Đề kiểm tra Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp lớp 10 (có lời giải) - Đề 1

Cứ \[2\] điểm tạo thành \[1\] đoạn thẳng, chọn \[2\] điểm từ \[5\] điểm có \[C_5^2 = 10\] đoạn thẳng.

Chọn D

a) Mỗi cách chọn 6 bạn trong 20 bạn để ngồi vào hàng ghế đầu tiên là một chỉnh hợp chập 6 của 20. Vậy có \(A_{20}^6\) cách xếp 6 bạn ngồi vào hàng ghế đầu tiên.

b) Mỗi cách chọn 6 bạn trong 14 bạn để ngồi vào hàng ghế thứ hai là một chỉnh hợp chập 6 của 14. Vậy có \(A_{14}^6\) cách xếp 6 bạn ngồi vào hàng ghế thứ hai sau khi sắp xếp xong hàng ghế đầu tiên.

c) Mỗi cách chọn 6 bạn trong 8 bạn để ngồi vào hàng ghế thứ ba là một chỉnh hợp chập 6 của 8. Vậy có \(A_8^6\) cách xếp 6 bạn ngồi vào hàng ghế thứ ba sau khi sắp xếp xong hai hàng ghế đầu.

d) Còn lại 2 bạn ngồi vào hàng ghế cuối cùng. Mỗi cách chọn 2 ghế trong 6 ghế để xếp chỗ ngồi cho 2 bạn là một chỉnh hợp chập 2 của 6. Vậy có \(A_6^2\) cách xếp 2 bạn còn lại ngồi vào hàng ghế cuối cùng.

a) Số cách xếp 8 học sinh theo một hàng dọc: \({P_8} = 8! = 40320\) (cách).

b) Gọi \(X\) là nhóm 3 học sinh nữ, \(Y\) là nhọ́m 5 học sinh nam.

Số cách xếp trong \(X:3!\); số cách xếp trong \(Y\): 5!.

Số cách hoán đổi X, Y: 2!.

Vậy số cách xếp thỏa mãn đề bài: \(3!5!2! = 1440\) (cách).

c) Gọi \(X\) là nhóm 3 học sinh nữ. Khi ấy số cách xếp trong \(X\): 3!.

Số cách xếp nhóm \(X\) với 5 học sinh nam (ta xem có 6 đơn vị): 6!

Vậy số cách xếp thỏa mãn đề bài: \(3!6! = 4320\) (cách).

d) Sắp xếp trước cho 5 nam sinh, số cách hình vẽ): \(C_6^3\) (cách).

Sắp xếp 3 nữ sinh vào 3 vị trí vừa được chọn: 3 ! (cách).

Vậy số cách xếp hàng thỏa mãn là: \(5!C_6^33! = 14400\).

Lưu ý: Việc chọn 3 vị trí tì 6 vị trí để sắp xếp 3 nữ sinh vào có thể đươc thực hiện gộp bởi công thức \(A_6^3\). Khi đó số cách xếp thỏa mãn là \(5!A_6^3\).

a) Số cách chọn 5 học sinh mỗi khối \((A,B,C)\) lần lượt là: \(C_{15}^5,C_{10}^5,C_5^5\).

Vậy số cách chọn thỏa mãn là \(C_{15}^5 \times C_{10}^5 \times C_5^5 = 756756\) (cách).

d) Ta sử dụng quy tắc loại trừ như lời giải sau:

Xét bài toán 1: Chọn 2 học sinh khối \(C,13\) học sinh khối \(B\) hoặc khối \(A\): có \(C_5^2C_{25}^{13}\) cách.

Xét bài toán 2: Chọn 2 học sinh khối \(C,13\) học sinh khối \(B\) và khối \(A\) không thỏa mãn yêu cầu.

- Trường hợp 1: Chọn 2 học sinh khối \(C,10\) học sinh khối \(B\) và 3 học sinh khối A có \(C_5^2C_{10}^{10}C_{15}^3\) cách.

- Trường hợp 2: Chọn 2 học sinh khối \(C,9\) học sinh khối \(B\) và 4 học sinh khối A có \(C_5^2C_{10}^9C_{15}^4\) cách.

Vậy số cách chọn thỏa mãn là \(C_5^2C_{25}^{13} - C_{10}^{10}C_{15}^3 - C_{10}^9C_{15}^4 = 51861950\) (cách).

a) Xếp tùy ý 9 bạn lên hàng ghé nằm ngang, ta có \(9! = 362880\) (cách xếp).

b) Xếp chỗ cho An và Bình ngồi cạnh nhau (thành nhóm \(X\)), số cách xếp trong \(X\) là \(2!\).

Số cách xếp nhóm \(X\) với 7 người còn lại (ta xem là hoán vị của 8 phần tử), số cách xếp là \(8!\).

Số cách xếp hàng thỏa mãn là \(2!8! = 80640\) (cách).

c) Số cách xếp 9 bạn vào 9 chỗ là 9! cách. Vậy số cách xếp để An và Bình không ngồi cạnh nhau là: \(9! - 2!8! = 282240\) (cách).

d) Số cách xếp để An, Bình ngồi 2 đầu dãy ghế là: \(2!.7! = 10080\)

Vì chữ số 2 đứng liền giữa hai chữ số 1 và 3 nên số cần lập có bộ ba số 123 hoặc 321,

TH1: Số cần lập có bộ ba số 123.

Nếu bộ ba số 123 đứng đầu thì số có dạng \(\overline {123abcd} \).

Có \(A_7^4 = 840\) cách chọn bốn số \(a,b,c,d\) nên có \(A_7^4 = 840\) số,

Nếu bộ ba số 123 không đứng đầu thì số có 4 vị trí đặt bộ ba số 123,

Có 6 cách chọn số đứng đầu và có \(A_6^3 = 120\) cách chọn ba số \(b,c,d\),

Theo quy tắc nhân có \(6 \cdot 4 \cdot A_6^3 = 2880\) số.

Theo quy tắc cộng có \(840 + 2880 = 3720\) số.

TH2: Số cần lập có bộ ba số 321.

- Chọn 2 trong 15 nam làm tổ trưởng và tổ phó có \(A_{15}^2\) cách.

- Chọn 3 tổ viên, trong đó có nữ.

+ Chọn 1 nữ và 2 nam có \(5.C_{13}^2\) cách,

+ Chọn 2 nữ và 1 nam có \(13.C_5^2\) cách,

+ Chọn 3 nữ có \(C_5^3\) cách.

Vậy có \(A_{15}^2\left( {5 \cdot C_{13}^2 + 13 \cdot C_5^2 + C_5^3} \right) = 111300\) cách.

Mỗi cách chọn ba bạn để bầu làm cán bộ lớp (có sự phân chia lớp trưởng, lớp phó học tập và lớp phó kỉ luật) là một chỉnh hợp chập 3 của 38 phần tử. Vậy số cách để bầu cán bộ lớp là: \(A_{38}^3 = 50616\) (cách).

Số cách chọn ra chữ số hàng trăm là 6 cách. Với chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị, mỗi cách chọn ra 2 số chính là một chỉnh hợp chập 2 của 6 phần tử. Vậy số các số tự nhiên có ba chữ số khác nhau lập được là: \(6 \cdot A_6^2 = 180\) (cách).

Để đi đến vị trí cuốn sách, chú kiến cần bước 9 bước gồm 4 bước đi lên và 5 bước đi sang phải. Số cách chọn 4 bước đi lên và 5 bước đi sang phải chính là số cách chọn 4 bước đi lên trong dãy 9 bước cần di chuyển. Do đó, số cách chú kiến có thể chọn để đi đến vị trí cuốn sách là: \(C_9^4 = 126\) (cách).

Có 26 chữ cái và 10 chữ số. Chọn 2 kí tự đầu tiên là chữ cái in thường nên ta có \(A_{26}^2\) cách chọn.

Chọn 2 kí tự tiếp theo là chữ cái in hoa nên ta có \(A_{26}^2\) cách chọn.

Chọn 3 kí tự tiếp theo là chữ số trong 10 chữ số nên có \(A_{10}^3\) cách chọn.

Chọn 1 kí tự cuối cùng có 3 cách.

Vậy ta có \(3{\left( {\;A_{26}^2} \right)^2}\;A_{10}^3 = 912600000\) cách để bạn Phú tạo ra một mật khẩu.