Bài tập Bài 8. Tính chất ba đường cao của tam giác có đáp án

Khoảng cách từ mỗi đỉnh đến cạnh đối diện của tam giác là độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh đến cạnh đối diện của đỉnh đó.

Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1. Vẽ tam giác ABC.

Bước 2. Đặt êke sao cho một cạnh của êke trùng với cạnh AC, di chuyển êke sao cho cạnh còn lại đi qua đỉnh B.

Bước 3. Khi đó kẻ một đoạn thẳng từ B đến cạnh AC thông qua cạnh của êke vừa đặt ở bước 2 ta thu được đoạn thẳng vuông góc từ đỉnh B đến cạnh AC.

Ta có hình vẽ sau:

Để vẽ đường cao AH của tam giác nhọn ABC ta làm như sau:

Bước 1. Vẽ tam giác nhọn ABC.

Bước 2. Đặt êke sao cho 1 cạnh của êke trùng với cạnh BC, cạnh còn lại đi qua đỉnh A.

Khi đó kẻ 1 đường thẳng từ A đến BC thông qua cạnh đi đỉnh A vừa đặt, ta thu được đường cao đi qua đỉnh A. Đường thẳng này cắt cạnh BC tại một điểm, điểm này chính là điểm H.

Thực hiện tương tự đối với các đường cao BK và CE ta thu được hình vẽ sau:

+) Hình 2a:

Tam giác ABC có $\widehat{BAC}$ là góc vuông nên BA $\perp$ AC.

Do đó đường cao xuất phát từ đỉnh B của tam giác vuông ABC là BA.

+) Hình 2b:

Tam giác DEF có $\widehat{EDF}$ là góc tù nên đường cao xuất phát từ đỉnh F của tam giác DEF nằm ngoài tam giác.

Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1. Vẽ tam giác tù DEF.

Bước 2. Kéo dài cạnh DE về phía D.

Bước 3. Đặt êke sao cho một cạnh của êke trùng với đường thẳng DE, di chuyển êke sao cho đỉnh còn lại đi qua đỉnh F.

Bước 4. Khi đó kẻ một đoạn thẳng từ F đến cạnh DE thông qua cạnh của êke vừa đặt ở bước 2 ta thu được đoạn thẳng vuông góc từ đỉnh F đến cạnh DE.

Bước 5. Thực hiện đánh dấu chân đường vuông góc từ F đến DE và xóa các đoạn thừa, ta thu được đường cao FH của tam giác DEF như sau:

Bước 1. Thực hiện đặt êke sao cho 1 cạnh của êke trùng với 1 cạnh của tam giác, cạnh còn lại đi qua đỉnh đối diện với cạnh đó. Khi đó ta thu được 1 đường cao của tam giác.

Bước 2. Thực hiện tương tự với 2 đỉnh còn lại, ta thu được 3 đường cao của tam giác.

Khi đó ta thấy ba đường cao vừa vẽ cùng đi qua một điểm.

Tam giác LMN có hai đường cao LP và MQ cắt nhau tại S nên S là trực tâm của tam giác LMN.

Do đó NS vuông góc với ML.

Tam giác HBC có HD $\perp$ BC, BF $\perp$ HC nên HD và BF là hai đường cao của tam giác HBC.

Mà HD và BF cắt nhau tại A nên A là trực tâm của tam giác HBC.

Tam giác HAB có HF $\perp$ AB, BD $\perp$ AH nên HF, BD là hai đường cao của tam giác HAB.

Mà HF và BD cắt nhau tại C nên C là trực tâm của tam giác HAB.

Tam giác HAC có HE $\perp$ AC, CD $\perp$ AH nên HE, CD là hai đường cao của tam giác HAC.

Mà HE và CD cắt nhau tại B nên B là trực tâm của tam giác HAC.

Tam giác BNC có BA $\perp$ NC, NM $\perp$ BC nên BA, NM là hai đường cao của tam giác BNC.

Mà BA và NM cắt nhau tại H nên H là trực tâm của tam giác BNC.

Do đó CH vuông góc với NB.

Tam giác BMC có BM = BC nên tam giác BMC cân tại B.

Tam giác BMC cân tại B, có BN là đường phân giác nên BN cũng là đường cao của tam giác BMC.

Do đó BN $\perp$ MC.

Tam giác BMC có CA $\perp$ BM, BN $\perp$ MC nên CA, BN là hai đường cao của tam giác BMC.

Mà CA và BN cắt nhau tại H nên H là trực tâm của tam giác BMC.

Do đó MH $\perp$ BC.