12 bài tập Tính độ dài, diện tích, góc liên quan đến tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau có lời giải
12 câu hỏi
Sử dụng dữ kiện của bài toán dưới đây để trả lời Bài 8, 9, 10.
Cho nửa đường tròn O, đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn cùng phía đối với AB. Từ điểm M trên nửa đường tròn (M khác A, B) vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt Ax và By lần lượt lượt tại C và D.
Cho hai tiếp tuyến tuyến của đường tròn cắt nhau tại một điểm. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định dưới đây.
Khoảng cách từ điểm đó đến hai tiếp tuyến là bằng nhau.
Tia nối điểm đó tới tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính.
Tia nối từ tâm tới điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính.
Tia nối từ điểm đó tới tâm là tia phân giác của góc tạo bởi tiếp tuyến.
Đáp án đúng là: B
Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:
- Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.
- Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của các góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
- Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua tiếp điểm.
“Cho hai tiếp tuyến của một đường trong cắt nhau tại một điểm. Tia nối từ điểm đó tới tia phân giác của góc tạo bởi…… Tia nối từ tâm tới điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi …..”. Hai cụm từ thích hợp vào chỗ trống lần lượt là:
Hai tiếp tuyến, hai bán kính đi qua tiếp điểm.
Hai bán kính đi qua tiếp điểm, hai tiếp điểm.
Hai tiếp tuyến, hai dây cung.
Hai dây cung, hai bán kính.
Đáp án đúng là: A
Hai tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O) cắt nhau tại A. Khẳng định nào dưới đây là sai?
OA ⊥ BC.
OA là đường trung trực của BC.
AB = AC.
OA ⊥ BC là H trung điểm của OA.
Đáp án đúng là: D
Gọi H là giao điểm của BC với AO.
Xét (O) có hai tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại A nên AB = AC (tính chất).
Lại có OB = OC nên OA là đường trung trực của BC hay AO ⊥ BC tại H là trung điểm của BC.
Chưa thể kết luận H có là trung điểm của AO hay không nên D sai.
Hai tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O) cắt nhau tại A. Biết OB = 3 cm, OA = 5 cm. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định dưới đây?
AC = AB = 4 cm.
\(\widehat {BAO} = \widehat {CAO}\).
sin\(\widehat {OBA} = \frac{4}{5}\).
sin\(\widehat {COA} = \frac{3}{5}\).
Đáp án đúng là: D
Xét (O) có AB, AC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại A nên AB = AC, \(\widehat {BAO} = \widehat {CAO}\),
\(\widehat {BOA} = \widehat {COA}\).
Xét ∆ABO vuông tại B có OB = 3 cm, OA = 5 cm, theo định lí Pythagore ta có:
AB = \(\sqrt {O{A^2} - O{B^2}} = 4\) cm.
Nên AC = AB = 4 cm hay đáp án A đúng.
Xét tam giác AOB vuông tại B có sin\(\widehat {ABO}\) = \(\frac{{AB}}{{OA}} = \frac{4}{5}\) nên C đúng.
Mà \(\widehat {BOA} = \widehat {COA}\) nên sin\(\widehat {COA}\) = \(\frac{4}{5}\) do đó D sai.
Đáp án cần chọn là D.
Cho đường tròn (O). Từ một điểm M ở ngoài (O), vẽ hai tiếp tuyến MA và MB sao cho góc \(\widehat {AMB} = 120^\circ \). Biết chu vi tam giác MAB là 6(3 + 2\(\sqrt 3 \)) cm, tính độ dài AB.
18 cm.
\(6\sqrt 3 \) cm.
\(12\sqrt 3 \) cm.
15 cm.
Đáp án đúng là: A
Gọi R là bán kính của (O).
Xét (O) có MA = MB, \(\widehat {AMO} = \widehat {BMO}\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).
Nên \(\widehat {AMO} = 60^\circ \).
Xét tam giác vuông AOM có AM = AO.cot\(\widehat {AMO}\) = \(\frac{{R\sqrt 3 }}{3}\).
nên MA = MB = \(\frac{{R\sqrt 3 }}{3}\).
Lại có \(\widehat {AOB} + \widehat {AMB} = 180^\circ \) suy ra \(\widehat {AOB} = 60^\circ \) suy ra tam giác AOB đều
hay AB = OB = OA = R.
Chu vi tam giác MAB là MA + MB + AB = \(\frac{{R\sqrt 3 }}{3} + \frac{{R\sqrt 3 }}{3} + R = R\left( {\frac{{2\sqrt 3 }}{3} + 1} \right)\).
Mà chu vi tam giác MAB bằng 6(3 + 2\(\sqrt 3 \)) nên
\(R\left( {\frac{{2\sqrt 3 }}{3} + 1} \right) = 6(3 + 2\sqrt 3 )\) suy ra R = 18 cm hay AB = 18 cm.
Cho đường tròn (O). Từ một điểm M ở ngoài (O), vẽ hai tiếp tuyến MA và MB sao cho góc \(\widehat {AMB} = 60^\circ \). Biết chu vi tam giác MAB là 24 cm, tính độ dài bán kính của đường tròn.
8 cm.
\(\frac{{8\sqrt 3 }}{3}\) cm.
4 cm.
\(\frac{{4\sqrt 3 }}{3}\) cm.
Đáp án đúng là: B
Gọi R là bán kính của (O).
Xét (O) có MA = MB, \(\widehat {AMO} = \widehat {BMO}\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).
Ta có: \(\widehat {AMB} = 60^\circ \) nên tam giác ABM đều.
Do đó, chu vi tam giác ABM là: MA + MB + AB = 3AB = 24 suy ra AB = 8 cm.
Lại có \(\widehat {AMO} = \widehat {BMO} = \frac{1}{2}\widehat {AMB} = 30^\circ \).
Xét tam giasv AMO vuông tại A có tan\(\widehat {AMO}\) = \(\frac{{OA}}{{MA}}\)
suy ra OA = MA.tan30° = \(\frac{{8\sqrt 3 }}{3}\) cm.
Hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) cắt nhau tại I. Đường thẳng qua I và vuông góc với IA cắt OB tại K. Chọn khẳng định đúng.
Hướng dân giải
OI = OK = KI.
KI = KO.
OI = OK.
ỌI = IK.
Xét (O) có IA, IB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại I nên \(\widehat {AOI} = \widehat {KOI}\).
Mà OA ∕∕ KI (vì cùng vuông góc với AI) nên \(\widehat {AIO} = \widehat {KIO}\) (so le trong)
Từ đó \(\widehat {KIO} = \widehat {KOI}\) suy ra ∆KOI cân tại K suy ra KI = KO.
Cho OD = BA = 2R. Tính AC và BD theo R.
BD = \(R\sqrt 2 \); AC = \(\frac{{R\sqrt 2 }}{2}\).
BD = \(R\sqrt 3 \); AC = \(R\sqrt 2 \).
BD = 2R; AC = R.
BD = \(R\sqrt 3 \); AC = \(\frac{{R\sqrt 3 }}{3}\).
Đáp án đúng là: D
Xét nửa đường tròn (O) có MC và AC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại C nên OC là tia phân giác của \(\widehat {MOA}\) do đó \(\widehat {AOC} = \widehat {COM}\).
Lại có MD và BD là hai tiếp tuyến cắt nhau tại D nên OD là tia phân giác của \(\widehat {MOB}\) do đó \(\widehat {DOB} = \widehat {DOM}\).
Từ đó \(\widehat {AOC} + \widehat {BOD} = \widehat {COM} + \widehat {MOD} = \frac{{\widehat {AOC} + \widehat {BOD} + \widehat {COM} + \widehat {MOD}}}{2} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \).
Nên \(\widehat {COD} = 90^\circ \) hay tam giác COD vuông tại O và \(\widehat {MDO} = \widehat {MOC}\).
Xét ∆CMO và ∆OMD có \(\widehat {MDO} = \widehat {MOC}\) và \(\widehat {DMO} = \widehat {OMC} = 90^\circ \).
Do đó ∆CMO ∽ ∆OMD (g.g) suy ra \(\frac{{MC}}{{MO}} = \frac{{MO}}{{MD}}\) hay MO2 = MC.MD.
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác BDO ta có:
BD = \(\sqrt {O{D^2} - O{B^2}} = R\sqrt 3 \).
Mà MD = BD; MC = AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên MD = \(R\sqrt 3 \).
MÀ MO2 = MC.MD (cmt) nên MC = \(\frac{{O{M^2}}}{{MD}} = \frac{{{R^2}}}{{R\sqrt 3 }} = \frac{{R\sqrt 3 }}{3}\) nên AC = \(\frac{{R\sqrt 3 }}{3}\).
Vậy BD = \(R\sqrt 3 \) và AC = \(\frac{{R\sqrt 3 }}{3}\).
Cho AB = 10 cm. Khi đó, MC.MD bằng
25 cm2.
16 cm2.
100 cm2.
5 cm2.
Đáp án đúng là: A
Có AB = 2R = 10 cm suy ra R = 5 cm.
Từ câu 9, có MC.MD = OM2 = R2 = 25 cm2.
Cho OD = 8 cm, OB = 5 cm. Tính AC và BD được
BD = \(\frac{{25\sqrt {39} }}{{39}}\); AC = \(\sqrt {39} \).
BD = \(\sqrt {39} \); AC = \(\frac{{25\sqrt {39} }}{{39}}\).
BD = 7; AC = \(\frac{{25}}{7}\).
BD = \(\sqrt {39} \); AC = \(\frac{{25}}{9}\).
Đáp án đúng là: B
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác BOD, ta có:
BD = \(\sqrt {O{D^2} - O{B^2}} = \sqrt {{8^2} - {5^2}} = \sqrt {39} \) cm.
Mà MD = BD, MC = AC (tính chất hia tiếp tuyến cắt nhau) nên MD = \(\sqrt {39} \) cm.
Ta có: MC.MD = OM2 = OB2 = 25 suy ra MC = \(\frac{{25}}{{MD}} = \frac{{25}}{{\sqrt {39} }} = \frac{{25\sqrt {39} }}{{39}}\).
Do đó, AC = MC = \(\frac{{25\sqrt {39} }}{{39}}\).
Vậy BD = \(\sqrt {39} \) và AC = \(\frac{{25\sqrt {39} }}{{39}}\).
Tính giá trị của x trong hình vẽ dưới đây
Ta có: BA, BC là hai tiếp tuyến của đường tròn (D) cắt nhau tại B nên: BA = BC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).
Do đó 4x – 9 = 15 hay 4x = 24 suy ra x = 6.
Cho đường tròn (O). Từ một điểm M nằm ngoài (O), vẽ hai tiếp tuyến ME, MF (E, F là các tiếp điểm) sao cho \(\widehat {EMO} = 30^\circ \). Biết chu vi tam giác MEF là 30 cm.
a) Tính độ dài dây EF.
b) Tính diện tích ∆MEF.
a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
\(\widehat {EMO} = \widehat {OMF} = 30^\circ \), suy ra \(\widehat {EMF} = 60^\circ \).
Tam giác EMF có EM = MF (tính chất tiếp tuyến cắt nhau) và \(\widehat {EMF} = 60^\circ \).
Suy ra ∆EMF đều.
Do đó, ME = EF = FM = 30 : 3 = 10 cm.
b) Gọi I là giao điểm của EF và OM.
Xét tam giác IEM vuông tại I, ta có: IM = EM.cos \(\widehat {EMO}\) = 10.cos30° = \(5\sqrt 3 \) cm.
Diện tích tam giác MEF là: \(\frac{1}{2}\).EF.MI = \(25\sqrt 3 \) cm2.
