10 Bài tập Chứng minh ba đường thẳng đồng quy, ba điểm thẳng hàng (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Do ∆ABC cân tại A nên AB = AC.

Suy ra A thuộc đường trung trực của BC (1)

Do ∆DBC cân tại D nên DB = DC.

Suy ra D thuộc đường trung trực của BC (2)

Do ∆EBC cân tại E nên EB = EC.

Suy ra E thuộc đường trung trực của BC (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra ba điểm A, D, E cùng nằm trên đường trung trực của BC.

Mà ba tam giác cân ABC, DBC, EBC có chung đáy BC và phân biệt nên A, D, E phân biệt.

Do đó ba điểm A, D, E thẳng hàng.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Vì ∆ABC cân tại A nên AB = AC, do đó A nằm trên đường trung trực của BC (1)

Xét ∆ABD (vuông tại B) và ∆ACD (vuông tại C) có:

AB = AC (do ∆ABC cân tại A);

AD là cạnh chung

Do đó ∆ABD = ∆ACD (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra DB = DC (hai cạnh tương ứng)

Từ đó ta có D nằm trên đường trung trực của BC (2)

Mặt khác, M là trung điểm của BC nên M cũng nằm trên đường trung trực của BC (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có ba điểm A, M, D nằm trên đường trung trực của BC

Suy ra ba điểm A, M, D thẳng hàng.

Vậy cả hai khẳng định (I) và (II) đều đúng. Ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: B

Gọi I là trung điểm của AB, K là trung điểm AC.

Khi đó DI và DK lần lượt là đường trung trực của AB và AC.

Do đó DI ⊥ AB và DK ⊥ AC.

Ta có\[{\rm{ }}{\widehat D_2} = 90^\circ - \widehat {DAK}\] và \[{\widehat D_3} = 90^\circ - \widehat {DAI}\] (các cặp góc phụ nhau)

Suy ra \[{\widehat D_2}{\rm{ + }}{\widehat D_3} = 180^\circ - \left( {\widehat {DAK} + \widehat {DAI}} \right) = 180^\circ - \widehat {BAC} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \]

Hay \(\widehat {IDK} = 90^\circ \) nên hai đường trung trực DI, DK của AB và AC vuông góc với nhau.

Xét ∆DAK và ∆DCK có:

\[\widehat {DKA}{\rm{ = }}\widehat {DKC}{\rm{ }}\left( { = 90^\circ } \right);\]

DK cạnh chung;

AK = CK (do K là trung điểm của AC).

Suy ra ∆DAK = ∆DCK (hai cạnh góc vuông)

Suy ra \[{\widehat D_1}{\rm{ = }}{\widehat D_2}\] (hai góc tương ứng)

Chứng minh tương tự, ta có ∆DAI = ∆DCI suy ra \[{\widehat D_3}{\rm{ = }}{\widehat D_4}{\rm{ }}\]

Ta có \[{\widehat D_1} + {\widehat D_2}{\rm{ + }}{\widehat D_3} + {\widehat D_4} = 2 \cdot \left( {{{\widehat D}_2}{\rm{ + }}{{\widehat D}_3}} \right) = 2 \cdot 90^\circ = 180^\circ \]

Suy ra \[\widehat {BCD} = 180^\circ \] hay ba điểm B, D,C thẳng hàng.

Vậy các phương án A, C, D đều là khẳng định đúng. Ta chọn phương án B.

Vì BD = BA do đó tam giác ABD cân tại B.

Nên BM là đường phân giác cũng là đường trung trực của cạnh AD trong tam giác.

Suy ra BM ⊥ AD (1)

Kéo dài AK cắt DH tại J.

Khi đó ∆ADJ có AH ⊥ DJ, DK ⊥ AJ và AH cắt DK tại M nên M là trực tâm của ∆ADJ.

Suy ra JM ⊥ AD (2)

Từ (1) và (2) suy ra ba điểm B, M, J thẳng hàng hay AK, BM, DH là ba đường đồng quy.

Do BM là đường trung trực của AD nên MA = MD.

Xét ∆BAM và ∆BDM có:

BM là cạnh chung; BA = BD (giả thiết); MA = MD (chứng minh trên)

Do đó ∆BAM = ∆BDM (c.c.c)

Suy ra \(\widehat {BAM} = \widehat {BDM}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {BAM} = 90^\circ \) nên \(\widehat {BDM} = 90^\circ \) hay MD ⊥ BC, tức DK ⊥ BC.

Lại có DK ⊥ AK tại K nên AK // BC.

Vậy cả (I), (II) và (III) đều đúng. Ta chọn phương án D.

Xét ∆AOM và ∆BOM có:

\[\widehat {OAM} = \widehat {OBM}\left( { = 90^\circ } \right);\]

OM là cạnh chung;

OA = OB (giả thiết)

Do đó ∆AOM = ∆BOM (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra MA = MB (hai cạnh tương ứng).

Nên M nằm trên đường trung trực của AB.

Lại có OA = OB nên O nằm trên đường trung trực của AB.

Do đó OM là đường trung trực của AB, nên OM ⊥ AB.

Xét ∆AOB có ba đường cao OM, AC, BD nên ba đường này đồng quy tại một điểm.

Vậy cả A và B đều là khẳng định đúng.

Khi đó phương án D là sai. Ta chọn phương án D.

Gọi I là giao điểm của CH và AB.

Xét ∆IBC có CA ⊥ BI, BH ⊥ CI và CA cắt BH tại D nên D là trực tâm của ∆IBC.

Suy ra ID ⊥ BC (1)

Xét ∆BAD và ∆BED có:

BA = BE (giả thiết);

\[\widehat {ABD} = \widehat {EBD}\] (do BD là đường phân giác)

BD là cạnh chung

Do đó ∆BAD = ∆BED (c.g.c).

Suy ra \[\widehat {BAD} = \widehat {BED} = 90^\circ \] (hai góc tương ứng)  (do \[\widehat {BAD} = 90^\circ )\]

Hay DE ⊥ BC (2)

Từ (1) và (2) suy ra I, D, E thẳng hàng hay BA, DE, CH đồng quy.

Vậy đường thẳng DE đi qua giao điểm của AB và CH và ba đường thẳng BA, DE, CH đồng quy.

Do đó không có khẳng định nào sai. Ta chọn phương án A.

Ta có AE + AF = AB và AE + EB = AB.

Suy ra AF = EB.

Vì AH là đường phân giác nên \[{\widehat A_1} = {\widehat A_2}\]

Vì O nằm trên đường trung trực AB nên ∆ABO cân tại O, khi đó: \[{\widehat A_1} = {\widehat B_1}\] và OA = OB.

Suy ra \[{\widehat A_2} = {\widehat B_1}.\]

Xét ∆AOF và ∆BOE có:

AF = BE; \[{\widehat A_2} = {\widehat B_1};\] OA = OB

Do đó ∆AOF = ∆BOE (c.g.c)

Suy ra OF = OE (hai cạnh tương ứng).

Khi đó để O là trung điểm của EF thì cần thêm điều kiện là E, O, F thẳng hàng.

Gọi S là giao điểm PQ và RN.

ΔMPQ vuông tại M có MQ = MP nên là tam giác vuông cân tại M, do đó \[\widehat {MQP} = 45^\circ .\]

Suy ra \[\widehat {SQN} = \widehat {MQP} = 45^\circ \] (đối đỉnh)

Tương tự, ΔMNR vuông cân tại M có \[\widehat {MNR} = 45^\circ .\]

Trong ΔNSQ có: \[\widehat {SQN} = 45^\circ \] và \[\widehat {SNQ} = 45^\circ \]

Do đó \[\widehat {QSN} = 90^\circ \]nên QS ⊥ NS hay PS ⊥ NR.

Trong ΔNPR có các đường cao PS và NM cắt nhau tại Q.

Suy ra Q là trực tâm ΔNPR. Do đó Q không cách đều ba cạnh, ba đỉnh của ΔPNR.

Vậy MN, PQ và RQ đồng quy, ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có BA = BD nên ∆BAD cân tại B

Mà BM là đường phân giác nên đồng thời là đường cao, do đó BM ⊥ AD.

Do H là hình chiếu vuông góc của D trên AC, K là hình chiếu vuông góc của A trên DM.

Nên DH ⊥ AC hay DH ⊥ AM, AK ⊥ MD.

Xét ∆AMD có: MB ⊥ AD, DH ⊥ AM, AK ⊥ MD.

Suy ra BM, DH, AK là ba đường cao của ∆AMD nên chúng đồng quy.

Vậy phương án D là khẳng định sai.

Do ΔABC cân tại A nên AK là đường phân giác đồng thời là đường trung trực của BC.

Xét ΔABC có các đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại O.

Vây thì theo tính chất ba đường trung trực của tam giác nên O thuộc đường trung trực của BC. Do đó ba điểm A, O, K thẳng hàng.

Vì O nằm trên đường trung trực của BC nên OB = OC, do đó tam giác OBC cân tại O

Suy ra \[\widehat {{B_2}} = \widehat {{C_2}}\]

Mà \[\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\] (do ∆ABC cân ở A) nên \[\widehat {{B_1}} = \widehat {{C_1}}\]

Xét ∆AEB và ∆ADC có:

\[\widehat {{B_1}} = \widehat {{C_1}}\] (chứng minh trên);

\[\widehat {BAC}\] là góc chung;

AB = AC (do ∆ABC cân ở A)

Từ đó ∆AEB = ∆ADC (g.c.g), suy ra AD = AE (1).

Măt khác, có OB = OC, BE = CD (vì ∆AEB = ∆ADC) nên OD = OE (2).

Từ (1) và (2) suy ra AK là đường trung trực của DE.

Xét ∆ADE, theo tính chất ba đường trung trực của tam giác suy ra AK và các đường trung

trực của AD, AE và DE đồng quy.

Vậy ta chọn phương án D.