Đề kiểm tra Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp lớp 10 (có lời giải) - Đề 2
22 câu hỏi
Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho \(8\) người khách vào \(8\) ghế kê thành một dãy?
\(40320\)
\(56\)
\(28\)
\(64\)
Sắp xếp 8 người khách vào 8 ghế ngồi có 8! = 40320 cách.
Sắp xếp năm bạn học sinh A, B, C, D, E vào một chiếc ghế dài có 5 chỗ ngồi. Số cách sắp xếp sao cho bạn A và bạn E luôn ngồi ở hai đầu ghế là
\[120\].
\[16\].
\[12\].
\(24\).
Xếp A và E ngồi hai đầu ghế có \(2!\) cách xếp. Mỗi cách xếp 3 bạn B, C, D vào 3 ghế còn lại là một hoán vị của 3 phần tử nên có có \(3!\) cách. Vậy có \(2!.3! = 12\) cách.
Từ các chữ số \(1,2,3,4\) lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau?
\(16\).
\(256\).
\(24\).
\(12\).
Mỗi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau được tạo thành từ các số trên là một hoàn vị của 4 phần tử. Vậy có \(4! = 24\) số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Từ 6 chữ số 4;5;6;7;8;9. Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau được lập thành từ 6 chữ số đó?
120.
216.
180.
256.
Số có ba chữ số khác nhau được lập thành từ sáu chữ số đã cho là một chỉnh hợp chập 3 của 6.
Suy ra có \(A_6^3\)=120 số.
Cho tập \(A = \left\{ {1,\,2,\,3,\,5,\,7,\,9} \right\}\). Từ tập \(A\) có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên là số gồm bốn chữ số khác nhau?
\(720\).
\(360\).
\(120\).
\(24\).
Tập \(A\) gồm có \(6\) phần tử là những số tự nhiên khác \(0\).
Do đó từ tập \(A\) có thể lập được \(A_6^4 = 360\) số tự nhiên là số gồm bốn chữ số khác nhau.
Cho \[n,\,k\]là hai số tự nhiên,\[1 \le k \le n\]. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
\(A_n^k = \frac{{n!}}{{k!}}\).
\(A_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}\).
\(A_n^k = \frac{{n!}}{{n - k}}\).
\(A_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\).
Chọn B
Câu lạc bộ Ghita có 16 thành viên. Số cách chọn một ban chấp hành bất kì gồm một trưởng ban,một phó ban, một thư kí và một thủ quỹ được chọn từ \(16\) thành viên là:
\(4\).
\(\frac{{16!}}{4}\).
\(\frac{{16!}}{{12!.4!}}\).
\(\frac{{16!}}{{12!}}\).
Chọn \(4\) trong \(16\) thành viên để bầu ban chấp hành có số cách chọn là: \(A_{16}^4 = \frac{{16!}}{{12!}}\)
Xếp ngẫu nhiên 5 lá phiếu có ghi số thứ tự từ 1 đến 5 cạnh nhau. Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu ghi số chẵn luôn ở cạnh nhau?
48.
24.
120.
60.
Xếp ngẫu nhiên các phiếu ghi số \[1,2,3,5\] cạnh nhau ta có \[4! = 24\].
Vì các phiếu ghi số chẵn ở cạnh nhau nên ta xếp phiếu ghi số 4 vào cạnh phiếu ghi số2 có 2 cách. Vậy có \[2.24 = 48\].
Một lớp có 45 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh để làm vệ sinh lớp học trong một ngày?
\[14190.\]
\[900\].
\[24360\].
\[90.\]
Mỗi cách chọn 3 học sinh để làm vệ sinh lớp học trong một ngày là một tổ hợp chập 3 của 45 phần tử.
Do đó số cách phân công 3 học sinh là: \(C_{45}^3 = 14190\).
Cho \(15\) điểm trên cùng một mặt phẳng sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Có bao nhiêu tam giác có cả ba đỉnh là 3 trong số 15 điểm đã cho?
\(3375\).
\(2730\).
\(455\).
\(45\).
Số tam giác thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(C_{15}^3 = 455\).
Từ các chữ số \(1,{\rm{ }}2,{\rm{ 3, 4, 5, 6, 7}}\) lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm hai chữ số khác nhau?.
\(C_7^2\).
\({2^7}\).
\(A_7^2\).
\({7^2}\).
Số các số tự nhiên gồm hai chữ số khác nhau được lấy ra từ \(7\) chữ số trên là: \(A_7^2\).
Cho đa giác đều \(n\) đỉnh, \[n \in \mathbb{N}\] và \[n \ge 3.\] Tìm \(n\) biết rằng đa giác đã cho có \(170\) đường chéo.
\[n = 15\]
\[n = 27\]
\[n = 8\]
\[n = 20\]
Đa giác lồi \(n\) đỉnh thì có \(n\) cạnh. Nếu vẽ tất cả các đoạn thẳng nối từng cặp trong \(n\) đỉnh này thì có một bộ gồm các cạnh và các đường chéo.
Vậy để tính số đường chéo thì lấy tổng số đoạn thẳng dựng được trừ đi số cạnh, với
Tất cả đoạn thẳng dựng được là bằng cách lấy ra \(2\) điểm bất kỳ trong \(n\) điểm, tức là số đoạn thẳng chính là số tổ hợp chập \(2\) của \(n\) phần tử.
Như vậy, tổng số đoạn thẳng là \(C_n^2.\)
Số cạnh của đa giác lồi là \(n.\)
Suy ra số đường chéo của đa giác đều \(n\) đỉnh là \[C_n^2 - n = \frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2}.\]
Theo bài ra, ta có \[\left\{ \begin{array}{l}n \ge 3\\\frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2} = 170\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n \ge 3\\{n^2} - 3n - 340 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow n = 20\]
Một đoàn tàu nhỏ có 3 toa khách đỗ ở sân ga. Có 3 hành khách không quen biết cùng bước lên tàu, khi đó:
Số khả năng khách lên tàu tùy ý là 9 khả năng
Số khả năng 3 hành khách lên cùng một toa là 1 khả năng
Số khả năng mỗi khách lên một toa là 6 khả năng
Số khả năng có 2 hành khách cùng lên một toa, hành khách thứ ba thì lên toa khác là 18
a) Sai | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng |
a) Khách lên tàu tùy ý nên mỗi khách sẽ có 3 lựa chọn. Vậy số khả năng thỏa mãn là \(3 \times 3 \times 3 = 27\).
b) Số khả năng 3 hành khách lên cùng một toa là 3
c) Số cách chọn 3 toa để xếp 3 hành khách là: \(A_3^3 = 3! = 6\).
d) Giai đoạn 1: Chia 3 hành khách ra làm hai nhóm X, Y: một nhóm có 2 người và một nhóm có 1 người. Số cách thực hiện là: \(C_3^2 \times 1\).
Giai đoạn 2: Chọn 2 trong 3 toa tàu để xếp hai nhóm vào, số cách thực hiện là \(A_3^2\).
Vậy số cách xếp khách lên tàu thỏa mãn là \(C_3^2 \times 1 \times A_3^2 = 18\).
Có 5 bông hồng, 4 bông trắng (mỗi bông đều khác nhau về hình dáng). Một người cần chọn một bó bông từ số bông này
Số cách chọn 4 bông tùy ý là 126 cách
Số cách chọn 4 bông mà số bông mỗi màu bằng nhau là 50 cách
Số cách chọn 4 bông, trong đó có 3 bông hồng và 1 bông trắng là: 30 cách
Số cách chọn 4 bông có đủ hai màu: \(120\) (cách).
a) Đúng | b) Sai | c) Sai | d) Đúng |
a) Số cách chọn 4 bông từ 9 bông: \(C_9^4 = 126\) (cách).
b) Số cách chọn 2 bông hồng từ 5 bông hồng: \(C_5^2\) (cách).
Số cách chọn 2 bông trắng từ 4 bông trắng: \(C_4^2\) (cách).
Số cách chọn một bó bông thỏa mãn đề bài: \(C_5^2 \cdot C_4^2 = 60\) (cách).
c) 3 bông hồng, 1 bông trắng: có \(C_5^3 \cdot C_4^1 = 40\) (cách).
d) Cách giải 1: Làm trực tiếp.
Trường hợp 1: 3 bông hồng, 1 bông trắng: có \(C_5^3 \cdot C_4^1 = 40\) (cách).
Trường hợp 2: 2 bông hồng, 2 bông trắng: có \(C_5^2 \cdot C_4^2 = 60\) (cách).
Trường hợp 3: 1 bông hồng, 3 bông trắng: có \(C_5^1 \cdot C_4^3 = 20\) (cách).
Theo quy tắc cộng ta có tất cả \(40 + 60 + 20 = 120\) (cách chọn).
Cách giải 2: Phương pháp loại trừ.
Số cách chọn 4 bông từ 9 bông (tùy ý): \(C_9^4 = 126\) (cách).
Số cách chọn 4 bông chỉ một màu (hồng hoặc trắng): \(C_5^4 + C_4^4 = 6\) (cách).
Vậy số cách chọn 4 bông có đủ hai màu: \(126 - 6 = 120\) (cách).
Một hộp có 6 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ và 4 viên bi vàng, chọn ngẫu nhiên 4 viên bi, khi đó:
Chọn 2 bi xanh, 1 bi đỏ và 1 bi vàng có: \(300\) cách.
Chọn 1 bi xanh, 2 bi đỏ và 1 bi vàng có: \(120\) cách.
Chọn 1 bi xanh, 1 bi đỏ và 2 bi vàng có: \(180\) cách.
Có \(600\)cách chọn ngẫu nhiên 4 viên bi từ hộp sao cho có đủ cả ba màu
a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Sai |
a) Chọn 2 bi xanh, 1 bi đỏ và 1 bi vàng có: \(C_6^2 \cdot 5.4 = 300\) cách.
b) Chọn 1 bi xanh, 2 bi đỏ và 1 bi vàng có: \(6.C_5^2.4 = 240\) cách.
c) Chọn 1 bi xanh, 1 bi đỏ và 2 bi vàng có: \(6.5 \cdot C_4^2 = 180\) cách.
d) \(300 + 240 + 180 = 720\) cách.
Đội văn nghệ của nhà trường gồm 4 học sinh lớp \(12\;A,3\) học sinh lớp \(12\;B\) và 2 học sinh lớp \(12C\). Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh từ đội văn nghệ để biểu diễn trong lễ bế giảng, khi đó:
Chọn 5 học sinh tùy ý từ 9 học sinh có: \(120\) cách.
Chọn 5 học sinh chỉ có lớp \(12\;A\) và \(12\;B\) có: \(21\) cách.
Chọn 5 học sinh chỉ có lớp \[12B\] và \(12C\) có: \(2\) cách.
Có \(90\) cách chọn sao cho lớp nào cũng có học sinh được chọn
a) Sai | b) Đúng | c) Sai | d) Sai |
Chọn 5 học sinh tùy ý từ 9 học sinh có: \(C_9^5 = 126\) cách.
* Chọn 5 học sinh có cả học sinh 2 lớp, xảy ra các tình huống sau:
Chọn 5 học sinh chỉ có lớp \(12\;A\) và \(12\;B\) có: \(C_7^5 = 21\) cách.
Chọn 5 học sinh chỉ có lớp \(12\;A\) và \(12C\) có: \(C_6^5 = 6\) cách.
Chọn 5 học sinh chỉ có lớp \[12B\] và \(12C\) có: \(C_5^5 = 1\) cách.
* Chọn 5 học sinh chỉ có một lớp duy nhất: không có.
Vậy số cách chọn 5 học sinh sao cho lớp nào cũng có học sinh là:
\(126 - (21 + 6 + 1) = 98{\rm{ c\'a ch}}{\rm{. }}\)
Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 2 mà mỗi số có ba chữ số khác nhau?
Gọi số có ba chữ số cần tìm là \(\overline {abc} (a \ne 0)\).
Vì số cần tìm chia hết cho 2 nên số cách chọn chữ số c là 5 cách.
Số cách chọn chữ số a là \(C_8^1\) (cách).
Số cách chọn chữ số b là \(C_8^1\) (cách).
Vậy số các số chia hết cho 2 mà mỗi số có ba chữ số khác nhau là: \(5 \cdot C_8^1 \cdot C_8^1 = 5 \cdot 8 \cdot 8 = 320\) (số)
Lớp 10B có 15 bạn (trong đó có lớp trưởng) tham gia hoạt động trò chơi do Đoàn trường tổ chức. Trong trò chơi chạy tiếp sức, cô giáo phải xếp đội hình gồm 6 bạn và thứ tự chạy của họ. Hỏi cô giáo có bao nhiêu cách xếp đội hình để lớp trưởng là người chạy cuối.
Lớp trưởng là người chạy cuối: có 1 cách xếp.
Mỗi cách xếp đội hình 5 bạn còn lại trong 14 bạn là một chỉnh hợp chập 5 của 14 phần tử nên số cách xếp đội hình theo yêu cầu là: \(A_{14}^5.1 = 240240\).
Cho 18 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu vectơ khác \(\vec 0\) sao cho điểm đầu và điểm cuối của mỗi vectơ đó là 2 trong 18 điểm đã cho?
Mỗi cách chọn một vectơ là một cách chọn 2 điểm trong 18 điểm đã cho rồi xếp thứ tự điểm đầu và điểm cuối, tức là một chỉnh hợp chập 2 của 18 phần tử. Vậy số vectơ thoả mãn đề bài là: \(A_{18}^2 = 306\).
Cho hai dãy ghế được xếp như sau:
Một đội chơi có 15 người gồm 7 nam và 8 nữ. Chọn ngẫu nhiên 8 bạn ngồi vào hai dãy ghế để tham gia trả lời câu hỏi. Hai người được gọi là ngồi đối diện nhau nếu ngồi ở hai dãy và có cùng số ghế. Hỏi có bao nhiêu cách xếp để mỗi bạn nam ngồi đối diện với một bạn nữ?
Vì mỗi bạn nam ngồi đối diện một bạn nữ nên có 4 bạn nam và 4 bạn nữ được chọn ngồi vào hai dãy ghế.
Chọn 1 bạn nam thứ nhất xếp vào chỗ bất kì trong 8 chỗ có \(7.8 = 56\) cách.
Chọn 1 bạn nam thứ hai xếp vào chỗ bất kì trong 7 chỗ còn lại và không đối diện với bạn nam thứ nhất có \(6.6 = 36\) cách.
Chọn 1 bạn nam thứ ba xếp vào chỗ bất kì trong 6 chỗ còn lại và không đối diện với bạn nam thứ nhất, thứ hai có \(5.4 = 20\) cách.
Chọn 1 bạn nam thứ tư xếp vào chỗ bất kì trong 5 chỗ còn lại và không đối diện với bạn nam thứ nhất, thứ hai, thứ ba có \(4.2 = 8\) cách.
Chọn 4 bạn nữ và xếp vào 4 ghế còn lại có \(A_8^4\) cách.
Vậy có \(56 \cdot 36 \cdot 20 \cdot 8 \cdot A_8^4 = 541900800\) cách xếp để mỗi bạn nam ngồi đối diện với một bạn nữ.
Từ \(n\) điểm phân biệt, ta lập được 153 đoạn thẳng có hai đầu mút là 2 trong \(n\) điểm đã cho. Tìm \(n\).
Số đoạn thẳng lập được từ \(n\) điểm đã cho là \(C_n^2\).
Theo đề bài, ta có: \(C_n^2 = 153 \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{2!(n - 2)!}} = 153 \Leftrightarrow \frac{{n(n - 1)(n - 2)!}}{{2(n - 2)!}} = 153 \Leftrightarrow \frac{{n(n - 1)}}{2} = 153\)
\( \Leftrightarrow {n^2} - n - 306 = 0.{\rm{ Suy ra }}n = 18.{\rm{ }}\)
Tính số đường chéo của một đa giác lồi có 14 đỉnh.
Tổng số đoạn thẳng lập được từ \(n(n > 3)\) đỉnh là \(C_n^2\). Trong số các đoạn thẳng đó thì có \(n\) cạnh của đa giác, còn lại là đường chéo.
Vậy số đường chéo của đa giác \(n\) đỉnh là: \(C_n^2 - n = \frac{{n!}}{{2!(n - 2)!}} - n = \frac{{n(n - 3)}}{2}\). Với \(n = 14\) ta có số đường chéo của đa giác lồi 14 đỉnh là: \(\frac{{14(14 - 3)}}{2} = 77\).
