4 bài tập Vectơ trong không gian (có lời giải)
4 câu hỏi
Cho hình tứ diện ABCD. Hãy chỉ ra các vectơ có điểm đầu là B và điểm cuối là các đỉnh còn lại của hình tứ diện.
Ta có ba vectơ \[\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} \] có điểm đầu là B và điểm cuối là các đỉnh còn lại của hình tứ diện.
Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ (Hình vẽ).
a) Giá của ba vectơ \[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AA'} \] có cùng nằm trong một mặt phẳng không?
b) Tìm các vectơ bằng vectơ \[\overrightarrow {AB} \].
c) Tìm các vectơ đối của vectơ \[\overrightarrow {AD} \].
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD.
a) Chỉ ra các vectơ có điểm đầu là S và điểm cuối là các đỉnh của đa giác đáy.
b) Tìm các vectơ có độ dài bằng độ dài của vectơ SA.
c) Tìm các vectơ đối của vectơ CB.
a) Các vectơ có điếm đầu là \(S\) và điểm cuối là các đỉnh của đa giác đáy là \(\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {SD} \).
b) Vì \({\rm{S}}.{\rm{ABCD}}\) là hình chóp tứ giác đều nên \(SA = SB = SC = SD\).
Vậy các vectơ \(\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {SD} ,\overrightarrow {AS} ,\overrightarrow {BS} ,\overrightarrow {CS} ,\overrightarrow {DS} \) có độ dài bằng độ dài của vectơ \(\overrightarrow {SA} \).
c) Vì ABCD là hình vuông nên \(AD = BC\).
Mà \(\overrightarrow {CB} \) và \(\overrightarrow {AD} \) ngược hướng nhau nên \(\overrightarrow {AD} \) là vectơ đối của vectơ \(\overrightarrow {CB} \).
Hai vectơ \(\overrightarrow {CB} \) và \(\overrightarrow {BC} \) có độ dài bằng nhau nhưng ngược hướng nên \(\overrightarrow {BC} \) là vectơ đối của vectơ \(\overrightarrow {CB} \).
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi M, M’ lần lượt là trung điểm các cạnh AC, A’C’ (Hình 2.4).
a) Trong tất cả những vectơ có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của lăng trụ, hãy chỉ ra các vectơ:
• Khác \[\vec 0\] và cùng phương với \[\overrightarrow {AM} \];
• Khác \[\vec 0\] và cùng hướng với \[\overrightarrow {AM} \];
• Là vectơ đối của \[\overrightarrow {AC} \]
• Bằng \[\overrightarrow {MM'} \].
b) Trong các vectơ \[\overrightarrow {BC} \], \[\overrightarrow {CC'} \],\[\overrightarrow {B'B} \] vectơ nào bằng vectơ \[\overrightarrow {AA'} \]. Giải thích vì sao?
c) Gọi E là trung điểm của cạnh BC. Xác định điểm F sao cho \[\overrightarrow {EF} = \overrightarrow {AA'} \]
d) Tìm độ dài của \[\overrightarrow {BM} \] trong trường hợp ABC là tam giác cân tại B, có cạnh bên bằng 5 cm và góc ở đỉnh bằng 30° (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
a) Do AC // A’C’ và M \[ \in \] AC nên: |
• Vectơ khác \[\vec 0\] và cùng phương với \[\overrightarrow {AM} \] là vectơ có giá AC hoặc A’C’. Đó là các vectơ \[\overrightarrow {AC} \];\[\overrightarrow {CA} \];\[\overrightarrow {A'C'} \];\[\overrightarrow {C'A'} \] |
• Trong những vectơ khác \[\vec 0\] và cùng hướng với \[\overrightarrow {AM} \], có hai vectơ \[\overrightarrow {AC} \]; \[\overrightarrow {A'C'} \] cùng hướng với \[\overrightarrow {AM} \]; |
• Các vectơ đối của \[\overrightarrow {AC} \] là \[\overrightarrow {CA} \], \[\overrightarrow {C'A'} \]; |
• Các vectơ bằng \[\overrightarrow {MM'} \] là \[\overrightarrow {AA'} ;\overrightarrow {BB'} ;\overrightarrow {CC'} \] (các vectơ này cùng hướng và cùng độ dài với \[\overrightarrow {MM'} \]). |
d) Từ giả thiết, ta suy ra tam giác AMB vuông tại M. |
• Từ đó ta có: \[BM = BA.\cos \widehat {ABM} = 5.\cos {15^o} \approx 4,83{\rm{ (cm)}}\] |
• Vậy độ dài của \[\overrightarrow {BM} \] là \[\left| {\overrightarrow {BM} } \right| \approx 4,83{\rm{ (cm)}}\] |
