10 bài tập Sử dụng phép toán tổng, hiệu hai vectơ và tích của một vectơ với một số để chứng minh, phân tích các vectơ có lời giải

Đáp án đúng là: C

Có G là trọng tâm của tứ diện ABCD nên:

\[\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \] \[ \Leftrightarrow 4\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow 0 \]\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {AG} = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right)\].

Đáp án đúng là: A

Ta có \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {A'D'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \) (quy tắc hình bình hành).

Đáp án đúng là: C

Ta có :

\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NB} + \overrightarrow {DM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NC} \)

\( = \left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {DM} } \right) + 2\overrightarrow {MN} + \left( {\overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} } \right) = 2\overrightarrow {MN} \).

(vì M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC nên \(\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {DM} = \overrightarrow 0 ;\overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0 \)).

Đáp án đúng là: D

Ta thấy \(\overrightarrow b - \overrightarrow c + \overrightarrow d = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow 0 \).

Đáp án đúng là: B

Gọi \(N\) là trung điểm BC thì G chính là trung điểm của MN. Do đó ta có:

\(\overrightarrow {MG} = \frac{1}{2}\overrightarrow {MN} = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right)\).

Đáp án đúng là: D

Vì M, P lần lượt là trung điểm AB, CD \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} \\\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {AP} \end{array} \right.\).

Ta có \(\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AP} = - \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AP} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right)\)

\( = - \frac{1}{2}\overrightarrow b + \frac{1}{2}\overrightarrow c + \frac{1}{2}\overrightarrow d = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow c + \overrightarrow d - \overrightarrow b } \right)\).

Đáp án đúng là: B

Gọi I là trung điểm B'C'. Vì G' là trọng tâm tam giác A'B'C' \( \Rightarrow \overrightarrow {A'G'} = \frac{2}{3}\overrightarrow {A'I} \).

Mặt khác \(\overrightarrow {AG'} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {A'G'} = \overrightarrow {AA'} + \frac{2}{3}\overrightarrow {A'I} = \overrightarrow {AA'} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {A'B'} + \overrightarrow {A'C'} } \right)\)

\( = \overrightarrow {AA'} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{3}\left( {3\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{3}\left( {3\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)\).

Đáp án đúng là: B

Ta có \(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} \).

Mặt khác O là trung điểm AC' \( \Rightarrow \overrightarrow {AO} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC'} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} } \right)\).

Đáp án đúng là: C

Ta có \(\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {BN} = \overrightarrow {DC} \).

Suy ra N là đỉnh thứ tư của hình bình hành CDBN.