54 bài tập Hàm số bậc hai và giải bài toán bằng cách lập phương trình có lời giải

a) Khi \({\rm{t}} = 2,\;{\rm{s}} = 22\) ta có: \(22 = a \cdot {2^2} \Rightarrow a = 5,5\) (nhận).
Vậy phương trình quãng đường bóng rơi có dạng \({\rm{s}} = 5,5{{\rm{t}}^2}\).
b) Với \(t = 5\) ta có: \({\rm{s}} = 5,{5.5^2} = 137,5(\;{\rm{m}})\).
Khoảng cách của bóng cách đất lúc này là: \(360 - 137,5 = 222,5(\;{\rm{m}})\)
c) Với \({\rm{s}} = 360\) ta có \(360 = 5,5{{\rm{t}}^2} \Rightarrow {\rm{t}} = 8(\;{\rm{s}})\).
Quãng đường bóng rơi được trước 2 giây cuối là: \({\rm{s}} = 5,5 \cdot {{\rm{t}}^2} = 5,5 \cdot {(8 - 2)^2} = 198(\;{\rm{m}})\).
Vậy quãng đường bóng đi được trong 2 giây cuối là: \(360 - 198 = 162\;{\rm{m}}\).

a) Độ dài của sợi dây đu là: \(L = \frac{g}{{4{\pi ^2}}}{T^2} = \frac{{9,81}}{{4 \cdot 3,{{14}^2}}} \cdot {3^2} \simeq 7,029 \simeq 7\)
Vậy chiều dài sợi dây đu khoảng 7 m.
b) Ta có: \(L = \frac{g}{{4{\pi ^2}}}{T^2} \Rightarrow {T^2} = \frac{{4 \cdot 3,{{14}^2} \cdot 8}}{{9,81}} \simeq 32,16 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{T = 5,6({\rm{ nh\^a n }})}\\{T = - 5,6({\rm{ loai) }}}\end{array}} \right.\)
Vậy chu kì của sợi dây này khoảng 5,6 giây.

Phương trình parabol của cổng trường có dạng: \((P):y = a{x^2}(a < 0)\).
\({\rm{OA}} = \frac{{{\rm{AB}}}}{2} = \frac{9}{2} = 4,5\;{\rm{m}};{\rm{OE}} = {\rm{OA}} - {\rm{AE}} = 4,5 - 0,5 = 4\;{\rm{m}}\). Vì \({\rm{OS}} = 7,6\;{\rm{m}} \Rightarrow {\rm{A}}(4,5; - 7,6)\).
\({\rm{A}}(4,5; - 7,6) \in (P):y = a{x^2} \Rightarrow - 7,6 = a \cdot {(4,5)^2} \Rightarrow a = \frac{{ - 7,6}}{{4,{5^2}}} = - \frac{{152}}{{405}}\)
Vậy \((P):y = - \frac{{152}}{{405}}{x^2}\)
Thay \(x = 4\) vào \((P):y = - \frac{{152}}{{405}}{x^2}\), ta có: \(y = - \frac{{152}}{{405}}{4^2} \approx - 6\)
\( \Rightarrow {\rm{HM}} = 6\;{\rm{m}} \Rightarrow {\rm{ME}} = {\rm{HE}} - {\rm{HM}} = 7,6 - 6 = 1,6\;{\rm{m}}\)
Vậy bạn sinh viên đó cao \(1,6\;{\rm{m}}\).

Quỹ đạo máy bay là parabol có dạng: \((P):y = a{x^2}(a < 0)\).
Sau 6 giây kể từ vị trí cao nhất đó, máy bay rơi xuống đất nên khi \(y = - 18\) thì \(x = 6\).
Khi đó \( - 18 = a{.6^2} \Rightarrow a = \frac{{ - 18}}{{36}} = \frac{{ - 1}}{2}\).
Vậy hàm số biểu thị quỹ đạo của máy bay đồ chơi là: \((P):y = - \frac{1}{2}{x^2}\).
Thay \(x = 3\) vào \((P):y = - \frac{1}{2}{x^2} \Rightarrow y = - \frac{1}{2} \cdot {3^2} = - 4,5\)
\( \Rightarrow {\rm{MB}} = 4,5\;{\rm{m}} \Rightarrow {\rm{MH}} = {\rm{BH}} - {\rm{MB}} = 18 - 4,5 = 13,5\;{\rm{m}}\)
Vậy sau 3 giây thì máy bay cách mặt đất \(13,5\;{\rm{m}}\).

Phương trình chuyển động của cá heo là parabol có dạng: \((P):y = a{x^2}(a < 0)\).
Sau 2 giây kể từ vị trí cao nhất đó, cá heo rơi chạm mặt nước nên khi \(y = - 25\) thì \(x = 2\).
Khi đó \( - 25 = a{.2^2} \Rightarrow a = \frac{{ - 25}}{4}\).
Vậy hàm số biểu thị quỹ đạo của cá heo là \(y = \frac{{ - 25}}{4}{x^2}\).
Khi cá heo cách mặt nước 10 feet thì \({\rm{ME}} = 10\) feet \({\rm{HM}} = {\rm{HE}} - {\rm{ME}} = 25 - 10 = 15\) feet
\( \Rightarrow {\rm{M}}\left( {{x_{\rm{M}}}; - 15} \right) \in (P):y = \frac{{ - 25}}{4}{x^2} \Rightarrow - 15 = \frac{{ - 25}}{4}x_{\rm{M}}^2 \Rightarrow x_{\rm{M}}^2 = \frac{{ - 15.4}}{{ - 25}} = 2,4\)
\( \Rightarrow {x_{\rm{M}}} = \sqrt {2,4} \approx 1,6\) giây.
Vậy sau 1,6 giây thì cá heo cách mặt nước 10 feet.

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) như sau: Trục \(Ox\) dọc theo mặt của cây cầu, trục \(Oy\) vuông góc với trục \(Ox\) tại tâm của cây cầu. Khi đó các dây cáp có hình dạng đường parabol có bề lõm hướng lên trên và đáy của parabol là gốc \(O(0;0)\). Vì thế hàm số biểu diễn Parabol lúc này có dạng là \(y = a{x^2},a > 0\).
Theo giả thiết, cây cầu có trụ tháp đôi cao 80 m so với mặt của cây cầu và cách nhau 400 m nên ta có các điểm \({\rm{A}}( - 220;80)\) và \({\rm{B}}(220;80)\) thuộc parabol. Khi đó ta có: \(80 = a \cdot {220^2} \Rightarrow a = \frac{1}{{605}}\) ( nhận )
Do đó, phương trình của parabol là: \(y = \frac{1}{{605}}{x^2}\).
Với \(x = 130\) ta có \(y = \frac{1}{{605}}{x^2} = \frac{1}{{605}} \cdot {130^2} \simeq 27,9\).
Vậy chiều cao của dây cáp tại điểm cách tâm của cây cầu 100 m khoảng \(27,9\;{\rm{m}}\).

a) Giả sử trên mặt phẳng tọa độ, độ dài các đoạn thẳng được tính theo đơn vị mét. Do khoảng cách giữa hai chân cổng là 4 m nên \({\rm{MA}} = {\rm{NA}} = 2\;{\rm{m}}\). Theo giả thiết ta có \({\rm{OM}} = {\rm{ON}} = 2\sqrt 5 \).
Xét vuông tại \(A\), ta có: \({\rm{OA}} = \sqrt {{\rm{O}}{{\rm{M}}^2} - {\rm{A}}{{\rm{M}}^2}} = \sqrt {{{(2\sqrt 5 )}^2} - {2^2}} = 4\;{\rm{m}}\).
\( \Rightarrow {\rm{M}}(2; - 4) \in (P):y = a{x^2} \Rightarrow - 4 = a{.2^2} \Rightarrow a = - 1\).

Cái cổng có hình dạng là một parabol có phương trình dạng: \((P):y = a{x^2}(a < 0)\).
\({\rm{OA}} = \frac{{{\rm{AB}}}}{2} = \frac{{162}}{2} = 81\;{\rm{m}}\) \( \Rightarrow {\rm{A}}(81; - 185,6) \in (P):y = a{x^2} \Rightarrow - 185,6 = a{.81^2} \Rightarrow a = \frac{{ - 185,6}}{{{{81}^2}}} = \frac{{ - 185}}{{6561}}\)
\((P):y = \frac{{ - 185}}{{6561}}{x^2}\)
\({\rm{HM}} = {\rm{EH}} - {\rm{ME}} = 185,6 - 43 = 142,6\;{\rm{m}}\)
\( \Rightarrow {\rm{M}}\left( {{x_{\rm{M}}}; - 142,6} \right) \in (P):y = \frac{{ - 185}}{{6561}}{x^2} \Rightarrow - 142,6 = \frac{{ - 185}}{{6561}}x_{\rm{M}}^2\)
\( \Rightarrow {x_{\rm{M}}}^2 = \frac{{ - 142,6.6561}}{{ - 185}} = \frac{{4677993}}{{925}} \Rightarrow {x_{\rm{M}}} = \sqrt {\frac{{4677993}}{{925}}} \approx 71,11\;{\rm{m}}\)
\( \Rightarrow {\rm{OE}} = 71,11\;{\rm{m}} \Rightarrow {\rm{EA}} = {\rm{OA}} - {\rm{OE}} = 81 - 71,11 = 9,89\;{\rm{m}}.\)
Vậy vị trí chạm đất của đầu sợi dây này cách chân cổng \(A\) một khoảng là \(9,89\;{\rm{m}}\).

Đường đi của các giọt nước sau khi ra khỏi vòi là parabol có dạng: \((P):y = a{x^2}\quad (a < 0)\).

\({\rm{MH}} = {\rm{HE}} - {\rm{ME}} = 4 - 1,75 = 2,25\)
\( \Rightarrow {\rm{M}}( - 1,5; - 2,25) \in (P):y = a{x^2}\)\( \Rightarrow - 2,25 = a \cdot {( - 1,5)^2} \Rightarrow a = \frac{{ - 2,25}}{{{{( - 1,5)}^2}}} = - 1\)\((P):y = - {x^2}\)
\( \Rightarrow {\rm{A}}\left( {{x_A}; - 4} \right) \in (P):y = - {x^2} \Rightarrow - 4 = - x_{\rm{M}}^2 \Rightarrow x_{\rm{M}}^2 = 4 \Rightarrow {x_{\rm{M}}} = \sqrt 4 = 2\;{\rm{m}}\)
\({\rm{EA}} = {\rm{ES}} + {\rm{SA}} = 2 + 1,5 = 3,5\)
Vậy nước rơi xuống đất cách chân tháp một khoảng là \(3,5\;{\rm{m}}\).

Khi Đường đi của quả banh là parabol có dạng: \((P):y = a{x^2}(a < 0)\).
\({\rm{B}}( - 3; - 9) \in (P):y = a{x^2} \Rightarrow - 9 = a \cdot {( - 3)^2} \Rightarrow a = - 1\)
\((P):y = - {x^2}\)
Khi banh đạt độ cao 5 m thì \({\rm{ME}} = {\rm{HE}} - {\rm{HM}} = 9 - 5 = 4\;{\rm{m}}\)
\( \Rightarrow {\rm{M}}\left( {{x_M}; - 4} \right) \in (P):y = - {x^2} \Rightarrow - 4 = - x_{\rm{M}}^2 \Rightarrow x_{\rm{M}}^2 = 4 \Rightarrow {x_{\rm{M}}} = - \sqrt 4 = - 2\)
Vậy sau 1 giây kể từ khi bóng được đá lên thì đạt độ cao 5 m.

Hình dạng cái cổng là parabol có dạng: \((P):y = a{x^2}(a < 0)\).
\({\rm{B}}( - 2; - 4) \in (P):y = a{x^2} \Rightarrow - 4 = a \cdot {( - 2)^2} \Rightarrow a = - 1\)
\((P):y = - {x^2}\)
\({\rm{HC}} = {\rm{HA}} - {\rm{HC}} = 2 - 0,9 = 1,1\;{\rm{m}}\)
\( \Rightarrow {\rm{F}}\left( { - 1,1;{y_F}} \right) \in (P):y = - {x^2} \Rightarrow {y_F} = - {( - 1,1)^2} = - 1,21\)
\({\rm{EF}} = 1,21\;{\rm{m}}\);\({\rm{FC}} = {\rm{CE}} - {\rm{EF}} = 4 - 1,21 = 2,79\;{\rm{m}}\)
Do vậy chiều cao \(CF = {\rm{DE}} = f(0,9) = 2,79(\;{\rm{m}});{\rm{CD}} = 4 - 2.0,9 = 2,2(\;{\rm{m}})\).
Diện tích hai cánh cổng là: \({\rm{CD}} \cdot {\rm{CF}} = 2,79.2,2 \approx 6,14\;{{\rm{m}}^2}\).
Diện tích phần xiên hoa là: \(\frac{{32}}{3} - 6,14 = 4,53\).
Chi phí làm cánh cổng là: \(6,14.1200000 = 7368000\) (đồng).
Chi phí làm xiên hoa là: \(4,53.900000 = 4077000\) (đồng).
Vậy tổng chi phí là: \(7368000 + 4077000 = 11445000\) đồng.

Gọi vận tốc dự định của bạn Mai là \(x\) (km/h), điều kiện \(x > 0\).
Thời gian dự kiến bạn Mai đạp xe từ nhà ra Hồ Gươm và quay về nhà là \(\frac{6}{x}\) (giờ).
Thời gian Mai đạp xe từ nhà ra Hồ Gươm là \(\frac{3}{x}\) (giờ).
Vận tốc của bạn Mai khi đạp xe từ Hồ Gươm về nhà là \(x + 2\) (km/h).
Thời gian Mai đạp xe từ Hồ Gươm về nhà là \(\frac{3}{{x + 2}}\) (giờ).
Đổi \(3\) phút \( = \frac{1}{{20}}\) giờ.
Vì bạn Mai về nhà đúng giờ nên ta có phương trình \(\frac{3}{x} + \frac{3}{{x + 2}} + \frac{1}{{20}} = \frac{6}{x}\)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{{20}} = \frac{6}{x} - \left( {\frac{3}{x} + \frac{3}{{x + 2}}} \right)\)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{{20}} = \frac{3}{x} - \frac{3}{{x + 2}}\)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{{60}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 2}}\)
\[ \Leftrightarrow \frac{1}{{60}} = \frac{{x + 2}}{{x\left( {x + 2} \right)}} - \frac{x}{{x\left( {x + 2} \right)}}\]
\[ \Leftrightarrow \frac{1}{{60}} = \frac{{x + 2 - x}}{{x\left( {x + 2} \right)}}\]
\[ \Leftrightarrow \frac{1}{{60}} = \frac{2}{{x\left( {x + 2} \right)}}\]
\[ \Leftrightarrow x\left( {x + 2} \right) = 2.60\]
\[ \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 120 = 0\]
\[ \Leftrightarrow {x^2} - 10x + 12x - 120 = 0\]
\[ \Leftrightarrow x\left( {x - 10} \right) + 12\left( {x - 10} \right) = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left( {x + 12} \right)\left( {x - 10} \right) = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 12 = 0\\x - 10 = 0\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 12\\x = 10\end{array} \right.\].
So với điều kiện, \(x = 10\) thỏa mãn.
Thời gian đi xe đạp của bạn Mai là \(\frac{3}{{10}} + \frac{3}{{10 + 2}} = \frac{{11}}{{20}}\) (giờ) \( = 33\) (phút).

Đổi 5 phút = \(\frac{1}{{12}}\,\,\left( {\rm{h}} \right)\)
Gọi vận tốc của bạn Minh là \(x\left( {{\rm{km/h}}} \right)\left( {x > 0} \right)\)
Khi đó vận tốc của Tuấn là \(x + 2\;\left( {{\rm{km/h}}} \right)\)
Thời gian Minh đi hết quãng đường là \(\frac{{22}}{x}\,\,\left( {\rm{h}} \right)\)
Thời gian Tuấn đi hết quãng đường là \(\frac{{22}}{{x\, + \,2}}\,\,\left( {\rm{h}} \right)\)
Vì Tuấn đến nơi trước Minh 5 phút nên ta có phương trình:
\[\frac{{22}}{x}\, - \,\frac{{22}}{{x\, + \,2}}\, = \,\frac{1}{{12}}\]
\[ \Rightarrow \,22.\,12.\left( {x\, + \,2} \right)\, - \,22.\,12x\, = \,x\left( {x\, + \,2} \right)\]
\[ \Leftrightarrow \,{x^2} + \,2x\, - 528\, = \,0\]
\[ \Leftrightarrow \,\,\left( {x + 24} \right)\left( {x\, - \,22} \right)\, = \,0\]
\[ \Leftrightarrow \,\left[ \begin{array}{l}{x_1} = \,22\,\,(\,TM)\\{x_2} = \, - 24\,(KTM).\end{array} \right.\]
Với \(x = 22\)thì \(x + 2 = 24\).
Vậy vận tốc của Minh là \(22\;{\rm{km/h}}\)và vận tốc của Tuấn là \(24\;{\rm{km/h}}\)
Do\(22 < 25;\;24 < 25\)nên cả hai bạn đều đi đúng vận tốc quy định.

Đổi \(3\,{\rm{h}}\,15' = \frac{{13}}{4}{\rm{h}}\)
Gọi vận tốc lúc về của ôtô là \[x\left( {{\rm{km/h}}} \right){\rm{ }}\left( {x{\rm{ }} > {\rm{ }}0} \right)\]
Vận tốc của ôtô lúc đi là \[x + 10{\rm{ }}\left( {{\rm{km/h}}} \right)\]
Thời gian ôtô đi từ HN-TH là \[\frac{{150}}{{x + 10}}\left( {\rm{h}} \right)\]
Thời gian ôtô đi từ TH-HN là \[\frac{{150}}{x}\left( {\rm{h}} \right)\]
Do tổng thời gian đi, về, nghỉ là 10 h nên ta có pt:
\[\frac{{150}}{{x + 10}} + \frac{{150}}{x} + \frac{{13}}{4} = 10\]
Giải phương trình:
Quy đồng và khử mẫu đúng
Đưa được về phương trình: \[9{x^2} - 310x - 2000 = 0\]
Tìm được \[{x_1} = - \frac{{50}}{9}\] (loại), \[{x_2} = 40\] (TM)
Vậy vận tốc lúc về của ôtô là \[40\left( {{\rm{km/h}}} \right)\].

Gọi vận tốc lúc đi của người đi xe máy là \(x\) \(\left( {{\rm{km/h}}} \right)\) \(\left( {x > 0} \right)\).
Thời gian người đó đi từ A đến B là \(\frac{{75}}{x}\) \(\left( {\rm{h}} \right)\).
Vận tốc của người đó khi đi từ B về A là \(x + 5\) \(\left( {{\rm{km/h}}} \right)\).
Thời gian người đó đi từ B về A là \(\frac{{75}}{{x + 5}}\) \(\left( {\rm{h}} \right)\).
Ta có : \[12\]giờ \[20\]phút –\[5\]giờ\[\;15\]phút –\[\;20\]phút=\[6\] giờ \[45\]phút = \(\frac{{27}}{4}\) \(\left( {\rm{h}} \right)\).
Theo Câu ra ta có phương trình:
\(\frac{{75}}{x} + \frac{{75}}{{x + 5}} = \frac{{27}}{4}\)
\( \Leftrightarrow 75.4.\left( {x + 5} \right) + 75.4.x = 27.x.\left( {x + 5} \right)\)
\( \Leftrightarrow 300x + 1500 + 300x = 27{x^2} + 135x\)
\( \Leftrightarrow 27{x^2} - 465x - 1500 = 0\)
\( \Leftrightarrow x = 20\,({\rm{tm}})\) hoặc \(x = \frac{{ - 25}}{9}\) (loại).
Vậy vận tốc lúc đi của người đi xe máy là \[20\] \(\left( {{\rm{km/h}}} \right)\).

Gọi vận tốc lúc đi của xe đạp là \(x\,\left( {{\rm{km/h}}} \right)\), \(x > 0\).
Vận tốc lúc về của xe đạp là: \(x + 3\,\,\left( {{\rm{km/h}}} \right)\)
Chiều dài con đường lúc về là: \(30 + 6 = 36\,\left( {{\rm{km}}} \right)\).
Thời gian lúc đi từ \(A\) đến \(B\) là: \(\frac{{30}}{x}\,\left( {\rm{h}} \right)\).
Thời gian lúc về từ \(B\) về \(A\) là: \(\frac{{36}}{{x + 3}}\,\left( {\rm{h}} \right)\).
\(20\)phút \( = \frac{1}{3}\)giờ.
Vì thời gian lúc về ít hơn thời gian lúc đi là 20 phút nên ta có phương trình:
\(\frac{{30}}{x} - \frac{{36}}{{x + 3}} = \frac{1}{3}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{30.3.\left( {x + 3} \right)}}{{3x\left( {x + 3} \right)}} - \frac{{36.3.x}}{{3x\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{x\left( {x + 3} \right)}}{{3x\left( {x + 3} \right)}}\)
\( \Rightarrow 90x + 270 - 108x = {x^2} + 3x\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + 21x - 270 = 0\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + 30x - 9x - 270 = 0\)
\( \Leftrightarrow x\left( {x + 30} \right) - 9\left( {x + 30} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {x + 30} \right)\left( {x - 9} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 30 = 0\\x - 9 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 30(loa\"i i)\\x = 9({\rm{tho\^u a ma\~o n}})\end{array} \right.\)
Vậy vận tốc lúc đi của xe đạp là \(9{\rm{km/h}}\).

Gọi \(x\)(km/h) là vận tốc riêng của ca nô\[\left( {x > 3} \right)\]
Vận tốc xuôi dòng của ca nô là: \(x + 3\) (km/h)
Vận tốc ngược dòng của ca nô là: \(x - 3\) (km/h)
Thời gian ca nô xuôi dòng từ \(A\) đến \(B\) là: \(\frac{{48}}{{x + 3}}\) (giờ)
Thời gian ca nô ngược dòng từ \(B\) về \(A\) là: \(\frac{{48}}{{x - 3}}\) (giờ)
Thời gian ca nô đi từ \(A\) đến \(B\) rồi từ \(B\) trở về \(A\), không tính thời gian nghỉ là \(3\) giờ \(36\) phút hay \(\frac{{18}}{5}\) giờ nên ta có phương trình: \(\frac{{48}}{{x + 3}} + \frac{{48}}{{x - 3}} = \frac{{18}}{5} \Leftrightarrow \frac{8}{{x + 3}} + \frac{8}{{x - 3}} = \frac{3}{5}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{40\left( {x - 3} \right)}}{{5\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} + \frac{{40\left( {x + 3} \right)}}{{5\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \frac{{3\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{5\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}\)
\( \Rightarrow 40x - 120 + 40x + 120 = 3\left( {{x^2} - 9} \right)\)\( \Leftrightarrow 3{x^2} - 80x - 27 = 0\)
\(\Delta ' = {\left( { - 40} \right)^2} - 3.\left( { - 27} \right) = {41^2} > 0\)
\( \Rightarrow \) Phương trình có hai nghiệm phân biệt: \({x_1} = \frac{{40 + 41}}{3} = 27\) (thỏa mãn);
\({x_2} = \frac{{40 - 41}}{3} = - \frac{1}{3}\) (loại)
Vậy vận tốc riêng của ca nô là\(27\)km/h.

Gọi vân tốc của ô tô thứ hai là:\[x(x > 0)(km/h)\]
Vận tốc của ô tô thứ nhất là:\[x + 10\,(km/h)\]
Thời gian ô tô thứ hai đi là: \[\frac{{150}}{x}\](giờ)
Thời gian ô tô thứ nhất đi là: \[\frac{{150}}{{x + 10}}\](giờ)
Do ô tô thứ nhất đến sớm hơn ô tô thứ hai 30 phút \[ = \frac{1}{2}\] giờ nên ta có pt:
\[\frac{{150}}{x} - \frac{{150}}{{x + 10}} = \frac{1}{2}\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{1500}}{{{x^2} + 10x}} = \frac{1}{2}\]
\[ \Leftrightarrow {x^2} + 10x - 3000 = 0\]
\[ \Leftrightarrow {x^2} - 50x + 60x - 3000 = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left( {x - 50} \right)\left( {x + 60} \right) = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 50\,(TM)\\x = - 60\,\left( {KTM} \right)\end{array} \right.\]
Vậy vận tốc của ô tô thứ hai là \[50\,km/h\]; vận tốc của ô tô thứ nhất là\[60\,{\rm{km/h}}\].

a) Gọi vận tốc của xe ô tô thứ nhất là \(x\) (km/h), \(x > 0\).
Vì ô tô thứ hai đi với vận tốc lớn hơn vận tốc của ô tô thứ nhất là 6km/h nên vận tốc của ô tô thứ hai là \[x + 6\] (km/h)
Khi đó, thời gian xe ô tô thứ nhất đi hết quãng đường AB là: \[\frac{{144}}{x}\] (giờ)
Thời gian xe ô tô thứ hai đi hết quãng đường AB là: \[\frac{{144}}{{x + 6}}\] (giờ)
Do ô tô thứ hai xuất phát sau ô tô thứ nhất 20 phút (tức là \[\frac{1}{3}\] giờ) mà hai xe lại đến B cùng một lúc nên ta có phương trình:
\[\frac{{144}}{x} - \frac{{144}}{{x + 6}} = \frac{1}{3}\] \[ \Leftrightarrow \frac{{144(x + 6) - 144x}}{{x(x + 6)}} = \frac{1}{3}\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{864}}{{{x^2} + 6x}} = \frac{1}{3}\] \[ \Leftrightarrow {x^2} + 6x = 2592\] \[ \Leftrightarrow {x^2} + 6x - 2592 = 0\] (1)
Ta có: \[\Delta ' = {\rm{ }}{3^2}--{\rm{ }}1.\left( { - 2592} \right) = 9 + 2592 = 2601 > 0 \Rightarrow \sqrt {\Delta '} = 51\].
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt:
\[{x_1} = 48\] (thỏa mãn điều kiện); \[{x_2} = - 54\](không thỏa mãn)
Vậy vận tốc của xe ô tô thứ nhất là 48km/h
Vậy vận tốc của xe ô tô thứ hai là 48 + 6 = 54 km/h
b) Do vận tốc tối đa cho phép trên quãng đường từ A đến B là 50km/h nên xe ô tô thứ hai đã vi phạm giới hạn về tốc độ (do \[{v_2} = 54 > 50\])

1) Gọi thời gian làm một mình để xong công việc của đội thứ nhất là: \(x\) (giờ), điều kiện \(x > 4\)
Thì thời gian làm một mình để xong công việc của đội thứ hai là: \(x + 6\) (giờ).
Trong một giờ thì khối lượng công việc mà đội thứ nhất làm được là: \(\frac{1}{x}\) (công việc).
Trong một giờ thì khối lượng công việc mà đội thứ hai làm được là: \(\frac{1}{{x + 6}}\) (công việc ).
Vì hai đội công nhân cùng làm một công việc thì làm xong trong \(4\) giờ nên trong một giờ khối lượng công việc cả hai đội làm được là \(\frac{1}{4}\)(công việc) do đó ta có phương trình:
\({\rm{ }}\frac{1}{x} + \frac{1}{{x + 6}} = \frac{1}{4}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{4\left( {x + 6} \right)}}{{4x\left( {x + 6} \right)}} + \frac{{4x}}{{4x\left( {x + 6} \right)}} = \frac{{x\left( {x + 6} \right)}}{{4x\left( {x + 6} \right)}}\)
\( \Rightarrow 4x + 24 + 4x = {x^2} + 6x\)
\( \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 24 = 0\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + 4x - 6x - 24 = 0\)
\[ \Leftrightarrow x\left( {x + 4} \right) - 6\left( {x + 4} \right) = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left( {x + 4} \right)\left( {x - 6} \right) = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 4 = 0\\x - 6 = 0\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 4\\x = 6\end{array} \right.\].
So sánh với điều kiện, \(x = 6\) thỏa mãn.
Vậy thời gian làm một mình để xong công việc của đội thứ nhất là \(6\) (giờ)
Vậy thời gian làm một mình để xong công việc của đội thứ hai là \(12\) (giờ)

Gọi số cây mà chi đoàn dự định trồng trong mỗi giờ là \[x\] (cây) (ĐK: \[x \in \mathbb{N}*\] )
Số cây chi đoàn trồng được trong mỗi giờ trên thực tế là \[x + 5\] (cây)
Thời gian chi đoàn dự định trồng xong số cây là \(\frac{{30}}{x}\) (h)
Số cây mà chi đoàn trồng được trong thực tế là 30 + 10 = 40 (cây)
Thời gian chi đoàn trồng xong số cây trong thực tế là \(\frac{{40}}{{x + 5}}\) (h)
Do chi đoàn hoàn thành công việc trước dự định là 20 phút = \(\frac{1}{3}\) h nên ta có phương trình:
\(\frac{{30}}{x} - \frac{{40}}{{x + 5}} = \frac{1}{3}\)
\[ \Leftrightarrow \frac{{30.3\left( {x + 5} \right) - 40.3x}}{{3.x\left( {x + 5} \right)}} = \frac{{x\left( {x + 5} \right)}}{{3.x\left( {x + 5} \right)}}\]
\[ \Rightarrow 90\left( {x + 5} \right) - 120x = x\left( {x + 5} \right)\]
\( \Leftrightarrow {x^2} + 35x - 450 = 0\)
\[\Delta = {35^2} - 4.1.\left( { - 450} \right) = 3025\]
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:\[{x_1} = \frac{{ - 35 + \sqrt {3025} }}{{2.1}} = 10\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{x_2} = \frac{{ - 35 - \sqrt {3025} }}{{2.1}} = - 45\]
\[{x_1} = 10\] (Thỏa mãn điều kiện); \[{x_2} = - 45\] (Loại)
Vậy số cây mà chi đoàn dự định trồng trong mỗi giờ là 10 cây

a) Gọi số xe đội dự định dùng là \(x\) (xe) ( \(x \in \mathbb{N},x > 2\) ).
Số hàng mỗi xe dự định chở là: \(\frac{{60}}{x}\) (tấn).
Số xe thực tế đội dùng là \[x--2\](xe).
Số hàng thực tế mỗi xe chở là: \(\frac{{60}}{{x - 2}}\) (tấn).
Vì mỗi xe phải chở nhiều hơn 1 tấn hàng so với dự định nên ta có phương trình:
\(\frac{{60}}{{x - 2}} - \frac{{60}}{x} = 1\)
\( \Rightarrow 60x - 60\left( {x - 2} \right) = x\left( {x - 2} \right)\)
\( \Leftrightarrow 60x - 60x + 120 = {x^2} - 2x\)
\( \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 120 = 0\)
Giải phương trình được \({x_1} = \) 12 (thỏa mãn đk) \({x_2} = - 10\) (Không thỏa mãn đk)
Kết luận số xe dự định dùng là 12 xe.

Gọi số đoàn viên ban đầu của chi đoàn thanh niên là: \(x\)(\(x \in {\mathbb{N}^*}\), người)
Số đoàn viên khi thực hiện là \(x + 3\) (đoàn viên)
Vì phải trồng 120 cây nên:
Số cây mỗi đoàn viên dự định trồng là: \(\frac{{120}}{x}\)(cây)
Số cây mỗi đoàn viên thực tế trồng được là: \(\frac{{120}}{{x + 3}}\)(cây)
Vì thực tế mỗi đoàn viên trồng ít hơn dự định \(2\)cây nên ta có phương trình:
\(\frac{{120}}{x} - \frac{{120}}{{x + 3}} = 2\)\( \Leftrightarrow 60.\left( {x + 3 - x} \right) = x\left( {x + 3} \right)\)\( \Leftrightarrow {x^2} + 3x - 180 = 0\)
\(\Delta = {3^2} + 4.180 = 729 > 0 \Rightarrow \sqrt \Delta = 27\)
\({x_1} = 12\) (thỏa mãn) hoặc \({x_2} = - 15\) (không thỏa mãn)
Kết luận: Vậy ban đầu chi đoàn thanh niên đó có \(12\) đoàn viên.

Gọi \(x\) (chiếc) là số xe ban đầu của đội (\(x \in \mathbb{N}*\)).
Số tấn hàng mỗi xe dự định chở là \(\frac{{24}}{x}\) (tấn).
Thực tế đội được bổ sung thêm \(4\) xe nên số xe thực tế là \(x + 4\) (chiếc).
Số tấn hàng mỗi xe thực tế phải chở là \(\frac{{24}}{{x + 4}}\) (tấn).
Vì mỗi xe thực tế chở ít hơn dự định \(1\) tấn nên ta có phương trình:
\(\frac{{24}}{x} - \frac{{24}}{{x + 4}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{96}}{{x\left( {x + 4} \right)}} = 1 \Leftrightarrow {x^2} + 4x - 96 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 8\\x = - 12\end{array} \right.\)
Vì \(x \in \mathbb{N}*\) nên \(x = 8\).
Vậy ban đầu đội có tất cả \(8\) chiếc xe.

Gọi số ha rừng mà lâm trường dự định trồng trong mỗi tuần là \(x\)\(\left( {{\rm{ha}};x > 0} \right)\)
Thời gian trồng rừng theo kế hoạch là \(\frac{{75}}{x}\)(tuần)
Thực tế mỗi tuần lâm trường trồng được \(x + 5\)\(\left( {{\rm{ha}}} \right)\)
Thời gian trồng rừng thực tế là \(\frac{{80}}{{x + 5}}\)(tuần)
Vì thực tế lâm trường hoàn thành sớm hơn dự định \(1\) tuần nên ta có phương trình:
\(\frac{{75}}{x} - \frac{{80}}{{x + 5}} = 1\)
\( \Rightarrow 75.\left( {x + 5} \right) - 80.x = x.\left( {x + 5} \right)\)
\( \Leftrightarrow 75x + 375 - 80x = {x^2} + 5x\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + 10x - 375 = 0\)
Ta có \(\Delta ' = {b'^2} - ac = 400 > 0\)\( \Rightarrow \sqrt {\Delta '} = 20\)
Phương trình có \(2\) nghiệm phân biệt
\({x_1} = \frac{{ - 5 + 20}}{1} = 15\) (nhận); \({x_2} = \frac{{ - 5 - 20}}{1} = - 25\)(loại).
Vậy số \(ha\) rừng lâm trường dự định trồng mỗi tuần là \(15\)\(\left( {{\rm{ha}}} \right)\).

Gọi số xe lúc đầu là \[x\] (xe, \[x \in N*\])
Số tấn hàng mỗi xe phải chở theo dự định là \[\frac{{120}}{x}\] (tấn)
Thực tế được bổ sung 5 xe nên số xe là: \[x + 5\] (xe)
Số tấn hàng mỗi xe phải chở theo thực tế là: \[\frac{{120}}{{x + 5}}\] (tấn)
Vì thực tế thêm 5 xe nên mỗi xe chở ít hơn dự định 2 tấn nên ta có phương trình:
\[\frac{{120}}{x} - \frac{{120}}{{x + 5}} = 2\,\,\]
\[ \Leftrightarrow \,\,\frac{{120\left( {x + 5} \right) - 120x}}{{x\left( {x + 5} \right)}} = \frac{{2x\left( {x + 5} \right)}}{{x\left( {x + 5} \right)}}\]
\[ \Leftrightarrow 120x + 600 - 120x = 2{x^2} + 10x\]
\[ \Leftrightarrow 2{x^2} + 10x - 600 = 0\]\[\left( 1 \right)\]
\[\Delta ' = {5^2} - 2.\left( { - 600} \right) = 1225 > 0\]nên phương trình \[\left( 1 \right)\] có hai nghiệm phân biệt
\[{x_1} = \frac{{ - 5 + \sqrt {1225} }}{2} = 15\] (thỏa mãn)
\[{x_2} = \frac{{ - 5 - \sqrt {1225} }}{2} = - 20\] (không thỏa mãn– loại)
Vậy số xe lúc đầu là 15 xe.

Gọi thời gian vòi I chảy một mình đầy bể là \[x\](giờ). ĐK: \(x > \frac{{35}}{{12}}\)
Trong một giờ vòi I chảy được \(\frac{1}{x}\)(bể),
Trong một giờ vòi II chảy được \(\frac{1}{{x + 2}}\)(bể)
Trong một giờ, cả hai vòi chảy được: \(1:\frac{{35}}{{12}} = \frac{{12}}{{35}}\)(bể)
Ta có phương trình: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{{x + 2}} = \frac{{12}}{{35}}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{x + 2}}{{x\left( {x + 2} \right)}} + \frac{x}{{x\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{12}}{{35}}\)
\( \Rightarrow 35\left( {2x + 2} \right) = 12x\left( {x + 2} \right)\)
\( \Leftrightarrow 12{x^2} - 46x - 70 = 0\)
\( \Leftrightarrow 6{x^2} - 23x - 35 = 0\)
\( \Leftrightarrow 6{x^2} - 30x + 7x - 35 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {x - 5} \right)\left( {6x + 7} \right) = 0\)
Phương trình có hai nghiệm:
\[\left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = \frac{{ - 7}}{6}\end{array} \right.\]
Kết hợp với điều kiện suy ra \[x = 5\]
Vậy thời gian vòi I chảy một mình đầy bể là \(5\) giờ.
thời gian vòi II chảy một mình đầy bể là \(5 + 2 = 7\)giờ.

Gọi số xe lúc đầu của đội là \(x\) (chiếc, \(x \in {N^*}\))
Số tấn khoai lang mỗi xe dự định phải chở là \(\frac{{120}}{x}\) (tấn)
Số xe lúc sau của đội là \(x + 5\) (xe)
Số tấn khoai lang mỗi xe thực tế phải chở là \(\frac{{120}}{{x + 5}}\) (tấn)
Vì so với dự định thực tế mỗi xe phải chở ít hơn 2 tấn nên ta có phương trình
\(\frac{{120}}{x} - \frac{{120}}{{x + 5}} = 2\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + 5x - 300 = 0\).
Giải phương trình \({x^2} + 5x - 300 = 0\)
\(\Delta = 25 + 4.300\)\( = 1225\)
Vì \(\Delta > 0\)nên phương trình có hai nghiệm phân biệt
\({x_1} = \frac{{ - 5 + \sqrt {1225} }}{2} = 15\); \({x_2} = \frac{{ - 5 - \sqrt {1225} }}{2} = - 20\)
Đối chiếu với điều kiện của ẩn và kết luận số xe lúc đầu của đội là \(15\) xe.

1) Gọi thời gian dự định đội xe định chở hết 120 tấn hàng là: \(x\) (ngày, \(x \in \mathbb{N}\); \(x > 1\))
Như vậy, theo kế hoạch, mỗi ngày đội đó chở được: \(\frac{{120}}{x}\) (tấn/ngày)
Thực tế, đội đó chở tất cả là: \(120 + 5 = 125\) (tấn hàng)
Đội đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định \(1\) ngày nên thời gian thực tế đội chở hàng là: \(x - 1\) (ngày)
Do đó, mỗi ngày đội đó thực tế chở được: \(\frac{{125}}{{x - 1}}\) (tấn/ngày)
Vì thực tế mỗi ngày đội đó chở vượt mức 5 tấn nên ta có phương trình:
\(\frac{{125}}{{x - 1}} - \frac{{120}}{x} = 5\)\( \Leftrightarrow \frac{{125x - 120x + 120}}{{x\left( {x - 1} \right)}} = 5\)\( \Rightarrow 5x + 120 = 5x\left( {x - 1} \right)\)\( \Leftrightarrow x + 24 = {x^2} - x\)
\( \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 24 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 4x - 24 = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {x - 6} \right)\left( {x + 4} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 6{\rm{ }}\left( {{\rm{nha\"a n}}} \right)\\x = - 4{\rm{ }}\left( {{\rm{loa\"i i}}} \right)\end{array} \right.\)
Vậy theo kế hoạch đội đó chở hết số hàng trong 6 ngày.

Gọi \(x\) (xe) là số xe ban đầu của đội xe. (\(x \in N*\)).
Theo dự kiến số gạo mỗi xe định chở là: \(\frac{{160}}{x}\) (tấn).
Số xe thực tế là: \(x + 4\) (xe).
Số gạo thực tế mỗi xe chở là: \(\frac{{160}}{{x + 4}}\) (tấn).
Vì thực tế được bổ sung thêm 4 xe nên mỗi xe chở ít hơn dự định lúc đầu là 2 tấn gạo. Vậy ta có phương trình:
\(\frac{{160}}{{x + 4}} + 2 = \frac{{160}}{x} \Leftrightarrow 2{x^2} + 8x - 64 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\,\left( {TM} \right)\\x = - 8\,\left( {KTM} \right)\end{array} \right.\)
Vậy số xe ban đầu của đội xe là 4 xe.

Gọi số tấn hàng mà mỗi xe phải chở theo dự định là \(x\) (tấn) \(\left( {0 < x \le 3} \right)\)
Trong thực tế mỗi xe phải chở số tấn hàng là \(x + 0,5\) (tấn)
Số xe phải điều theo dự định là \(\frac{{40}}{x}\) (xe)
Số xe được sử dụng theo thực tế là \(\frac{{54}}{{x + 0,5}}\) (xe)
Thực tế phải điều thêm 2 xe so với dự định nên ta có phương trình :
\(\frac{{54}}{{x + 0,5}} - \frac{{40}}{x} = 2\)
\( \Leftrightarrow \frac{{54x}}{{{x^2} + 0,5x}} - \frac{{40\left( {x + 0,5} \right)}}{{{x^2} + 0,5x}} = 2\)
\( \Leftrightarrow \frac{{54x - 40x - 20}}{{{x^2} + 0,5x}} = 2\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow 14x - 20 = 2{x^2} + x\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 13x + 20 = 0\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 8x - 5x + 20 = 0\\ \Leftrightarrow 2x\left( {x - 4} \right) - 5\left( {x - 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 4} \right)\left( {2x - 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 4 = 0}\\{2x - 5 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 4{\rm{ }}(ktm)}\\{x = \frac{5}{2}{\rm{ }}(tm)}\end{array}} \right.\end{array}\)
Vậy mỗi xe phải chở 2,5 tấn hàng.

Gọi số tấn hàng mà mỗi xe phải chở theo dự định là: \(x\) (tấn, \(0 < x \le 3\)).
Trong thực tế, mỗi xe phải chở số tấn hàng là: \(x + 0,5\) (tấn).
Số xe phải điều theo dự định là: \(\frac{{40}}{x}\) (xe).
Số xe được sử dụng theo thực tế là: \(\frac{{54}}{{x + 0,5}}\) (xe).
Vì thực tế phải điều thêm 2 xe so với dự định nên ta có phương trình:
\(\frac{{54}}{{x + 0,5}} - \frac{{40}}{x} = 2\)
\( \Leftrightarrow \frac{{54x}}{{x\left( {x + 0,5} \right)}} - \frac{{40\left( {x + 0,5} \right)}}{{x\left( {x + 0,5} \right)}} = \frac{{2x\left( {x + 0,5} \right)}}{{x\left( {x + 0,5} \right)}}\)
\( \Rightarrow 54x - 40\left( {x + 0,5} \right) = 2x\left( {x + 0,5} \right)\)
\( \Leftrightarrow 14x - 20 = 2{x^2} + x\)
\( \Leftrightarrow 2{x^2} - 13x + 20 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {2x - 5} \right)\left( {x - 4} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{5}{2}\left( {tm} \right)\\x = 4\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)
Vậy số xe phải điều theo dự định là: \(\frac{{40}}{{2,5}} = 16\) (xe).

Đổi \(3\) giờ \(36\) phút \( = \frac{{18}}{5}\) giờ.
Gọi thời gian người \(1\) làm một mình để xong việc là \(x\)(giờ, \(x > \frac{{18}}{5}\)).
Thời gian người \(2\) làm một mình để xong việc là \(x - 3\,\,\left( {\rm{h}} \right)\).
Trong \(1\) giờ, người \(1\) làm được \(\frac{1}{x}\) (công việc).
Trong \(1\) giờ, người \(2\) làm được \(\frac{1}{{x - 3}}\) (công việc).
Trong \(1\) giờ, \(2\) người làm được \(\frac{5}{{18}}\) (công việc) nên ta có phương trình.
\[\frac{1}{x} + \frac{1}{{x - 3}} = \frac{5}{{18}}\]
\( \Leftrightarrow \frac{{x - 3 + x}}{{x\left( {x - 3} \right)}} = \frac{5}{{18}}\)
\( \Rightarrow 18\left( {2x - 3} \right) = 5x\left( {x - 3} \right)\)
\( \Leftrightarrow 36x - 54 = 5{x^2} - 15x\)
\( \Leftrightarrow 5{x^2} - 51x + 54 = 0\)
\(\Delta = {51^2} - 4.5.54 = 1521 > 0\)
Phương trình có \(2\) nghiệm phân biệt:
\({x_1} = \frac{{51 - 39}}{{10}} = \frac{6}{5}\) (loại), \({x_2} = \frac{{51 + 39}}{{10}} = 9\) (tm).
Vậy thời gian người \(1\) làm một mình xong công việc là \(9\) giờ.
Thời gian người \(2\) làm một mình xong công việc là \(6\) giờ.

Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể là \[x\] (giờ;\(x > 4\))
Thời gian vòi thứ hai chảy riêng đầy bể là \[x{\rm{ }} + {\rm{ }}6\] (giờ)
Mỗi giờ vòi thứ nhất chảy được là: \[\frac{{\rm{1}}}{{\rm{x}}}\] (bể)
Mỗi giờ vòi thứ hai chảy được là: \[\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{x + 6 }}}}\] (bể)
Mỗi giờ cả hai chảy được là: \[\frac{{\rm{1}}}{{\rm{x}}} + \frac{{\rm{1}}}{{{\rm{x + 6 }}}}\] (bể)
Vì hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn không có nước thì sau \(4\) giờ đầy bể nên ta có phương trình:
\[\frac{{\rm{4}}}{{\rm{x}}} + \frac{{\rm{4}}}{{{\rm{x + 6 }}}} = 1\]
\[ \Rightarrow {{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ - 2x - 24 = 0}}\].
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 6\,\,(n)\\x = - 4\,\,(l)\end{array} \right.\]

Gọi \(x\) (cái) là số máy tính lắp ráp mỗi ngày theo kế hoạch \(\left( {x > 0} \right)\).
Thời gian để hoàn thành 800 chiếc máy tính theo kế hoạch là \(\frac{{800}}{x}\) (ngày).
Số máy lắp ráp mỗi ngày nếu tăng năng suất là \(x + 10\) (cái).
Số máy tính lắp được nếu tăng năng suất là \(800 + 10 = 810\)(cái).
Thời gian hoàn thành 810 cái máy tính nếu tăng năng suất là \(\frac{{810}}{{x + 10}}\) (ngày).
Theo Câu ra ta có phương trình: \(\frac{{800}}{x} - 1 = \frac{{810}}{{x + 10}}\).
\( \Rightarrow 800\left( {x + 10} \right) - x\left( {x + 10} \right) = 810x\)
\( \Leftrightarrow 800x + 8000 - {x^2} - 10x - 810x = 0\)
\( \Leftrightarrow - {x^2} - 20x + 8000 = 0\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + 20x - 8000 = 0\)
\(\Delta ' = 100 + 8000 = 8100 > 0\).
\( \Rightarrow \sqrt {\Delta '} = 90\)
Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\({x_1} = - 10 - 90 = - 100\) (loại)
\({x_2} = - 10 + 90 = 80\) (thỏa mãn điều kiện).
Vậy mỗi ngày theo kế hoạch xưởng lắp ráp được 80 máy tính.

Gọi \(x\) (tấm) là số tấm vải xưởng này dệt trong một ngày theo kế hoạch (\(x \in N*\)).
Vậy thời gian xưởng này dệt theo kế hoạch là: \(\frac{{3000}}{x}\) (ngày).
Thực tế số ngày đã làm là: \(\frac{{3000}}{x} - 2\) (ngày).
Trong 8 ngày đầu, số tấm vải đã dệt được là: \(8x\) (tấm).
Vậy số vải cần dệt còn lại sau 8 ngày đã làm là: \(3000 - 8x\) (tấm).
Số ngày còn lại thực tế sau 8 ngày đầu là: \(\frac{{3000}}{x} - 2 - 8 = \frac{{3000}}{x} - 10\) (ngày).
Những ngày sau, số tấm vải mỗi ngày xưởng dệt là: \(x + 10\) (tấm).
Vậy ta có phương trình:
\(\left( {\frac{{3000}}{x} - 10} \right)\left( {x + 10} \right) = 3000 - 8x\) \( \Leftrightarrow 2{x^2} + 100x - 30000 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 100\,(TM)\\x = - 150\,(KTM)\end{array} \right.\).
Vậy theo kế hoạch, mỗi ngày xưởng đó cần dệt \(100\) tấm vải.

Gọi \[x\] là số học sinh lớp \[9A\] (\[x > 5\]và \[x \in \mathbb{Z}\])
Số cây dự định mỗi học sinh phải trồng là \[\frac{{420}}{x}\] (cây).
Số cây thực tế mỗi học sinh phải trồng là \[\frac{{420}}{{x - 5}}\]
Theo đề Câu ta có phương trình:
\(\frac{{420}}{{x - 5}} - \frac{{420}}{x} = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Điều kiện:\[x \ne 5\]
\(\left( 1 \right) \Rightarrow 420x - 420\left( {x - 5} \right) = 2x\left( {x - 5} \right)\)
\( \Leftrightarrow 2{x^2} - 10x - 2100 = 0\)
\( \Leftrightarrow {x^2} - 5x - 1050 = 0\)
Ta có \[\Delta = {\left( { - 5} \right)^2} - 4.\left( { - 1050} \right) = 4225 \Rightarrow \sqrt \Delta = 65\]
\[{x_1} = \frac{{5 + 65}}{2} = 35\](nhận)
\[{x_2} = \frac{{5 - 65}}{2} = - 30\] (loại)
Vậy số học sinh lớp 9A là \[35\] học sinh.

Gọi khối lượng riêng của chất lỏng thứ nhất là x (g/\(c{m^3}\)). Điều kiện: \(x > 0,2\).
Khối lượng riêng của chất lỏng thứ hai là \(x - 0,2\) (g/\(c{m^3}\)).
Thể tích của chất lỏng thứ nhất là \(\frac{8}{x}\left( {c{m^3}} \right)\).
Thể tích của chất lỏng thứ hai là \(\frac{6}{{x - 0,2}}\left( {c{m^3}} \right)\).
Thể tích của hỗn hợp là \(\frac{8}{x} + \frac{6}{{x + 0,2}}\left( {c{m^3}} \right)\).
Theo Câu ra ta có phương trình: \(\frac{8}{x} + \frac{6}{{x + 0,2}} = \frac{{14}}{{0,7}} \Leftrightarrow 14{{\rm{x}}^2} - 12,6{\rm{x}} + 1,12 = 0\).
Giải phương trình ta được kết quả: \({x_1} = 0,1\) (loại), \({x_2} = 0,8\) (thỏa mãn điều kiện).
Vậy khối lượng riêng chất lỏng thứ nhất là 0,8 (g/\(c{m^3}\)).
Khối lượng riêng chất lỏng thứ hai là 0,6 (g/\(c{m^3}\)).

Gọi khối lượng nước trong dung dịch trước khi đổ thêm nước là: \(x\) (g), \[x > 0\].
Nồng độ muối của dung dịch khi đó là: \(\frac{{20}}{{x + 20}}\)
Nếu đổ thêm \(100\) g nước vào dung dịch thì khối lượng của dung dịch sẽ là:
\[x + 20 + 100 = x + 120\] (g).
Nồng độ của dung dịch bây giờ là: \(\frac{{20}}{{x + 120}}\)
Vì nồng độ muối giảm \(10\% \) nên ta có phương trình
\(\frac{{20}}{{x + 20}} - \frac{{20}}{{x + 120}} = \frac{{10}}{{100}} \Leftrightarrow \frac{2}{{x + 20}} - \frac{2}{{x + 120}} = \frac{1}{{100}}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{200}}{{(x + 20)(x + 120)}} = \frac{1}{{100}}\)
\( \Leftrightarrow (x + 20)(x + 120) = 20000\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + 140x - 17600 = 0\)
Ta có \(\Delta ' = {\left( { - 70} \right)^2} + 17600 = 22500 \Rightarrow \sqrt {\Delta '} = 150\).
Do đó, \({x_1} = - 70 + 150 = 80\) (thỏa mãn) và \({x_2} = - 70 - 150 = - 220\) (loại).
Như vậy, trước khi đổ thêm nước, trong dung dịch có \(80\) g nước.

Gọi khối lượng riêng của chất lỏng II là \[x\](\[{\rm{kg/}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\]) \(\left( {x > 0} \right)\)
Vì khối lượng riêng của chất lỏng I lớn hơn khối lượng riêng của chất lỏng II là 200 \[{\rm{kg/}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\]nên
khối lượng riêng của chất lỏng I là \[x + 200\](\[{\rm{kg/}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\]).
Áp dụng công thức \[V = \frac{m}{D}\] với \[V\]là thể tích chất lỏng (\[{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\]), \[m\] là khối lượng chất lỏng (\[{\rm{kg}}\]) và \[D\] là khối lượng riêng chất lỏng (\[{\rm{kg/}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\]) ta có phương trình:
\[\begin{array}{l}{\rm{ }}\frac{7}{{x + 200}} + \frac{5}{x} = \frac{{12}}{{600}}\\ \Leftrightarrow \frac{7}{{x + 200}} + \frac{5}{x} = \frac{1}{{50}}\\ \Leftrightarrow 7.50x + 5.50\left( {x + 200} \right) = x\left( {x + 200} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} - 400x - 50000 = 0\end{array}\]
Giải phương trình ta được
\[{x_1} = 500\]\(\left( {nh\"En} \right)\); \[{x_2} = - 100\]
Khối lượng riêng của chất lỏng I là 700 (\[kg/{m^3}\]).
Khối lượng riêng của chất lỏng loại II là 500 (\[kg/{m^3}\]).

Gọi \[OA = OC = x > 0\](là bán kính của cung tròn lớn)
Suy ra \[OB = x - 1,1\]
Xét \[\Delta OBC\]vuông tại \[B\] có:
\[O{C^2} = O{B^2} + B{C^2}\]
\[ \Leftrightarrow {x^2} = {\left( {x - 1,1} \right)^2} + 28,{4^2}\]
\[ \Leftrightarrow 2,2x - 807,77 = 0\]
\[ \Leftrightarrow x = 403,885\](m)
Vậy bán kính của đoạn ray là \[403,885\]m.

Khu đất trồng hoa ban đầu có chiều dài là \(6,6\) m, chiều rộng là \(x\) m \(\left( {x > 0} \right)\)
Khu đất trồng hoa lúc sau có chiều dài là \(x + 6,6\) m, chiều rộng là \(x\) m
Diện tích khu đất lúc sau là \(34{m^2}\) nên ta có phương trình:
\(\left( {x + 6,6} \right).x = 34 \Leftrightarrow {x^2} + 6,6x - 34 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3,4\left( {TM} \right)\\x = - 10\left( {KTM} \right)\end{array} \right.\)
Vậy khu đất trồng hoa lúc sau có chiều dài là \(10\) m, chiều rộng là \(3,4\) m
Chu vi của khu đất trồng hoa lúc sau là: \(\left( {10 + 3,4} \right).2 = 26,8\left( m \right)\)

Gọi chiều rộng của hình chữ nhật là: \(x\,\left( {\rm{m}} \right)\), \(\left( {0 < x < 8} \right)\)
Đường chéo của hình chữ nhật là: \(x + 4\,\left( {\rm{m}} \right)\)
Theo đề Câu ta có phương trình:
\({x^2} + {8^2} = {\left( {x + 4} \right)^2}\)( định lí Py – ta – go )\( \Leftrightarrow 8x = 48\)\( \Leftrightarrow x = 6\) (m) (t/m)
Vậy diện tích của hình chữ nhật là: \(8.6 = 48\,\left( {{m^2}} \right)\)

Gọi chiều dài của hình chữ nhật đã cho là x, với x > 4.
Vì chiều rộng bằng nửa chiều dài nên chiều rộng là: \(\frac{x}{2}\)
=> diện tích hình chữ nhật đã cho là: \(x.\frac{x}{2} = \frac{{{x^2}}}{2}\)
Nếu giảm mỗi chiều đi 2 m thì chiều dài, chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là: \(x - 2\quad va\quad \frac{x}{2} - 2\)
khi đó, diện tích hình chữ nhật giảm đi một nửa nên ta có phương trình:
\((x - 2)(\frac{x}{2} - 2) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{{x^2}}}{2}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{2} - 2x - x + 4 = \frac{{{x^2}}}{4} \Leftrightarrow {x^2} - 12x + 16 = 0\)
=>\({x_1} = 6 + 2\sqrt 5 \);
\({x_2} = 6 - 2\sqrt 5 \)
Vậy chiều dài của hình chữ nhật đã cho là \(6 + 2\sqrt 5 \).

Gọi x là độ dài cạnh góc vuông ngắn. ĐK: x>0
Suy ra độ dài cạnh góc vuông thứ hai x+7
Cạnh huyền của tam giác vuông là \(\sqrt {{x^2} + {{(x + 7)}^2}} \)
Chu vi tam giác vuông là 30 cm nên ta có phương trình:
\[\begin{array}{l}\sqrt {{x^2} + {{(x + 7)}^2}} + x + x + 7 = 30\\ \Leftrightarrow \sqrt {2{x^2} + 14x + 49} = 23 - 2x\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le \frac{{23}}{2}\\2{x^2} - 106x + 480 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le \frac{{23}}{2}\\\left[ \begin{array}{l}x = 48\\x = 5\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow x = 5\end{array}\]
Vậy độ dài của các cạnh của tam giác vuông lần lượt là 5 và 12.