Giải SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 1. Vectơ và các phép toán trong không gian có đáp án

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'.

a) Chỉ ra các vectơ có điểm đầu là B và điểm cuối là các đỉnh của hình hộp không cùng nằm trên một mặt của hình hộp với điểm B.

b) Tìm các vectơ bằng vectơ \(\overrightarrow {BC} \).

c) Tìm các vectơ đối của vectơ \(\overrightarrow {BD} \).

Cho tứ diện OABC. Tính các vectơ:

a) \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {OC} \);

b) \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC} \).

Có ba lực cùng tác động vào một vật. Hai trong ba lực này hợp với nhau một góc 120° và có độ lớn lần lượt là 10 N và 8 N. Lực thứ ba vuông góc với mặt phẳng tạo bởi hai lực đã cho và có độ lớn 6 N. Tính độ lớn của hợp lực của ba lực trên.

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có AC' và A'C cắt nhau tại O. Cho biết AO = a. Tính theo a độ dài các vectơ:

a) \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AA'} \);

b) \(\overrightarrow {C'B'}  + \overrightarrow {C'D'}  + \overrightarrow {A'A} \).

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Gọi O, O' lần lượt là tâm của các hình vuông ABCD và A'B'C'D'; I là giao điểm của AC' và A'C. Chứng minh rằng:

a) \(\overrightarrow {OA'}  + \overrightarrow {OB'}  + \overrightarrow {OC'}  + \overrightarrow {OD'}  = 4\overrightarrow {OO'} \);

b) \(\overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {DD'}  = 2\overrightarrow {DI} \).

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các cạnh bằng a và cho biết \(\widehat {BAD} = \widehat {BAA'} = \widehat {DAA'}\) = 60°. Tính các tích vô hướng sau:

a) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} \);

b) \(\overrightarrow {DA} .\overrightarrow {DC} \);

c) \(\overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {AC} \).

Một tàu kéo một xà lan trên biển di chuyển được 3 km với một lực kéo có cường độ 2 000 N và có phương hợp với phương dịch chuyển một góc 30°. Tính công thực hiện bởi lực kéo nói trên (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của Jun).

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Gọi x, y, z theo thứ tự là số đo các góc hợp bởi vectơ \(\overrightarrow {AC'} \) với các vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AA'} \).

Chứng minh cos²x + cos²y + cos²_Z = 1.

Tính độ lớn của các lực căng trên mỗi sợi dây cáp trong Hình 16. Cho biết khối lượng xe là 1 900 kg, gia tốc là 10 m/s2, khung nâng có khối lượng 100 kg và có dạng hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O, AB = 8 m, BC = 12 m, SC = 12 m và SO vuông góc với (ABCD). Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của Newton.