10 Bài tập Sử dụng tính chất trực tâm của tam giác để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, ba đường thẳng đồng quy (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có: MJ ⊥ IK tại J nên MJ là đường cao của ∆MIK.

Mà N nằm trên đường thẳng qua I và vuông góc với MK nên IN ⊥ MK.

Do đó IN là đường cao của ΔMIK.

Xét ∆MIK có hai đường cao IN và MJ cắt nhau tại N nên N là trực tâm của ΔMIK.

Suy ra KN là đường cao của ∆MIK hay KN ⊥ MI.

Đáp án đúng là: D

Gọi K là giao điểm của DE và BC.

∆ABC vuông cân tại A nên \[\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = 45^\circ \] hay \[\widehat {ABC} = \widehat {ECK} = 45^\circ .\]

Vì AD = AE nên ∆ADE cân tại A.

Mà AB ⊥ AC hay AE ⊥ AD suy ra ∆ADE vuông cân tại A.

Suy ra \[\widehat {AED} = \widehat {ADE} = 45^\circ \] do đó \[\widehat {CEK} = \widehat {AED} = 45^\circ \] (hai góc đối đỉnh).

Xét ∆EKC có: \[\widehat {CEK} + \widehat {EKC} + \widehat {ECK} = 180^\circ \] (tổng ba góc của một tam giác)

Hay \[45^\circ + \widehat {EKC} + 45^\circ = 180^\circ \]

Suy ra \[\widehat {EKC} = 180^\circ - \left( {45^\circ + 45^\circ } \right) = 90^\circ \]

Do đó EK ⊥ KC hay DK ⊥ BC.

Xét ∆BCD có:

AC ⊥ BD nên AC là đường cao của ∆BCD;

DK ⊥ BC nên DK là đường cao của ∆BCD;

Mà AC giao với DK tại E.

Suy ra E là trực tâm của ∆BCD nên BE ⊥ CD.

Vậy có 3 khẳng định đúng. Ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Xét ∆MPN cân tại M có MS là đường phân giác (giả thiết) nên MS đồng thời là đường cao. Suy ra MS ⊥ PN

∆MPN có MS ⊥ PN, PQ ⊥ MN và MS cắt PQ tại K nên K là trực tâm của ∆MPN.

Do đó NK ⊥ MP.

Vậy cả A, B, C đều là khẳng định đúng. Ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là:D

Vì AB ⊥ AC và DK // AB nên DK ⊥ AC.

Xét ∆ADC có: DK ⊥ AC, CH ⊥ AD và DK cắt CH tại K nên K là trực tâm ∆ADC.

Suy ra AK ⊥ CD và ba đường thẳng AK, DK, BC đồng quy.

Vậy cả A, B, C đều là khẳng định đúng. Ta chọn phương án D.

⦁ Trong ∆AHC vuông tại H, dễ dàng chứng minh được \[AI = CI = HI = \frac{1}{2}AC.\]

Do đó I cách đều ba đỉnh của tam giác nên I là giao điểm ba trung trực của ∆AHC.

⦁ Ta có AH ⊥ BC, DI ⊥ BC suy ra AH // DI nên \[\widehat {KDI} = \widehat {HKD}\] (so le trong);

AH ⊥ BC, IK ⊥ AK suy ra IK // BC nên \[\widehat {HDK} = \widehat {IKD}\] (so le trong).

Xét ∆KHD và ∆DIK có:

\[\widehat {HKD} = \widehat {KDI};\] KD là cạnh chung; \[\widehat {HDK} = \widehat {IKD}\]

Do đó ∆KHD = ∆DIK (g.c.g).

Suy ra HK = ID, HD = IK (các cặp cạnh tương ứng)

Xét ∆KDH (vuông tại H) và ∆ICD (vuông tại D) có:

HK = ID (chứng minh trên);

HD = DC (do DI là trung trực của HC).

Do đó ∆KDH = ∆IDC (hai cạnh góc vuông).

Suy ra \[\widehat {KDH} = \widehat {ICD}\] (hai góc tương ứng)

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên DK // AC.

Lại có AB ⊥ AC nên DK ⊥ AB

Trong ∆ABD có: AH ⊥ BD (giả thiết), DK ⊥ AB và AH cắt DK tại K

Do đó K là trực tâm ∆ABD, suy ra BK ⊥ AD.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

⦁ Trong ∆ABC có NK // AB mà AB ⊥ AC nên NK ⊥ AC.

Xét ∆ANC có: AH ⊥ NC, NK ⊥ AC và AH và NK giao nhau tại M.

Do đó M là trực tâm của ∆ANC suy ra CM là đường cao của ∆ANC nên CM ⊥ AN.

⦁ Ta có NK, AH và CM là ba đường cao của tam giác ANC nên đồng quy tại M.

Vậy khẳng định (I), (II) và (III) đều đúng. Ta chọn đáp án A.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là:B

Nếu LP ⊥ MN, MQ ⊥ LN thì S là trực tâm của ∆LMN. Do đó MS ⊥ PN.

Đáp án đúng là: D

Do MA = MC và \[\widehat {AMC} = 90^\circ \] nên tam giác AMC vuông cân tại M.

\[ \Rightarrow \widehat {ACM} = \widehat {CAM} = 45^\circ \] (tính chất của tam giác cân)

\[ \Rightarrow \widehat {ACM} = \widehat {DCE} = 45^\circ \] (đối đỉnh)

Tương tự ta có ∆BMD vuông cân tại M

\[ \Rightarrow \widehat {MDB} = \widehat {MDB} = 45^\circ \] (tính chất của tam giác cân)

Từ đó trong ∆DCE: \[\widehat {DCE} = \widehat {MDB} = 45^\circ \] hay \[\widehat {DCE} = \widehat {CDE} = 45^\circ \]

Suy ra \[\widehat {CED} = 90^\circ \] nên AC ⊥ BD hay AE ⊥ BD.

Trong tam giác ABD, hai đường cao AE và DM cắt nhau nên C là trực tâm của tam giác ABD.

Suy ra BC ⊥ AD.

Ta có AE, DM và BC là ba đường cao của tam giác ABD nên đồng quy tại C.

Vậy ta thấy rằng chỉ có phương án D sai.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: AB ⊥ AC và DK // AB nên DK ⊥ AC (quan hệ từ vuông góc đến song song).

 Lại có: CH ⊥ AD và DK giao CH tại K.

 Do đó K là trực tâm của ∆ADC nên AK ⊥ CD.

Vậy phương án D là sai.