3 bài tập toán thực tế (có lời giải)
3 câu hỏi
Bánh đà của một động cơ được thiết kế có dạng là một đường tròn tâm \(O\), bán kính \(15cm\) được kéo bới một dây curoa. Trục quay của mô tơ truyền lực được biểu diễn bởi điểm \(M\) (hình vẽ). Cho biết khoảng cách \(OM\)là \(35cm\).
Tính độ dài của hai đoạn dây curoa \(MA\) và \(MB\)(kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
Tính số đo \(\widehat {AMB}\) tạo bởi hai tiếp tuyến \(AM,AB\) và số đo \(\widehat {AOB}\) (kết quả làm tròn đến phút).
Xem hình vẽ.
Ta có \(MA = MB\)(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
\(MA\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\)
\( \Rightarrow MA \bot OA\) hay tam giác \(OAM\) vuông tại \(A\).
Theo định lí Pythagore, ta có:
\(M{O^2} = M{A^2} + O{A^2} \Rightarrow M{A^2} = M{O^2} - O{A^2} = {35^2} - {15^2}\)
\( \Rightarrow MA = \sqrt {{{35}^2} - {{15}^2}} \approx 31,6\left( {cm} \right)\)
Vậy \(MA = MB \approx 31,6cm\).
Tam giác vuông \(OAM\) có cạnh huyên \(MO = 35cm\), cạnh góc vuông \(OA = 15cm.\)
Theo định lí về hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:
\(OA = OM.\sin \widehat {AMO}\)
\( \Rightarrow \sin \widehat {AMO} = \frac{{OA}}{{OM}} = \frac{{15}}{{35}} \Rightarrow \widehat {AMO} = 25^\circ 23'.\)
Vì \(MO\)là tia phân giác của góc \(AMB\)
\( \Rightarrow AMB = 2.25^\circ 23' = 50^\circ 46'\)
Xét tứ giác \(MAOB\), ta có:
\(\widehat {AOB} = {360^0} - \left( {\widehat {MAO} + \widehat {MBO} + \widehat {AMB}} \right)\)
\(\widehat {AOB} = 360^\circ - \left( {90^\circ + 90^\circ + 50^\circ 46'} \right) = 129^\circ 32'\)
Đổi: \(h = 20m = 0,02km\)
Vì \(AB\)là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( {O;\,\,6\,400\,\,{\rm{km}}} \right)\) nên \(AB \bot OB\).
Tam giác \(ABO\) vuông tại \(B\), có cạnh huyền \(OA = R + h\) và cạnh góc vuông \(OB = R\). Trong đó \(R = 6\,400\,\,{\rm{km}}\).
Theo định lí Pythagore, ta có:
\(O{A^2} = O{B^2} + A{B^2}\)
\( \Rightarrow A{B^2} = O{A^2} - A{B^2} = {\left( {R + h} \right)^2} - {R^2} = {\left( {6\,400 + 0,02} \right)^2} - 6\,{400^2}\)
\( \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( {6\,400 + 0,02} \right)}^2} - 6\,{{400}^2}} = 16\left( {km} \right)\)
Ta có \(OA = OB = R;MA = MB\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên \(MO\) là đường trung trực của đoạn \(AB\).
Gọi \(I\) là giao điểm của \(MO\) và \(AB\), ta có \(I\) là trung điểm của đoạn \(AB\) hay \(IA = IB = \frac{{AB}}{2} = \frac{{730}}{2} = 365\left( m \right)\).
Xét tứ giác \(AOBM\) có:
\(\widehat {AOB} = 360^\circ - \left( {\widehat {OBM} + \widehat {AMB} + \widehat {OAM}} \right)\)
\( = 360^\circ - \left( {90^\circ + 105^\circ + 90^\circ } \right) = 75^\circ \)
Lại có \(MO\) là tia phân giác của góc \(AOB\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).
\( \Rightarrow \widehat {AOI} = \widehat {BOI} = \frac{{\widehat {AOB}}}{2} = \frac{{75^\circ }}{2} = 37,5^\circ \)
Vì \(MO\) là đường trung trực của \(AB\)(cmt) \( \Rightarrow MO \bot AB\) tại \(I\).
Xét tam giác \(AOI\) vuông tại \(I\) có cạnh góc vuông \(IA = 365\left( m \right)\), góc nhọn \(\widehat {AOI} = 37,5^\circ \).
Theo định lí về hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:
\(IA = OA.\sin \widehat {AOI}\)
\( \Rightarrow OA = \frac{{IA}}{{\sin \widehat {AOI}}} = \frac{{365}}{{\sin 37,5^\circ }} \approx 599\left( m \right)\)
Vậy bán kính đường tròn \(\left( O \right)\) là \(599m\).
