20 câu trắc nghiệm Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 1. Vectơ và các phép toán trong không gian (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án
20 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Khẳng định nào sau đây đúng?
\(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} \).
\(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} \).
\(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB'} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD'} \).
\(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB'} + \overrightarrow {AD'} + \overrightarrow {AA'} \).
Theo quy tắc hình hộp ta có: \(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} \).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào là mệnh đề sai?
\(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} = 4\overrightarrow {SO} \).
\(\overrightarrow {SA} - \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} - \overrightarrow {SD} = \overrightarrow 0 \).
\(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} = \overrightarrow 0 \).
\(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \).
Vì O là trung điểm của AC nên \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = 2\overrightarrow {SO} \).
Vì O là trung điểm của BD nên \(\overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} = 2\overrightarrow {SO} \).
Suy ra \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} = 4\overrightarrow {SO} \).
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh là a. Vectơ nào bằng vectơ \(\overrightarrow {D'C'} \).
\(\overrightarrow {DD'} \).
\(\overrightarrow {AD} \).
\(\overrightarrow {AB} \).
\(\overrightarrow {CD} \).
Có \(\overrightarrow {D'C'} = \overrightarrow {A'B'} = \overrightarrow {AB} \).
Cho tứ diện ABCD. Chọn đẳng thức đúng.
\(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {DB} \).
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {DB} \).
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} \).
\(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} \).
Ta có \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DB} \).
Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C'. Gọi M là trung điểm của BB'. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
\(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AA'} \).
\(\overrightarrow {AM} = 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AA'} \).
\(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AA'} \).
\(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AA'} \).
Vì M là trung điểm của BB' nên ta có:
\(2\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AB'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {A'B'} = 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AA'} \) \( \Rightarrow \overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AA'} \).
Trong không gian, cho tứ diện \(ABCD\). Ta có \[\overrightarrow {AB} \, + \,\overrightarrow {CD} \] bằng
\[\overrightarrow {AD} \, + \,\overrightarrow {BC} \].
\[\overrightarrow {DA} \, + \,\overrightarrow {CB} \] .
\[\overrightarrow {DA} \, + \,\overrightarrow {BC} \].
\[\overrightarrow {AD} \, + \,\overrightarrow {CB} \].
Theo quy tắc ba điểm, ta có: \[\overrightarrow {AB\,} \, = \overrightarrow {AD} \, + \,\overrightarrow {DB} \]
Do đó:\[\overrightarrow {AB} \, + \,\overrightarrow {CD} \, = \,\overrightarrow {AD} \, + \,\overrightarrow {DB} \, + \,\overrightarrow {CD} \]
\( = \overrightarrow {AD} \, + \left( {\,\overrightarrow {DB} \, + \,\overrightarrow {CD} } \right)\) \( = \,\overrightarrow {AD} \, + \left( {\,\,\overrightarrow {CD} \, + \,\overrightarrow {DB} } \right)\)\( = \,\overrightarrow {AD} \, + \,\overrightarrow {CB} \).
Trong không gian, cho hình lập phương \(ABCD\,A'B\,'C'D'\). Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {BD} \,,\,\overrightarrow {B'C} \)bằng
\(30^\circ \).
\(45^\circ \).
\(60^\circ \).
\(90^\circ \).
Ta có: \(\overrightarrow {BD} \, = \,\,\overrightarrow {B'D'} \). Do đó \(\left( {\overrightarrow {BD} \,,\,\overrightarrow {B'C} } \right)\, = \,\left( {\overrightarrow {B'D'} \,,\,\overrightarrow {B'C} } \right)\, = \widehat {\,D'B'C'}\)
Vì \(B'C = \,CD'\, = \,D'B'\)nên tam giác \(B'CD'\)là tam giác đều.
Suy ra \(\widehat {\,D'B'C'}\, = \,60^\circ \). Vậy \(\left( {\overrightarrow {BD} \,,\,\overrightarrow {B'C} } \right)\, = \,60^\circ \).
Cho tứ diện \(S.ABC\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a\), \(SB\) vuông góc với đáy và \(SB = \sqrt 3 a\). Góc giữa hai vectơ \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AS} } \right)\) là
\[60^\circ \].
\[30^\circ \].
\[45^\circ \].
\[90^\circ \].
Ta có: \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AS} } \right) = \widehat {SAB}\).
Xét \(\Delta SBA\) vuông tại \(B\) ta có: \[\tan \widehat {SAB} = \frac{{SB}}{{AB}}\]\[ = \sqrt 3 \] . Suy ra: \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AS} } \right) = 60^\circ \) .
Cho hình lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\] cạnh bằng \[a\]. Tích vô hướng của hai vectơ \[\overrightarrow {DD'} \] và \[\overrightarrow {A'C'} \] bằng
\[\sqrt 2 {a^2}\].
\[{a^2}\].
\[ - \sqrt 2 {a^2}\].
\[0\].
![Cho hình lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\] cạnh bằng \[a\]. Tích vô hướng của hai vectơ \[\overrightarrow {DD'} \] và \[\overrightarrow {A'C'} \] bằng (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/blobid7-1756112770.png)
Vì DD' ^ A'C' nên \(\overrightarrow {DD'} .\overrightarrow {A'C'} = 0\).
Cho hình lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\] có cạnh bằng \[2\]. Tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {A'C'} \).![Cho hình lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\] có cạnh bằng \[2\]. Tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {A'C'} \). (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/blobid9-1756112864.png)
2.
4.
−2.
−4.
![Cho hình lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\] có cạnh bằng \[2\]. Tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {A'C'} \). (ảnh 2)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/blobid8-1756112832.png)
Ta có: \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A'C'} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = 45^\circ \).
Khi đó: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {A'C'} = AB.A'C'.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A'C'} } \right) = 2.2\sqrt 2 .\cos 45^\circ = 4\).
PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\]là hình vuông, \(SA\)vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\).Gọi \[I,J\] lần lượt là trung điểm của \[SA,SC\]. \[G\]là trọng tâm tam giác \[SBD\]
a) \(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AD} \).
b) \(\overrightarrow {AS} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AG} \).
c) \[\overrightarrow {{\rm{IJ}}} .\overrightarrow {BD} = \overrightarrow 0 \]
d) \({\overrightarrow {AG} ^2} = {\overrightarrow {AS} ^2} + {\overrightarrow {AB} ^2} + {\overrightarrow {AD} ^2}\).
a) Ta có \[ABCD\] là hình vuông nên \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \) ( qui tắc hình bình hành) suy ra\(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AD} \).
b) Do \[G\]là trọng tâm tam giác \[SBD\] nên
\(\overrightarrow {GS} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \Rightarrow \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AS} } \right) + \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AB} } \right) + \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AD} } \right) = \overrightarrow 0 \)
\( \Rightarrow \overrightarrow {AS} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AG} .\)
c) Ta có\[ABCD\] là hình vuông nên \(AC \bot BD \Rightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} = 0 \Rightarrow 2\overrightarrow {{\rm{IJ}}} .\overrightarrow {BD} = 0 \Rightarrow \overrightarrow {{\rm{IJ}}} .\overrightarrow {BD} = 0\).
d) Do \[G\]là trọng tâm tam giác \[SBD\] nên
\(\overrightarrow {AS} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AG} \)\({\left( {3\overrightarrow {AG} } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow {AS} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right)^2} \Rightarrow 9A{G^2} = A{S^2} + A{B^2} + A{D^2} + 2\overrightarrow {AS} \overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AS} \overrightarrow {AD} + 2\overrightarrow {AD} \overrightarrow {AB} \;\left( 1 \right)\).
Vì \(SA\)vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\) nên\(\left\{ \begin{array}{l}SA \bot AB\\SA \bot AD\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {AD} = 0\\\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {AB} = 0\end{array} \right.\;\left( 2 \right)\).
\[ABCD\] là hình vuông nên \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = 0\left( 3 \right)\).
Từ \[\left( 1 \right);\left( 2 \right);\left( 3 \right)\] ta được \(9A{G^2} = A{S^2} + A{B^2} + A{D^2}.\)
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.
Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB, CD và G là trung điểm MN.
a) \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \).
b) \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = 4\overrightarrow {MG} \).
c) \(\overrightarrow {MN} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} } \right)\).
d)\(2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} \).
a) Có \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} = 2\overrightarrow {GM} ;\overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = 2\overrightarrow {GN} \).
Do đó \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = 2\left( {\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GN} } \right) = \overrightarrow 0 \).
b) \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} \)\( = 4\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} \)\( = 4\overrightarrow {MG} \).
c) d) Ta có \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CN} \);
\(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DN} \).
Suy ra \(2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CN} + \overrightarrow {DN} \)\( = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} \)\( = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} \)\( = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} \).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Trong không gian, cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi G là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {GS} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \)(tham khảo hình vẽ)
a) Hai vectơ \(\overrightarrow {AO} ;\overrightarrow {CO} \) bằng nhau.
b) \(\overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} = \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} \).
c) \(\overrightarrow {GS} = 4\overrightarrow {OG} \).
d) Nếu tam giác DABC có AB = 2a; \(BC = a\sqrt 7 \); AC = 3a thì \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 3{a^2}\).
a) Hai vectơ \(\overrightarrow {AO} ;\overrightarrow {CO} \) cùng độ dài nhưng ngược hướng nên hai vectơ này không bằng nhau.
b) Ta có \(\overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} = \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = 2\overrightarrow {SO} \).
c) \(\overrightarrow {GS} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {GS} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} - 4\overrightarrow {OG} = \overrightarrow 0 \)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {GS} - 4\overrightarrow {OG} = \overrightarrow 0 \) (vì \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \))
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {GS} = 4\overrightarrow {OG} \).
d) Xét DABC có \(\cos \widehat {BAC} = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2.AB.AC}} = \frac{{4{a^2} + 9{a^2} - 7{a^2}}}{{2.2a.3a}} = \frac{{6{a^2}}}{{12{a^2}}} = \frac{1}{2}\).
Ta có \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \widehat {BAC}\)\( = 2a.3a.\frac{1}{2} = 3{a^2}\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài tất cả các cạnh đều bằng a.
a) Tứ giác ABCD là hình vuông.
b) Tam giác SBD cân tại S.
c) \(\left( {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {BD} } \right) = 45^\circ \).
d) \(\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {BD} = - {a^2}\).
a) Do S.ABCD là hình chóp đều nên ABCD là hình vuông.
b) Do S.ABCD là hình chóp đều tất cả các cạnh bằng a Þ SB = SD = a.
c) Do tứ giác ABCD là hình vuông có độ dài cạnh bằng a nên độ dài đường chéo \(BD = a\sqrt 2 \).
Tam giác SBD có SB = SD = a và \(BD = a\sqrt 2 \) nên tam giác SBD vuông cân tại S, suy ra \(\widehat {SBD} = 45^\circ \).
Vậy \(\left( {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {BD} } \right) = 180^\circ - \widehat {SBD} = 135^\circ \).
d) Ta có \(\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {BD} = \left| {\overrightarrow {SB} } \right|.\left| {\overrightarrow {BD} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {BD} } \right) = a.a\sqrt 2 .\cos 135^\circ = - {a^2}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = 1, AD = 2, AA' = 3. Gọi M là một điểm trên đoạn CC' sao cho CM = 2MC'.
a) \(\overrightarrow {AA'} = \frac{3}{2}\overrightarrow {CM} \).
b) \(\cos \left( {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {A'C'} } \right) = \frac{2}{3}\).
c) \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AA'} \).
d) \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {B'D} = 0\).
a) Ta có \(\overrightarrow {AA'} \) cùng phương với \(\overrightarrow {CM} \) và \(AA' = \frac{3}{2}CM\), suy ra \(\overrightarrow {AA'} = \frac{3}{2}\overrightarrow {CM} \).
b) Do \(\overrightarrow {AC} \) cùng phương với \(\overrightarrow {A'C'} \), suy ra \(\left( {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {A'C'} } \right) = \left( {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \widehat {CAM}\),
suy ra \(\cos \left( {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {A'C'} } \right) = \cos \widehat {CAM} = \frac{{AC}}{{AM}} = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\).
c) Ta có \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AA'} \).
d) Ta có \(\overrightarrow {B'D} = \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB'} = \overrightarrow {AD} - \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AA'} } \right) = - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AA'} \).
Do đó \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {B'D} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AA'} } \right).\left( { - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AA'} } \right)\)
\( = - A{B^2} + A{D^2} - \frac{2}{3}A{A'^2} = - 1 + 4 - 6 = - 3\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.
PHẦN II. TRẢ LỜI NGẮN
Nếu một vật có khối lượng m(kg) thì lực hấp dẫn \(\overrightarrow P \) của Trái Đất tác dụng lên vật được xác định theo công thức \(\overrightarrow P = m\overrightarrow g \), trong đó \(\overrightarrow g \) là gia tốc rơi tự do có độ lớn g = 9,8 m/s2. Tính độ lớn của lực hấp dẫn của Trái Đất tác dụng lên một quả táo có khối lượng 105 gam (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Đổi 105 g = 0,105 kg.
Độ lớn của lực hấp dẫn của Trái Đất tác dụng lên một quả táo là:
\(\left| {\overrightarrow P } \right| = m\left| {\overrightarrow g } \right| = 0,105.9,8 = 1,029N \approx 1,03N\).
Trả lời: 1,03.
Một chiếc cân đòn tay đang cân một vật có khối lượng \(m = 3\,{\rm{kg}}\)được thiết kế với đĩa cân được giữ bởi bốn đoạn xích \(SA\,,\,SB\,,\,SC\,,\,SD\) sao cho \(S.ABCD\) là hình chóp tứ giác đều có \(\widehat {ASC} = 90^\circ \). Biết độ lớn của lực căng cho mỗi sợi xích có dạng \(\frac{{a\sqrt 2 }}{4}\). Lấy \(g = 10\,{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\), khi đó giá trị của \[a\] bằng bao nhiêu?
![khi đó giá trị của \[a\] bằng bao nhiêu? (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/blobid17-1756113385.png)
![khi đó giá trị của \[a\] bằng bao nhiêu? (ảnh 2)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/blobid18-1756113391.png)
Gọi \(O\) là tâm của hình vuông \(ABCD\).
Ta có \[\overrightarrow {{\rm{O}}A} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {O\,S} + \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {OS} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {OS} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {OS} + \overrightarrow {SD} = \overrightarrow 0 \]
\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} = - 4\overrightarrow {OS} = 4\overrightarrow {SO} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} } \right| = \left| {4\overrightarrow {SO} } \right| = 4SO\].
Trọng lượng của vật nặng là \(P = mg = 3.10 = 30\,\left( N \right)\). Suy ra \(4\left| {\overrightarrow {SO} } \right| = P = 30\,\left( N \right) \Rightarrow SO = \frac{{15}}{2}\).
Lại có tam giác \(ASC\) vuông cân tại \(S\) nên
\(SO = SA.\sin \widehat {SAC} \Rightarrow SA = \frac{{SO}}{{\sin \widehat {SAC}}} = \frac{{\frac{{15}}{2}}}{{\sin 45^\circ }} = \frac{{15\sqrt 2 }}{2} = \frac{{30\sqrt 2 }}{4} \Rightarrow a = 30\).
Vậy \(a = 30\).
Trả lời: 30.
Cho tứ diện đều \[ABCD\] có cạnh bằng \[4\]. Tính giá trị tích vô hướng \[\overrightarrow {AB} \left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CA} } \right)\].
Ta có:
\[\overrightarrow {AB} \left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CA} } \right) = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = {\overrightarrow {AB} ^2} + \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)\]
\[ = A{B^2} + AB.AC.\cos \left( {\widehat {BAC}} \right) = {4^2} + 4.4.\cos 60^\circ = {4^2} + \frac{{{4^2}}}{2} = \frac{{{{3.4}^2}}}{2} = 24\].
Trả lời: 24.
Trong không gian, cho tứ diện S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = 2, \(BC = 2\sqrt 2 \). Tính \(\overrightarrow {SC} .\overrightarrow {AB} \).
Vì BC2 = SB2 + SC2 nên DSBC vuông cân tại S.
Mặt khác SA = AC = SC = 2 Þ DSAC là tam giác đều.
Ta có \(\overrightarrow {SC} .\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {SC} .\left( {\overrightarrow {SB} - \overrightarrow {SA} } \right) = \overrightarrow {SC} .\overrightarrow {SB} - \overrightarrow {SC} .\overrightarrow {SA} \)\( = 0 - \left| {\overrightarrow {SC} } \right|.\left| {\overrightarrow {SA} } \right|.\cos \widehat {ASC} = - 2.2.\cos 60^\circ = \frac{{ - {2^2}}}{2} = - 2\).
Vậy \(\overrightarrow {SC} .\overrightarrow {AB} = - 2\).
Trả lời: −2.
Một chất điểm A nằm trên mặt phẳng nằm ngang (α), chịu tác động bởi ba lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} \). Các lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} \) có giá nằm trong (α) và \(\left( {\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} } \right) = 135^\circ \), còn lực \(\overrightarrow {{F_3}} \) có giá vuông góc với (α) và hướng lên trên. Xác định cường độ hợp lực của các lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} \)biết độ lớn của ba lực đó lần lượt là 20 N, 15 N và 10 N (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Ta có \(\overrightarrow F = \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} \).
Khi đó \(\left| {\overrightarrow F } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} } \right|\)\( \Rightarrow {\left| {\overrightarrow F } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} } \right|^2}\)
\( \Rightarrow {\left| {\overrightarrow F } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right|^2} + 2\left( {\overrightarrow {{F_1}} .\overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_1}} .\overrightarrow {{F_3}} + \overrightarrow {{F_3}} .\overrightarrow {{F_2}} } \right)\)
\[ \Rightarrow {\left| {\overrightarrow F } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right|^2} + 2\left( {\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} } \right) + \left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_3}} } \right) + \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {{F_3}} ,\overrightarrow {{F_2}} } \right)} \right)\]
\[ \Rightarrow {\left| {\overrightarrow F } \right|^2} = {20^2} + {15^2} + {10^2} + 2\left( {20.15.\cos 135^\circ + 20.10.\cos 90^\circ + 10.15.\cos 90^\circ } \right)\]
\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow F } \right| \approx 17,3\) N.
Trả lời: 17,3.
