22 bài tập Toán 9 Cánh diều Bài 3. Định lý Viète & Ứng dụng lượng giác có đáp án

a) \[{x_1} = 2\]; \[{x_2} = 8\] b) \[{x_1} = 5\]; \[{x_2} = 10\]

c) \[{x_1} = 1\]; \[{x_2} = 5\] d) \[{x_1} = 2\]; \[{x_2} = 5\]

e) \[{x_1} =  - 1\]; \[{x_2} = 4\] g) \[{x_1} =  - 4\]; \[{x_2} = 5\]

a) \[{x_1} =  - 1\]; \[{x_2} = \frac{{1 - 2m}}{{m + 1}}\]

b) \[{x_1} = 1\]; \[{x_2} = \frac{{1 - m}}{{2m - 1}}\].

a) \[{x^2} - 18x + 80 = 0\] b) \[{x^2} - 2x - 80 = 0\]

c) \[4{x^2} - 13x + 3 = 0\] d) \[12{x^2} + 17x + 6 = 0\]

e) \[{x^2} - 2\sqrt 2 x - 1 = 0\].

Vì \(a + b =  - 3\) và \(ab =  - 4\) nen \(a,b\) là nghiệm của phương trình \({x^2} + 3x - 4 = 0\). Giải phương trình tren ta được \({x_1} = 1\) và \({x_2} =  - 4\). Vậy nếu \(a = 1\) thì \(b =  - 4\), nếu \(a =  - 4\) thì \(b = 1\).

Vì \(\Delta  = {5^2} - 4.1.2 = 17 > 0\) nên phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.

Theo hệ thức Viète, ta có\({x_1} + {x_2} = 5,{x_1}{x_2} = 2\)

a) Ta có:

\(A = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {5^2} - 2 \cdot 2 = 21\)

b) Ta có:

\(B = \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \sqrt {{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}}  = \sqrt {{5^2} - 4 \cdot 2}  = \sqrt {17} \)

c) Vì \({x_1} + {x_2} > 0\) và \({x_1}{x_2} > 0\) nên \({x_1} > 0,{x_2} > 0\). Ta có

\(C = \frac{{x_1^3 + x_2^3}}{{x_1^3 \cdot x_2^3}} = \frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^3} - 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}}{{{{\left( {{x_1}{x_2}} \right)}^3}}} = \frac{{{5^3} - 3 \cdot 2 \cdot 5}}{{{2^3}}} = \frac{{95}}{8}\)

d) Ta có:

1. \(\sqrt {{x_1}}  + \sqrt {{x_2}}  = \sqrt {{{\left( {\sqrt {{x_1}}  + \sqrt {{x_2}} } \right)}^2}}  = \sqrt {{x_1} + {x_2} + 2\sqrt {{x_1}{x_2}} }  = \sqrt {5 + 2\sqrt 2 } \)\(.\)

Suy ra \(D = \frac{{{x_1}\sqrt {{x_1}}  + {x_2}\sqrt {{x_2}} }}{{\sqrt {{x_1}}  \cdot \sqrt {{x_2}} }} = \frac{{\left( {\sqrt {{x_1}}  + \sqrt {{x_2}} } \right)\left( {{x_1} + {x_2} - \sqrt {{x_1}{x_2}} } \right)}}{{\sqrt {{x_1}{x_2}} }} = \frac{{\left( {5 - \sqrt 2 } \right)\sqrt {5 + 2\sqrt 2 } }}{{\sqrt 2 }}\)

a) Vì \(x + y = 18\) và \(xy = 77\) nên \(x,y\) là hai nghiệm của phương trình \({t^2} - 18t + 77 = 0.\)

Giải phương trình trên ta được \(t = 7,t = 11\).

Vậy hai số \(x,y\) cần tìm là\(\left( {x;y} \right) = \left( {7;11} \right),\left( {x;y} \right) = \left( {11;7} \right)\).

b) Vì \(x + y =  - 3\) và \(xy = 5\) nên \(x,y\) là hai nghiệm của phương trình \({t^2} + 3t + 5 = 0\)

Phương trình trên có \({\rm{\Delta }} =  - 11 < 0\) nên vô nghiệm.

Vậy không tồn tại hai số \(x,y\) thỏa đề bài.

c) Vi \(x + \left( { - y} \right) = 2\sqrt 3 \) và \(x \cdot \left( { - y} \right) =  - 1\) nên \(x, - y\) là hai nghiệm của phương trình

\({t^2} - 2\sqrt 3 t - 1 = 0\)

Giải phương trình trên ta được các nghiệm \(t = 2 - \sqrt 3 ,t = 2 + \sqrt 3 \).

Do đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + \sqrt 3 }\\{ - y =  - 2 + \sqrt 3 }\end{array}{\rm{\;\;}}} \right.\)hoặc \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 2 + \sqrt 3 }\\{ - y = 2 + \sqrt 3 }\end{array}} \right.\)

Vậy hai số \(x,y\) cần tìm là\(\left( {x;y} \right) = \left( {2 + \sqrt 3 ;2 - \sqrt 3 } \right),\left( {x;y} \right) = \left( { - 2 + \sqrt 3 ; - 2 - \sqrt 3 } \right)\).

d) Ta có:

\({x^2} + {y^2} = 34 \Leftrightarrow {(x + y)^2} - 2xy = 34 \Leftrightarrow {(x + y)^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 2}\\{x + y =  - 2.}\end{array}} \right.\)

 Với \(x + y = 2\), ta được hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 2}\\{xy =  - 15{\rm{\;\;}}}\end{array}} \right.\)

Suy ra, \(x,y\) là hai nghiệm của phương trình \({t^2} - 2t - 15 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t =  - 3}\\{t = 5{\rm{\;}}{\rm{.\;}}}\end{array}} \right.\)

Do đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 3}\\{y = 5}\end{array}{\rm{\;}}} \right.\)hoặc \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5}\\{y =  - 3}\end{array}} \right.\)

 Với \(x + y =  - 2\), ta được hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y =  - 2}\\{xy =  - 15}\end{array}} \right.\)

Suy ra, \(x,y\) là hai nghiệm của phương trình \({t^2} + 2t - 15 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 3}\\{t =  - 5{\rm{\;\;}}}\end{array}} \right.\)

Do đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3}\\{y =  - 5}\end{array}{\rm{\;}}} \right.\)hoặc \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 5}\\{y = 3}\end{array}} \right.\)

Vậy hai số \(x,y\) cần tìm là\(\left( {x;y} \right) = \left\{ {\left( { - 3;5} \right),\left( {5; - 3} \right),\left( {3; - 5} \right);\left( { - 5;3} \right)} \right\}\).

1. Vì \(\Delta ' = {(m + 1)^2} - \left( {4m - 1} \right) = {m^2} - 2m + 2 = {(m - 1)^2} + 1 \ge 1,\forall m \in \mathbb{R}\)

nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).

Hệ thức Viète: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 2m + 2}\\{{x_1}{x_2} = 4m - 1}\end{array}} \right.\)

Theo đề: \(x_1^2 + x_2^2 = 10\)

\( \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 10\)

\( \Leftrightarrow 4{(m + 1)^2} - 2\left( {4m - 1} \right) = 10\)

\( \Leftrightarrow {m^2} = 1 \Leftrightarrow m =  \pm 1\)

Vậy \(m =  - 1,m = 1\) là giá trị cần tìm.

2. Hệ thức Viète:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 2m + 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)}\\{{x_1}{x_2}{\rm{ =  4m  -  1       }}\,\,\,\,\,\,{\rm{(2)\;\;}}}\end{array}} \right.\)

Từ \(\left( 1 \right)\)ta được: \(2m = {x_1} + {x_2} - 2\)

Thay vào \(\left( 2 \right)\) ta được:\({x_1}.{x_2} = 2({x_1} + {x_2} - 2) - 1 \Leftrightarrow 2{x_1} + 2{x_2} - {x_1}{x_2} = 5.\)

Biểu thức: \(2{x_1} + 2{x_2} - {x_1}{x_2} = 5\) luôn đúng với mọi \(m.\)

Vậy đây là biểu thức cần tìm.

\[m = - 10\]; \[{x_2} = - \frac{{10}}{3}\].

\[K = - 1,1\]; \[{x_2} = 11\].

\[{x_1} = - 1\]; \[{x_2} = - m\]; \[x_1^2 + x_2^2 = {m^2} + 1 \ge 1\].

a) \[\Delta  = {\left( {2m - 3} \right)^2} > 0 \Leftrightarrow m \ne \frac{3}{2}\]

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{1 - 2m}}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\3{x_1} - 4{x_2} = 11\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\\{x_1}{x_2} = \frac{{m - 1}}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\]

Từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] tìm \[{x_1}\], \[{x_2}\] rồi thay vào \[\left( 3 \right)\].

Chú ý: Có thể tìm \[{x_1}\], \[{x_2}\] từ phương trình đã cho rồi thay vào \[\left( 2 \right)\].

b) Phương trình có hai nghiệm đều âm khi

\[\left\{ \begin{array}{l}\Delta  \ge 0\\S < 0\\P < 0\end{array} \right.\] giải ra được \[m > 1\].

c) Khử \[m\] từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 3 \right)\].

a) \[K = 8\] b) \[K = \pm 6\].

a) \[K = - 8\] b) Không tồn tại \[K\].

\[{x_1}{x_2} = 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 7\]

a) \[0 < m < 3\]

c) \[m = 0\], \[m = 3\]

d) \[P = \left( {\frac{S}{2} + 1} \right)\left( {\frac{S}{2} - 2} \right)\]

e) \[m =  - 1\], \[m = 2\]

a) Δ'=−m−12−1.m−3=m2−3m+4=m−322+74>0 ∀m

Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt.

b) Theo hệ thức Viète, ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2(m - 1)\\{x_1}{x_2} = m - 3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m - 2\\2{x_1}{x_2} = 2m - 6\end{array} \right.\]

\( \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} - 2{x_1}{x_2} - 4 = 0\) không phụ thuộc vào \(m\).

c) \(P = x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 4{\left( {m - 1} \right)^2} - 2\left( {m - 3} \right)\)

\( = {\left( {2m - \frac{5}{2}} \right)^2} + \frac{{15}}{4} \ge \frac{{15}}{4}\), \(\forall m\)

Do đó \({P_{\min }} = \frac{{15}}{4}\) và dấu  xảy ra khi \(2m - \frac{5}{2} = 0 \Leftrightarrow m = \frac{5}{4}\)

Vậy \({P_{\min }} = \frac{{15}}{4}\) với \(m = \frac{5}{4}\).

a) \(\Delta  = {\left( {2m - 1} \right)^2} - 4.\left( {{m^2} - 1} \right) = 5 - 4m\)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow m < \frac{5}{4}\)

b) Phương trình hai nghiệm \( \Leftrightarrow m < \frac{5}{4}\)

Áp dụng hệ thức Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m - 1\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 1\end{array} \right.\)

Theo đề bài:

\(\begin{array}{l}{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = {x_1} - 3{x_2}\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = {x_1} - 3{x_2}\\ \Leftrightarrow {\left( {2m - 1} \right)^2} - 4\left( {{m^2} - 1} \right) = {x_1} - 3{x_2}\\ \Leftrightarrow {x_1} - 3{x_2} = 5 - 4m\end{array}\)

Ta có hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m - 1\\{x_1} - 3{x_2} = 5 - 4m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = \frac{{m + 1}}{2}\\{x_2} = \frac{{3(m - 1)}}{2}\end{array} \right.\]

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{m + 1}}{2} \cdot \frac{{3(m - 1)}}{2} = {m^2} - 1\\ \Leftrightarrow 3\left( {{m^2} - 1} \right) = 4\left( {{m^2} - 1} \right)\\ \Leftrightarrow {m^2} - 1 = 0\\ \Leftrightarrow m =  \pm 1\end{array}\)

Kết hợp với điều kiện \( \Rightarrow m =  \pm 1\) là các giá trị cần tìm

a) Với \(m = 1\) phương trình đã cho trở thành \({x^2} - 10x + 9 = 0\)

Ta có \(a + b + c = 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = 1\\{x_2} = 9\end{array} \right.\)

b) \(\Delta ' = {\left( { - 5m} \right)^2} - 1.9m = 25{m^2} - 9m\)

Điều kiện phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là \(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow 25{m^2} - 9m > 0\) (*)

Theo hệ thức Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 10m\\{x_1} - 9{x_2} = 0\\{x_1}{x_2} = 9m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}10{x_2} = 10m\\{x_1} = 9{x_2}\\{x_1}{x_2} = 9m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = m\\{x_1} = 9m\\9{m^2} - 9m = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = m\\{x_1} = 9m\\\left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 1\end{array} \right.\end{array} \right.,(*) \Rightarrow m = 1\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt \[{x_1}\], \[{x_2}\] thì \(\Delta  > 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {2m - 1} \right)^2} - 4.2.\left( {m - 1} \right) > 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4{m^2} - 12m + 9 > 0\\ \Leftrightarrow {\left( {2m - 3} \right)^2} > 0\\ \Rightarrow m \ne \frac{3}{2}\end{array}\)

Mặt khác, theo hệ thức Viète và giả thiết ta có:

\[\left\{ \begin{array}{l}   {x_1} + {x_2} =  - \frac{{2m - 1}}{2}\\      {x_1}.{x_2} = \frac{{m - 1}}{2}\\3{x_1} - 4{x_2} = 11\end{array} \right. \Leftrightarrow \] \[\left\{ \begin{array}{l}   {x_1} = \frac{{13 - 4m}}{7}\\    {x_2} = \frac{{7m - 7}}{{26 - 8m}}\\3\frac{{13 - 4m}}{7} - 4\frac{{7m - 7}}{{26 - 8m}} = 11\end{array} \right.\]

Giải phương trình \[3\frac{{13 - 4m}}{7} - 4\frac{{7m - 7}}{{26 - 8m}} = 11\]

Ta được \(\left[ \begin{array}{l}m =  - 2\\m = 4,125\end{array} \right.\)

Vậy \(\left[ \begin{array}{l}m =  - 2\\m = 4,125\end{array} \right.\) là các giá trị cần tìm

Điều kiện PT có 2 nghiệm không âm \[{x_1}\], \[{x_2}\] là

\(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' \ge 0\\{x_1} + {x_2} \ge 0\\{x_1}{x_2} \ge 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 1 \ge 0\\2(m + 1) \ge 0\\2m \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge 0\)

Theo hệ thức Viète: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 1} \right)\\{x_1}{x_2} = 2m\end{array} \right.\)

Ta có \(\sqrt {{x_1}}  + \sqrt {{x_2}}  \le \sqrt 2 \)\( \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} + 2\sqrt {{x_1}{x_2}}  \le 2\)

\( \Leftrightarrow 2m + 2 + 2\sqrt {2m}  \le 2 \Leftrightarrow m = 0\) (thoả mãn)

Vậy \(m = 0\) là giá trị cần tìm.

Ta có \(\Delta  = {\left( {2m} \right)^2} - 4.1.\left( {2m - 1} \right) = 4{m^2} - 8m + 4 = 4{\left( {m - 1} \right)^2}\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt \(\Delta  > 0 \Rightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} > 0 \Rightarrow m \ne 1\)

Theo hệ thức Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - 2m\\{x_1}{x_2} = 2m - 1\end{array} \right.\)

Ta có \(A = x_1^2{x_2} + {x_1}x_2^2 = {x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\)

\( = m\left( {m + 1} \right) + 2007 = \left( {2m - 1} \right)\left( { - 2m} \right) =  - 4{m^2} + 2m =  - 4\left( {{m^2} - \frac{1}{2}m} \right)\)

\( =  - 4\left( {{m^2} - 2.m.\frac{1}{4} + \frac{1}{{16}} - \frac{1}{{16}}} \right) =  - 4{\left( {m - \frac{1}{4}} \right)^2} + \frac{1}{4} \le \frac{1}{4}\), \(\forall m\)

Dấu  xảy ra \(m - \frac{1}{4} = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{4}\)

Vậy \({A_{{\mathop{\rm m}\nolimits} {\rm{ax}}}} = \frac{1}{4}\) với \(m = \frac{1}{4}\).

a) Ta có \[\Delta ' = {2^2} - 1.\left( {m + 3} \right)\]\[ = 4 - m - 3\] \[ = 1 - m\]

Để phương trình có nghiệm \[{x_1},\,{x_2}\] \[ \Leftrightarrow \Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow 1 - m \ge 0 \Leftrightarrow m \le 1\]

b) Theo câu a, ta có \[m \le 1\] thì phương trình có hai nghiệm \[{x_1},\,{x_2}\] thỏa hệ thức Viète:

\[\left\{ \begin{array}{l}S = {x_1} + {x_2} =  - \frac{b}{a} =  - \frac{4}{1} =  - 4\\P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{m + 3}}{1} = m + 3\end{array} \right.\]

Ta có \[x_1^2 + x_2^2 + x_1^2x_2^2 = 51\]\[ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} + {\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2} - 51 = 0\]

\[ \Leftrightarrow {\left( { - 4} \right)^2} - 2.\left( {m + 3} \right) + {\left( {m + 3} \right)^2} - 51 = 0\]\[ \Leftrightarrow 16 - 2m - 6 + {m^2} + 6m + 9 - 51 = 0\]

\[ \Leftrightarrow {m^2} + 4m - 32 = 0\,\]\(\left( * \right)\)

\[\Delta ' = {2^2} - 1.\left( { - 32} \right) = 4 + 32 = 36 > 0;\,\sqrt {\Delta '}  = \sqrt {36}  = 6\]

Do ∆’ > 0 nên phương trình \(\left( * \right)\)có 2 nghiệm phân biệt:

\[{m_1} = \frac{{ - 2 + 6}}{1} = 4\] (loại); \[;{m_2} = \frac{{ - 2 - 6}}{1} =  - 8\] (nhận)

Vậy \[{\rm{m}} =  - 8\] là giá trị cần tìm.