65 câu Trắc nghiệm Ôn tập Toán 12 Chương 1 có đáp án

Đáp án C

Quan sát các đồ thị hàm số ta thấy: (phía dưới)

+ Trong nửa khoảng −∞;13 thì ming1x,g2x,g3x=g1x nên đồ thị hàm số y=f(x) là nửa đường thẳng y=g1x

+ Trong đoạn 13;23 thì ming1x,g2x,g3x=g2x nên đồ thị hàm số y=f(x) là một đoạn đường thẳng y=g2x

+ Trong nửa khoảng 23;+∞ thì ming1x,g2x,g3x=g3x nên đồ thị hàm số y=f(x) là nửa đường thẳng y=g3x

⇒ Đồ thị hàm số y=f(x) là phần đường thẳng được tô màu đỏ.

Suy ra giá trị lớn nhất của f (x) là 83

Đáp án C

Xét biểu thức chia P(x) cho x2−4x+3 ta được P(x)=x+2x2−4x+3−4

Mà P(x1)=0⇔x1+2x12−4x1+3−4=0

⇔1x12−4x1+3=x1+24

Tương tự, ta có:

1x22−4x2+3=x2+24; 1x32−4x3+3=x3+24

Vậy T=x1+24+x2+24+x3+24

=x1+x2+x3+64=2

Mặt khác thì

P'(x)P(x)=3x2−4x−5x3−2x2−5x+2⇒P'(1)P(1)=32;P'(3)P(3)=−52⇔12P'(1)P(1)−P'(3)P(3)=2

Đáp án B

Do hàm số y=fx−2017+2018 thu được bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y=f(x) sang phải một đoạn có độ dài bằng 2017 đơn vị và tịnh tiến trên một đoạn có độ dài bằng 2018 đơn vị nên ta có bảng biến thiên của hàm số y=f(x) như sau:

Do đó ta có bảng biến thiên của hàm số y=gx là:

Vậy đồ thị hàm số y=fx−2017+2018 có 3 cực trị

Đáp án B

Gọi AD là quãng đường cô An đi đường bộ.

Đặt DB=xkm0≤x≤50⇒AD=50−xkm

Chi phí của cô An: fx=50−x3+x2+102.5(USD)

f(x) liên tục trên 0;50

Ta có: f'x=−3+5.xx2+100=−3x2+100+5xx2+100

f'x=0⇔−3x2+100+5x=0⇔x≥09x2+100=25x2

Ta có: f0=200,f50=5026,f152=190

Để chi phí ít nhất thì x=152

Vậy cô An phải đi đường bộ một khoảng AD=50−152=852km để chi phí ít nhất.

Đáp án C

y'=4x3−4m2x;y'=0⇔x=0x=±m

Để hàm số có 3 cực trị thì phương trình y' = 0 có 3 nghiệm hay m≠0

Không mất ính tổng quát giả sử 3 điểm cực trị có tọa độ A0;m4+3;Bm;3;C−m;3

Ta có: AC→−m;−m4;OC→−m;3

Tứ giác OBAC có: AB=ACOB=OC

Suy ra OA là đường trung trực của BC

Để tứ giác OBAC nội tiếp đường tròn thì điểm B, C phải nhìn cạnh OA dưới góc 90∘

Khi đó AC→.OC→=0⇔m2−3m4=0⇔m=0(L)m=±13(TM)

Đáp án C

Gọi a, b, c >0 lần lượt là chiều rộng, dài, cao của hình hộp chữ nhật.

Theo đề V=abc=220500 và c=3a⇒3a2b=220500⇒ab=73500a

Ta có Stp=ab+2ac+2bc=ab+6a2+6ab=7ab+6a2

=514500a+6a2=642875a+42875a+a2Stp=642875a+42875a+a2≥6.342875a.42875a.a23=22050

Suy ra Stp nhỏ nhất khi 42875a=a2⇔a=35⇒b=60⇒S=2100cm2

Đáp án C

Đường tròn γ:x2+y−12=4 có tâm I0;1,R=2

Ta có: A1;1−m;y'=4x3−4mx⇒y'1=4−4m

Suy ra phương trình Δ:y=4−4mx−1+1−m

Dễ thấy ∆ luôn đi qua điểm cố định F34;0 và điểm F nằm trong đường tròn γ

Giả sử ∆ cắt γ tại M, N. Thế thì ta có MN=2R2−d2I;Δ=24−d2I;Δ

Do đó MN nhỏ nhất ⇔dI,Δ lớn nhất ⇔dI;Δ=IF⇒Δ⊥IF

Khi đó đường ∆ có 1 vec tơ chỉ phương u→⊥IF→=34;−1;u→=1;4−4m nên ta có:

u→.IF→=0⇔1.34−4−4m=0⇔m=1316

Đáp án D

Từ đồ thị, ta có f'1=0

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 1 có dạng: y=f'(1)(x−1)+f(1)⇔y=f1

Phương trình hoành độ giao điểm của tiếp tuyến trên với đồ thị (C): fx=f1

Từ đồ thị, ta có: f'−1=f'3=0. Ta được BBT của hàm số y=f(x)

Từ BBT, ta thấy đường thẳng y=f(1) cắt đồ thị hàm số tại ba điểm có hoành độ lần lượt là 1, a, b với a < - 1 và b > 3. Như vậy đáp án D đúng, các khẳng định A, B, C đều không thỏa điều trên.

Đáp án A

Vì điểm M(a; b) thuộc đồ thị Cm nên ta có: a−m3−3a+m2=b,∀m∈R(1)

Xét y'=3x−m2−3;y'=0⇔x=m−1x=m+1

Bảng biến thiên

Dựa vào BBT ta có:

Nếu m1 là giá trị của tham số m để đồ thị hàm số nhận điểm M(a; b) là điểm cực đại thì a=m1−1

Nếu m2 là giá trị của tham số m để đồ thị hàm số nhận điểm M(a; b) là điểm cực tiểu thì a=m2+1

Do đó m1=a+1,m2=a−1

Mà m1,m2 phải thỏa mãn (1) nên ta có: −1−3a+a+12=b1−3a+a−12=b⇔a=12b=−14

Vậy S=2018a+2020b=504

Đáp án C

Phương trình đường thẳng d:y=mx−2

Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C) là:

−x3+6x2−9x+2=mx−2⇔x−2x2−4x+m+1=0⇔x=2⇒A2;0x2−4x+m+1=0(1)

Để đồ thị hàm số (C) cắt d tại 3 điểm phân biệt thì phương trình (1) phải có 2 nghiệm phân biệt x≠2

Đk: Δ>04−8+m+1≠0

⇔4−m−1>0m−3≠0⇔m<3m≠3⇔m<3

Giả sử Bx1;mx1−2m,Bx2;mx2−2m với x1,x2 là hai nghiệm của phương trình (1)

Theo Vi-et: x1+x2=4x1.x2=m+1

Vì m>0⇒x1>0,x2>0. Ta có B'0;mx1−2m,C'0;mx2−2m

Ta có:

SBB'C'C=12B'C'BB'+CC'=8⇔B'C'BB'+CC'=16*

Mà B'C'=mx1−x2,BB'=x1=x1;CC"=x2=x2

Do đó (*) ⇔mx1−x2x1+x2=16

⇔mx1−x2=4⇔m2x1−x22=16

⇔m2x1+x22−4x1x2=16⇔m216−4m−4=16⇔m3−3m2+4=0⇔m=−1m=2

Kết hợp với m > 0 và m < 3 ta có m = 2

Đáp án C

Với m = 0 thì hàm số không xác định. Do đó m≠0 (1)

Ta có: limx→+∞y=limx→+∞x+1m2x2+m−1=1m và limx→−∞y=limx→−∞x+1m2x2+m−1=−1m

⇒ đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang.

Để đồ thị hàm số có bốn đường tiệm cận thì cần tìm m để đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận đứng, nghĩa là cần tìm m để phương trình gx=m2x2+m−1=0 có 2 nghiệm phân biệt khác – 1.

Đk: Δ=−4m2m−1>0g−1=m2+m−1≠0⇔m<1m≠0m≠−1±52 (2)

Kết hợp (1) và (2) ta có m<1m≠0m≠−1±52

Đáp án C

Hàm số y=f(x)=ax3+bx2+cx+d; f'x=3ax2+2bx+c có đồ thị như hình vẽ

Do đó x=0⇒d=4;x=2⇒8a+4b+2c+d=0; f'2=0⇔12+4b+x=0; f'0=0⇔c=0

Tìm được a=1;b=−3;c=0;d=4 và hàm số y=x3−3x2+4

Ta có:

gx=fx2+x+2=x2+x+23−3x2+x+2+4⇒g'x=322x+1x2+x+2−32x+1=32x+112x2+x+2−1g'x=0⇒x=−12x=1x=−2

Bảng xét dấu của g(x):

Vậy g(x) nghịch biến trên khoảng −12;0

Đáp án C

Ta có: y'=2x.f'x2

y'=0⇔2x=0x2=0x2=1x2=2x2=4⇔x=0x=0x=±1x=±2x=±2f'x2>0⇔x2>40<x2<1⇔x>2x<−2−1<x<1

Bảng xét dấu:

Quan sát bảng xét dấu ta thấy: qua 5 điểm x=2,x=−1,x=0,x=1,x=2 là y; đổi dấu

Vậy hàm số có 5 cực trị

Đáp án C

Ta có: limx→1+y=+∞⇒x=1 là tiệm cận đứng; limx→+∞y=2⇒y=2 là tiệm cận ngang

M∈C⇒Ma;2+5a−1 với a≠1

Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng: d1=a−11=a−1

Khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang d2=2+5a−1−202+12=5a−1

Ta có: d1.d2=a−1.5a−1=a−1.5a−1=5

Đáp án C

Ta có: y=3x−1x−3⇒y=3+8x−3⇒y−3=8x−3

Đặt X=x−3Y=y−3. Ta có: Y=8X

Gọi MX1;8X1 thuộc nhánh trái, NX2;8X2 thuộc nhánh phải của đồ thị hàm số,

Với X1<0<X2. Ta có: MN2=X2−X12+641X2−1X12

⇒MN2=2X2−X12.641X2−1X12⇒MN2≥16X2−X11X2−1X1⇒MN2≥16X2−X1X1X2⇒MN2≥16−4X1X2−X1X2=64

Do vậy MN≥8

Dấu bằng xảy ra ⇔X2=−X1X2−X12=641X2−1X12⇔X1=−22X2=22

Vậy với M−22;−22;N22;22 thì MN có độ dài ngắn nhất bằng 8

Đáp án A

Theo giả thiết a > 0, b > 0

Với ab = 4 ta có:

y=ax2+x−14x2+bx+9=4bx2+x−14x2+bx+9=4x2+bx−bb4x2+bx+9=1b−b+9b4x2+bx+9

Đồ thị (C) có đúng 1 đường tiệm cận đứng nên 4x2+bx+9=0 có nghiệm kép

Suy ra Δ=b2−4.4.9=0⇔b=12(do  b>0)

Ta có:

ab=4⇒a=13;c=limx→+∞ax2+x−14x2+bx+9=limx→+∞a+1x−1x24+bx+9x2=a4⇒c=112

Vậy T=3a+b−24c=11

Đáp án D

Dựa vào đồ thị của hàm số y = f'(x) ta có BBT của hàm số  = f(x)

Quan sát BBT ta thấy:

f2<f3<f5 và f0>f2

Mặt khác:

f0+f3=f2+f5⇔f3−f2=f5−f0>0⇒f5>f0

Vậy trên đoạn 0;5 hàm số y=f(x) có f2<f0<f5

Do đó:

+ GTNN của hàm số trên đoạn 0;5 là f(2)

+ GTLN của hàm số trên đoạn 0;5 là f(5)

Đáp án C

Ta có: g'x=f'x−1. Do đó đồ thị hàm số g'(x) có được bằng cách tịnh tiến đồ thị của hàm số f'(x) đi xuống 1 đơn vị

Quan sát đồ thị hàm số g'(x) ta thấy g'(x) đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua điểm x = - 1

Do đó g(x) đạt cực đại tại x = - 1

Đáp án B

Ở tháng thu nhập của công ty cao nhất, gọi số căn hộ bị bỏ trống là x thì số tiền thuê mỗi phòng là: 2.000.000+50.000x

Khi đó số tiền thu được là:

fx=2.000.000+50.000x−50.000x2+500.000x+100.000.000

Ta cần tìm x∈0;50 để f(x) lớn nhất

Ta có: f'x=−100.000x+500.000;f'x=0⇔x=5

Bảng biến thiên:

Vậy mỗi tháng lợi nhuận cao nhất thu được của công ty là 101.250.000

Đáp án A

Tập xác định: D = R

Ta có: y'=4x3−4mx=4xx2−m

Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị ⇔m≥0

Khi đó: y'=4mx3−4mx=0⇔x=0x=±m

Suy ra: Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là

A0;m−1;B−m;−m2+m−1;Cm;−m2+m−1

Ta có: SΔABC=12yB−yA.xC−xB=m2m

AB=AC=m4+m;BC=2m

Gọi R = 1 là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Diện tích tam giác ABC là:

SΔABC=AB.AC.BC4R=2mm4+m4

Suy ra m2m=2mm4+m4⇔2m=m3+1

⇔m−1m2+m−1=0

⇔m=1m2+m−1=0⇔m=1m=−1+52m=−1−52(l)

Vậy m = 1 hoặc m=−1+52

Đáp án A

y=sinx+cosx+tanx+cotx+1sinx+1cosxy=sinx+cosx+1+sinx+cosxsinxcosx

Đặt t=sinx+cosx−2≤t≤2 thì sinxcosx=t2−12

Khi đó:

y=t+2t+1t2−1=t+2t−1=t−1+2t−1+1

Nếu t−1>0⇒t−1+2t−1+1≥22+1⇒y≥22+1

Nếu t−1<0⇔t<1 thì ta viết lại y=1−t+21−t−1

Ta có: 1−t+21−t−1≥22⇒1−t+21−t−1≥22−1 hay y≥22−1

Vậy y≥22−1

Dấu bằng xảy ra ⇔1−t2=2⇔t=1−2t<1

⇒sinx+cosx=1−2⇔2sinx+π4=1−2⇔sinx+π4=1−22

Đáp án A

Đồ thị hàm số y = f(x) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt nên

fx=ax−x1x−x2x−x3x−x4f'x=ax−x2x−x3x−x4+ax−x1x−x3x−x4+ax−x1x−x2x−x4+ax−x1x−x2x−x3

Rõ ràng

fx=0⇒x=x1x=x2x=x3x=x4⇒f'x≠0⇒gx=f'x2−f''x.fx≠0

nên ta chỉ xét fx≠0

⇒f'xfx=1x−x1+1x−x2+1x−x3+1x−x4,∀x∈x1;x2;x3;x4

Đặt hx=f'xfx=1x−x1+1x−x2+1x−x3+1x−x4,∀x∈x1;x2;x3;x4

Ta có: h'x=f''x.fx−f'x2f2x

=−1x−x12+−1x−x22+−1x−x32+−1x−x42<0,∀x∈x1;x2;x3;x4⇒f''x.fx−f'x2<0,∀x∈x1;x2;x3;x4⇒gx=−f''x.fx+f'x2<0,∀x∈x1;x2;x3;x4

Vậy đồ thị hàm số y=gx=f'x2−f''x.fx không cắt trục Ox

Đáp án A

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y=ax4+bx2+c với đường thẳng y = 0.

Ta có:

y'=4ax3+2bx=0⇔2x2ax2+b=0⇔x=0x2=−b2a

Ta có: ab<0⇒a,b trái dấu ⇒−b2a>0⇒ phương trình y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt hay đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị.

+ với x=0⇒y=c⇒A0;c

+ với x2=−b2a⇒x=±−b2a

⇒y=−ab2−4ac4a2⇒B−−b2a;−ab2−4ac4a2,C−b2a;−ab2−4ac4a2

Ta có: acb2−4ac>0⇔−ab2−4ac4a2.c<0⇒yB.yA<0

⇒ các điểm cực đại và cực tiểu nằm khác phía so với trục hoành.

⇒ đồ thị hàm số y=ax4+bx2+c cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt.

Đáp án D

Ta có: f(x)=x3+ax2+bx−2

+ f0=−2<0;f1=a+b−1>0⇒f0.f1<0

⇒ phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm x1∈0;1

+ f2=23+2a+b<0⇒f2.f1<0

⇒ phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm x2∈1;2

Do đó phương trình f(x) = 0 có ít nhất 2 nghiệm và đồ thị hàm số y = f(x) chỉ có thể có dạng:

Khi đó, đồ thị hàm số y=fx (màu tím) và y=fx (màu cam) lần lượt có đồ thị như sau:

Như vậy, hàm số y=fx có tất cả 11 cực trị

Đáp án B

y=f1−x+x22−x⇒y'=−f'1−x+x−1y'=0⇔f'1−x>−1−x

Dựa vào đồ thị hàm số, ta có: Đồ thị hàm số f'(x) cắt đường thẳng y = -x tại 3 điểm phân biệt là: A−3;3,B−1;1,C3;−3

f'1−x>−1−x⇔1−x<−31<1−x<3⇔x>4−2<x<0

Hàm số y=f1−x+x22−x nghịch biến trên các khoảng −2;0,4;+∞

Đáp án C

Ta có:

y'=x38x4+5xm−2−4m2−4=0⇔x=0gx=8x4+5xm−2−4m2−4=0

Do x = 0 là một nghiệm của đạo hàm nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 ⇔y' đổi dấu từ - sang + khi qua nghiệm x = 0.

+ TH1: x = 0 là nghiệm của g(x) hay m=±2

Với m = 2 thì g(x) = 0 có nghiệm x = 0 bội 4 theo kết quả ở trên thì x = 0 là nghiệm bội 7 của y’ nên x = 0 là điểm cực tiểu của hàm số nên chọn m = 2.

Với m = - 2 thì g(x) có nghiệm x = 0 và 1 nghiệm dương, lúc này x = 0 là nghiệm bội 4 của f'(x) nên x = 0 không là điểm cực trị của hàm số. Loại m = - 2.

+ TH2: x = 0 không là nghiệm của g(x) hay m≠±2. Ta có: g0=−4m2−4

y'=x3gx đổi dấu từ - sang + qua nghiệm x = 0 khi và chỉ khi limx→0+gx>0limx→0−gx>0

⇔−4m2−4>0⇔m2−4<0⇔−2<m<2

Do m nguyên nên m∈−1;0;1

Kết hợp hai trường hợp ta được m∈−1;0;1;2

Đáp án A

Ta có x = - 1 là TCĐ của đồ thị hàm số, y = 1 là TCN của đồ thị hàm số.

⇒I−1;1 là giao điểm của hai đường tiệm cận của dồ thị hàm số

Dựa vào đồ thị hàm số ta có ΔIAB là tam giác đều.

⇒IH vừa là đường cao đồng thời là đường phân giác của AIB^⇒IH cũng là đường phân giác của góc phần tư thứ hai.

⇒IH:y=−x

Ta có: AB⊥IH⇒AB:y=x+m⇔x−y+m=0

⇒dI;AB=−1−1+m2=m−22

Xét phương trình hoành độ giao điểm x−2x+1=x+m⇔x2+mx+m+2=0

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt ⇔m2−4m+2>0⇔m2−4m>8

Khi đó hoành độ các giao điểm A, B là nghiệm của phương trình trên

Gọi Ax1;x1+m;Bx2;x2+m

Theo hệ thức Vi-et ta có: x1+x2=−mx1.x2=m+2

⇒AB2=x1−x22+x1+m−x2−m2=2x1−x22=2x1+x22−8x1x2=2m2−8m+2

Do tam giác IAB đều nên dI;AB=AB32⇔d2I;AB=3AB24

⇔m−222=32m2−8m+24⇔m2−4m=14 (thỏa mãn đk m2−4m>8)

⇒AB=2x1−x22=2m2−8m+2=2m2−4m−8=2.14−8=23

Đáp án D

Gọi Ax0;y0∈C

Khi đó tiếp tuyến của (C) tại A cắt (C) tại hai điểm phân biệt Mx1;y1,Nx2;y2M,N≠A có hệ số góc là k=y1−y2x1−x2=4

Mặt khác:

k=f'(x0)⇒4=23x3−143x⇒x03−7x0−6=0⇔x0=−2x0=−1x0=3

Kiểm tra lại từng trường hợp x0=−2;−1;3 ta thấy trường hợp x0=3 thì tiếp tuyến chỉ có duy nhất 1 điểm chung với đồ thị nên loại

Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn.

Đáp án B

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng y = 10 cắt đồ thị hàm số y = f'(x) tại hai điểm phân biệt 3;10;m;10 với mọi m∈8;10

Ta có:

f'x+6≥10⇔3≤x+6≤m<10⇒−3≤x<4g'2x+52≤5,∀x∈R⇒h'(x)=f'x+6−2g'(2x+52)≥10−2.5=0,∀x∈−3;4

Do đó hàm số h(x) đồng biến trên −3;4

Dựa vào các đáp án ta thấy đáp án B thỏa mãn

Đáp án A

Ta có đồ thị hàm số fx=x3−6x2+9x như sau:

Dựa vào đồ thị hàm số ta có thể suy ra số nghiệm của phương trình f(x) = m như sau:

m<0m>4⇒ phương trình có 1 nghiệm duy nhất

m=0m=4⇒ phương trình có 2 nghiệm phân biệt

0<m<4⇒ phương trình có 3 nghiệm phân biệt

Xét phương trình

f2x=0⇔fx3−6fx2+9fx=0⇔fx=0fx=3

Ta thấy phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt, phương trình f(x) = 3 có 3 nghiệm phân biệt

Vậy phương trình f2x=0 có 5 nghiệm phân biệt

Xét phương trình 

f3x=0⇔ff2x=0⇔f2x3−6f2x2+9f2x=0⇔f2x=0f2x=3

Phương trình f2x=0 có 2 + 3 nghiệm phân biệt.

Phương trình

f2x=3⇔fx3−6fx2+9fx=3⇔fx≈3,88∈0;4fx≈1,65∈0;4fx≈0,46∈0;4

⇒ phương trình f2x=3 có 9 nghiệm phân biệt

Vậy phương trình f3x=0 có 2+3+32 nghiệm phân biệt (cmt)

Phương trình

f3x=3⇔f2x3−6f2x2+9f2x=3⇔f2x≈3,88∈0;4f2x≈1,65∈0;4f2x≈0,46∈0;4

Ta thấy mỗi phương trình f2x=m ở trên có 9 nghiệm phân biệt nên 3 phương trình sẽ có 3.9=33 nghiệm phân biệt.

Vậy phương trình f4x=0 có 2+3+32+33 nghiệm.

Cứ như vậy ta tính được phương trình f8x=0 có 2+3+32+33+...+37=2+31−371−3=3281 nghiệm.