Trắc nghiệm Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp lớp 10 (có đáp án - phần 2)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Mỗi cách chọn 2 đỉnh trong 6 đỉnh để sắp xếp thành một vectơ là một chỉnh hợp chập 2 của 6

Vậy có $A_6^2$ vectơ khác $\overrightarrow{0}$, có điểm đầu và điểm cuối là hai đỉnh của lục giác ABCDEF

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Để chọn 1 bó hoa trong đó có ít nhất 3 bông hồng vàng và ít nhất 3 bông hồng đỏ có 3 phương án thực hiện như sau:

+ Phương án 1: Chọn 3 bông hồng vàng, 3 bông hồng đỏ và 1 bông hồng trắng có: $C_5^3.C_4^3.C_3^1$ = 120 cách

+ Phương án 2: Chọn 4 bông hồng vàng, 3 bông hồng đỏ có: $C_5^4.C_4^3$ = 20 cách

+ Phương án 3: Chọn 3 bông hồng vàng, 4 bông hồng đỏ có: $C_5^3.C_4^4$ = 10 cách

Vậy có: 120 + 20 + 10 = 150 cách chọn 1 bó hoa trong đó có ít nhất 3 bông hồng vàng và ít nhất 3 bông hồng đỏ.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Gọi số tự nhiên có 3 chữ số cần tìm có dạng $\overline{abc}(a\ne 0)$

- Chọn c ∈ {2; 8} có 2 cách chọn

- Chọn a, b :

Mỗi cách chọn 2 số từ 4 số còn lại và sắp xếp vào vị trí a , b là một chỉnh hợp chập 2 của 4

Do đó, có: $A_4^2$= 12 cách

Vậy có 2.12 =24 số tự nhiên chẵn có 3 chữ số khác nhau được lấy từ tập hợp E.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Mỗi cách chọn 3 học sinh từ 30 học sinh là một tổ hợp chập 3 của 30 . Do đó, số cách chọn 3 học sinh bất kì từ 30 học sinh của lớp học là: $C_{30}^3$= 4060

Mỗi cách chọn 3 học sinh nam từ 20 học sinh nam là một tổ hợp chập 3 của 20 . Do đó, số cách chọn 3 học sinh nam từ 20 học sinh nam của lớp học là: $C_{20}^3$= 1140

Vậy số cách chọn một nhóm 3 học sinh sao cho nhóm đó có ít nhất 1 học sinh nữ là: 4060 – 1140 = 2920 cách.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Để bạn Chi ngồi ở giữa chỉ có 1 sự lựa chọn

Số cách xếp 4 bạn sinh An, Bình, Dũng, Lệ vào 4 chỗ còn lại là một hoán vị của 4 phần tử nên có có 4! = 24 cách.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Để số bóng đèn loại I nhiều hơn số bóng đèn loại II có 3 phương án:

+ Phương án 1: 3 bóng đèn loại I và 2 bóng đèn loại II có $C_5^3.C_7^2$= 210 cách

+ Phương án 2: 4 bóng đén loại I và 1 bóng đèn loại II có: $C_5^4.C_7^1$= 35 cách

+ Phương án 3: 5 bóng đèn loại I có 1 cách

Áp dụng quy tắc cộng có 210 + 35 + 1 = 246 khả năng xảy ra số bóng đèn loại I nhiều hơn số bóng đèn loại II .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xếp hai bạn vào 2 trong 3 ghế mang số chẵn có $A_3^2$cách.

Xếp hai bạn vào 2 trong 3 ghế mang số lẻ có $A_3^2$ cách.

Xếp 2 bạn vào 2 vị trí còn lại có 2! cách.

Vậy số cách sắp xếp để thoả mãn yêu cầu của các bạn đó là: 2!.$A_3^2.A_3^2$ = 72 cách.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì mỗi lọ cắm không quá một bông nghĩa là 3 bông hoa sẽ được cắm vào 3 lọ khác nhau

Như vậy mỗi cách chọn 3 lọ hoa trong 5 lọ để cắm hoa là một tổ hợp chập 3 của 5.

Vậy có $C_5^3=10$ cách để cắm 3 bông hoa giống nhau vào 5 lọ hoa.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Điều kiện: x, y ∈ ℕ; x ≤ y

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}2A_y^x+5C_y^x=90\\ 5A_y^x-2C_y^x=80\end{array}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{array}{l}{A}_y^x=20\\ C_y^x=10\end{array}\right.$

Ta có: $A_y^x=x!C_y^x$ hay 20 = x!.10 ⇒ x! = 2 ⇒ x = 2

Mặt khác, ta có: $A_y^2=20$

⇔ $\frac{y!}{(y-2)!}=20$

⇔ $\frac{(y-2)!.(y-1).y}{(y-2)!}=20$

⇔ y(y – 1) = 20

⇔ y² – y – 20 = 0

⇔$\left[\begin{array}{l}y=5\\ y=-4\end{array}\right.$

Theo điều kiện chọn y = 5

Vậy x = 2 và y = 5.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Chọn 3 điểm bất kì trong n + 6 điểm đã cho có $C_{n+6}^3$ cách

Trên cạnh CD chọn ra được 1 bộ ba điểm thẳng hàng.

Trên cạnh DA chọn được $C_n^3$ bộ ba điểm thẳng hàng.

Vì mỗi tam giác được tạo thành từ 3 điểm không thẳng hàng.

Nên số tam giác được tạo thành là $C_{n+6}^3$– $C_n^3$ – 1 = 439

⇔ $C_{n+6}^3$ – $C_n^3$  = 440
⇔ $\frac{(n+6)!}{3!(n+3)!}-\frac{n!}{3!(n-3)!}$   = 440

⇔ $\frac{(n+6)(n+5)(n+4)(n+3)!}{6(n+3)!}-\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)!}{6(n-3)!}$  = 440

⇔ $\frac{(n+6)(n+5)(n+4)}{6}-\frac{n(n-1)(n-2)}{6}$   = 440

⇔ (n + 6)(n + 5)(n + 4) – n(n – 1)(n – 2) = 2640

⇔ n³ + 15n² + 74n + 120 – (n³ – 3n² + 2n) = 2640

⇔18n² + 72n + 120 = 2640

⇔ n² + 4n – 140 = 0

⇔ $\left[\begin{array}{l}n=10\\ n=-14\end{array}\right.$

Vậy n = 10.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Điều kiện : n ≥ 2; n ∈ ℕ

Ta có: $A_n^2+3C_{n-1}^1=45$

⇔ $\frac{n!}{(n-2)!}+3\frac{(n-1)!}{1!(n-2)!}=45$

⇔ $\frac{(n-2)!(n-1)n}{(n-2)!}+3\frac{(n-2)!(n-1)}{(n-2)!}=45$

⇔ $(n-1)n+3(n-1)=45$

⇔ n² + 2n + 48 = 0

⇔ $\left[\begin{array}{l}n=6\\ n=-8\end{array}\right.$

Theo điều kiện thì n = 6.