20 câu Trắc nghiệm Toán 7 Chân trời sáng tạo Bài 8. Tính chất ba đường cao của tam giác (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án
20 câu hỏi
Cho hình vẽ sau:
Đường cao của \(\Delta ABC\) là
\(BK.\)
\(AM.\)
\(CH\).
\(KM.\)
Đáp án đúng là: C
Đường cao của \(\Delta ABC\) trong hình là \(CH\).
Cho \(\Delta ABC\) nhọn. Trực tâm \(H\) của tam giác \(ABC\):
Nằm bên ngoài tam giác \(ABC\).
Trùng với điểm \(A\).
Nằm bên trong tam giác \(ABC\).
Trùng với điểm \(B.\)
Đáp án đúng là: C
Khi tam giác \(ABC\) nhọn thì trực tâm \(H\) của tam giác \(ABC\) nằm bên trong tam giác.
Do đó ta chọn phương án C.
Trong \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\). Trực tâm của \(\Delta ABC\) là
Điểm \(A.\)
Điểm \(B.\)
Điểm \(C.\)
Điểm \(H\) nằm trong tam giác.
Đáp án đúng là: A
Vì \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) hay \(AB \bot AC\) tại \(A\).
Do đó, \(A\) là trực tâm của \(\Delta ABC\).
Nếu trực tâm \(H\) nằm bên ngoài tam giác \(MNP\) thì tam giác \(MNP\) là
Tam giác vuông cân tại \(N.\)
Tam giác vuông tại \(M.\)
Tam giác nhọn.
Tam giác tù.
Đáp án đúng là: D
Nếu trực tâm \(H\) nằm bên ngoài tam giác \(MNP\) thì tam giác \(MNP\) là tam giác tù.
Vậy ta chọn phương án D.
Trong \(\Delta ABC\) có trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm cách đều ba cạnh trùng nhau. Khi đó, \(\Delta ABC\) là tam giác
\(\Delta ABC\) vuông.
\(\Delta ABC\) đều.
\(\Delta ABC\) cân.
\(\Delta ABC\) tù.
Đáp án đúng là: B
Trong \(\Delta ABC\) có trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm cách đều ba cạnh trùng nhau, khi đó \(\Delta ABC\) đều.
Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) có \(AM\) là đường trung tuyến. Phát biểu nào sau đây là sai?
\(AM\) là đường cao xuất phát từ \(A\).
\(AM\) là đường trung trực của \(BC.\)
\(M\) là trung điểm của \(BC\).
\(AM\) là đường cao xuất phát từ \(M.\)
Đáp án đúng là: D
Vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) có \(AM\) là đường trung tuyến, đường cao xuất phát từ \(A\).
Cho \(\Delta MNP\) có \(MP\) là đường cao đồng thời là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh \(M\), khi đó \(\Delta MNP\) là
Tam giác vuông.
Tam giác cân.
Tam giác nhọn.
Tam giác tù.
Đáp án đúng là: B
Vì \(\Delta MNP\) có \(MP\) là đường cao đồng thời là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh \(M\) nên \(\Delta MNP\) là tam giác cân.
Cho các hình vẽ sau:
Trong các hình vẽ trên, hình nào có giao điểm của ba đường cao trong một tam giác?
Hình a.
Hình b.
Hình c.
Hình d.
Đáp án đúng là: C
Hình c là hình biểu diễn giao điểm của ba đường cao trong tam giác.
Cho \[\Delta MNP\] cân tại \[M,\] đường cao \[PQ\] cắt đường phân giác \[MS\] ở \[K.\] Khẳng định nào sau đây là sai?
\[NK \bot MP\].
\[MK \bot NP\].
\[K\] là trực tâm của tam giác \[MNP\].
Cả A, B, C đều sai.
Đáp án đúng là: D
Trong \[\Delta MNP\] cân tại \[M\] nên đường phân giác \[MS\] cũng chính là đường cao.
Do đó, hai đường cao \[PQ\] và \[MS\] cắt nhau tại \[K\] thì \[K\] là trực tâm của \[\Delta MNP\].
Suy ra \[NK \bot MP\].
Do đó, cả A, B, C đều đúng.
Vậy khẳng định D là sai.
Cho \(\Delta DMN\) cân tại \(D\), đường cao \(HD\). Khi đó \(DH\) còn đồng thời là
Đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh \(H.\)
Đường phân giác xuất phát từ đỉnh \(M\).
Đường trung trực ứng với cạnh \(DM\).
Đường trung trực ứng với cạnh \(MN\).
Đáp án đúng là: D
Vì \(\Delta DMN\) cân tại \(D\), đường cao \(HD\)nên \(DH\) còn đồng thời là đường trung trực, đường phân giác.
Vậy, \(DH\) là đường trung trực ứng với cạnh \(MN\).
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(\widehat B = 60^\circ \). Trên \(BC\) lấy điểm \(H\) sao cho \(HB = BA\), từ \(H\) kẻ \(HE\) vuông góc với \(BC\) tại \(H\) \(\left( {E \in AC} \right)\). Gọi \(K\) là giao điểm của \(BA\) và \(HE\)
\(\widehat {ACB} = 60^\circ \).
\(\Delta ABE = \Delta EBH\).
\(BE\) là phân giác của \(\widehat B\).
\(BE\) vuông góc với \(KC.\)
a) Sai.
Xét tam giác \(ABC\), ta có \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \) (tổng ba góc trong tam giác)
Suy ra, \(\widehat C = 180^\circ - \left( {\widehat A + \widehat B} \right) = 180^\circ - \left( {90^\circ + 60^\circ } \right) = 30^\circ \).
Do đó, \(\widehat {ACB} = 30^\circ \).
b) Sai.
Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta EBH\), ta có:
\(\widehat {EAB} = \widehat {EHB} = 90^\circ \) (gt)
\(AB = HB\) (gt)
\(EB\) chung (gt)
Do đó, \(\Delta ABE = \Delta HBE\) (ch – cgv)
c) Đúng.
Có \(\Delta ABE = \Delta HBE\) (ch – cgv) nên \(\widehat {ABE} = \widehat {HBE}\) (hai góc tương ứng).
Do đó, \(BE\) là phân giác của \(\widehat B\).
d) Đúng.
Xét tam giác \(KBC\) có \(CA \bot KB\) (gt), \(KH \bot BC\) (gt)
Mà \(KH\) cắt \(CA\) ở \(E\).
Do đó, \(E\) là trực tâm của tam giác \(KBC\).
Từ đây suy ra \(BE\) vuông góc với \(KC.\)
Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) \(\left( {AB < AC} \right)\), trên cạnh \(BC\) lấy điểm \(E\) sao cho \(BA = BE\). Qua \(E\) kẻ các đường vuông góc với \(BC\) cắt cạnh \(AC\) tại \(D\). \(F\) là giao điểm của \(BA\) và \(ED\).
\(\Delta ADB = \Delta EDB\).
\(ED > DC.\)
\(AD < DC.\)
\(D\) là trực tâm của \(\Delta BCE.\)
a) Đúng.
Xét \(\Delta ADB\) và \(\Delta EDB\), ta có:
\(AB = BE\) (gt)
\(DB\) chung (gt)
\(\widehat {BAD} = \widehat {DEB} = 90^\circ \) (gt)
Do đó, \(\Delta ADB = \Delta EDB\) (ch – cgv)
b) Sai.
Xét tam giác \(EDB\) vuông tại \(E\), do đó \(DC > DE\) (tính chất cạnh và góc đối diện trong tam giác)
c) Đúng.
Ta có \(\Delta ADB = \Delta EDB\) (ch – cgv) nên \(DA = DE\).
Mà \(DC > DE\) nên \(DC > DA\).
d) Đúng.
Xét tam giác \(FBC\) có \(FD \bot BC\) tại \(E\), \(FB \bot CD\) tại \(A\).
Mà hai đường cao \(FE,CA\) cắt nhau tại \(D\).
Do đó, \(D\) là trực tâm của tam giác \(FBC\).
Cho \(\Delta MNP\) vuông tại \(M\,\,\left( {MP < MN} \right)\). Trên cạnh \(MN\) lấy điểm \(Q\) sao cho \(MQ = MP\), trên tia đối của tia \(MP\) lấy điểm \(R\) sao cho \(MR = MN\). Gọi \(RN\) giao \(PQ\) tại \(S\).
Khi đó:
\(\Delta MPQ\) cân tại \(M.\)
\(\widehat {SRP} = 60^\circ \).
\(PQ \bot NR.\)
\(Q\) là trực tâm của \(\Delta PRN\).
a) Đúng.
Ta có: \(MQ = MP\) (gt) nên \(\Delta MPQ\) cân tại \(M.\)
b) Sai.
Có \(\Delta MPQ\) cân tại \(M\) nên \(\widehat {MPQ} = \frac{{180^\circ - \widehat {PMQ}}}{2} = \frac{{180 - 90^\circ }}{2} = 45^\circ \).
Vì \(MR = MN\) (gt) nên \(\Delta MNR\) cân tại \(M\).
Do đó, \[\widehat {SRP} = \frac{{180^\circ - \widehat {RMN}}}{2} = \frac{{180^\circ - 90^\circ }}{2} = 45^\circ \].
c) Đúng.
Ta có: \[\widehat {RSP} + \widehat {SRP} + \widehat {SPR} = 180^\circ \] (định lí tổng ba góc trong tam giác)
\(\widehat {RSP} = 180^\circ - \left( {\widehat {SRP} + \widehat {SPR}} \right) = 90^\circ \)
Suy ra \(PQ \bot NR\).
d) Đúng.
Xét \(\Delta PRN\) có: \(MN \bot RP\) (gt) và \(PS \bot RN\) (cmt)
Mà \(NM\) giao \(PS\) tại \(Q\).
Do đó, \(Q\) là trực tâm \(\Delta PRN\).
Cho tam giác \(ABC\) nhọn, đường cao \(BD,{\rm{ }}CE\) cắt nhau ở \(H\), \(AH\) cắt \(BC\) tại \(M.\) Biết \(AM \bot BC,\)lấy điểm \(K\) sao cho \(AB\) là trung trực của \(HK\).
Khi đó:
\(H\) là trực tâm tam giác \(ABC\).
\(\widehat {BAM} = \widehat {ECB}\).
\[\Delta AKE = \Delta AEH\].
\(\widehat {KAB} = \widehat {KCB}\).
a) Đúng.
Theo giả thiết, ta có \(CH \bot AB\,;{\rm{ }}BH \bot AC\) nên \(H\) là trực tâm tam giác \(ABC\).
b) Đúng.
Vì \(H\) là trực tâm tam giác \(ABC\) nên \(AH \bot BC\) hay \(AM \bot BC\)
Xét tam giác \(BAM\) ta có
\(\widehat {BAM} = 180^\circ - \widehat {AMB} - \widehat {MBA}\)\(180^\circ - 90^\circ - \widehat {MBA} = 90^\circ - \widehat {MBA}\,\,\,\,\,(1)\)
Xét tam giác \(BCE\) ta có
\(\widehat {ECB} = 180^\circ - \widehat {CEB} - \widehat {MBE}\)\( = 180^\circ - 90^\circ - \widehat {MBA} = 90^\circ - \widehat {MBA}\,\,\,\,\,(2)\)
Từ \((1),\,\,(2)\) suy ra \(\widehat {BAM} = \widehat {ECB}\).
b) Sai.
Xét hai tam giác vuông \(AKE\) và \(AHE\) có
\(EK = EH\), \(AE\) là cạnh chung.
Do đó \[\Delta AKE = \Delta AHE\] (hai cạnh góc vuông bằng nhau).
d) Đúng.
Vì \[\Delta AKE = \Delta AHE\] (cmt)
Suy ra \(\widehat {KAE} = \widehat {HAE}\) (hai góc tương ứng).
Mà \(\widehat {HAE} = \widehat {KCB}\) (câu a) nên \(\widehat {KAB} = \widehat {KCB}\).
Cho \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\). Trên cạnh \(AB\) lấy điểm \(D\) bất kì \(\left( {D \ne A,\,\,B} \right)\). Trên tia đối của tia \(AC\) lấy điểm \(E\) sao cho \(AD = AE\). Gọi \(F\) là giao điểm của \(CD\) và \(BE.\)
Khi đó:
\(\Delta ABE = \Delta ADC\).
\(\widehat {DFB} = 90^\circ \).
\(D\) là trực tâm của \(\Delta BEC\).
\(ED \bot BC\).
a) Sai.
Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta ADC\) có:
\(AE = AD\) (gt)
\(\widehat {BAE} = \widehat {CAD} = 90^\circ \) (gt)
\(AB = AC\) (do \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\))
Do đó, \(\Delta ABE = \Delta ACD\) (c.g.c)
b) Đúng.
Vì \(\Delta ABE = \Delta ACD\) (cmt) nên \(\widehat {ACD} = \widehat {ABE}\) (hai góc tương ứng)
Ta có: \(\widehat {FDB} = \widehat {ADC}\) (hai góc đối đỉnh)
\(\widehat {ADC} + \widehat {DCA} = 90^\circ \)
Từ đây, suy ra \(\widehat {FDB} + \widehat {FBD} = \widehat {ADC} + \widehat {DCA} = 90^\circ \).
Trong \(\Delta FDB\) có: \(\widehat {DFB} = 180^\circ - \left( {\widehat {FDB} + \widehat {FBD}} \right) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \).
c) Đúng.
Do \(\widehat {DFB} = 90^\circ \) nên \(CD \bot BE\).
Xét \(\Delta BEC\) có \(AB \bot EC,\,\,CD \bot BE\).
Mà hai đường cao \(AB,\,\,CD\) cắt nhau tại \(D\) nên \(D\) là trực tâm của \(\Delta BEC\).
d) Đúng.
Vì \(D\) là trực tâm của \(\Delta BEC\) nên \(ED\) là đường cao của \(\Delta BEC\).
Suy ra \(ED \bot BC\).
Cho tam giác nhọn \(ABC\). Kẻ \(AD \bot BC{\rm{ }}\left( {D \in BC} \right)\) và \(BE \bot AC{\rm{ }}\left( {E \in AC} \right)\). Gọi \(H\) là giao điểm của \(AD\) và \(BE\). Biết rằng \(AH = BC\), hỏi số đo \(\widehat {BAC}\) bằng bao nhiêu độ?
Đáp án: 45
Ta có \(\widehat {DAC} + \widehat {DCA} = 90^\circ \) (do \(\Delta ADC\) vuông tại \(D\)) và \(\widehat {EBC} + \widehat {ECB} = 90^\circ \) (do \(\Delta BCE\) vuông tại \(E\))
Suy ra \(\widehat {DAC} + \widehat {DCA} = \widehat {ECB} + \widehat {BEC} = 90^\circ \) nên \(\widehat {DAC} = \widehat {CBE}\).
Xét \(\Delta AHE\) và \(\Delta BCE\) có \(\widehat {AEH} = \widehat {BEC} = 90^\circ \), \(AH = BC\) (giả thiết), \(\widehat {HAE} = \widehat {CBE}\) (cmt)
Do đó, \(\Delta AHE = \Delta BCE\) (ch – gn) suy ra \(AE = BE\) (hai cạnh tương ứng)
Xét \(\Delta ABE\) có \(AE = BE\) và \(\widehat {AEB} = 90^\circ \) nên \(\Delta ABE\) vuông cân tại \(E\).
Do đó, \(\widehat {BAC} = \widehat {BAE} = 45^\circ \).
Cho \(\Delta ABC\) có \(\widehat A = 70^\circ \), \(AB < AC\), đường phân giác góc \(A\) cắt \(BC\) tại \(D,\,\,BF \bot AC\) tại \(F,\,\,E\) thuộc \(AE = AB\), \(I\) là giao điểm của \(AD\) và \(BE\). Hỏi số đo \(\widehat {DHF}\) bằng bao nhiêu độ?
Đáp án: 125
Vì \(AE = AB\) nên \(\Delta ABE\) cân tại \(A\).
Mặt khác \(AD\) là phân giác góc \(A\) của \(\Delta ABC\).
Suy ra \(AI\) là đường cao của \(\Delta ABE\).
Có \(BF \bot AE\) nên .\(BF\). là đường cao của \(\Delta ABE\).
Mà \(H\) là giao điểm của \(BF\) và \(AI\) nên \(H\) là trực tâm của \(\Delta ABE\).
Có \(AD\) là phân giác góc \(A\) của \(\Delta ABC\) nên \(\widehat {HAF} = \frac{{\widehat {BAC}}}{2} = 35^\circ \).
Vì \(\Delta AHF\) vuông tại \(F\) nên \(\widehat {AHF} = 90^\circ - \widehat {HAF} = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ \).
Vì \(\widehat {DHF}\) và \(\widehat {AHF}\) là hai góc kề bù nên \(\widehat {DHF} = 180^\circ - \widehat {AHF} = 180^\circ - 55^\circ = 125^\circ \)
Vậy \(\widehat {DHF} = 125^\circ \).
Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A\), có \(\widehat C = 70^\circ \), đường cao \(BH\) cắt đường trung tuyến \(AM\,\,\left( {M \in BC} \right)\) ở \(K.\)Hỏi số đo \(\widehat {HKM}\) bằng bao nhiêu độ?
Đáp án: 110
Tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) có \(AM\) là đường trung tuyến.
Suy ra \(AM\) cũng là đường cao của tam giác \(ABC\).
Mà \(BH\) cũng là đường cao của tam giác \(ABC\) và \(AM\) cắt \(BH\) tại \(K\).
Do đó \(K\) là trực tâm của tam giác \(ABC\).
Suy ra \(CK \bot AB\).
Vì vậy phương án A, B đúng.
Ta có \(\widehat {HKM} = \widehat {HKC} + \widehat {CKM}\)
\( = 180^\circ - \left( {\widehat {KHC} + \widehat {HCK}} \right) + 180^\circ - \left( {\widehat {KMC} + \widehat {KCM}} \right)\)
\[ = 180^\circ - 90^\circ - \widehat {HCK} + 180^\circ - 90^\circ - \widehat {KCM}\]
\[ = 180^\circ - \left( {\widehat {HCK} + \widehat {KCM}} \right)\]
\[ = 180^\circ - \widehat {HCM} = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ \].
Cho \(\Delta ABC\). Hai đường cao \(AH,\,\,BK\) cắt nhau tại \(I.\) Biết rằng \(\widehat {ACH} = 50^\circ \), hỏi số đo \(\widehat {BIH}\) bằng bao nhiêu độ?
Đáp án: 140
Ta có đường cao \(AH,\,\,BK\) cắt nhau tại \(I\) nên \(I\) là trực tâm của tam giác \(ABC.\)
Theo tính chất sự đồng quy của ba đường cao suy ra \(CI \bot AB\).
Vì tam giác \(BKC\) vuông tại \(K\) nên \(\widehat {KBC} = 90^\circ - \widehat {ACB} = 40^\circ \).
Mà \(\Delta BIH\) vuông tại \(H\) nên \(\widehat {BIH} = 90^\circ - \widehat {KBC}\), suy ra \(\widehat {BIH} = 40^\circ \).
Vì \(\widehat {HIK},\,\,\widehat {BIH}\) kề bù nên có \(\widehat {HIK} = 180^\circ - \widehat {BIH} = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ \).
Vậy \(\widehat {HIK} = 140^\circ \).
Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\], đường phân giác \[BD{\rm{ }}(D \in AC).\] Từ \[D\] kẻ \[DH \bot BC.\]Gọi \[K\] là giao điểm của đường thẳng \[AB\] và \[DH,{\rm{ }}I\] là trung điểm của \[KC.\]
![Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\], đường phân giác \[BD{\rm{ }}(D \in AC).\] Từ \[D\] kẻ \[DH \bot BC.\]Gọi \[K\] là giao điểm của đường thẳng \[AB\] và \[DH,{\rm{ }}I\] là trung điểm của \[KC.\] (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/03/blobid4-1773671332.png)
Khi đó, ta có các khẳng định sau:
i) \[\Delta ABD = \Delta HBD.\]
ii) \[DC < AD.\]
iii) \[B,{\rm{ }}D,{\rm{ }}I\] thẳng hàng.
Hỏi có bao nhiêu khẳng định đúng trong các khẳng định trên?
Đáp án: 2
a) Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta HBD\) có:
\(\widehat {BAD} = \widehat {BHD} = 90^\circ \)
\[BD\] là cạnh chung
\(\widehat {ABD} = \widehat {HBD}\) (do \[BD\] là tia phân giác của \(\widehat {ABD}\)).
Do đó \(\Delta ABD = \Delta HBD\) (cạnh huyền – góc nhọn).
b) Từ \(\Delta ABD = \Delta HBD\) (câu a) suy ra \[AD = HD\] (hai cạnh tương ứng).
Xét \[\Delta DHC\] vuông tại \[H\] có \[DC\] là cạnh huyền nên \[DC\] là cạnh lớn nhất.
Do đó \[DC > HD\] nên \[DC > AD.\]
c) Xét \[\Delta BKC\] có \[CA \bot BK,{\rm{ }}KH \bot BC\] và \[CA\] cắt \[KH\] tại \[D.\]
Do đó \[D\] là trực tâm của \[\Delta BKC\], nên \[BD \bot KC\]. (1)
Gọi \[J\] là giao điểm của \[BD\] và \[KC.\]
Xét \[\Delta BKJ\] và \[\Delta BCJ\] có:
\(\widehat {BJK} = \widehat {BJC} = 90^\circ \),
\[BJ\] là cạnh chung,
\(\widehat {KBJ} = \widehat {CBJ}\) (do \[BJ\] là tia phân giác của \(\widehat {ABD}\)).
Do đó \[\Delta BKJ = \Delta BCJ\] (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).
Suy ra \[KJ = CJ\] (hai cạnh tương ứng).
Hay \[J\] là trung điểm của \[KC.\]
Mà theo bài \[I\] là trung điểm của \[KC\] nên I và \[J\] trùng nhau.
Do đó ba điểm \[B,{\rm{ }}D,{\rm{ }}I\] thẳng hàng.
Do đó, khẳng định i) và iii) là đúng.
