Đề kiểm tra Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp lớp 10 (có lời giải) - Đề 3

Tập các chữ cái nguyên âm: \(N = \left\{ {I;E;A} \right\}\)

Tập các chữ cái phụ âm: \(P = \left\{ {V;T;N;M} \right\}\)

Xét các trường hợp sau :

TH1: Hai học sinh lớp A đứng cạnh nhau có \(2!.8!\) cách.

TH2: Giữa hai học sinh lớp A có một học sinh lớp C có \(2!.A_4^1.7!\) cách.

TH3: Giữa hai học sinh lớp A có hai học sinh lớp C có \(2!.A_4^2.6!\) cách.

TH4: Giữa hai học sinh lớp A có ba học sinh lớp C có \(2!.A_4^3.5!\) cách.

TH5: Giữa hai học sinh lớp A có bốn học sinh lớp C có \(2!.A_4^4.4!\) cách.

Vậy theo quy tắc cộng có \[2!\left( {8! + A_4^17! + A_4^26! + A_4^35! + A_4^44!} \right) = 145152\] cách.

Vì chọn ra 3 người mà yêu cầu phải có giáo viên nam và giáo viên nữ trong đoàn nên số giáo viên nữ được chọn chỉ có thể bằng 1 hoặc 2. Ta xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: Chọn 1 giáo viên nữ: Có \(C_3^1\) cách. Khi đó:

- Chọn 1 giáo viên nam môn Toán và 1 nam môn Vật lý: Có \(C_5^1 \times C_4^1\) cách.

- Chọn 2 giáo viên nam môn Vật lý: Có \(C_4^2\) cách,

Trường hợp này có \(C_3^1\left( {C_5^1 \times C_4^1 + C_4^2} \right)\) cách chọn.

Trường hợp 2: Chọn 2 giáo viên nữ: Có \(C_3^2\) cách chọn. Khi đó chọn thêm 1 giáo viên nam môn Vật lý: Có \(C_4^1\) cách. Trường hợp này có \(C_3^2 \times C_4^1\) cách chọn.

Vậy tất cả có \(C_3^1\left( {C_5^1 \times C_4^1 + C_4^2} \right) + C_3^2 \times C_4^1 = 90\) cách chọn.

Chọn nhóm 6 bạn bất kỳ ta có \(C_{14}^6\) cách

Chọn nhóm 6 bạn trong đó có cả \(A\) và \(B\), có \(C_{12}^4\) cách

Chọn nhóm 6 bạn trong đó không có hai bạn \(A\) và \(B\), có \(C_{12}^6\) cách

Suy ra số cách chọn 6 bạn có mặt \(A,B\) nhưng không đồng thời có mặt cả hai người trong tổ là: \(C_{14}^6 - C_{12}^4 - C_{12}^6 = 1584\) cách,

Chọn 1 tổ trưởng từ nhóm 6 bạn này, có 6 cách.

Vậy có \(1584.6 = 9504\) cách chọn thỏa yêu câu đề.

Điều kiện: \(x \in \mathbb{N}\) và \(x \ge 3\). Ta có: \(A_x^3 + C_x^{x - 3} = 14x\) \( \Leftrightarrow \frac{{x!}}{{(x - 3)!}} + \frac{{x!}}{{(x - 3)!3!}} = 14x \Leftrightarrow x(x - 1)(x - 2) + \frac{{x(x - 1)(x - 2)}}{6} = 14x\)

\( \Leftrightarrow 7(x - 1)(x - 2) = 84\)

(vì \(x > 0) \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5{\rm{ (n) }}}\\{x =  - 2\left( l \right)}\end{array}} \right.\)

Vậy phương trình có nghiệm là \(x = 5\).

Áp dụng công thức bài 28 và theo đề bài ta có: \(\frac{{n(n - 3)}}{2} = n \Leftrightarrow {n^2} - 5n = 0\). Suy ra \(n = 5\). Vậy đa giác cần tìm có 5 cạnh.

Trường hợp 1: 1 điểm thuộc \({d_1}\) và 2 điểm thuộc \({d_2}\).

Số tam giác lập được là: \(C_{17}^1 \cdot C_{20}^2 = 3230\).

Trường hợp \(2:2\) điểm thuộc \({d_1}\) và 1 điểm thuộc \({d_2}\).

Số tam giác lập được là: \(C_{17}^2 \cdot C_{20}^1 = 2720\).

Vậy có \(3230 + 2720 = 5950\) tam giác thoả mãn đề bài.

Gọi \(L\) là nhóm 3 sách lý, \(S\) là nhóm 4 sách sinh, Đ là nhóm 5 sách địa. Số cách xếp trong \(L\) là 3!; số cách xếp trong \(S\) là 4!; số cách xếp trong Đ là 5!; số cách xếp L, S, Đ với nhau: 3!.

Vậy số cách xếp thỏa mãn đề bài là: \(3!4!5!3! = 103680\) (cách).

Số tam giác lập được cũng bằng với số cách chọn ra 3 điểm phân biệt từ 10 điểm đã cho, ta có: \(C_{10}^3 = 120\) (tam giác).

Trước hết ta sắp xếp năm chữ số 1 và năm chữ số 2 vào 10 vị trí hàng ngang:

- Chọn năm trong mười vị trí đề sắp xếp chữ số 1: có \(C_{10}^5\) cách chọn.

- Các vị trí còn lại ta sắp xếp chữ số 2: có 1 cách chọn.

Từ dãy các chữ số 1 và 2 ở trên có chín vị trí xen giữa và hai vị trí hai đầu mút. Các số còn lại gồm \(3,4,5,6,7,8,9\) đều lớn hơn 2. Ta cần chọn ra năm trong bảy chữ số trên để sắp xếp vào mười một vị trí cho phép:

- Số cách chọn ra năm trong bảy chữ số: \(C_7^5\).

- Số cách chọn ra năm trong mười một vị trí để sắp xếp năm chữ số vừa chọn là \(A_{11}^5\).

Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn là \(C_{10}^5 \cdot 1 \cdot C_7^5 \cdot A_{11}^5 = 293388480\).

Ta có \(C_3^1 \cdot C_{12}^4\) cách phân công các thanh niên về tỉnh thứ nhất.

Với mỗi cách này thì có \(C_2^1 \cdot C_8^4\) cách phân công số thanh niên còn lại về tỉnh thứ hai. Với mỗi cách phân công trên thì có \(C_1^1 \cdot C_4^4\) cách phân công số thanh nhiên còn lại về tỉnh thứ 3.

Do đó ta có: \(C_3^1C_{12}^4C_2^1C_8^4C_1^1C_4^4 = 207900\) cách phân công thỏa mãn đề bài.