Vẽ đường trung trực của đoạn thẳng AB và AC cắt nhau tại điểm O.

Khi đó OA = OB và OA = OC.

Do đó R = OA = OB = OC, suy ra đường tròn (O; R) ngoại tiếp tam giác ABC.

Ta có AB = AC và OB = OC nên OA là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Vì tam giác ABC cân tại A nên đường trung trực OA của tam giác cũng là tia phân giác của góc BAC, suy ra \(\widehat {OAB} = \frac{1}{2}\widehat {BAC} = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ  = 60^\circ .\)

Xét ∆OAB cân tại O (OA = OB) có \(\widehat {OAB} = 60^\circ \) nên tam giác OAB là tam giác đều.

Vậy R = OA = AB = 12 (cm).

Do AH là đường cao tam giác ABC nên AH ⊥ BC, suy ra \[\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = 90^\circ \]

Ta có \(\widehat {ACD}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) đường kính AD nên \(\widehat {ACD} = 90^\circ .\)

Xét ∆AHB và ∆ACD có:

\(\widehat {AHB} = \widehat {ACD} = 90^\circ ;\)

\(\widehat {ABH} = \widehat {ADC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC của đường tròn (O)).

Do đó ∆AHB ᔕ ∆ACD (g.g).

Suy ra \(\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AH}}{{AC}}\) hay AB.AC = AH.AD.

Vì ABCD là hình chữ nhật nên hai tam giác vuông ABC và ADC có chung cạnh huyền AC, do đó chúng cùng có đường tròn ngoại tiếp là (O; R) với tâm O là trung điểm của AC và bán kính bằng \[R = \frac{{AC}}{2}\,.\]

Áp dụng định lí Pythagore cho ∆ABC vuông tại B, ta có:

AC² = AB² + BC² = 5² + 12² = 169.

Suy ra \[AC = \sqrt {169} = 13\] (cm).

Do đó \[R = \frac{{AC}}{2}\,\, = \frac{{13}}{2} = 6,5\;\] (cm).

Gọi G là trọng tâm, MH là đường cao của tam giác đều MNP.

Khi đó, đường tròn (G; GM) là đường tròn ngoại tiếp tam giác đều MNP; đường tròn (G; GH) là đường tròn nội tiếp tam giác đều MNP.

Xét ∆MNP đều có MH là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến, hay H là trung điểm của NP, do đó \[NH = PH = \frac{1}{2}NP = \frac{1}{2} \cdot 2a\sqrt 3  = a\sqrt 3 .\]

Xét ∆MNH vuông tại H, theo định lí Pythagore, ta có:

MN2 = MH2 + NH2

Suy ra \(M{H^2} = M{N^2} - N{H^2} = {\left( {2a\sqrt 3 } \right)^2} - {\left( {a\sqrt 3 } \right)^2} = 3a.\)

Do đó \(MG = \frac{2}{3}MH = \frac{2}{3} \cdot 3a = 2a;\,\,GH = \frac{1}{3}MH = \frac{1}{3} \cdot 3a = a.\)

Vậy bán kính các đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác MNP lần lượt là 2a và a.