.75\) (phút).
Do bà Mai dành không quá 4 giờ để gói hai loại bánh nên ta có bất phương trình: \(3x + 2.75 \le 4.60.{\rm{ }}\)
Giải bất phương trình trên: \(3x + 2.75 \le 4.60\)
\(3x + 150 \le 240\)
\(3x \le 90\)
\(x \le 30.\)
Vậy bà Mai có thể gói được nhiều nhất 30 chiếc bánh tẻ.
Tổng chi phí của một công ty sản xuất nước rửa tay là 80 triệu đồng/quý. Giá mỗi chai nước rửa tay là 18000 đồng. Hỏi trung bình mỗi quý, công ty đó phải bán ít nhất bao nhiêu chai nước rửa tay để thu lợi nhuận không dưới 328 triệu đồng sau bốn quý?
Gọi \(x\) là số chai nước rửa tay mà công ty đó bán được trung bình mỗi quý ( \(\left. {x \in {\mathbb{N}^*}} \right)\). Ta lập được bất phương trình: \(4.(18000x - 80000000) \ge 328000000\). Giải bất phương trình, ta tìm được \(x \ge 9000\). Vậy trung bình mỗi quý công ty đó phải bán ít nhất 9000 chai nước rửa tay sau bốn quý.
Một xí nghiệp đã sản xuất hai loại hộp giấy có dạng hình hộp chữ nhật để đựng đồ ăn. Hộp giấy loại \(I\) có chiều rộng là \(x(\;{\rm{cm}})\), chiều dài hơn chiều rộng là \(9(\;{\rm{cm}})\), chiều cao là \(18(\;{\rm{cm}})\) và hộp giấy loại II có chiều rộng là \(10(\;{\rm{cm}})\), chiều dài hơn chiều rộng là \(5(\;{\rm{cm}})\), chiều cao là \(x + 1(\;{\rm{cm}})\) với \(x > 0\). Tổng diện tích xung quanh của 25 hộp giấy loại I hơn tổng diện tích xung quanh của 20 hộp giấy loại II không dưới \(175{\rm{d}}{{\rm{m}}^2}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(x\), biết rằng diện tích giấy dán mép hộp không đáng kể.
Ta lập được bất phương trình: \(25.2(x + x + 9).18 - 20.2(10 + 15)(x + 1) \ge 17500.\)
Giải bất phương trình, ta tìm được \(x \ge 13\). Vậy giá trị nhỏ nhất của \(x\) là 13.
Cho một khu đất có dạng hình thang với đáy nhỏ \(15(\;{\rm{m}})\), đáy lớn \(25(\;{\rm{m}})\), chiều cao \(18(\;{\rm{m}})\). Bác Lâm muốn dành ra một mảnh vườn có dạng hình bình hành với cạnh đáy \(x(\;{\rm{m}})\), chiều cao \(18(\;{\rm{m}})\) như hình \((0 < x < 15)\). Tìm giá trị lớn nhất của \(x\) để diện tích của phần đất còn lại không dưới \(270\;{{\rm{m}}^2}\).
Ta lập được bất phương trình: \(\frac{{(15 + 25) \cdot 18}}{2} - 18x \ge 270\). Giải bất phương trình, ta tìm được \(x \le 5\). Vậy giá trị lớn nhất của \(x\) là 5.
Cho một khu đất có dạng hình vuông với độ dài cạnh \(21(\;{\rm{m}})\). Bác Lan muốn dành ra một mảnh vườn có dạng hình chữ nhật với chiều rộng \(7(\;{\rm{m}})\), chiều dài \(x(\;{\rm{m}})\) ở góc của khu đất để trồng rau như Hình \((7 < x < 21)\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(x\) để diện tích của phần đất còn lại không quá \(350\;{{\rm{m}}^2}\).
Diện tích của phần đất còn lại là: \({21^2} - 7x\left( {\;{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Do diện tích của phần đất còn lại không quá \(350\;{{\rm{m}}^2}\) nên ta có bất phương trình:\({21^2} - 7x \le 350.\)
Giải bất phương trình trên: \({21^2} - 7x \le 350\)
\(441 - 7x \le 350\)
\( - 7x \le - 91\)
\(x \ge 13.\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(x\) là 13 m.
Số đo tính theo độ của ba góc A,B,C trong tứ giác ABCD lần lượt là \(x,2x,3(x - 10)\) với \(x > 10\).
a) Viết một bất phương trình bậc nhất ẩn \(x\).
b) Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn ở câu a.
c) Các góc có số đo là \(2x\)và \(3(x - 10)\) có bằng nhau được hay không? Vì sao?
a) \(x + 2x + 3(x - 10) < 360\) hay \(6x - 30 < 360\) với \(x > 10\).
b) \(10 < x < 65\).
c) Giả sử \(2x\)và \(3(x - 10)\) bằng nhau. Khi đó, ta có phương trình: \(2x = 3(x - 10)\). Giải phương trình, ta tìm được \(x = 30\) (thoả mãn \(10 < x < 65\) ). Vậy các góc có số đo là \(2x\)và \(3(x - 10)\) có thể bằng nhau.
Cho tứ giác ABCD. Chứng minh diện tích của tứ giác ABCD không lớn hơn \(\frac{{AB \cdot BC + AD \cdot DC}}{2}{\rm{. }}\)
Kẻ CH vuông góc với AB tại H, A K vuông góc với DC tại \(K\). Khi đó, diện tích của tam giác ABC là: \({S_1} = \frac{{AB \cdot CH}}{2}\) và diện tích của tam giác ACD là: \({S_2} = \frac{{DC \cdot AK}}{2}\).
Diện tích của tứ giác ABCD là: \(S = {S_1} + {S_2} = \frac{{AB \cdot CH + AK \cdot DC}}{2}.\)
Mà \(CH \le BC\) và \(AK \le AD\), suy ra\(S \le \frac{{AB \cdot BC + AD \cdot DC}}{2}.\)
Vậy diện tích của tứ giác ABCD không lớn hơn \(\frac{{AB \cdot BC + AD \cdot DC}}{2}\).
Bạn Minh mang 120 nghìn đồng đi mua vở. Bạn Minh mua hai loại vở: loại I giá 10 nghìn đồng/quyển; loại II giá 8 nghìn đồng/quyển. Tìm số quyển vở loại I nhiều nhất mà bạn Minh có thể mua được, biết bạn Minh đã mua 5 quyển vở loại II.
Gọi \(x\) là số quyển vở loại I mà bạn Minh đã mua ( \(x \in {\mathbb{N}^*}\) ). Ta lập được bất phương trình: \(10x + 8.5 \le 120\). Giải bất phương trình, ta tìm được \(x \le 8\). Vậy bạn Minh có thể mua được nhiều nhất 8 quyển vở loại I.
Vòi thứ nhất chảy vào bể không chứa nước, chảy được \(60l\)nước mỗi phút. Cùng lúc đó, vòi thứ hai chảy từ bể ra, chảy được lượng nước bằng \(\frac{1}{3}\) lượng nước chảy vào của vòi thứ nhất. Hỏi hai vòi chảy sau ít nhất bao nhiêu giờ thì trong bể có không ít hơn \[1200{\rm{ }}l\] nước?
Gọi \(x\) (phút) là thời gian hai vòi chảy \((x > 0)\). Ta lập được bất phương trình:\(60x - \frac{1}{3} \cdot 60x \ge 1200.\)
Giải bất phương trình, ta tìm được \(x \ge 30.\). Vậy hai vòi chảy sau ít nhất 30 phút hay 0,5 giờ thì trong bể có \(1200l\)nước.
Cô Ngọc đi du lịch từ Hà Nội vào Thành phố Hồ Chí Minh với quãng đường 1595 km. Trung bình mỗi ngày, cô Ngọc đi được 295 km. Gọi \(t\) là số ngày mà cô Ngọc đã đi. Tìm \(t\) sao cho quãng đường còn lại cô Ngọc phải đi ít hơn 415 km sau \(t\) ngày đã đi.
Ta lập được bất phương trình: \(1595 - 295t < 415\). Giải bất phương trình, ta tìm được \(t > 4\).
Ngoài ra, \(t\) phải thoả mãn điều kiện \(1595 - 295t > 0\) hay \(t < 5,41\). Vậy \(t = 5\).
Bác Lan sử dụng dịch vụ điện thoại di động với giá cước gọi nội mạng và gọi ngoại mạng lần lượt là 1200 dồng/phút và 2000 đồng/phút. Trong tháng 10, bác Lan đã sử dụng 90 phút gọi nội mạng. Hỏi bác Lan có thể sử dụng nhiều nhất bao nhiêu phút gọi ngoại mạng nếu tiền cước bác Lan phải trả trong tháng 10 không vượt quá 200000 đồng.
Gọi \(x\) là số phút gọi ngoại mạng của bác Lan trong tháng \(10(x > 0)\). Ta lập được bất phương trình: \(1200.90 + 2000x \le 200000\). Giải bất phương trình, ta tìm được \(x \le 46\). Vậy bác Lan có thể sử dụng nhiều nhất 46 phút gọi ngoại mạng.
Một trang trại thu được ít nhất 20,8 triệu đồng do bán cà chua và khoai tây. Giá bán cà chua là 18 nghìn đồng \(/{\rm{kg}}\) và giá bán khoai tây là 25 nghìn đồng \(/{\rm{kg}}\). Tính số kilôgam cà chua ít nhất mà trang trại đó đã bán, biết trang trại này đã bán 400 kg khoai tây.
Gọi \(x\) là số kilôgam cà chua mà trang trại đó đã bán \((x > 0)\). Ta lập được bất phương trình: \(18000x + 25000.400 \ge 20800000\). Giải bất phương trình, ta tìm được \(x \ge 600\).
Vậy trang trại đó đã bán được ít nhất 600 kg cà chua.
Một người muốn sử dụng yến mạch và gạo lứt để tạo món ăn kiêng. Giá yến mạch và gạo lút lần lượt là 70000 đồng \(/{\rm{kg}}\) và 30000 đồng/kg. Tìm số kilôgam gạo lứt nhiều nhất mà người đó có thể mua, biết người đó đã mua 1 kg yến mạch và số tiền người đó bỏ ra không vượt quá 190000 đồng.
Gọi \(x\) là số kilôgam gạo lứt mà người đó đã mua \((x > 0)\). Ta lập được bất phương trình: \(70000 + 30000x \le 190000\). Giải bất phương trình, ta tìm được \(x \le 4\). Vậy người đó có thể mua nhiều nhất 4 kg gạo lứt.
Một hãng taxi có giá cước như sau (Bảng 3):
Loại xe | Giá mở cửa \((0{\rm{\;km}}\) đến \(1{\rm{\;km}})\) | Giá cước 29 km tiếp theo (trên \(1km\) đến 30 km ) | Giá cước từ kilômét thứ 31 (trên 30 km) |
Xe 4 chỗ | 11000 đồng | 14500 đồng/km | 11600 đồng/km |
Xe 7 chỗ | 11000 đồng | 15500 đồng/km | 13600 đồng/km |
Bảng 3
Hai nhóm khách A và B đã sử dụng dịch vụ của hãng taxi này để di chuyển. Nhóm khách A đã đi 45 km bằng loại xe 4 chỗ. Nhóm khách B đã đi 40 km bằng loại xe 7 chỗ. Nhận định "Số tiền nhóm khách A phải trả cao hơn số tiền nhóm khách B phải trả và số tiền chênh lệch lớn hơn 10000 đồng" là đúng hay sai? Vì sao?
Số tiền nhóm khách A phải trả là: \(11000 + 14500.29 + 11600.(45 - 30) = 605500\) (đồng).
Số tiền nhóm khách B phải trả là: \(11000 + 15500.29 + 13600 \cdot (40 - 30) = 596500\) (đồng).
Số tiền nhóm khách A phải trả nhiều hơn số tiền nhóm khách B phải trả là: \(605500 - 596500 = 9000\)(đồng).
Do \(9000 < 10000\) nên nhận định đã cho là sai.
