Đề kiểm tra Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp (có lời giải) -Đề 3
22 câu hỏi
Có \(3\) viên bi đen khác nhau, \(4\) viên bi đỏ khác nhau, \(5\) viên bi xanh khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách xếp các viên bi trên thành dãy sao cho các viên bi cùng màu ở cạnh nhau?
\(345600\).
\(518400\).
\(725760\).
\(103680\).
Ta có:
Số cách xếp \(3\) viên bi đen khác nhau thành một dãy bằng: \(3!\).
Số cách xếp \(4\) viên bi đỏ khác nhau thành một dãy bằng: \(4!\).
Số cách xếp \(5\) viên bi đen khác nhau thành một dãy bằng: \(5!\).
Số cách xếp \(3\) nhóm bi thành một dãy bằng: \(3!\).
Vậy số cách xếp thỏa yêu cầu đề bài bằng \(3!.4!.5!.3! = 103680\) cách.
Có bao nhiêu cách sắp xếp \[6\] học sinh theo một hàng dọc
\(46656\).
\(4320\).
\(720\).
\(360\).
Mỗi cách xếp 6 học sinh theo một hàng dọc là một hoán vị của 6 phần tử. Vậy số cách sắp xếp là\(6! = 720\)cách
Một nhóm học sinh có 7 em nam và 3 em nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 10 em này trên một hàng ngang, sao cho hai vị trí đầu và cuối hàng là các em nam và không có 2 em nữ nào ngồi cạnh nhau?
\[604800\].
\[344000\].
\[100800\].
\[120120\].
Bước 1: Xếp 7 bạn nam thành một hàng ngang, có \[7!\] cách xếp.
Bước 2: Xem các bạn nam là những vách ngăn, giữa 7 bạn nam có sáu vị trí để xếp 3 bạn nữ. Chọn 3 vị trí trong sáu vị trí để xếp 3 bạn nữ, có \({A^3}_6\) cách.
Theo quy tắc nhân ta có \(7!.{A^3}_6 = 604800\)cách.
Trong một giải đua xe đạp gồm 20 vận động viên, người ta chỉ quan tâm đến 3 vận động viên: vận động viên nhanh nhất, nhanh nhì và nhanh thứ ba. Hỏi có bao nhiêu kết quả có thể xảy ra?
\(3420\).
\(2280\).
\(1140\).
\(6840\).
Mỗi kết quả có thể xảy ra là một chỉnh hợp chập \[3\] của \[20\] phần tử.
\( \Rightarrow \)Có \(A_{20}^3 = 6840\)kết quả.
Cho hai đường thẳng song song \[{d_1}\] và \[{d_2}.\] Trên \[{d_1}\] lấy \(17\) điểm phân biệt, trên \[{d_2}\] lấy \(20\) điểm phân biệt. Số tam giác có các đỉnh được chọn từ \[37\] điểm này là
\[5950.\]
\[2720.\]
\[3230.\]
\[7770.\]
Một tam giác được tạo bởi ba điểm phân biệt nên ta xét:
\( \bullet \) TH1. Chọn \(1\) điểm thuộc \[{d_1}\] và \(2\) điểm thuộc \[{d_2}\]: có \[C_{17}^1.C_{20}^2\] tam giác.
\( \bullet \) TH2. Chọn \(2\) điểm thuộc \[{d_1}\] và \(1\) điểm thuộc \[{d_2}\]: có \[C_{17}^2.C_{20}^1\] tam giác.
Theo đề bài ta có \[C_{17}^1.C_{20}^2 + C_{17}^2.C_{20}^1 = 5950\] tam giác cần tìm. Chọn A
Lớp 10A có 20 học sinh. Hỏi giáo viên chủ nhiệm lớp 10A có tất cả bao nhiêu cách chọn ra 5 học sinh tham gia hỗ trợ cuộc thi văn nghệ của nhà trường?
\[1860480\].
\(15504\).
\[120\].
\[3003\].
Số cách chọn là \(C_{20}^5 = 15504\)
Cho tập hợp \(A = \left\{ {1;2;3;...;19;20} \right\}\). Có bao nhiêu cách chọn 4 số từ tập hợp \(A\) sao cho trong số đó không có 2 số nào là 2 số nguyên liên tiếp.
\(10626\)
\(57120\)
\(2380\).
\(4845\).
Ta tìm số cách chọn bộ 4 số \(\left( {a;b;c;d} \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán, tức là \(1 \le a < b - 1 < c - 2 < d - 3 \le 17\). Có \(C_{17}^4\) cách chọn bộ 4 số \(\left( {a;b - 1;c - 2;d - 3} \right)\) như thế. Mà mỗi cách chọn bộ 4 số \(\left( {a;b - 1;c - 2;d - 3} \right)\) tương ứng với một cách chọn bộ 4 số \(\left( {a;b;c;d} \right)\). Như vậy có tất cả \(C_{17}^4 = 2380\) cách chọn 4 số từ tập hợp \(A\) sao cho trong số đó không có 2 số nào là 2 số nguyên liên tiếp.
Từ các chữ số \(2,{\rm{ 3, }}4,{\rm{ }}7,{\rm{ }}9\), có thể lập được tất cả bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau?
\(3!\).
\(5!\).
\(A_6^5\).
\(C_5^5\).
Mỗi cách sắp xếp thứ tự của 5 số \(2,{\rm{ 3, }}4,{\rm{ }}7,{\rm{ }}9\) là một hoán vị của 5 phần tử.
Nên số các hoán vị là \(5!\) cách.
Cho các số \(2,{\rm{ 4, 5, 7}}\) có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số với các chữ số khác nhau.
\(12\).
\(64\).
\(24\).
\(280\).
Số cách lập số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau là \(4! = 24\).
Có bao nhiêu cách chọn một nguyên âm và một phụ âm từ các ký tự của chữ VIETNAM?
4 .
12.
7.
3.
Tập các chữ cái nguyên âm: \(N = \left\{ {I;E;A} \right\}\)
Tập các chữ cái phụ âm: \(P = \left\{ {V;T;N;M} \right\}\)
Suy ra số cách chọn một nguyên âm và một phụ âm là: \(C_3^1.C_4^1 = 12\)
Có bao nhiêu cách xếp khác nhau cho 4 người ngồi vào 6 chỗ trên một bàn dài?
\[15.\]
\[720.\]
\[30.\]
\[360.\]
Số cách xếp khác nhau cho 4 người ngồi vào 6 chỗ trên một bàn dài là số chỉnh hợp chập 4 của 6 phần tử. Suy ra có \[A_6^4 = 360\] cách.
Có hai học sinh lớp \[A,\] ba học sinh lớp \(B\) và bốn học sinh lớp \(C\) xếp thành một hàng ngang sao cho giữa hai học sinh lớp \(A\) không có học sinh nào lớp \(B.\) Hỏi có bao nhiêu cách xếp hàng như vậy ?
\(80640\).
\(108864\).
\(145152\).
\(217728\).
Xét các trường hợp sau :
TH1: Hai học sinh lớp A đứng cạnh nhau có \(2!.8!\) cách.
TH2: Giữa hai học sinh lớp A có một học sinh lớp C có \(2!.A_4^1.7!\) cách.
TH3: Giữa hai học sinh lớp A có hai học sinh lớp C có \(2!.A_4^2.6!\) cách.
TH4: Giữa hai học sinh lớp A có ba học sinh lớp C có \(2!.A_4^3.5!\) cách.
TH5: Giữa hai học sinh lớp A có bốn học sinh lớp C có \(2!.A_4^4.4!\) cách.
Vậy theo quy tắc cộng có \[2!\left( {8! + A_4^17! + A_4^26! + A_4^35! + A_4^44!} \right) = 145152\] cách.
Một trường cấp 3 của tỉnh Đồng Tháp có 8 giáo viên Toán gồm có 3 nữ và 5 nam, giáo viên Vật lý thì có 4 giáo viên nam, chọn ra một đoàn thanh tra công tác ôn thi THPTQG, khi đó
Chọn 1 giáo viên nữ có \(C_3^1\) cách
Chọn 2 giáo viên nam môn Vật lý có \(C_4^2\) cách.
Chọn 1 giáo viên nam môn Toán và 1 nam môn Vật lý có \(C_5^1 + C_4^1\) cách.
Có 80 cách chọn ra một đoàn thanh tra công tác ôn thi THPTQG gồm 3 người có đủ 2 môn Toán và Vật lý và phải có giáo viên nam và giáo viên nữ trong đoàn
a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Sai |
Vì chọn ra 3 người mà yêu cầu phải có giáo viên nam và giáo viên nữ trong đoàn nên số giáo viên nữ được chọn chỉ có thể bằng 1 hoặc 2. Ta xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Chọn 1 giáo viên nữ: Có \(C_3^1\) cách. Khi đó:
- Chọn 1 giáo viên nam môn Toán và 1 nam môn Vật lý: Có \(C_5^1 \times C_4^1\) cách.
- Chọn 2 giáo viên nam môn Vật lý: Có \(C_4^2\) cách,
Trường hợp này có \(C_3^1\left( {C_5^1 \times C_4^1 + C_4^2} \right)\) cách chọn.
Trường hợp 2: Chọn 2 giáo viên nữ: Có \(C_3^2\) cách chọn. Khi đó chọn thêm 1 giáo viên nam môn Vật lý: Có \(C_4^1\) cách. Trường hợp này có \(C_3^2 \times C_4^1\) cách chọn.
Vậy tất cả có \(C_3^1\left( {C_5^1 \times C_4^1 + C_4^2} \right) + C_3^2 \times C_4^1 = 90\) cách chọn.
Một tập thể có 14 người trong đó có hai bạn tên \(A\) và \(B\). Người ta cần chọn một tổ công tác gồm 6 người, khi đó:
Chọn nhóm 6 bạn bất kỳ ta có \(3003\) cách
Chọn nhóm 6 bạn trong đó có cả \(A\) và \(B\), có \(1848\) cách
Chọn nhóm 6 bạn trong đó không có hai bạn \(A\) và \(B\), có \(924\) cách
Có \(9504\) cách chọn sao cho trong tổ phải có 1 tổ trưởng và 5 tổ viên hơn nữa \(A\) hoặc \(B\) phải có mặt nhưng không đồng thời có mặt cả hai người trong tổ.
a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng |
Chọn nhóm 6 bạn bất kỳ ta có \(C_{14}^6\) cách
Chọn nhóm 6 bạn trong đó có cả \(A\) và \(B\), có \(C_{12}^4\) cách
Chọn nhóm 6 bạn trong đó không có hai bạn \(A\) và \(B\), có \(C_{12}^6\) cách
Suy ra số cách chọn 6 bạn có mặt \(A,B\) nhưng không đồng thời có mặt cả hai người trong tổ là: \(C_{14}^6 - C_{12}^4 - C_{12}^6 = 1584\) cách,
Chọn 1 tổ trưởng từ nhóm 6 bạn này, có 6 cách.
Vậy có \(1584.6 = 9504\) cách chọn thỏa yêu câu đề.
Cho phương trình \(A_x^3 + C_x^{x - 3} = 14x\)
Điều kiện: \(x \in \mathbb{N}\) và \(x \ge 3\).
Phương trình có chung tập nghiệm với phương trình \({x^2} - 3x - 10 = 0\)
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
Nghiệm của phương trình là số nguyên tố
a) Đúng | b) Sai | c) Sai | d) Đúng |
Điều kiện: \(x \in \mathbb{N}\) và \(x \ge 3\). Ta có: \(A_x^3 + C_x^{x - 3} = 14x\) \( \Leftrightarrow \frac{{x!}}{{(x - 3)!}} + \frac{{x!}}{{(x - 3)!3!}} = 14x \Leftrightarrow x(x - 1)(x - 2) + \frac{{x(x - 1)(x - 2)}}{6} = 14x\)
\( \Leftrightarrow 7(x - 1)(x - 2) = 84\)
(vì \(x > 0) \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5{\rm{ (n) }}}\\{x = - 2\left( l \right)}\end{array}} \right.\)
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = 5\).
Cho bất phương trình \(\frac{1}{{A_n^2}} + \frac{1}{{A_n^3}} \ge \frac{1}{{C_{n + 1}^2}}\).
Điều kiện: \(n \in \mathbb{N}\)
Bất phương trình có chung tập nghiệm với bất phương trình \({n^2} - 6n + 5 \le 0\)
Bất phương trình đã cho có 4 nghiệm thỏa mãn
Các nghiệm thỏa mãn bất phương trình là nghiệm của phương trình \({x^3} - 12{x^2} + 47x - 60 = 0\)
a) Sai | b) Sai | c) Sai | d) Đúng |
Điều kiện: \(n \in \mathbb{N}\) và \(n \ge 3\). Ta có: \(\frac{1}{{A_n^2}} + \frac{1}{{A_n^3}} \ge \frac{1}{{C_{n + 1}^2}}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{1}{{n(n - 1)}} + \frac{1}{{n(n - 1)(n - 2)}} \ge \frac{2}{{n(n + 1)}}\\ \Leftrightarrow (n + 1)(n - 2) + (n + 1) \ge 2(n - 1)(n - 2) \Leftrightarrow {n^2} - 6n + 5 \le 0 \Leftrightarrow 1 \le n \le 5.{\rm{ }}\end{array}\)
Vì \(n \in \mathbb{N}\) và \(n \ge 3\) nên \(n \in \{ 3;4;5\} \).
Cho đa giác lồi có \(n\) cạnh \((n \ge 4)\). Tìm \(n\) để đa giác đó có số đường chéo bằng số cạnh?
Áp dụng công thức bài 28 và theo đề bài ta có: \(\frac{{n(n - 3)}}{2} = n \Leftrightarrow {n^2} - 5n = 0\). Suy ra \(n = 5\). Vậy đa giác cần tìm có 5 cạnh.
Cho hai đường thẳng song song \({d_1}\) và \({d_2}\). Trên \({d_1}\) lấy 17 điểm phân biệt, trên \({d_2}\) lấy 20 điểm phân biệt. Tính số tam giác có các đỉnh là 3 điểm trong số 37 điểm đã chọn trên \({d_1}\) và \({d_2}\).
Trường hợp 1: 1 điểm thuộc \({d_1}\) và 2 điểm thuộc \({d_2}\).
Số tam giác lập được là: \(C_{17}^1 \cdot C_{20}^2 = 3230\).
Trường hợp \(2:2\) điểm thuộc \({d_1}\) và 1 điểm thuộc \({d_2}\).
Số tam giác lập được là: \(C_{17}^2 \cdot C_{20}^1 = 2720\).
Vậy có \(3230 + 2720 = 5950\) tam giác thoả mãn đề bài.
Có 3 cuốn sách Lý, 4 cuốn sách Sinh, 5 cuốn sách Địa. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các cuốn sách trên vào giá sách hàng ngang nếu các cuốn sách cùng môn học đứng cạnh nhau?
Gọi \(L\) là nhóm 3 sách lý, \(S\) là nhóm 4 sách sinh, Đ là nhóm 5 sách địa. Số cách xếp trong \(L\) là 3!; số cách xếp trong \(S\) là 4!; số cách xếp trong Đ là 5!; số cách xếp L, S, Đ với nhau: 3!.
Vậy số cách xếp thỏa mãn đề bài là: \(3!4!5!3! = 103680\) (cách).
Cho 10 điểm trong mặt phẳng và không có 3 điểm nào thẳng hàng.
Hỏi có thể lập được bao nhiêu tam giác có đỉnh được lấy từ các điểm đó?
Số tam giác lập được cũng bằng với số cách chọn ra 3 điểm phân biệt từ 10 điểm đã cho, ta có: \(C_{10}^3 = 120\) (tam giác).
Từ các chữ số \(1,2,3,4,5,6,7,8,9\) có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 15 chữ số, trong đó các chữ số 1 và 2 mỗi chữ số xuất hiện năm lần, các chữ số còn lại xuất hiện không quá một lần và các chữ số lớn hơn 2 không có bất kì hai chữ số nào đứng cạnh nhau.
Trước hết ta sắp xếp năm chữ số 1 và năm chữ số 2 vào 10 vị trí hàng ngang:
- Chọn năm trong mười vị trí đề sắp xếp chữ số 1: có \(C_{10}^5\) cách chọn.
- Các vị trí còn lại ta sắp xếp chữ số 2: có 1 cách chọn.
Từ dãy các chữ số 1 và 2 ở trên có chín vị trí xen giữa và hai vị trí hai đầu mút. Các số còn lại gồm \(3,4,5,6,7,8,9\) đều lớn hơn 2. Ta cần chọn ra năm trong bảy chữ số trên để sắp xếp vào mười một vị trí cho phép:
- Số cách chọn ra năm trong bảy chữ số: \(C_7^5\).
- Số cách chọn ra năm trong mười một vị trí để sắp xếp năm chữ số vừa chọn là \(A_{11}^5\).
Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn là \(C_{10}^5 \cdot 1 \cdot C_7^5 \cdot A_{11}^5 = 293388480\).
Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ?
Ta có \(C_3^1 \cdot C_{12}^4\) cách phân công các thanh niên về tỉnh thứ nhất.
Với mỗi cách này thì có \(C_2^1 \cdot C_8^4\) cách phân công số thanh niên còn lại về tỉnh thứ hai. Với mỗi cách phân công trên thì có \(C_1^1 \cdot C_4^4\) cách phân công số thanh nhiên còn lại về tỉnh thứ 3.
Do đó ta có: \(C_3^1C_{12}^4C_2^1C_8^4C_1^1C_4^4 = 207900\) cách phân công thỏa mãn đề bài.
