20 câu hỏi
I. Nhận biết
Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\).
Vectơ nào sau đây cùng phương với \(\overrightarrow {BC} \) ?
\(\overrightarrow {DC} .\)
\(\overrightarrow {DA} .\)
\(\overrightarrow {BB'} .\)
\(\overrightarrow {C'C} .\)
Đáp án đúng là: B
Vectơ cùng phương với \(\overrightarrow {BC} \) là \(\overrightarrow {DA} .\)
\(\overrightarrow {BS} .\)
\(\overrightarrow {BA} .\)
\(\overrightarrow {SB} .\)
\(\overrightarrow {SC} .\)
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {SB} \).
\(90^\circ.\)
\(60^\circ.\)
\(45^\circ.\)
\(30^\circ.\)
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right) = \widehat {BAD} = 90^\circ .\)
\(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A'D'} } \right) = 90^\circ.\)
\(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A'C'} } \right) = 45^\circ.\)
\(\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {B'D'} } \right) = 90^\circ.\)
\(\left( {\overrightarrow {A'A} ,\overrightarrow {CB'} } \right) = 45^\circ.\)
Đáp án đúng là: D
Ta có:
\(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương.
Do đó, \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A'D'} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right) = \widehat {DAB} = 90^\circ ;\)
\(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A'C'} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \widehat {BAC} = 45^\circ \);
\(\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {B'D'} } \right) = \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right) = 90^\circ ;\)
\(\left( {\overrightarrow {A'A} ,\overrightarrow {CB'} } \right) = \left( {\overrightarrow {C'C} ,\overrightarrow {CB'} } \right) = 180^\circ - \widehat {C'CB'} = 135^\circ .\)
\(\overrightarrow a.\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right).\)
\(\overrightarrow a.\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\sin \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right).\)
\(\overrightarrow a.\overrightarrow b = - \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right).\)
\(\overrightarrow a.\overrightarrow b = 0.\)
Đáp án đúng là: A
Ta có công thức tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) khác vectơ \(\overrightarrow 0 \) là:
\(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right).\)
\(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow a + \overrightarrow c - \frac{1}{2}\overrightarrow b.\)
\(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow b + \overrightarrow c - \frac{1}{2}\overrightarrow a.\)
\(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow b - \overrightarrow a + \frac{1}{2}\overrightarrow c.\)
\(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow a - \overrightarrow c + \frac{1}{2}\overrightarrow b.\)
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AA'} = - \overrightarrow a + \overrightarrow b + \frac{1}{2}\overrightarrow c .\)
\(\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 .\)
\(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 .\)
\(\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CD} = 3\overrightarrow {CG} .\)
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AG} .\)
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(G\) là trọng tâm tam giác \(BCD\) nên \(\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \), suy ra đáp án A đúng.
\(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow {GA} + \overrightarrow 0 = \overrightarrow {GA} \), suy ra đáp án B sai.
\(\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow {CG} \Leftrightarrow \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {CG} \Leftrightarrow \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CD} = 3\overrightarrow {CG} .\)
Suy ra đáp án C đúng.
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GD} = 3\overrightarrow {AG} + \overrightarrow 0 = 3\overrightarrow {AG.} \)
Do đó, đáp án D đúng.
Vậy chọn B.
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 20 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
\(\overrightarrow {B'C} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} .\)
\(\overrightarrow {B'C} = - \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} .\)
\(\overrightarrow {B'C} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} .\)
\(\overrightarrow {B'C} = - \overrightarrow {AA'} - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} .\)
Đáp án đúng là: D
Ta có:
\(\overrightarrow {B'C} = \overrightarrow {B'B} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} = - \overrightarrow {AA'} - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} .\)
\(\overrightarrow a.\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\)
\(\overrightarrow a.\overrightarrow b = 0.\)
\(\overrightarrow a.\overrightarrow b = - 1.\)
\(\overrightarrow a.\overrightarrow b = - \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\)
Đáp án đúng là: A
Do \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ \(\overrightarrow 0 \) nên \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 0^\circ \).
Suy ra \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\cos 0^\circ = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\)
\(\cos \alpha = \frac{3}{8}.\)
\(\alpha = 30^\circ.\)
\(\cos \alpha = \frac{1}{3}.\)
\(\alpha = 60^\circ.\)
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right| = 4\) ⇒ \({\left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right)^2} = 16\) ⇔ \({\overrightarrow a ^2} - 2\overrightarrow a .\overrightarrow b + {\overrightarrow b ^2} = 16\)
⇔ \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \) = \(\frac{9}{2}\) ⇔ \(\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{9}{2}\) ⇔ \(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{3}{8}.\)
\({a^2}\sqrt 2 .\)
\({a^2}.\)
\({a^2}\sqrt 3 .\)
\(\frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}.\)
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {EG} = \overrightarrow {EF} .\overrightarrow {EG} = EF.EG.\cos \left( {\overrightarrow {EF} ,\overrightarrow {EG} } \right) = a.a\sqrt 2 .\cos 45^\circ = {a^2}.\)
\(\overrightarrow {AG'} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow a + 3\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right).\)
\(\overrightarrow {AG'} = \frac{1}{3}\left( {3\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c } \right).\)
\(\overrightarrow {AG'} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b + 3\overrightarrow c } \right).\)
\(\overrightarrow {AG'} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c } \right).\)
Đáp án đúng là: B
Gọi
\(I\) là trung điểm \(B'C'\). Vì \(G'\) là trọng tâm tam giác \(A'B'C'\) \( \Rightarrow \overrightarrow {A'G'} = \frac{2}{3}\overrightarrow {A'I} .\)
Mặt khác \(\overrightarrow {AG'} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {A'G'} = \overrightarrow {AA'} + \frac{2}{3}\overrightarrow {A'I} = \overrightarrow {AA'} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {A'B'} + \overrightarrow {A'C'} } \right)\)
\( = \overrightarrow {AA'} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{3}\left( {3\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{3}\left( {3\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)\).
\(\sqrt 3 .\)
\(\sqrt 2 .\)
\(2\sqrt 6 .\)
\(2\sqrt 2 .\)
Đáp án đúng là: C
Ta có:
\(\overrightarrow u = \overrightarrow {SA} - \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {CS} = \overrightarrow {CA} \).
Suy ra \(\left| {\overrightarrow u } \right| = \left| {\overrightarrow {SA} - \overrightarrow {SC} } \right| = \left| {\overrightarrow {CA} } \right| = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2}} = 2\sqrt 6 .\)
\(3.\)
\(6.\)
\(4.\)
\(12.\)
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 6\)
⇔ \(AB.AC.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = 6\)
⇔ \(4.AC.\cos 60^\circ = 6\)
⇔ \(AC = 3\).
Vậy độ dài của \(\overrightarrow {AC} \) là 3.
\(2.\)
\(3.\)
\(1.\)
\(4.\)
Đáp án đúng là: A
a) \(\overrightarrow {B'B} - \overrightarrow {DB} = \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {B'D} \) ⇒ a) đúng.
b) \(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {BD'} \) ⇒ b) sai.
c) Ta có: \(\left| {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BB'} } \right| = \left| {\overrightarrow {BD'} } \right| = \sqrt {A{B^2} + B{C^2} + B{{B'}^2}} = a\sqrt 3 \) ⇒ c) sai.
d) Ta có: \(\left| {\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {C'A} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {C'A} } \right| = \left| {\overrightarrow {C'C} } \right| = a\) ⇒ d) đúng.
III. Vận dụng
Một chiếc đèn chùm treo có khối lượng \(m = 5\) kg được thiết kế với đĩa đèn được giữ bởi bốn đoạn xích \(SA,SB,SC,SD\) sao cho \(S.ABCD\) là hình chóp tứ giác đều có \(\widehat {ASC} = 60^\circ \). Biết \(\overrightarrow P = m.\overrightarrow g \) trong đó \(\overrightarrow g \) là vectơ gia tốc rơi tự do có độ lớn \(10\)m/s2, \(\overrightarrow P \) là trọng lượng của vật có đơn vị kg.
Khi đó:
a) \(\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {SD} \) là 4 vectơ đồng phẳng.
b) \(\left| {\overrightarrow {SA} } \right| = \left| {\overrightarrow {SB} } \right| = \left| {\overrightarrow {SC} } \right| = \left| {\overrightarrow {SD} } \right|.\)
c) Độ lớn của trọng lực \(\overrightarrow P \) tác động lên chiếc đèn chùm bằng \(50N\).
d) Độ lớn của lực căng cho mỗi sợi xích bằng \(\frac{{25\sqrt 3 }}{2}N\).
Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là:
\(1.\)
\(2.\)
\(3.\)
\(4.\)
Đáp án đúng là: C
a) Đúng.
b) Đúng. Do \(S.ABCD\) là chóp tứ giác đều nên \(\left| {\overrightarrow {SA} } \right| = \left| {\overrightarrow {SB} } \right| = \left| {\overrightarrow {SC} } \right| = \left| {\overrightarrow {SD} } \right|.\)
c) Đúng. Độ lớn của trọng lực \(\overrightarrow P \) tác động lên chiếc đèn chùm là: \(P = mg = 5.10 = 50N.\)
d) Sai. Ta có là hình chóp tứ giác đều ⇒ \(SA = SB = SC = SD\) và \(\widehat {ASC} = 60^\circ \) nên tam giác \(SAC\) đều.
Gọi \(O\) là trung điểm \(AC\).
Để đèn chùm đứng yên thì hợp lực của các sợi xích phải cân bằng với mọi lực hay \(4\overrightarrow {SO} = \overrightarrow P \) hay \(4SO = P\) ⇔ \(SO = 12,5\).
Xét tam giác đều \(SAC\) có \(SA = \frac{{\sqrt 3 }}{2}SO = \frac{{25\sqrt 3 }}{4}.\)
Vậy độ lớn của lực căng cho mỗi sợi xích là \(\frac{{25\sqrt 3 }}{4}N\)
\(120^\circ.\)
\(90^\circ.\)
\(60^\circ.\)
\(30^\circ.\)
Đáp án đúng là: B
Ta có:
\(\overrightarrow {IJ} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} } \right)\).
Vì tam giác \(ABC\) có \(AB = AC\) và \(\widehat {BAC} = 60^\circ \) nên tam giác \(ABC\) đều.
Suy ra \(CI \bot AB\).
Tương tự ta có tam giác \(ABD\) đều nên \(DI \bot AB\).
Xét: \(\overrightarrow {IJ} .\overrightarrow {AB} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} } \right).\overrightarrow {AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow {IC} .\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {ID} .\overrightarrow {AB} \) \( = \overrightarrow 0 \).
Suy ra \(\left( {\overrightarrow {IJ} ,\overrightarrow {AB} } \right) = 90^\circ \).
\(\frac{{\sqrt 3 }}{6}.\)
\(\frac{{\sqrt 6 }}{3}.\)
\(\frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)
\(\frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)
Đáp án đúng là: A
Xét tứ diện
\(ABCD\) cạnh \(a\) ta có: \(\overrightarrow {DM} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2};AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Ta có: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {DM} = \overrightarrow {AB} .\left( {\overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AD} } \right) = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} \)
\( = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AM} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AM} } \right) - \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AD} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right)\)
= \(a.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} - a.a.\frac{1}{2} = \frac{{{a^2}}}{4}\).
Ta có: \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DM} } \right)\) = \(\frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {DM} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {DM} } \right|}} = \frac{{\frac{{{a^2}}}{4}}}{{a.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{6}\).
\(120^\circ.\)
\(90^\circ.\)
\(60^\circ.\)
\(45^\circ.\)
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {SA} \left( {\overrightarrow {SC} - \overrightarrow {SB} } \right) = \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SC} - \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SB} = SA.SC.\cos \widehat {ASC} - SA.SB.\cos \widehat {ASB}\) = 0.
⇒ \(\left( {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = 90^\circ .\)
\(k = \frac{2}{3}.\)
\(k = \frac{1}{3}.\)
\(k = \frac{3}{4}.\)
\(k = \frac{4}{3}.\)
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\overrightarrow {EF} = \overrightarrow {EA} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DF} \)
= −\(\overrightarrow {AE} \) + \(\overrightarrow {AD} \) − \(\overrightarrow {FD} \)
= \(\overrightarrow {AD} \)− \(\frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \) − \(\frac{2}{3}\overrightarrow {CD} \). (1)
Vậy \(\overrightarrow {EF} = \overrightarrow {AD} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow {CD} \).
Ta có: \(\overrightarrow {EF} = \overrightarrow {EB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CF} \)
= \(\frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {CD} \).
Vậy \(\overrightarrow {EF} = \overrightarrow {BC} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {CD} \). (2)
\(3\overrightarrow {EF} = \left( {\overrightarrow {AD} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow {CD} } \right) + 2\left( {\frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {CD} } \right)\)
= \(\overrightarrow {AD} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow {CD} \) + \(\frac{4}{3}\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {CB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {CD} \)
= \(\overrightarrow {AD} \) + \(\left( { - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{4}{3}\overrightarrow {AB} } \right)\) + \(\left( { - \frac{2}{3}\overrightarrow {CD} + \frac{2}{3}\overrightarrow {CD} } \right)\) + \(2\overrightarrow {CB} \)
= \(\overrightarrow {AD} \) + \(2\overrightarrow {CB} \) + \(\overrightarrow {AB} \)
⇒ \(\overrightarrow {EF} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \).
Vậy \(k = \frac{2}{3}.\)
Bạn có thích hoạt động này không?
Ý kiến của bạn sẽ giúp chúng tôi đề xuất nội dung phù hợp hơn.
