6 bài tập Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm của phương trình bậc hai (có lời giải)

Giả sử \({x_1},\)\({x_2}\) là nghiệm của phương trình : \({x^2} + mx + 1 = 0.\) Tính giá trị các biểu thức sau :

              a) \(x_1^3 + x_2^3\) ;                                                        b) \(\frac{{x_1^2}}{{x_2^2}} + \frac{{x_2^2}}{{x_1^2}}\).

Giải phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x - m - 3 = 0\)\[\left( 1 \right)\] (với \(m\) là tham số).

1.       Giải phương trình với \(m = - 3\).

2.       Với giá trị nào của \(m\) thì phương trình \[\left( 1 \right)\]có các nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 = 10\)

Tìm \(m\) để phương trình \({x^2} + 5x + 3m - 1 = 0\) (\[x\] là ẩn số, \(m\) là tham số) có hai nghiệm \[{x_1}\], \[{x_2}\] thỏa mãn \(x_1^3 - x_2^3 + 3{x_1}{x_2} = 75\)

Cho phương trình \({x^2} - 2(m + 1)x + {m^2} + m - 1 = 0\) (\(m\) là tham số)

a)   Giải phương trình đã cho với \(m = 0\).

b)   Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \[{x_1}\], \[{x_2}\] thỏa mãn điều kiện \(\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = 4\)

Cho phương trình \(\frac{1}{2}{x^2} - mx + \frac{1}{2}{m^2} + 4m - 1 = 0\) (\(m\) là tham số).

a)  Giải phương trình đã cho với \(m =  - 1\) .

b)  Tìm \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn \[\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = {x_1} + {x_2}\]

Cho phương trình \[{x^2} - 2x + m + 3 = 0\]  (\(m\) là tham số).

a)  Tìm \(m\) để phương trình có nghiệm \(x =  - 1\). Tính nghiệm còn lại.

b)  Tìm \(m\) để hai nghiệm phân biệt \[{x_1}\], \[{x_2}\] thỏa mãn hệ thức  \(x_1^3 + x_2^3 = 8\)