50 bài tập Một số yếu tố xác suất có lời giải

Ta lập bảng:

Mỗi ô trong bảng trên là một kết quả có thể. Các kết quả có thể này là đồng khả năng. Không gian mẫu là \[\Omega = \left\{ {\left( {1;1} \right);\left( {1;2} \right);\left( {1;3} \right);\left( {2;1} \right);\left( {2;2} \right);\left( {2;3} \right);\left( {3;1} \right);\left( {3;2} \right);\left( {3;3} \right);\left( {4;1} \right);\left( {4;2} \right);\left( {4;3} \right);\left( {5;1} \right);\left( {5;2} \right);\left( {5;3} \right)} \right\}\]gồm 15 phần tử.

b) Có 2 kết quả thuận lợi cho biến cố \(T\) là \(\left( {3;2} \right)\) và \(\left( {2;3} \right)\) nên \(P\left( {\;T} \right) = \frac{2}{{15}}\).

Các kết quả thuận lợi cho biến cố \(M\): Có 1 ô tích hai số bằng 1 là \(\left( {1;1} \right)\). Có 2 ô có tích hai số bằng 2 là \[\left( {1;2} \right);\left( {2;1} \right)\]. Có 2 ô có tích hai số bằng 3 là \(\left( {1;3} \right);\left( {3;1} \right)\). Có 2 ô có tích hai số bằng 4 là \(\left( {4;1} \right);\left( {2;2} \right)\). Do đó, có 7 kết quả thuận lợi cho biến cố M nên \(P\left( M \right) = \frac{7}{{15}}\).

Tích \(ab\) là số chẵn khi và chỉ khi trong cặp \(\left( {{\rm{a}};{\rm{b}}} \right)\) có ít nhất 1 số chẵn. Do đó, sẽ có 9 kết quả thuận lợi cho biến cố \(L\) nên \(P\left( L \right) = \frac{9}{{15}} = \frac{3}{5}\).

a) Có 4 kết quả thuận lợi cho biến cố \(A\):\(A = \left\{ {3,6,9,12} \right\}\)

b) Gọi \(\Omega \)là không gian mẫu. Ta có: \(\Omega = \left\{ {1,2,3, \ldots ,12} \right\}\). Số phần tử của không gian mẫu là: 12.

Vậy \(P\left( A \right) = \frac{4}{{12}} = \frac{1}{3}\).

Số học sinh chỉ thích duy nhất môn Văn là: \(12 - 8 = 4\) (học sinh)

Số học sinh vừa thích môn Văn vừa thích môn Toán là: \(7 - 4 = 3\) (học sinh).

Xác suất để chọn ra 1 học sinh vừa thích môn Văn vừa thích môn Toán là: 3:12 \( = 25\% \).

a) Các cách chọn 2 bạn để hát song ca là: Khôi và Thiên; Khôi và Phương; Khôi và Dung; Thiên và Phương; Thiên và Dung; Dung và Phương. (6 cách)

b) Các cách chọn để biến cố \(A\) xảy ra: Khôi và Phương; Khôi và Dung; Thiên và Phương; Thiên và Dung. (4 cách). Xác suất của biến cố \[A:P\left( A \right) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\].

Các cách chọn để biến cố \(B\) xảy ra: Khôi và Phương; Thiên và Phương; Phương và Dung. (3 cách)

Xác suất của biến cố \(B:P\;\left( B \right) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\).

Giả sử trường đó có 100 học sinh. Khi đó, số học sinh bị cận chiếm \(16\% \) nên sẽ có khoảng 16 học sinh. Số học sinh không bị cận thị là: \(100 - 16 = 84\) (học sinh). Xác suất gặp ngẫu nhiên một bạn học sinh không bị cận thị là: \(84:100 = 0,84\).

a) Tổng số điểm bạn An đạt được sau 9 lần ném: \(5.5 - 5 + 2.3 + \left( { - 1} \right) = 25\) điểm.

b) Vì để nhận được phần quà trị giá 300000 đồng bạn An phải đạt từ 30 điểm đến 49 điểm sau 10 lần ném, mà \(30 - 25 = 5\) điểm nên bạn An vẫn còn cơ hội để nhận quà. Do An đã ném 9 lần nên để nhận quà bạn chỉ còn 1 lần ném và phải ném vào ô điểm 5 Có 5 khả năng ném vào ô điểm 5 trên tổng số 26 khả năng (gồm 25 ô trong bảng và 1 khả năng ném ra ngoài). Nên xác suất để bạn An nhận phần quà trị giá 300000 đồng là \(\frac{5}{{26}}\)

a) Có 5 kết quả thuận lợi cho biến cố “Số xuất hiện trên thẻ đurợc rút ra là số chia hết cho 5” là 5 ; 10 ; 15 ; 20 ; 25. Xác suất của biến cố đó là \(\frac{5}{{25}} = \frac{1}{5}\).

b) Có 16 kết quả thuận lợi cho biến cố “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số có hai chữ số” là \(10;11;12; \ldots .;24;25\). Xác suất của biến cố đó là \(\frac{{16}}{{25}}\).

c) Có 2 kết quả thuận lợi cho biến cố “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số có hai chữ số và tổng các chữ số bằng 5” là 14 ; 23. Xác suất của biến cố đó là \(\frac{2}{{25}}\).

a) \(n\left( \Omega \right) = 36\)

b) Gọi \(A\) là biến cố “Tổng số chấm trên hai con xúc xắc bằng 8”. Các kết quả thuận lợi cho \(B\) bao gồm \((2,6),(6,2),(3,5),(5,3),(4,4)\). Do đó: \(n\left( A \right) = 5\). Xác suất xảy ra biến cố \(A\) là: \(P\;\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{5}{{36}}\).

Tổng số viên bi trong túi:\(3:0,6 = 5\) viên. Số viên bi màu đỏ:\(5 - 3 = 2\) viên.

Số kết quả thuận lợi của biến cố này là \(n\). Ta có: \(\frac{n}{{n + 5}} = 0,75 \Rightarrow 4n = 3n + 15 \Rightarrow n = 15\).

Vậy số quả bóng màu trắng có trong hộp là 15. Số kết quả thuận lợi của biến cố này là \(n\).

Ta có: \(\frac{n}{{n + 5}} = 0,75 \Rightarrow 4n = 3n + 15 \Rightarrow n = 15\). Vậy số quả bóng màu trắng có trong hộp là 15 .

a) Các kết quả có thể xảy ra là: \(M = \left\{ {N;SN;SSN;SSSN;SSSSN;SSSSSS} \right\}\).

b) Xác suất biến cố \(A\) là: \(\frac{3}{6} = \frac{1}{2}\); Xác suất biến cố \(B\) là: \(\frac{1}{6}\); Xác suất biến cố \(C\) là: \(\frac{1}{6}\).

Số học sinh chỉ giỏi tiếng Anh có trong lớp là: \(30 - \left( {12 + 7 - 2} \right) = 13\) học sinh. Xác suất xảy ra của biến cố A là: \(P\left( A \right) = \frac{{13}}{{50}}\).

Xem việc tung con xúc xắc là một phép thử ngẫu nhiên. Số lần thực hiện phép thử: \(N = 50\).

Số lần xuất hiện của biến cố \(A:12 \Rightarrow P\;\left( A \right) = \frac{{12}}{{50}} = \frac{6}{{25}}\).

Số lần xuất hiện của biến cố \(B:16 + 8 = 24 \Rightarrow P\left( {\;B} \right) = \frac{{24}}{{50}} = \frac{{12}}{{25}}\)

Từ 1 đến 10 ta có 5 số lẻ và 5 số chẵn. Rút ngẫu nhiên 2 thẻ từ 10 thẻ có \(\frac{{10.9}}{2} = 45\) cách. Do đó, số phần tử không gian mẫu là \(n(\Omega ) = 45\). Gọi \(A\) là biến cố: “Rút được hai thẻ mà tích hai số được đánh trên thẻ là số lẻ” Để tích hai số được đánh trên thẻ là số lẻ thì hai thẻ được rút ra phải là hai thẻ ghi số lẻ.

Từ đó, suy ra \(n\;\left( {\rm{A}} \right) = \frac{{5.4}}{2} = 10\). Vậy xác suất để rút được hai thẻ mà tích hai số được đánh trên thẻ là số lẻ là:\(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{10}}{{45}} = \frac{2}{9}\)

Ta có: \(\Omega = \left\{ {{\rm{NN}},{\rm{NS}},{\rm{SN}},{\rm{SS}}} \right\},n\left( \Omega \right) = 4\). \(A = \left\{ {NS;SN} \right\} \Rightarrow n\left( A \right) = 2;B = \left\{ {NN;NS;SN} \right\} \Rightarrow n\left( B \right) = 3;C = \left\{ {NN} \right\} \Rightarrow n\left( C \right) = 1\)

Vậy: \[P\;\left( A \right) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2};P\;\left( B \right) = \frac{3}{4};P\left( C \right) = \frac{1}{4}\].

Số các số mà Cừu có trong hộp là 100. Cừu chỉ được đoán 1 lần vậy xác suất cừu đoán đúng là \(\frac{1}{{100}} < \frac{1}{{70}}\). Vậy Cừu không nên tham gia trò chơi này vì khả năng người thua cuộc luôn là Cừu.

Tính được có 13 HS chỉ giỏi tiếng Anh. Tính được có 18 HS chỉ giỏi 2 trong 3 ngoại ngữ.

Không gian mẫu \(\Omega \) gồm 50 trường hợp \( \Rightarrow \) Số phần tử của không gian mẫu \(\Omega \) là \(n\left( \Omega \right) = 50\);

a) Gọi \(B\) là biến cố học sinh đó chỉ giői tiếng Anh. Khi đó: Các kết quả thuận lợi của biến cố \(B\):\(n\;\left( B \right) = 13;P\left( {\;B} \right) = \frac{{13}}{{50}}\).

b) Gọi \(C\) là biến cố học sinh đó giòi hai trong ba ngoại ngữ trên. Khi đó: Các kết quả thuận lợi của biến cố \(C:n\left( C \right) = 8;P\left( C \right) = \frac{{18}}{{50}} = \frac{9}{{25}}\).

a) Diện tích 1 mặt của 1 viên xúc xắc hình lập phương: \(\left( {23,52:2} \right):6 = 1,96\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\). Thể tích của 1 viên xúc xắc hình lập phương: \({\left( {\sqrt {1,96} } \right)^3} = 2,744\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\). Khối lượng của 2 viên xúc xắc hình lập phương: \(2.\left( {2,744.0,8} \right) = 4,3904\) (gam).

b) Khi gieo hai viên xúc xắc trên cùng một lần, thì ta có: Các khả năng có thể xảy ra là: \(6.6 = 36\) (trường hợp).

Các khả năng để xuất hiện hai mặt giống nhau là: 6 trường hợp.

Xác xuất để xuất hiện hai mặt giống nhau là: \(\frac{6}{{36}} = 0,1\left( 6 \right) \approx 16,7\% \)

Số cách lấy lần lượt 2 viên bi từ hộp là \(10.9 = 90\) (cách).

Nếu lần 1 lấy được bi đỏ và lần 2 lấy được bi xanh thì có \(6.4 = 24\) (cách).

Nếu lần 1 lấy được bi xanh và lần 2 cũng là bi xanh thì có \(4.3 = 12\) (cách).

Suy ra xác suất cần tìm là \(p = \frac{{\left( {24 + 12} \right)}}{{90}} = \frac{4}{{10}}\).

Xác suất để Việt được 8 điểm là sai 2 câu và đúng 2 câu cuối: \(6.{\left( {\frac{1}{4}} \right)^2}.{\left( {\frac{3}{4}} \right)^2} = \frac{{27}}{{128}}\).

Kí hiệu: mặt sấp là \(S\); mặt ngửa là \(N\) .

Không gian mẫu của phép thử: \(\Omega = \left\{ {SSN;SNS;NSS;NNS;NSN;SNN;SSS;NNN} \right\}\). Suy ra \(n\left( \Omega \right) = 9\).

Vì tung đồng xu cân đối và đồng chất nên 9 kết quả trên đều có thể xảy ra như nhau. Có 4 kết quả thuận lợi cho biến cố A nên \(n\left( {\rm{A}} \right) = 4\). Vậy xác suất của biến cố A là: \(P\;\left( A \right) = \frac{{n\left( {\;A} \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{4}{9}\).

Không gian mẫu \(\Omega = \left\{ {1;2; \ldots ;20} \right\}\). Gọi \(A\) là biến cố lấy được thẻ ghi số lẻ và chia hết cho 3 .

Ta có: \(A = \left\{ {3;9;15} \right\}\). Xác suất của biến cố \(A\) là: \[P\left( A \right) = \frac{3}{{20}} = 0,15\].

Để Bình thắng ở lượt chơi này thì Bình phải quay vào các nấc điểm là 85 ; 90 ; 95 ; 100. Xác suất thực nghiệm của sự kiện Bình thắng ở lượt chơi này là: \(\frac{4}{{20}} = 0,2 = 20\% \).

Một hộp đựng 1 viên bi đỏ, 1 viên bi xanh, 2 viên bi vàng có cùng kích thước và khối lượng, bạn Nam lấy ra một cách ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp.

a) Có 6 kết quả xảy ra.

b) \(P\;\left( A \right) = \frac{1}{6};P\;\left( B \right) = \frac{1}{2};P\left( C \right) = \frac{5}{6}\).

Gọi \(n\) là số quả bóng màu trắng có trong hộp. Số cách chọn ra ngẫu nghiên 1 quả bóng lấy từ hộp là \(n + 5\).

Do các quả bóng có cùng kích thước và khối lượng nên các quả bóng có cùng khả năng được chọn. Số kết quả thuận lợi cho biến cố “Lấy được quả bóng màu đỏ” nên xác suất của biến cố này là \(\frac{5}{{n + 5}}\).

Ta có phương trình: \(\frac{5}{{n + 5}} = 0,25 \Leftrightarrow n + 5 = 20 \Leftrightarrow n = 15\). Vậy có 15 quả bóng màu trắng trong hộp.

Kí hiệu \(\left( {i;j} \right)\) là kết quả con xúc xắc thứ nhất xuất hiện \(i\) chấm và con xúc xắc thứ hai xuất hiện \(j\) chấm. Không gian mẫu \(\Omega = \left\{ {\left( {i;j} \right)\mid i \in \mathbb{N};1 \le i \le 6;1 \le j \le 6} \right\}\). Số phần tử của không gian mẫu là \(6.6 = 36\).

Đặt biến cố \(A\): “tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con xúc xắc bằng 10”.

Ta có \(A = \{ (4;6),(6;4),(5;5)\} \). Suy ra số kết quả thuận lợi cho biến cố \(A\) là 3. Suy ra \(P\;\left( A \right) = \frac{3}{{36}} = \frac{1}{{12}}\).

a) Gọi quả bóng màu trắng là \(T\), quả bóng màu đỏ là , quả bóng màu vàng là \(V\):

Không gian mẫu: . Số phần tử của không gian mẫu: \(n\left( \Omega \right) = 4\).

b) Kết quả lấy ra có đúng 1 quả bóng màu đỏ là và nên \(n\left( {\rm{A}} \right) = 2\). Xác suất của biến cố \(A\) là: \(\frac{2}{4} = 0,5\)

Tập hợp gồm các kết quả có thể xảy ra đối với số ghi trên thẻ khi lấy ngẫu nhiên một chiếc thẻ trong hộp là \(B = \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\). Như vậy tập hợp \(B\) có 5 phần tử.

a) Ghi lại số của thẻ lấy ra sau 40 lần rút thẻ liên tiếp, ta được kết quả như sau:

Xác suất thực nghiệm của biến cố “Thẻ lấy ra ghi số chẵn” là \(\frac{{5 + 8}}{{40}} = \frac{{13}}{{40}}\).

Xác suất thực nghiệm của biến cố “Thẻ lấy ra ghi số lẻ” là \(1 - \frac{{13}}{{40}} = \frac{{27}}{{40}}\).

b) Các kết quả thuận lợi cho biến cố “Thẻ lấy ra ghi số chẵn” là 2,4 . Do đó có 2 kết quả thuận lợi cho biến cố. Vì vậy, xác suất cho biến cố đó là \(\frac{2}{5}\).

Các kết quả thuận lợi cho biến cố “Thẻ lấy ra ghi số lẻ” là 1,3,5. Do đó có 3 kết quả thuận lợi cho biến cố. Vì vậy, xác suất cho biến cố đó là \(\frac{3}{5}\).

Phép thử: gieo con xúc xắc đồng chất 2 lần. Không gian mẫu \(\Omega \):\(n(\Omega ) = 36\). Đặt \(A\): là biến cố tổng số chấm xuất hiện bằng 6. Ta có \(A = \left\{ {\left( {5;1} \right),\left( {4;2} \right),\left( {3;3} \right),\left( {2;4} \right),\left( {1;5} \right)} \right\} \Rightarrow n\left( A \right) = 5\).

Xác suất tổng số chấm xuất hiện bằng 6 là: \(P\;\left( A \right) = \frac{{n\;\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{5}{{36}}\).

Không gian mẫu \(\Omega = \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}\), gồm 6 kết quả đồng khả năng xuất hiện. Gọi \(A\) là biến cố xuất hiện mặt có số dấu chấm không lớn hơn 3. \(A = \left\{ {1;2;3} \right\};n\left( A \right) = 3\). Theo định nghĩa ta có \(P\left( {\;{\rm{A}}} \right) = \frac{{n\;\left( {\rm{A}} \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\).

a) \(E = \{ \) Táo, Hồng, Lê, Nho, Trâu, Bò, Gà, Vịt, Dê, Cừu\(\} \);

b) \(G = \{ \) Trâu, Bò, Gà, Vịt, Dê, Cừu\(\} \). Các phần tử Trâu, Bò, Gà, Vịt, Dê, Cừu được gọi là các kết quả thuận lợi của biến cố \(G\).

c) Số kết quả thuận lợi của biến cố \(G\) là: 6. Số phần tử của tập hợp \(E\) là: 10

Tỉ số của số các kết quả thuận lợi cho biến cố \(G\) và số phần tử của tập hợp \(E\) là: \(\frac{6}{{10}} = 0,6\).

Tổng số lần lấy bút là 40. Số lần lấy được màu vàng là 10. Số lần không lấy được màu vàng là \(40 - 10 = 30\). Xác suất của sự kiện không lấy được màu vàng là \(\frac{{30}}{{40}} = \frac{3}{4}\).

a) Có 5 kết quả thuận lợi cho biến cố “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 5 “ là \(5;10;15;20;25\). Xác suất của biến cố đó là \(\frac{5}{{25}} = \frac{1}{5}\).

b) Có 16 kết quả thuận lợi cho biến cố “ Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số có hai chữ số” là \(10;11;12; \ldots .;24;25\). Xác suất của biến cố đó là \(\frac{{16}}{{25}}\).

Số bạn nam trong lớp là \(38 - 18 = 20\) (bạn). Số bạn nam có tham gia câu lạc bộ thể thao là: \(20 - 8 = 12\) (bạn).

Xác suất của bạn được chọn là bạn nam có tham gia câu lạc bộ thể thao là: \(\frac{{12}}{{38}} = \frac{6}{{19}}\).

a) Có 2 kết quả thuận lợi cho biến cố “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số có chữ số tận cùng là 2” đó là 2 và 12. Vì thế xác suất của biến cố đó là \(\frac{2}{{20}} = \frac{1}{{10}}\).

b) Có 9 kết quả thuận lợi cho biến cố “ Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số có một chữ số” đó là \[\left\{ {1;2;3;4{\rm{ }};5;6;7;8;9} \right\}\]. Vì thế xác suất của biến cố đó là \(\frac{9}{{20}}\).

c) Có 1 kết quả thuận lợi cho biến cố “ Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số có hai chữ số với tích các chữ số bẳng 4” đó là 14 . Vì thế xác suất của biến cố đó là \(\frac{1}{{20}}\).

Xác suất lớp 9 A1 bốc được phiếu “tổ chức trò chơi dân gian” là: \(\frac{6}{{16}} = \frac{3}{8} = 0,375 = 37,5\% \)

Số khả năng xảy ra là \(3.3 = 9\) (trận \(A - C\) có 3 khả năng, trận \(B - D\) có 3 khả năng). Số khả năng đội D vào vòng trong là 2.

TH1 : \(A\) thắng \(C\) và \(B\) thua \(D\) thì \(D\) vào vòng trong.

TH2: \(A\) hòa \(C\) và \(B\) thua \(D\) thì \(D\) vào vòng trong.

Vậy xác suất để đội D được vào vòng trong là \(\frac{2}{9}.100\% \approx 22,2\% \).

a) \(\Omega = \left\{ {\left( {1;1} \right);\left( {1;2} \right);\left( {1;3} \right);\left( {1;4} \right);\left( {1;5} \right);\left( {1;6} \right);\left( {2;1} \right);\left( {2;2} \right);\left( {2;3} \right); \ldots ;\left( {6;5} \right);\left( {6;6} \right)} \right\}\). Do đó \(n\left( \Omega \right) = 36\).

b) \(A = \left\{ {\left( {4;6} \right);\left( {5;6} \right);\left( {6;6} \right);\left( {6;5} \right);\left( {6;4} \right);\left( {5;5} \right)} \right\} \Rightarrow n\left( A \right) = 6\).

\(B = \left\{ {\left( {1;5} \right);\left( {2;5} \right);\left( {3;5} \right);\left( {4;5} \right);\left( {5;5} \right);\left( {6;5} \right);\left( {5;1} \right);\left( {5;2} \right);\left( {5;3} \right);\left( {5;4} \right);\left( {5;6} \right)} \right\} \Rightarrow n\left( B \right) = 11\)

c) \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( {\;A} \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{6}{{36}} = \frac{1}{6};P\left( {\;B} \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{11}}{{36}}\)

Kí hiệu \(S\) nếu Nam tung được mặt sấp, \(N\)nếu Nam tung được mặt ngửa.

Có tất cả 8 kết quả xảy ra, trong đó có 3 kết quả thuận lợi cho biến cố \(A\). Do đó: \(P\left( {\;A} \right) = \frac{3}{8}\).

Gọi \(x\) là số viên bi đỏ trong túi, theo đề ta có \((x > 0)\). Ta có\(\frac{x}{{x + 9}} = \frac{{40}}{{100}} \Leftrightarrow 100x = 40\left( {x + 9} \right) \Leftrightarrow 100x = 40x + 360 \Leftrightarrow 60x = 360 \Leftrightarrow x = 6\). Vậy ước lượng số viên bi đỏ trong túi là 6 viên.

Không gian mẫu \(E = \left\{ {\left( {1,1} \right);\left( {1,2} \right);\left( {1,3} \right); \ldots .;\left( {6,6} \right)} \right\}\) : có \(6.6 = 36\) phần tử.

a) Biến cố \(A = \left\{ {\left( {1;1} \right);\left( {1,2} \right);\left( {1,3} \right);\left( {1;4} \right);\left( {1,5} \right);\left( {2,1} \right);\left( {2,2} \right);\left( {2,3} \right);\left( {2,4} \right);\left( {3,1} \right);\left( {3,2} \right);\left( {3,3} \right);\left( {4,1} \right);\left( {4,2} \right);\left( {5,1} \right)} \right\}\); có 15 phần tử. Xác suất của \(P\;\left( A \right) = \frac{{15}}{{36}} = \frac{5}{{12}}\).

b) Biến cố \(B = \{ (1,2);(1,4);(1,6);(2,1);(2,3);(2,5);(3,2);(3,4);(3,6);(4,1);(4,3);(4,5)\); \((5,2);(5,4);(5;6);(6,1);(6,3);(6,5)\} \) có 15 phần tử. Xác suất của A là \(P\left( A \right) = \frac{{15}}{{36}} = \frac{5}{{12}}\).

a) Biến cố chắc chắn: biến cố A , biến cố B , biến cố D. Biến cố không chắc chắn: biến cố C.

b) Do gieo con xúc xắc 1 lần nên \(n\left( \Omega \right) = 6\). Biến cố \(n\;\left( A \right) = 1;n\;\left( B \right) = 4;n\left( C \right) = 0;n\left( D \right) = 1\).

Vậy \[P\left( A \right) = \frac{1}{6};P\left( {\;B} \right) = \frac{2}{3};P\left( C \right) = 0;P\left( D \right) = \frac{1}{6}\]

a) Tập hợp \(M\) gồm các kết quả xảy ra đối với tên học sinh được chọn ra là: \(M = \{ \)Hoa; Mai; Linh; Mi; Cường; Hưng; Mỹ; Kiên; Phúc; Hoàng}. Số phần tử của tập hợp M là 10.

b) Có 6 kết quả thuận lợi cho biến cố “Học sinh đurợc chọn ra là học sinh nam” đó là Cường; Hưng; Mỹ; Kiên; Phúc; Hoàng. Vì thế xác suất của biến cố đó là \(\frac{6}{{10}} = \frac{3}{5}\).

- Có 4 kết quả thuận lợi cho biến cố “Học sinh được chọn ra là học sinh nữ” đó là Hoa; Mai; Linh; Mi.

Vì thế xác suất của biến cố đó là \(\frac{4}{{10}} = \frac{2}{5}\).

- Có 2 kết quả thuận lợi cho biến cố “Học sinh được chọn ra là học sinh nam có tên bắt đầu bằng chữ \(H\)” đó là Hưng; Hoàng. Vì thế xác suất của biến cố đó là \(\frac{2}{6} = \frac{1}{3}\).

- Có 2 kết quả thuận lợi cho biến cố “Học sinh được chọn ra là học sinh nữ có tên bắt đầu bằng chữ \(M\)” đó là Mai; Mi. Vì thế xác suất của biến cố đó là \(\frac{2}{4} = \frac{1}{2}\).

a) Số có 3 chữ số cần tìm có dạng \(\overline {abc} \). Chữ số \(a\) có 6 cách chọn. Chữ số \(b\) có 6 cách chọn. Chữ số \(c\) có 5 cách chọn. Vậy có \(6.6.5 = 180\) số có chữ số khác nhau viết từ các số của tập hợp \(K\).

b) Là số chã̃n

TH1: \(c = 0\). Chữ số \(a\) có 6 cách chọn. Chữ số \(b\) có 5 cách chọn.

TH2: \(c = 2\) hoặc \(c = 6\). Chữ số \(a\) có 5 cách chọn. Chữ số \(b\) có 5 cách chọn. Vậy có \(6.5 + 2.5.5 = 80\) số chẵn có ba chữ số khác nhau viết từ các số của tập hợp \(K\).

Xác suất để một số viết được là số chẵn là: \(\frac{{80}}{{180}}.100\% = 44,44\% \).

Do 4 tấm thẻ là cùng loại nên các thẻ có cùng khả năng được chọn. Số cách lấy có thể có là: (1; 4), (1; 7), (1; 9), (4;1), (4; 7), (4; 9), (7; 1), (7; 4), (7; 9), (9; 1), (9; 4); (9; 7)  nên không gian mẫu có 12 cách.

- Có 6 kết quả thuận lợi cho biến cố A là: (1; 7), (1; 9), (7; 1), (9; 1), (7; 9), (9; 7).

Xác suất biến cố A: \(P\left( A \right) = \frac{6}{{12}} = \frac{1}{2}\)

- Có 6 kết quả thuận lợi cho biến cố B là: (1; 4), (4; 1), (7; 9), (9; 7), (4; 9), (9; 4).

Xác suất biến cố B: \(P\left( B \right) = \frac{6}{{12}} = \frac{1}{2}\)

- Có 6 kết quả thuận lợi cho biến cố C là: (7; 1), (7; 4), (4; 1), (9; 1), (9; 4), (9; 7)

Xác suất biến cố C: \(P\left( C \right) = \frac{6}{{12}} = \frac{1}{2}\)

Có 36 kết quả có thể xảy ra là \(\Omega \) = {(i; j) | 1\( \le \) i \( \le \) 6, 1\( \le \) j \( \le \) 6, i; j \( \in \) N}.

Vì xúc xắc cân đối và đồng chất nên nó cùng khả năng xảy ra.

- Có 6 kết quả thuận lợi cho biến cố A là: 1 chấm và 1 chấm, 2 chấm và 2 chấm, 3 chấm và 3 chấm, 4 chấm và 4 chấm, 5 chấm và 5 chấm, 6 chấm và 6 chấm.

Xác suất xảy ra biến cố A là: \(P\left( A \right) = \frac{6}{{36}} = \frac{1}{6}\)

- Có 8 kết quả thuận lợi cho biến cố B là: 3 chấm và 6 chấm, 6 chấm và 3 chấm, 4 chấm và 6 chấm, 6 chấm và 4 chấm, 5 chấm và 6 chấm, 6 chấm và 5 chấm, 4 chấm và 5 chấm, 5 chấm và 4 chấm.

Xác suất xảy ra biến cố B là: \(P\left( B \right) = \frac{8}{{36}} = \frac{2}{9}\).

Do \(\frac{2}{9} > \frac{1}{6}\) nên biến cố B có khả năng xảy ra cao hơn.

Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối,  đồng chất I và II

Ta có khoogn gian mẫu: n(Ω) = 6. 6 = 36

*E: “Có đúng 1 con xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm”

- Xúc sắc I xuất hiện mặt 6 chấm,  xúc xắc II có thể xuất hiện 5 khả năng  suy ra 1. 5 = 5

- Xúc sắc II xuất hiện mặt 6 chấm,  xúc xắc I có thể xuất hiện 5 khả năng  suy ra 1. 5 = 5

suy ra n(E) = 5+ 5 = 10

Do đó xác suất \(P\left( E \right) = \frac{{10}}{{36}} = \frac{5}{{18}}\)

*F: "Có ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm”

- Trường hợp có 1 xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm suy ra 1. 5+ 5. 1 = 10 khả năng

- Trường hợp 2,  cả hai xúc xắc đều là 6 chấm  suy ra có 1. 1 khả năng 

suy ra n(F) = 10+ 1 = 11

Do đó xác suất \(P\left( F \right) = \frac{{11}}{{36}}\)

* G:”Tích của hai số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc nhỏ hơn hoặc bằng 6”

Những trường hợp tích hai số chấm xuất hiện trên con xúc xắc nhỏ hơn hoặc bằng 6 là: (1, 1); (1, 2); (1, 3); (1, 4); (1, 5); (2, 1); (2, 2); (2, 3); (3, 1); (3, 2); (4, 1); (5, 1)

Suy ra n(G) = 12

Do đó xác suất \(P\left( G \right) = \frac{{12}}{{36}} = \frac{1}{3}\)

Từ mỗi túi rút ngẫu nhiên ra một tấm thẻ rồi ghép hai thẻ lại với nhau để được ba chữ cái  

Suy ra  n(Ω) = 4.2 = 8 phần tử

a) E: “Trong ba chữ cái,  có hai chữ H và một chữ T”

Rút từ túi I để được 2 chữ H  => 1 khả năng có thể 

Rút từ túi II để được chữ T  => 1 khả năng có thể

Suy ra   n(E) = 1.1 = 1

Do đó xác suất \(P\left( E \right) = \frac{1}{8}\)

b) F: “Trong ba chữ cái,  có nhiều nhất hai chữ T”

*Trường hợp có 1 chữ T

- Rút từ túi I,  có 2 khả năng có thể (TH, HT); rút từ túi II có 1 khả năng có thể xảy ra (H) , suy ra 2.1 = 2 khả năng 

- Rút từ túi I thẻ HH,  rút túi II thẻ T ,  suy ra 1.1 khả năng

Suy ra có 2 + 1 = 3 khả năng để trong ba chữ cái rút được một chữ T

*Trường hợp có 2 chữ T

- Rút túi I,  có 2 khả năng có thể (TH, HT); rút từ túi II có 1 khả năng có thể xảy ra (T),  suy ra 2.1 = 2 khả năng

- Rút từ túi I thẻ TT,  rút túi II thẻ H,  suy ra 1.1 khả năng

Suy ra   có 2 + 1 = 3 khả năng

Suy ra   n(F) = 3 + 3 = 6

Do đó xác suất \(P\left( F \right) = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}\)  

Kết quả thuận lợi cho biến cố A là: 55% tổng số nhân viên.

Vậy xác suất cần tìm cho biến cố A là: \(P\left( A \right) = 55\% = 0,55\)

Kết quả thuận lợi cho biến cố B là: 55% + 25% + 5% = 75% tổng số nhân viên.

Vậy xác suất cần tìm cho biến cố B là: \(P\left( B \right) = 75\% = 0,75\).

Nhìn vào biểu đồ ta thấy:

- Lớp 6 có tất cả: 7 nam + 9 nữ = 16 học sinh

- Lớp 7 có tất cả: 9 nam + 7 nữ = 16 học sinh

- Lớp 8 có tất cả: 9 nam + 8 nữ = 17 học sinh

- Lớp 9 có tất cả: 9 nam + 8 nữ = 17 học sinh

Như vậy, không gian mẫu trong bài này có tất cả 16 + 16 + 17 + 17 = 66 học sinh.

- Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: 7 + 9 + 9 + 9 = 43 học sinh

Xác suất để biến cố A xảy ra là:\(P\left( A \right) = \frac{{43}}{{66}}\) 

- Số kết quả thuận lợi cho biến cố B là: 16 học sinh

Xác suất để biến cố B xảy ra là: \(P\left( B \right) = \frac{{16}}{{66}} = \frac{8}{{33}}\) 

- Số kết quả thuận lợi cho biến cố C là: 9 + 7 + 8 = 24 học sinh

Xác suất để biến cố C xảy ra là: \(P\left( C \right) = \frac{{24}}{{66}} = \frac{{12}}{{33}}\).