12 bài tập Chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn có lời giải

Đáp án đúng là: B

Theo đề OH ⊥ a tại H và OH = R nên OH tiếp xúc với (O).

Đáp án đúng là: D

Đáp án đúng là: B

Áp dụng định lí Pythagore đảo, ta có:

AC² + AB² = 3² + 4² = 25 = 5² = BC².

Suy ra tam giác ABC vuông tại A hay CA ⊥ AB.

Do đó AB là tiếp tuyến của đường tròn (C; CA).

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn (O; 4 cm), khi đó khoảng cách từ O đến đường thẳng d bằng 4 cm.

Đáp án đúng là: D

Xét (O) có OB = OC = OD nên BO = \(\frac{{DC}}{2}\) hay ∆BDC vuông tại B

suy ra BD ⊥ AC.

∆ABD = ∆CBD nên DA = DC = 2R.

Đáp án đúng là: B

Xét (O) có OB = OC = OD nên BO = \(\frac{{DC}}{2}\) hay ∆BDC vuông tại B

suy ra BD ⊥ AC.

∆ABD = ∆CBD nên DA = DC = 2R = 10 cm.

Đáp án đúng là: A

Kẻ đường thẳng OA ⊥ a tại A cắt b tại B thì OB ⊥ b tại B vì a ∕∕ b.

Vì (O) tiếp xúc với cả a, b nên OA = OB.

Lại có AB = h suy ra OA = OB = \(\frac{h}{2}\).

Nên O chạy trên đường thẳng c song song và cách đều a, b một khoảng \(\frac{h}{2}\).

Đáp án đúng là: D

Do tam giác ABC cân tại A (giả thiết) nên đường cao AH đồng thời là trung tuyến.

Suy ra BH = HC.

Do BK là đường cao của tam giác ABC.

Suy ra BK ⊥ AC.

Tam giác BKC vuông tại K có H là trung điểm của BC

nên KH = BH = HC = \(\frac{1}{2}\)BC.

Suy ra tam giác BKH cân tại H nên \(\widehat {KBH} = \widehat {HKB}\) (1)

Có K ∈ (O) đường kính AI nên KO = OI = R.

Suy ra tam giác KOI cân tại O nên \(\widehat {OKI} = \widehat {OIK}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {OKB} + \widehat {HKB} = \widehat {OIK} + \widehat {IBH} = \widehat {HIB} + \widehat {IBH}\) = 90°.

Suy ra HK ⊥ OK tại K.

Do đó HK là tiếp tuyến của (O).

Đáp án đúng là: C

Vẽ OH ⊥ MN, H ∈ MN.

Vì AM.BN = R² = OA.OB nên \(\frac{{AM}}{{BO}} = \frac{{AO}}{{BN}}\).

Xét ∆AOM và ∆BNO có: \(\widehat {MAO} = \widehat {NBO} = 90^\circ \); \(\frac{{AM}}{{BO}} = \frac{{AO}}{{BN}}\).

Do đó ∆AOM ∽ ∆BNO (c.g.c)

Suy ra \(\widehat {{M_1}} = \widehat {{O_2}};\widehat {{O_2}} = \widehat {{N_2}}\). Do đó \(\widehat {MON} = 90^\circ \).

Ta có: \(\frac{{AM}}{{BO}} = \frac{{OM}}{{ON}}\) suy ra \(\frac{{AM}}{{OM}} = \frac{{OA}}{{ON}}\) và \(\widehat {MAO} = \widehat {MON} = 90^\circ \).

Nên ∆AOM ∽ ∆ONM (c.g.c) suy ra \(\widehat {{M_1}} = \widehat {{M_2}}\).

∆AOM = ∆HOM (ch-gn) suy ra AO = OH hay OH = R do đó MN là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Đáp án đúng là: D

Kẻ IA

⊥ Oy, IB ⊥ Ox tại A, B.

Vì (I) tiếp xúc với cả Ox, Oy nên IA = IB suy ra I thuộc tia phân giác của góc xOy (I ≠ O) (tính chất tia phân giác của một góc)

a) Ta có: \(\widehat {ACB} = 90^\circ \) suy ra .

suy ra tam giác BOC đều do đó BC = OB – BM = R.

Vậy tam giác OCM vuông tại C (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

Suy ra OM ⊥ OC

Suy ra MC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

a) Xét tam giác OAC và tam giác OAB, có:

OC = OB = R

OA: chung;

AC = AB (gt)

Suy ra ∆OAC = ∆OAB (c.c.c)

Suy ra \(\widehat {ACO} = \widehat {OBA} = 90^\circ \)

Suy ra AC là tiếp tuyến của (O).

b) OD ⊥ EC (gt) và ∆COE cân tại O suy ra M là trung điểm của EC.

OD là đường trung trực của đoạn thẳng EC.

Suy ra DE = DC, do đó \(\widehat {OED} = \widehat {OCD} = 90^\circ \)( tính chất đối xứng trục)

Vậy DE là tiếp tuyến của đường tròn (O).