200 câu trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số nâng cao (P2)

Đồ thị (C)  cắt trục hoành tại điểm phân biệt tạo thành cấp số cộng khi và chỉ khi phương trình x³-3x²-1= m   có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp cố cộng.

Suy ra đường thẳng y=m đi qua điểm uốn của đồ thị y=x³-3x²-1 (do đồ thị (C)  nhận điểm uốn làm tâm đối xứng).

Mà điểm uốn của y = x³-3x²-1 là I(1 ; -3) .

Suy ra m = - 3.

Chọn C.

+) Điều kiện tanx ≠ m

Điều kiện cần để hàm số đồng biến trên (0; π/4) là m ∉ (0;1)

+) đạo hàm:

$y\text{'}=\frac{({\tan }^{2}x+1)(2-m)}{{(\tan x-m)}^2}=\frac{2-m}{{\cos }^{2}x.{(\tan x-m)}^2}$

+) Ta thấy:

$\frac{1}{{\cos }^{2}x.{(\tan x-m)}^2}>0;\forall m\notin (0;1)$  

+) Để hàm số đồng biến trên (0; π/4)

$\iff \left\{\begin{array}{l}{y}^{\text{'}}>0\\ m\notin (0;1)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}-m+2>0\\ m\le 0;m\ge 1\end{array}\right.\iff m\le 0 hoặc 1\le m<2$

Chọn D.

Điều kiện: x≥ 1/5

Xét hàm số: $y=\sqrt{5x-1}+\sqrt{x+3}$  liên tục trên nửa khoảng $(\frac{1}{5};+\infty )$.

Ta có: 

Do  đó hàm số f( x) là hàm số đồng biến trên $(\frac{1}{5};+\infty )$.

Mặt khác : f(1) =4

Khi đó bất phương trình đã cho trở thành f(x) ≥ f(1) hay x≥1.

Ta thấy từ  (0 ; 2008] có các giá trị của x thỏa mãn là : 1 ;2 ;3 ;4....2008.

Chọn C.

Phương trình hoành độ giao điểm của (C)  và đường thẳng d:

$\frac{2x+1}{x-1}=x+m(x\ne 1)\iff x^2+(m-3)x-m-1=0 \left(1\right)$

Khi đó  cắt (C)  tại hai điểm phân biệt  A và B khi và chi khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1 

$\iff \left\{\begin{array}{l}{(m-3)}^2+4(m+1)>0\\ 1^2+(m-3)-m-1\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{m}^2-2m+13>0\\ -1\ne 0\end{array}\right.$ - luôn đúng

Gọi A( x₁ ; x₁+m) ; B( x₂ ; x₂+m)  trong đó x₁ ; x₂ là nghiệm của (1) , theo Viet ta có 

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=3-m\\ x_1{x}_2=-m-1\end{array}\right.$

Gọi $\mathit{I}\mathbf{ }\left(\frac{x_1+x_2}{2};\frac{x_1+x_2+2m}{2}\right)$ là trung điểm của AB, suy ra $\mathit{I} \left(\frac{3-m}{2};\frac{3+m}{2}\right)$, nên

$\overrightarrow{IC}\left(-2-\frac{3-m}{2}; 5-\frac{3+m}{2}\right)$ 

$\Rightarrow CI=\frac{1}{2}\sqrt{{(m-7)}^2+{(7-m)}^2}.$

Mặt khác $\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1; x_2-x_1)$

$\Rightarrow AB=\sqrt{2{(x_2-x_1)}^2}=\sqrt{2{(m^2-2m+13)}^2}$

Vậy tam giác ABC  đều khi và chỉ khi

Điều kiện: -2 ≤ x≤ 4.

Xét $\sqrt{2x^3+3x^2+6x+16}-\sqrt{4-x}$  trên đoạn [ -2; 4].

Có 

$f\text{'}\left(x\right)=\frac{3(x^2+x+1)}{\sqrt{2x^3+3x^2+6x+16}}+\frac{1}{2\sqrt{4-x}}>0 \forall x\in (-2;4).$

Do đó hàm số đồng biến trên [-2; 4] 

Lại có: f(1) = $2\sqrt{3}$ nên bất phương trình đã cho trở thành f(x) ≥  f(1)

Kết hợp với điều kiện hàm số đồng biến suy ra x ≥ 1.

Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bpt là [1; 4].

Do đó: a² + b²= 17.

Chọn D.

Điều kiện: 1 ≤  x ≤  3

Với điều kiện trên bpt 

$\sqrt{{(x-1)}^2+2}+\sqrt{x-1}>\sqrt{{(3-x)}^2+2}+\sqrt{3-x}$

Xét $f\left(t\right)=\sqrt{t^2+2}+\sqrt{t } với t\ge 0$

có $f^{\text{'}}\left(t\right)=\frac{2t}{2\sqrt{t^2+2}}+\frac{1}{2\sqrt{t}}>0\forall t>0$

Do đó hàm số đồng biến trên [0; +∞).

Khi đó (1)  tương đương f(x - 1) > f(3 - x)  hay x - 1> 3 - x

Suy ra x > 2

So với điều kiện, bpt có tập nghiệm là (2; 3]  và 4a - b = 5

Chọn C.

Phương trình hoành độ giao điểm

x³ + 2mx² + 3(m - 1)x + 2  = -x + 2 hay    x(x² + 2mx + 3(m - 1))=0  

suy ra x = 0 hoặc x² + 2mx + 3(m - 1) = 0    (1)

Đường thẳng d cắt (C)  tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1)  có hai nghiệm phân biệt khác 0

$\iff \left\{\begin{array}{l}{m}^2-3m+3>0\\ m-1\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\forall m\\ m\ne 1\end{array}\right.\iff m\ne 1$

Khi đó ta có: C( x₁ ; -x₁ + 2) ; B(x₂ ; -x₂ + 2)  trong đó x₁; x₂ là nghiệm của (1)

nên theo Viet thì $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-2m\\ x_1{x}_2=3m-3\end{array}\right.$

Vậy 

$$\begin{gathered} \overrightarrow{CB}=(x_2-x_1;-x_2+x_1) \\ \Rightarrow CB=\sqrt{2{(x_2-x_1)}^2}=\sqrt{8(m^2-3m+3)} \end{gathered}$$

$d(M;(d\left)\right)=\frac{\left|-3-1+2\right|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$

Diện tích tam giác MBC bằng khi và chỉ khi

Chọn B.

Xét hàm số  xác định trên R.

Bảng biến thiên

Phương trình (1) có nghiệm thực khi đường thẳng y= m cắt đồ thị hàm số 

Khi và chỉ khi -1/4 ≤ m≤ 3/4

Chọn B.

Đặt $t=f\left(x\right)=\sqrt{x^2-4x+5}.$

ta có $f\text{'}\left(x\right)=\frac{x-2}{\sqrt{x^2-4x+5}}$ và $f\text{'}=0\iff x=2$

Xét x> 0 ta có bảng biến thiên

Khi đó phương trình đã cho trở thành  m= t²+ t- 5hay  t²+ t- 5-m= 0       (*) 

Nếu phương trình (* ) có nghiệm t₁; t₂  thì t₁+ t₂= -1.

Do đó (*) có nhiều nhất 1 nghiệ m t ≥  1.

Vậy phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm dương khi và chỉ khi phương trình (*) có đúng 1 nghiệm t ∈ (1; √5).

+  Đặt  g(t) = t²+ t- 5. Ta đi tìm m để phương trình (*)  có đúng 1 nghiệm t ∈ (1; √5).

Ta có g’(t) = 2t + 1 > 0, ∀ t ∈ (1; √5).

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra  là các giá trị cần tìm.

Chọn  B.