2 bài tập Tìm hệ thức giữa các nghiệm x1,x2 của phương trình bậc hai không phụ thuộc tham số (có lời giải)
2 câu hỏi
1. Với \(m = - 3\) ta có phương trình \({x^2} + 8x = 0 \Leftrightarrow x\left( {x + 8} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = - 8.}\end{array}} \right.\)
2. Phương trình (1) có 2 nghiệm khi và chỉ khi
\({\rm{\Delta '}} \ge 0 \Leftrightarrow {(m - 1)^2} + \left( {m + 3} \right) \ge 0 \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 1 + m + 3 \ge 0\)\( \Leftrightarrow {m^2} - m + 4 \ge 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{15}}{4} \ge 0\) đúng với mọi m.
Chứng tỏ phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi \(m\).
Theo hệ thức Viète ta có
Từ (2) ta có \(m = - {x_1}{x_2} - 3\) thế vào \[\left( 1 \right)\] ta có
\({x_1} + {x_2} = 2\left( { - {x_1}{x_2} - 3 - 1} \right) = - 2{x_1}{x_2} - 8 \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} + 2{x_1}{x_2} + 8 = 0.\)Đây là hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc \(m\).
Phương trình có nghiệm\[ \Leftrightarrow {\Delta ^\prime } = {(m - 1)^2} - \left( {{m^2} - 1} \right) = - 2m + 2 \ge 0 \Leftrightarrow m \le 1\].
Áp dụng hệ thức Viète ta có : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{S = 2(m - 1)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)}\\{P = {m^2} - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)
Từ \((1)\) suy ra \(m = \frac{{S + 2}}{2}\) thay vào \((2)\) thì được :\(P = {\left( {\frac{{S + 2}}{2}} \right)^2} - 1 \Leftrightarrow 4P = {S^2} + 4S\).
Vậy hệ thức cần tìm là : \({\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} + 4\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 4{x_1}{x_2}\).
Bạn có thích hoạt động này không?
Hãy lưu hoặc chia sẻ nội dung này đến mọi người.
Gợi ý cho bạn
Ý tưởng của bạn, bài học của bạn
Tự thiết kế đề thi, bài giảng hoặc flashcard theo cách riêng.
