200 câu trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số nâng cao (P10)

+ Ta có $y^{\text{'}} = f^{\text{'}}\left(x\right)$ = $\frac{ad - bc}{{(cx + d)}^2}$ . Từ đồ thị hàm số y= f’(x)  ta thấy:

Đồ thị hàm số y= f’(x)  có tiệm cận đứng x=1 nên –d/c= 1 hay  c= -d

Đồ thị hàm số y= f’(x )  đi qua điểm (2;2)

$\Rightarrow \frac{ad - bc}{{(2c + d)}^2} = 2 \leftrightarrow ad - bc = 2$ $(2c+d{)}^2$

Đồ thị hàm số y= f’(x)  đi qua điểm (0;2)

$\Rightarrow \frac{ad - bc}{d^2} = 2 \leftrightarrow ad - bc = 2d^2$

Đồ thị hàm số y=f(x)  đi qua điểm (0;3) nên b/d= 3 hay b= 3d

Giải hệ  gồm 4 pt này ta được a=c= -d và b= 3d  .

 Ta chọn a=c= 1 ; b= -3 ; d= -1  

$\Rightarrow y = \frac{x - 3}{x -1 }$

Chọn  D.

Ta có  y = $\frac{x}{\left|x - 1\right|} = \left\{\begin{array}{l}\frac{x}{x-1} khi x > 1\\ -\frac{x}{x-1} khi x <\hspace{0.17em}1\end{array}\right.$

Do đó đồ thị hàm số  $y = \frac{x}{\left|x -1 \right|}$ được suy từ đồ thị hàm số  $y = \frac{x}{x -1 }$bằng cách:

● Giữ nguyên phần đồ thị hàm số  phía bên phải đường thẳng x = 1.

● Phần đồ thị hàm số 

$y = \frac{x}{x-1}$  

phía bên trái đường thẳng x= 1 thì lấy đối xứng qua trục hoành.

Hợp hai phần đồ thị ở trên ta được toàn bộ đồ thị hàm số  y = $\frac{x}{\left|x -1\right|}$

Chọn B.

+Trước tiên từ đồ thị hàm số y= 2x³- 9x²+12x , ta suy ra đồ thị hàm số  y= 2${\left|x\right|}^3 - 9x^2 + 12\left|x\right|$  như hình dưới đây:

+ Phương trình $2{\left|x\right|}^3 - 9x^2 + 12\left|x\right| + m = 0$ và đường thẳng y= -m

+ Dựa vào đồ thị hàm số   y = $2{\left|x\right|}^3 - 9x^2 + 12\left|x\right|$, yêu cầu bài toán trở thành:

4< -m< 5 hay -5<m< -4.

Chọn B.

+ Ta có y = $\left|f\left(x\right)\right| = \left\{\begin{array}{l}f\left(x\right) , f\left(x\right) \ge 0\\ -f\left(x\right), f\left(x\right) <0\end{array}\right.$. Từ đó suy ra cách vẽ  đồ thị hàm số (C) như sau:

- Giữ nguyên đồ thị y= f (x)  phía trên trục hoành.

- Lấy đối xứng phần đồ thị y= f(x)  phía dưới trục hoành qua trục hoành ( bỏ phần dưới ).

Kết hợp hai phần ta được đồ thị hàm số  y = $\left|f\left(x\right)\right|$ như hình vẽ.

Phương trình $\left|f\left(x\right)\right| = m$  là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = $\left|f\left(x\right)\right|$ và đường thẳng

y= m  (cùng phương với trục hoành).

Dựa vào đồ thị, ta có ycbt

Chọn D.

+ Trước tiên từ đồ thị hàm số y = f( x) , ta suy ra đồ thị hàm số y = |f(x)| như hình dưới đây: 

Phương trình 2|f(x)| - m = 0 hay |f(x)| = m/2 là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = |f(x)| và đường thẳng y = m/2.

Dựa vào đồ thị hàm số  y = |f(x)|, ta có ycbt trở thành:

Chọn A.

+ Trước tiên tịnh tiến đồ thị sang phải 2 đơn vị để được đồ thị hàm số y = f(x - 2) .

+ Tiếp theo giữ phần đồ thị phía bên phải đường thẳng x = 2, xóa bỏ phần đồ thị phía bên trái đường thẳng x = 2.

+ Cuối cùng lấy đối xứng phần đồ thị vừa giữ lại ở trên qua đường thẳng x= 2. Ta được toàn bộ phần đồ thị của hàm số

y = f(|x-2|) (hĩnh vẽ bên dưới) 

Dựa vào đồ thị hàm số y = f(|x -2|) , ta thấy đường thẳng y= -1/2 cắt đồ thị hàm số  y = f(|x-2|)  tại 4 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình f(|x-2|) = -1/2 có 4 nghiệm phân biệt.

Chọn D.

Ta có $\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}f\left(0\right) = 1\\ f\left(1\right) = 0\\ f^{\text{'}}\left(0\right) = 0\end{array}\\ f^{\text{'}}\left(1\right) = 0 \end{array}\right.$

$\leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}a = 2\\ b = -3\\ c = 0\end{array}\\ d = 1\end{array}\right.$

, suy ra hàm số đã cho là : y= 2x³-3x²+ 1.

Ta thấy: f(x) = 0 $\leftrightarrow$ x = 0 hoặc x = -1/2

Bảng biến thiên của hàm số  y = |f(x)| như sau:

Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình |f(x)| = m có bốn nghiệm phân biệt x₁< x₂< x₃< ½< x₄  khi và chỉ khi ½< m< 1.

Chọn A.

+ Ta có hàm số g(x) = ${\left|x\right|}^3 -3x^2 +2 = m$ là hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng.

+ Khi x ≥ 0; g(x) = x³ - 3x² + 2

Do đó: đồ thị hàm số g(x) = $x^3 - 3x^2 + 2$  có dạng như hình vẽ.

+ Dựa vào đồ thị suy ra phương trình ${\left|x\right|}^3 - 3x^2 +2 = m$ có nhiều nghiệm thực nhất khi và chỉ khi -2 < m <  2.

Chọn C.

+ Cách vẽ đồ thị hàm số y = |x³ - 3x - 1|  từ đồ thị hàm số y = x³ - 3x - 1 (C) .

+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) phía trên trục hoành.

+ Lấy đối xứng phần đồ thị (C) phía dưới trục hoành qua trục hoành và bỏ phần đồ thị phía dưới trụ hoành.

+ Hợp hai phần đồ thị trên ta được đồ thị hàm số y = |x³ - 3x - 1| 

+ Để phương trình |x³ - 3x - 1| = m có 3 nghiệm đôi một khác nhau thì đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt

<=> m = 0 hoặc m = 3

Chọn D.

+ Đặt  $f\left(x\right) = -2x^3-\frac{3}{2}{x}^2+3x+\frac{1}{2}$

+ Đạo hàm f’(x) = -6x²-3x+ 3 và f’(x) = 0 khi x= -1 hoặc x= 1/2

+ Suy ra đồ thị của hàm trị tuyệt đối y = $\left|-2x^3-\frac{3}{2}{x}^2+3x+\frac{1}{2}\right|$ bằng cách lấy đối xứng qua trục Ox

Vậy để PT có đúng 4 nghiệm phân biệt

$\leftrightarrow \frac{11}{8}<\left|\frac{k}{2}-1\right|<2 \leftrightarrow \frac{121}{64}<\frac{k^2}{4}-k+1<4$

Chọn D

Đạo hàm f'(x) = $\frac{m^2-m+1}{{(x+1)}^2}$> 0, $\forall x \in [0;1]$ 

Suy ra hàm số f(x)  đồng biến trên [0; 1] nên min f(x) = f(0) = -m²+m

Theo bài ta có:

-m²+ m= -2 nên m= -1 hoặc m= 2.

Chọn D.

+ Xét hàm số f(x) =x²- 2x  trên đoạn [ -1; 2],

+  ta có đạo hàm f’(x) = 2( x-1)  và f’( x) =0 khi x= 1  

Vậy: 

TH1: Với $\underset{[-1,2]}{max} = |m-1|$,

ta có $\left\{\begin{array}{c}\left|m-1\right| \ge \left|m+3\right|\\ |m-1| \ge \left|m\right|\\ |m-1| = 5\end{array}\right.$ 

$\leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}|m-1|\ge \left|m+3\right|\\ |m-1| \ge \left|m\right|\\ m = -4 \vee m = 6\end{array}\right.$$\leftrightarrow m = -4$

TH2: Với

 $$\begin{gathered} \underset{[-1,2] }{max}y = |m+3| \\ \leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}|m+3| \ge |m-1|\\ |m+3| \ge \left|m\right|\\ |m+3| =5\end{array}\right. \end{gathered}$$

 $\leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}|m+3| \ge | |m-1|\\ |m+3| \ge \left|m\right|\\ m = 2 \vee m = -8\end{array}\\ \end{array}\right.$ $\leftrightarrow m = 2$

TH3: Với

 $$\begin{gathered} \underset{[-1,2] }{max }y = \left|m\right| \\ \leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}\left|m\right|\ge |m-1|\\ \left|m\right|\ge |m+3|\\ \left|m\right| = 5\end{array}\leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}\left|m\right| \ge |m-1|\\ \left|m\right|\ge |m+3|\\ m = 5 \vee m = -5\end{array}\end{array}\right.\end{array}\right. \end{gathered}$$

( vô nghiệm)

Chọn D.

+ Đạo hàm f'(x) = $\frac{1 - m}{{(x+1)}^2}$.

+ Suy ra hàm số f(x)  là hàm số đơn điệu trên đoạn [1; 2]  với mọi m≠ 1.

+ Khi đó ta có :

$$\begin{gathered} \underset{[1;2]}{min y} + \underset{[1;2]}{max} y = f\left(1\right) +f\left(2\right) \\ \leftrightarrow \frac{m+1}{2}+ \frac{m+2}{3} = \frac{16}{3} \\ \leftrightarrow \frac{5m}{6} = \frac{25}{6}\leftrightarrow m = 5 \end{gathered}$$

Chọn D.

+ Đạo hàm f'(x) = $\frac{2-m\sqrt{x}}{2(x+1)\sqrt{x(x+1)}}$

f'(x) = 0 $\Rightarrow \sqrt{x} = \frac{2}{m } \leftrightarrow x = \frac{m^2}{4} \in [ 0;4]$ , $\forall m>1$

+ Lập bảng biến thiên, ta kết luận được  

$\underset{[0;4]}{max} f\left(x\right) = f\left(\frac{4}{m^2}\right) = \sqrt{m^2 +4}$

+ Vậy ta cần có $\sqrt{m^2+4} < 3$ 

$\leftrightarrow m<\sqrt{5}$ $\stackrel{m>1}{\to } m \in (1;\sqrt{5})$

Chọn C.

+ Ta có đạo hàm: y = 3x²- 3 và y’ =0 khi và chỉ khi x = 1 hoặc x = -1 .       

+ Hàm số đồng biến trên khoảng (1; +∞) .

+ Trên  D= [m + 1; m + 2], với m > 0  ,

ta có :  $\underset{[m+1;m+2]}{Min} y = {(m+1)}^3 -3(m+1) +1$

Ycbt min y < 3 hay m³ + 3m² - 4 < 0

 Suy  ra ( m - 1)(m + 2) ²) < 0

Khi đó: m < 1 và m ≠ - 2  ­­­

+ Kết hợp điều kiện ­. Suy ra: 0 < m < 1.

Chọn A.

+ Đạo hàm  f'(x) = $-\frac{m+1}{{(x-1)}^2}$

TH1. Với m> -1 suy ra  f’(x) <0 mọi x≠ 1 nên hàm số f(x)  nghịch biến trên mỗi khoảng xác định.

Khi đó $\underset{[2;4]}{min} y = f\left(4\right) = \frac{m+4}{3} = 3 \leftrightarrow m = 5$ (chọn).

TH2. Với m< -1 suy ra  f”(x) > 0 mọi x≠1 nên hàm số f( x)  đồng biến trên mỗi khoảng xác định.

Khi đó  $\underset{[2;4]}{min} y = f\left(2\right) = m+2 = 3 \leftrightarrow$ m = 1 (loại).

Chọn C.

Điều kiện : x ≠ -m.

+  Ta có:  $y\text{'} = \frac{x^2+2mx +m^2-1}{{(x+m)}^2}= \frac{{(x+m)}^2-1}{{(x+m)}^2}$

 $$\begin{gathered} y\text{'}=0\leftrightarrow {(x+m)}^2 = 1 \\ \leftrightarrow x = 1-m > -m \vee x = -1-m < -m \end{gathered}$$

+ Do hệ số x² là số dương và theo yêu cầu đề bài ta có bảng biến thiên như sau:

+ Hàm số đạt cực tiểu tại x₀ = 1 - m ∈ (0; 2) nên 0 < -m + 1 < 2

Hay -1 < m < 1.

+ Kết hợp điều kiện để hàm số liên tục trên [0; 2] thì 

Ta được 0 < m < 1

Chọn A

+ Với x$\in [1;9] pt \leftrightarrow \frac{x^2+9}{x}\ge 5m$

Xét  f(x) = $\frac{x^2+9}{x}; f\text{'}\left(x\right) = \frac{x^2-9}{x^2}$

+Suy ra $\left\{\begin{array}{l}f\text{'}\left(x\right) = 0\\ x \in (1;9)\end{array}\right.\leftrightarrow x =3$

Ycbt  $\underset{[1;9]}{Max} f\left(x\right) \ge 5m \leftrightarrow m\le 2$

Chọn A.

Ta có S_EFGH nhỏ nhất  $\leftrightarrow S = S_{AEH} + S_{CGF} +S_{DGH}$ lớn nhất

Tính được 2S= 2x+ 3y+ (6-x) (6-y) = xy-4x-3y+36          (1)

Mặt khác ∆ AEH đồng dạng  ∆CGF nên  $\frac{AE}{CG} = \frac{AH}{CF} \Rightarrow xy = 6$

Từ (1) và (2) suy ra  2S = $42 - (4x -\frac{18}{x})$

Ta có 2S  lớn nhất khi và chỉ khi  $4x - \frac{18}{x}$nhỏ nhất.

Biểu thức nhỏ nhất  $4x - \frac{18}{x}$ nhỏ nhất  $\leftrightarrow 4x = \frac{18}{x} \Rightarrow x = \frac{3\sqrt{2}}{2} \Rightarrow y = 2\sqrt{2}$

Vậy  x+y = $\frac{3\sqrt{2}}{2}+2\sqrt{2}$

Chọn D.

Để ít tốn vật liệu nhất thì diện tích toàn phần bồn nước phải nhỏ nhất.

Tức là S_tp= 2πR²+ 2πRh nhỏ nhất ( với R là bán kính đường tròn đáy)

Thể tích bồn nước V $= \pi R^{2}h = 1000 \Rightarrow R = \sqrt{\frac{1000}{\pi h}}$

Khi đó :

Sử dụng bảng biến thiên, ta tìm được S_tp nhỏ nhất khi

  $h = \sqrt[3]{\frac{4000}{\pi }}$

Chọn D.