19 bài tập Một số dạng toán thực tế liên quan đến Vectơ và các phép toán trong không gian (có lời giải)
19 câu hỏi
Gọi F1 , F2 , F3 là ba lực tác động vào vật đặt tại điểm O lần lượt có độ lớn là 25 N, 12 N, 4 N.
Vẽ \[\overrightarrow {OA} = \overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {OC} = {\overrightarrow F _3}.\]
Dựng hình bình hành OADB và hình bình hành ODEC.
Hợp lực tác động vào vật là
\[\overrightarrow F = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OD} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OE} .\]
Áp dụng định lí côsin trong tam giác OBD, ta có
OD2 = BD2 + OB2 − 2 . BD . OB . \[cos\widehat {OBD}\]
= OA2 + OB2 + 2 . OA . OB . cos 100o.
Vì OC ⊥ (OADB) nên OC ⊥ OD, suy ra ODEC là hình chữ nhật.
Do đó tam giác ODE vuông tại D.
Ta có OE2 = OC2 + OD2 = OC2 + OA2 + OB2 + 2.OA OB.cos100o.
Suy ra \[OE = \sqrt {O{C^{2\;}} + O{A^{2\;}} + O{B^2}\; + 2.OA{\rm{ }}OB.cos{{100}^o}} \]\[ = \sqrt {{4^{2\;}} + {{25}^{2\;}} + {{12}^2}\; + 2.25.12.cos{{100}^o}} \approx 26,092\]
Vậy độ lớn của hợp lực là F = OE ≈ 26 N.
Ta có: \[\overrightarrow F = m\overrightarrow a \] suy ra \[\left| {\overrightarrow F } \right| = m\left| {\overrightarrow a } \right| = 0,5.50 = 25\] (N)
Vậy muốn truyền cho quả bóng khối lượng 0,5 kg một gia tốc 50 m/s2 thì cần một lực đá có độ lớn là 25 N.
a) Sử dụng công thức \[\overrightarrow P = m\overrightarrow g \] trong đó \[\overrightarrow g \] là vectơ gia tốc rơi tự do có độ lớn 10 m/s2, tìm độ lớn của trọng lực \[\overrightarrow P \] tác động lên chiếc đèn chùm.
b) Tìm độ lớn của lực căng cho mỗi sợi xích.
a) Ta có \(\vec P = m\vec g|\vec P| = m|\vec g| = 5.10 = 50\;{\rm{N}}\).
Vậy độ lớn của trọng lực \(\vec P\) tác động lên chiếc đèn chùm là \(50\;{\rm{N}}\).
b)
Giả sử đèn chùm được minh họa như hình vẽ trên.
Vì đèn ở vị trí cân bẳng nên \(\vec P + {\vec T_1} + \overrightarrow {{T_2}} + \overrightarrow {{T_3}} + \overrightarrow {{T_4}} = \vec 0\)\( \Leftrightarrow \vec P + {\vec P^\prime } = \vec 0 \Leftrightarrow \vec P = - {\vec P^\prime } \Leftrightarrow P = {P^\prime }\)
Có \(\left| {{{\vec T}_1}} \right| = \left| {{{\vec T}_2}} \right| = \left| {{{\vec T}_3}} \right| = \left| {{{\vec T}_4}} \right| = |\vec T|\)
Từ hình vẽ ta có:
a) Tính độ lớn của trọng lực \[\overrightarrow P = m\overrightarrow g \] tác dụng lên em nhỏ, cho biết vectơ gia tốc rơi tự do có độ lớn là g = 9,8 m/s2.
b) Cho biết công A (J) sinh bởi một lực \[\overrightarrow F \] có độ dịch chuyển \[\overrightarrow d \] được tính bởi công thức \[A = \overrightarrow F .\overrightarrow d \]. . Hãy tính công sinh bởi trọng lực \[\overrightarrow P \] khi em nhỏ trượt hết chiều dài cầu trượt.
a) Ta có
b) Theo đề ta có
a) Hãy chỉ ra mối quan hệ về phương và hướng của các vectơ
b) Giải thích vì sao các vectơ đôi một bằng nhau.
a) Các vectơ \(\vec a,\vec b,\vec c,\vec d\) và \(\vec e\) có cùng phương; các vectơ \(\vec a,\vec b,\vec c,\vec d\) cùng hướng với nhau và ngược hướng với vectơ \(\vec e\).
b) Vî trọng lực tác dụng lên bàn phân tán đều qua bốn chân bàn và gây nên các phản lực từ mặt sàn lên các chân bàn nên các vectơ \(\vec b,\vec c,\vec d,\vec e\) có độ lớn bằng nhau. Mà các vectơ \(\vec a,\vec b,\vec c,\vec d\) cùng hướng với nhau. Do đó, các vectơ \(\vec b,\vec c,\vec d,\vec e\) đôi một bằng nhau.
Gọi vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của thang máy từ tầng 15 lên tầng 22 của tòa nhà là \(\vec a\). Gọi vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của thang máy từ tầng 22 lên tầng 29 của tòa nhà là \(\vec b\).
Vì hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) đều dịch chuyển từ tầng thấp lên tầng cao nên hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) có cùng hướng (1).
Độ dài vectơ \(\vec a\) là: \(|\vec a| = 7\), độ dài vectơ \(\vec b\) là: \(|\vec b| = 7\) nên \(|\vec a| = |\vec b| = 7\) (2)
Từ (1) và (2) ta có: \(\vec a = \vec b\). Vậy các vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của thang máy trong hai lần di chuyền đó có bằng nhau.
Vì trong quá trình máy bay tăng vận tốc từ \(900\;{\rm{km}}/{\rm{h}}\) lên \(920\;{\rm{km}}/{\rm{h}}\) máy bay giữ nguyên hướng bay nên vectơ \({\vec F_1}\) và \({\vec F_2}\) có cùng hướng. Do đó, \({\vec F_1} = k{\vec F_2}\) với k là một số thực dương nào đó (1).
Gọi \({v_1},{v_2}\) lần lượt là vận tốc của của chiếc máy bay khi đạt \(900\;{\rm{km}}/{\rm{h}}\) và \(920\;{\rm{km}}/{\rm{h}}\).
Suy ra \({v_1} = 900(\;{\rm{km}}/{\rm{h}}),{v_2} = 920(\;{\rm{km}}/{\rm{h}})\)
vì lực cản của không khí ngược hướng với lực đẩy của động cơ và có độ lớn tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc máy bay nên \(\frac{{\left| {{{\vec F}_1}} \right|}}{{\left| {{{\vec F}_2}} \right|}} = \frac{{v_1^2}}{{v_2^2}} = \frac{{{{900}^2}}}{{{{920}^2}}} = \frac{{2025}}{{2116}} \Rightarrow \left| {{{\vec F}_1}} \right| = \frac{{2025}}{{2116}}\left| {{{\vec F}_2}} \right|\)
Từ (1) và (2) ta có: \(\overrightarrow {{F_1}} = \frac{{2025}}{{2116}}\overrightarrow {{F_2}} \Rightarrow k = \frac{{2025}}{{2116}} \approx 0,96\)
Giả sử khối rubik (đồng chất) hình tứ diện đều được mô phỏng như hình vē.
G là trọng tâm \({\rm{DBCD}},{\rm{I}}\) là trọng tâm của tứ diện
Vì ABCD là hình tứ diện đều nên \(AG \bot (BCD)\) và \(AG = 8\;{\rm{cm}}\).
vi \(\overrightarrow {AI} = 3\overrightarrow {IG} \) nên 3 diểm \({\rm{A}},{\rm{I}},{\rm{G}}\) thẳng hàng và \(IG = \frac{1}{4}AG\).
Do đó \({\rm{IG}} \bot ({\rm{BCD}})\). Khi đó \(d(I,(BCD)) = IG = \frac{1}{4}AG = 2\;{\rm{cm}}\).
Giả sử lực kéo trên mỗi sợi dây được biếu diễn bởi các vectơ \(\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} ,\overrightarrow {OC} \) với là đầu chung của ba sợi dây. Khi ba sợi dậy cân bằng thì \(\vec O + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \vec 0\).
Vẽ hình bình hành \({\rm{OADB}}\).
Theo quy tắc hình bình hành thì \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OD} \).
Do đó \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {OD} + \overrightarrow {OC} = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {OC} = - \overrightarrow {OD} \).
Giả sử 3 lực có điếm đặt là \({\rm{A}}\) và các lực là \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {A{A^\prime }} \).
Theo quy tắc hình bình hành ta có hợp lực: \(\overrightarrow {A{C^\prime }} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {A{A^\prime }} \). Theo đề ta có \(|\overrightarrow {AB} | = |\overrightarrow {AD} | = \left| {\overrightarrow {A{A^\prime }} } \right| = 5\).
Mà \({\rm{AC}}\) là đường chéo của của hình lập phương nên \(A{C^\prime } = \sqrt {A{B^2} + A{D^2} + A{A^{\prime 2}}} = 5\sqrt 3 \) Vậy cường độ của hợp lực là \(5\sqrt 3 N\).
Đối 102 gam \( = 0,102\;{\rm{kg}}\).
Độ lớn của lực hấp dẫn của Trái Đất tác dụng lên một quả táo là: \(|\vec P| = m|\vec g| = 0,102.9,8 = 0,9996\;{\rm{N}}\)
Đổi \(5\;{\rm{mm}} = {5.10^{ - 3}}\;{\rm{m}}\)
Công \({\rm{A}}\sinh \) bởi lực tĩnh điện \(\vec F\) là \({\rm{A}} = {\rm{qEd}} = 2 \cdot {10^{ - 12}} \cdot 1,8 \cdot {10^5} \cdot 5 \cdot {10^{ - 3}} = 18 \cdot {10^{ - 10}}(\;{\rm{J}})\).
Gọi \[{A_1}{\rm{, }}{B_1},{C_1}\] lần lượt là các điểm sao cho \[\overrightarrow {O{A_1}} = \overrightarrow {{F_1}} ;\overrightarrow {O{B_1}} = \overrightarrow {{F_2}} ;\overrightarrow {O{C_1}} = \overrightarrow {{F_3}} \]. Lấy các điểm \[{D_1},{A'_1}{\rm{, }}{B'_1},{D'_1}\] sao cho \[O{A_1}{D_1}{B_1}.{C_1}{A'_1}{D'_1}B'\] là hình hộp (Hình 15).
Khi đó, áp dụng quy tắc hình hộp, ta có: \[{\overrightarrow {OA} _1} + \overrightarrow {O{B_1}} + \overrightarrow {O{C_1}} {\rm{ = }}\overrightarrow {O{D_1}} \]
Mặt khác, do các lực căng \[\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} \] đôi một vuông góc và \[\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = 15{\rm{ }}(N)\] nên hình hộp
\[O{A_1}{D_1}{B_1}.{C_1}{A'_1}{D'_1}B'\] có ba cạnh OA1, OB1, OC1, đôi một vuông góc và bằng nhau. Vì thế hình hộp đó là hình lập phương có độ dài cạnh bằng 15. Suy ra độ dài đường chéo \[O{D'_1}\] của hình lập phương đó bằng \[15\sqrt 3 \].
Do chiếc đèn ở vị trí cân bằng nên \[\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow P \], ở đó \[\overrightarrow P \] là trọng lực tác dụng lên chiếc đèn. Suy ra trọng lượng của chiếc đèn là: \[\left| {\overrightarrow P } \right| = \left| {\overrightarrow {O{{D'}_1}} } \right| = 15\sqrt 3 \] (N).
Ta có: \(A = \vec F \cdot \overrightarrow {MN} = |\vec F| \cdot |\overrightarrow {MN} | \cdot \cos (\vec F,\overrightarrow {MN} )\)
vì lực \(\vec F\) có độ lớn không đổi và vật di chuyển một quãng đường không đổi nên \(A\) lớn nhất khi \(\cos (\vec F,\overrightarrow {MN} )\) lớn nhất. Do đó, . Khi đó, lực tác động cùng hướng với chuyển động của vật. Vậy công sinh ra sẽ lớn nhất khi lực tác động cùng hướng với chuyển dộng của vật.
Khi kéo (hoặc đẩy) các vật nặng, ta nên kéo (hoặc đẩy) cùng cùng hướng với chuyển động của vật.
Gọi \({{\rm{A}}_1},\;{{\rm{B}}_1},{{\rm{C}}_1},{{\rm{D}}_1}\) lần lượt là các điểm sao cho: \(\overrightarrow {E{A_1}} = \overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {E{B_1}} = \overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {E{C_1}} = \overrightarrow {{F_3}} ,\overrightarrow {E{D_1}} = \overrightarrow {{F_4}} \)
Vì \({\rm{EA}},{\rm{EB}},{\rm{EC}},{\rm{ED}}\) có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng \(({\rm{ABCD}})\) một góc bằng \({60^^\circ }\) nên \({\rm{E}}{{\rm{A}}_1},\;{\rm{E}}{{\rm{B}}_1},{\rm{E}}{{\rm{C}}_1},{\rm{E}}{{\rm{D}}_1}\) bẳng nhau và cùng tạo với mặt phắng \(\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)\) một góc bằng \({60^^\circ }\).
Vì ABCD là hình chữ nhật nên \({A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) cūng là hình chữ nhật.
Gọi \(O\) là tâm của hình chữ nhật \({{\rm{A}}_1}\;{{\rm{B}}_1}{{\rm{C}}_1}{{\rm{D}}_1}\).
Ta suy ra \({\rm{EO}} \bot \left( {{{\rm{A}}_1}\;{{\rm{B}}_1}{{\rm{C}}_1}{{\rm{D}}_1}} \right)\).
Do đó, góc giữa đường thẳng \({\rm{E}}{{\rm{A}}_1}\) và mặt phẳng \(\left( {{{\rm{A}}_1}\;{{\rm{B}}_1}{{\rm{C}}_1}{{\rm{D}}_1}} \right)\) bằng góc \({\rm{E}}{{\rm{A}}_1}{\rm{O}}\).
Suy ra \(E{A_1}O = {60^^\circ }\).
Ta có \(\left| {{{\vec F}_1}} \right| = \left| {{{\vec F}_2}} \right| = \left| {{{\vec F}_3}} \right| = \left| {{{\vec F}_4}} \right| = 4700(\;{\rm{N}})\) nên \({\rm{E}}{{\rm{A}}_1} = {\rm{E}}{{\rm{B}}_1} = {\rm{E}}{{\rm{C}}_1} = {\rm{E}}{{\rm{D}}_1} = 4700\).
Tam giác EOA, vuông tại \({\rm{O}}\) nên
Theo quy tấc ba điếm, ta có \(\overrightarrow {E{A_1}} = \overrightarrow {EO} + {\overrightarrow {OA} _1},\overrightarrow {E{B_1}} = \overrightarrow {EO} + \overrightarrow {O{B_1}} ,\overrightarrow {E{C_1}} = \overrightarrow {EO} + \overrightarrow {O{C_1}} ,\overrightarrow {E{D_1}} = \overrightarrow {EO} + \overrightarrow {O{D_1}} \)
Vì \(O\) là trung điếm của \({{\rm{A}}_1}{{\rm{C}}_1}\) và \({{\rm{B}}_1}{{\rm{D}}_1}\) nên: \(\overrightarrow {O{A_1}} + \overrightarrow {O{C_1}} = \vec 0,\overrightarrow {O{B_1}} + \overrightarrow {O{D_1}} = \vec 0\)
Từ đó suy ra \(\overrightarrow {E{A_1}} + \overrightarrow {E{B_1}} + \overrightarrow {E{C_1}} + \overrightarrow {E{D_1}} = 4\overrightarrow {EO} \).
Do đó, \({\vec F_1} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} + \overrightarrow {{F_4}} = 4\overrightarrow {EO} \).
Vî chiếc khung sắt chứa xe ô tô ở vị trí cân bằng nên \(\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} + \overrightarrow {{F_4}} = \vec P\), ở đó \(\vec P\) là trọng lực tác dụng lên khung sắt chứa xe ô tô.
Suy ra trọng lượng của khung sắt chứa chiếc xe ô tô là: \(|\overrightarrow {\rm{P}} | = 4|\overrightarrow {{\rm{EO}}} | = 4 \cdot 2350\sqrt 3 = 9400\sqrt 3 (\;{\rm{N}}).\)
Vî trọng lượng của khung sắt là \(3000\;{\rm{N}}\) nên trọng lượng của chiếc xe ô tô là:
\(9400\sqrt 3 - 3000 \approx 13281(\;{\rm{N}}){\rm{. }}\)
