200 câu trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số nâng cao (P3)

$$\begin{gathered} y=\frac{x+1-\sqrt{x^2+3x}}{x^2+(m+1)x-m-2} \\ =\frac{{(x+1)}^2-(x^2+3x)}{(x+1+\sqrt{x^2+3x})(x-1)(x+m+2)} \\ =-\frac{1}{(x+1+\sqrt{x^2+3x})(x+m+2)} \end{gathered}$$

+ Vì bậc tử số < bậc mẫu số nên luôn có một tiệm cận ngang y= 0

+ Vì phương trình $x+1+\sqrt{x^2+3x} =0$  vô nghiệm nên chỉ có duy nhất một tiệm cận đứng nữa đó là đường thẳng  x= -m-2.

 Vậy với mọi x; đồ thị hàm số đã cho  luôn có hai tiệm cận.

Chọn C.

+ Đạo hàm y’  = 4x³- 4mx

Hàm số có 3 điểm cực trị khi và  chỉ khi m≠0.

+ Khi đó đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là:

+ Vì B,C đối xứng nhau qua trục tung nên BC và OA vuông góc với nhau. 

Do đó O là trực tâm tam giác ABC  khi và chỉ khi OB vuông góc AC hay 

Với 

Kết hợp với điều kiện m ≠ 0 thì m = 1 là giá trị cần tìm.

Chọn B.

Ta có 

Bảng biến thiên của hàm số y= g( x)

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng ( 3: + ∞)  hàm số nghịch biến trong khoảng (-∞; -3) .

Hàm số có 3 cực trị, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x= ±3

Vậy có 3 khẳng định đúng là khẳng định I, II, IV

Chọn C.

+ Ta có: 

Ta xét các trường hợp sau

+  Nếu m²- 4= 0 hay m= ± 2

Khi m = 2 thì y’ = 8x⁷ nên x=0 là điểm cực tiểu.

Khi m = -2 thì y’ = x⁴( 8x⁴- 20 ) khi đó x= 0 không là điểm cực tiểu.

+  Nếu m ≠  ± 2 .Khi đó ta có

Số cực trị của hàm y = x⁸+ (m-2) x⁵- ( m²- 4) x⁴+ 1  bằng số cực trị của hàm g’( x)

+) Nếu x = 0 là điểm cực tiểu thì g’’ (0) > 0.

Khi đó: -4( m² - 4) > 0 hay -2 < m < 2

Mà m nguyên nên m= -1; 0; 1

Kết hợp cả 2 trường hợp có 4 giá trị nguyên của m và tổng của chúng là:

2 + ( -1) + 0 + 1 = 2

Chọn  D.

Đặt t= e^x , với x ∈ [0 ; ln4] => t ∈ [1 ;4].

Khi đó f(x) = |t² – 4t + m| = |g(t)|.

Có g’ (t) = 2t-4 và g’ (t) =0 khi t= 2.

Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta thấy 

Chọn D.

+ Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng là x= -2 và tiệm cận ngang là y= 1.

Giao điểm hai đường tiệm cận là I ( -2; 1) .

Ta có: 

$$\begin{gathered} A(a;1-\frac{3}{a+2})\in \left(C\right), B(b;1-\frac{3}{b+2})\in \left(C\right). \\ \overrightarrow{IA}=(a+2;-\frac{3}{a+2}), \overrightarrow{IB}=(b+2;-\frac{3}{b+2}). \end{gathered}$$

Đặt  a₁== a+ 2 ; b₁= b+ 2( a₁≠ 0 ; b₁≠0 ; a₁ ≠ b₁

Tam giác ABI đều khi và chỉ khi

Ta có (1) 

+ Trường hợp a₁= b₁ loại

+ Trường hợp a₁= - b₁ ; a₁b₁ = -3  (loại vì không thỏa (2) .

+ Trường hợp  a₁ b₁ =3 thay vào ( 2) ta được

$\frac{3+{\displaystyle \frac{9}{3}}}{{a_1}^2+{\displaystyle \frac{9}{{a_1}^2}}}=\frac{1}{2}\iff {a_1}^2+\frac{{\displaystyle 9}}{{\displaystyle {a_1}^2}}=12.$

Vậy AB=IA=$\sqrt{{a_1}^2+\frac{{\displaystyle 9}}{{\displaystyle {a_1}^2}}}=2\sqrt{3}.$

Chọn B.

+  Đạo hàm y’ = -4 x³+ 4mx= -4x( x²- m)

Để  hàm số có 3 điểm cực trị khi m> 0

+ Tọa độ ba điểm cực trị là: A( 0; 1-4m) ; $B(-\sqrt{m}; m^2-4m+1); C(\sqrt{m}; m^2-4m+1)$  

Tứ giác OBAC đã có OB= OC; AB= AC.

Vậy tứ giác OBAC là hình thoi  khi và chỉ khi :

$$\begin{gathered} OA=AC hay \iff m+{(m^2-4m+1)}^2=m+m^4 \\ \iff {(m^2-4m+1)}^2=m^4 \end{gathered}$$

Tổng các giá trị của m thỏa mãn đầu bài là 9/4.

Chọn D.

+ Đạo hàm y’ =  -3x²+ 6x+ 3( m²-1) = -3( x²- 2x-m²+1).

Đặt g( x) = x²- 2x-m²+1 là tam thức bậc hai có $∆\text{'}=m^2$ .

+ Do đó hàm số đã cho có cực đại cực tiểu khi và chỉ khi y’ =0 có hai nghiệm phân biệt hay g(x)  =0  có hai nghiệm phân biệt

 $\iff ∆\text{'}>0\iff m\ne 0$.                   (1)

+ Khi đó y’ có các nghiệm là: 1±m .

 Tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là A( 1-m ; -2-2m³) và B( 1+m ; -2+ 2m³).

Ta có: 

$$\begin{gathered} \overrightarrow{OA}(1-m;-2-2m^3)\Rightarrow O{A}^2={(1-m)}^2+4{(1+m^3)}^2. \\ \overrightarrow{OB}(1+m;-2+2m^3)\Rightarrow O{B}^2={(1+m)}^2+4{(1-m^3)}^2. \end{gathered}$$

Để A và B cách đều gốc tọa độ khi và chỉ khi OA= O B  hay  OA²= OB²

$$\begin{gathered} {(1-m)}^2+4{(1+m^3)}^2={(1+m)}^2+4{(1-m^3)}^2 \\ \iff -4m+16m^3=0 \end{gathered}$$

Đối chiếu với điều kiện (1), ta thấy chỉ $m=\pm \frac{1}{2}$  thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy không có giá trị nguyên nào của m thỏa mãn yêu cầu  bài toán.

Chọn  A.

+ Xét hàm số f( x) = x³- x²+ ( m²+ 1) x- 4m- 7  trên đoạn [ 0; 2]

Ta có f’ (x) = 3x²- 2x+ m²+ 1= 3( x-1/3) ²+ m²+ 2/3> 0 .

+ Suy ra hàm số f(x)  đồng biến trên

 $\left[0;2\right]\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\underset{[0;2]}{min} f\left(x\right)=f\left(0\right)=-4m-7\\ \underset{[0;2]}{max} f\left(x\right)=f\left(2\right)=2m^2-4m-1\end{array}\right.$

+ Khi đó

$$\begin{gathered} \underset{[0;2]}{max} y=\underset{[0;2]}{max} \left|f\left(x\right)\right| \\ =max\left\{\left|-4m-7\right|;\left|2m^2-4m-1\right|\right\}\le 15 \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\left|-4m-7\right|\le 15\\ \left|2m^2-4m-1\right|\le 15\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}-\frac{11}{2}\le m\le 2\\ 2m^2-4m-16\le 0\end{array}\right.\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}-\frac{11}{2}\le m\le 2\\ -2\le m\le 4\end{array}\right. \\ \iff -2\le m\le 2\stackrel{m\in \mathrm{\mathbb{Z}}}{\to }m\in \left\{\pm 2;\pm 1;0\right\} \end{gathered}$$

Vậy có 5 giá trị thoả mãn.

Chọn C.

+ Đạo hàm : y’ = 4/3.x³-28/3. x

$y_2-y_1=8(x_2-x_1)\iff \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=8$

Vậy tiếp tuyến của (C)  tại A  có hệ số góc bằng 8.

 + Xét phương trình y' = 8

$\iff \frac{4}{3}{x}^3-\frac{28}{3}x=8\iff 4x^3-28x-24=0$

+) Với x= 3 thì A( 3; -15) nên phương trình tiếp tuyến của (C)  tại A là y = 8(x-3) - 15 ($d_1$)

Phương trình hoành độ giao điểm của (C)  và ($d_1$) là

$8(x-3)-15=\frac{1}{3}{x}^4-\frac{14}{3}{x}^2\iff {(x-3)}^2(x^2+6x+13)=0\iff x=3.$

Vậy  A(3; -15)  loại.

+) Với x= -2 thì A(-2; -40/3) . phương trình tiếp tuyến của (C)  tại A là y = 8(x+2) - 40/3 ($d_2$)

Phương trình hoành độ giao điểm của ( C)  và ($d_2$)  là

$8(x+2)-\frac{40}{3}=\frac{1}{3}{x}^4-\frac{14}{3}{x}^2\iff {(x+2)}^2(x^2-4x-2)=0$

Vậy  A( -2; -40/3) thỏa mãn.

+) Với  x= -1 thì A( -2; -13/ 3)  nên  phương trình tiếp tuyến của C tại A là

y = 8(x+1) - 13/3 (d3)

Phương trình hoành độ giao điểm của C  và (d3)  là: 

$8(x+1)-\frac{13}{3}=\frac{1}{3}{x}^4-\frac{14}{3}{x}^2\iff {(x+2)}^2(x^2-2x-11)=0$

Vậy A( -1; -13/3) thỏa mãn.

Vậy có tất cả 2 điểm A thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn B.

+ Xét hàm số y= x⁴- 4x³+ 4x²+ a  trên đoạn [ 0; 2].

Ta có đạo hàm y’ = 4x³-12x²+ 8x,  $y\text{'}=0$

Khi đó;  y( 0) = y( 2) = a; y( 1) = a+ 1

+ Nếu a≥ 0  thì  M= a+ 1,m = a.

 Để M ≤ 2m khi a≥ 1, suy ra $a\in \left\{1;2;3\right\}$ thỏa mãn

+ Nếu a≤ - 1 thì $M=\left|a\right|=-a, m=\left|a+1\right|=-a-1.$

 Để  M≤ 2m thì a≤ -2,  suy ra a $a\in \left\{-2;-3\right\}$  

Vậy có 5 giá trị nguyên của a thỏa mãn yêu cầu.

Chọn B.