Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD, suy ra $\widehat{\text{ODN}}=\widehat{\text{OBM}}$ (hai góc so le trong);

OB = OD (tính chất đường chéo của hình bình hành);

Xét ∆DON và ∆BOM ta có:

$\widehat{\text{ODN}}=\widehat{\text{OBM}}$;

OD = OB;

$\widehat{O_1}=\widehat{O_2}$ (hai góc đối đỉnh).

Suy ra ∆DON = ∆BOM (g.c.g).

Do đó OM = ON (hai cạnh tương ứng)

Vậy O là trung điểm của MN.

a) Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD

Suy ra $\widehat{\text{ABD}}=\widehat{\text{CDB}}$ (hai góc so le trong) hay $\widehat{\text{ABH}}=\widehat{\text{CDK}}$.

Xét ∆AHB vuông tại H và ∆CKD vuông tại K, ta có:

AB = CD (do ABCD là hình bình hành); $\widehat{\text{ABH}}=\widehat{\text{CDK}}$ (chứng minh trên).

Suy ra ∆AHB  = ∆CKD (cạnh huyền – góc nhọn)

Do đó AH = CK (hai cạnh tương ứng)

Ta có: AH ⊥ BD, CK ⊥ BD suy ra AH // CK.

Tứ giác AHCK có: AH // CK, AH = CK nên là hình bình hành.

b) Vì AHCK là hình bình hành nên AK // CH, hay AM // CN. (1)

Hơn nữa, ABCD là hình bình hành và N ∈ AD, M ∈ BC nên AN // CM. (2)

Từ (1) và (2) suy ra ANCM là hình bình hành.

Vậy AN = CM.

c) Tứ giác AHCK là hình bình hành có hai đường chéo AC, HK cắt nhau tại trung điểm

O của HK nên O cũng là trung điểm của AC.

Tứ giác ANCM là hình bình hành có hai đường chéo AC, NM cắt nhau tại trung điểm

O của AC nên O cũng là trung điểm của MN.

Vậy M, O, N thẳng hàng.

Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD, suy ra $\widehat{\text{AMO}}=\widehat{\text{CNO}};\widehat{\text{MAO}}=\widehat{\text{NCO}}$ (các cặp góc so le trong).

Xét ∆AOM và ∆CON ta có:

$\widehat{\text{AMO}}=\widehat{\text{CNO}}$ (chứng minh trên);

AM = CN (giả thiết);

$\widehat{\text{MAO}}=\widehat{\text{NCO}}$ (chứng minh trên)

Do đó ∆AOM = ∆CON  (g.c.g).

Suy ra OA = OC (hai cạnh tương ứng)

Xét hình bình hành ABCD có O là trung điểm của đường chéo AC nên O cũng là trung điểm của đường chéo BD.

Do đó ba điểm B, O, D thẳng hàng.

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD và AB // CD.

Suy ra $\widehat{\text{ABM}}=\widehat{\text{CDN}}$ (hai góc so le trong).

Xét ∆AMB và ∆CND, ta có:

AB = CD (chứng minh trên);

$\widehat{\text{ABM}}=\widehat{\text{CDN}}$ (chứng minh trên);

BM = DN (giả thiết).

Suy ra ∆AMB = ∆CND (c.g.c).

b) Ta có ∆AMB = ∆CND (theo câu a), suy ra AM = CN (1)

Ta có: BM + MN = BN và DN + MN = DM; mà BM = DN, suy ra BN = DM.

Xét ∆ABN và ∆CDM, ta có:

AB = CD (chứng minh trên);

$\widehat{\text{ABN}}=\widehat{\text{CDM}}\text{ ;}$

BN = DM (chứng minh trên)

Suy ra ∆ABN = ∆CDM (c.g.c), suy ra AN = CM (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác AMCN là hình bình hành.

c) Vì AMCN là hình bình hành nên OA = OC.

∆ABC có OA = OC, suy ra BO là đường trung tuyến của ∆ABC.

ABCD là hình bình hành nên khi O là trung điểm của đường chéo AC thì O cũng là trung điểm của đường chéo BD, khi đó $BO=\frac{1}{2}BD$

Ta lại có: $BM=\frac{1}{3}BD$, suy ra $BM=\frac{2}{3}BO$

Do đó M là trọng tâm ∆ABC.

Khi đó $AM=\frac{2}{3}AI,MI=\frac{1}{3}AI.$ Suy ra AM = 2MI.

d) Vì AMCN là hình bình hành nên AM // CN, mà M ∈ AI, N ∈ CK, nên AI // CK. (3)

Hơn nữa, AD // BC, K ∈ AD, I ∈ BC, nên AK // CI (4)

Từ (3), (4) suy ra AKCI là hình bình hành.

Mà O là trung điểm của AC, suy ra O cũng là trung điểm của KI hay I và K đối xứng nhau qua O.

a) Ta có: MF ⊥ CE, AB ⊥ CE, suy ra MN // AB // CD.

Xét tứ giác MDCN ta có: MD // CN (do AD // BC; M ∈ AD, N ∈ BC) và MN // CD (chứng minh trên).

Do đó tứ giác MDCN là hình bình hành.

Mặt khác M là trung điểm của AD nên $\text{MD}=\frac{1}{2}\text{AD}$

Lại có AD = 2AB mà AB = CD (do ABCD là hình bình hành) nên $\text{CD}=AB=\frac{1}{2}\text{AD}$

Do đó MD = CD.

Suy ra hình bình hành MDCN là hình thoi.

b) Xét tứ giác ADCE ta có AE // CD (theo câu a).

Do đó, tứ giác ADCE là hình thang với hai đáy AE và CD.

Xét hình thang ADCE có:

M là trung điểm AD (giả thiết);

AE // MF // CD (theo câu a).

Theo chứng minh ở Bài 5, trang 63, SBT Toán 8 Tập Một, ta có: F là trung điểm của CE.

Xét ∆EMC có MF là đường trung tuyến ứng với cạnh CE và MF ⊥ CE (giả thiết).

Do đó ∆EMC cân tại M.

c) Tứ giác MDCN là hình thoi nên $\widehat{\text{NMD}}=2\widehat{\text{NMC}}$ (tính chất đường chéo của hình thoi).

Mà ∆EMC cân tại M nên $\widehat{EMF}=\widehat{CMF}$

Ta có $\widehat{\text{BAD}}=\widehat{\text{NMD}}=2\widehat{\text{NMC}}=2\widehat{\text{EMF}}$. (1)

Lại có $\widehat{\text{AEM}}=\widehat{\text{EMF}}$ (hai góc so le trong). (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{\text{BAD}}=2\widehat{\text{AEM}}$.

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Vì ABCD là hình bình hành nên O là trung điểm của AC và BD. (1)

Xét hình bình hành AECF có O là trung điểm của AC nên O là trung điểm của EF (2)

Từ (1) và (2) suy ra ba đường thẳng EF, AC, BD đồng quy tại O.

Xét ∆ABD ta có M, N lần lượt là trung điểm của AB, BD (giả thiết).

Theo bài 4, trang 63, SBT Toán 8 Tập Một, ta có MN // AD và $\text{MN}=\frac{\text{AD}}{2}$.

Xét ∆ACD ta có P, Q lần lượt là trung điểm của DC, AC (giả thiết).

Theo bài 4, trang 63, SBT Toán 8 Tập Một, ta có PQ // AD và $\text{PQ}=\frac{\text{AD}}{2}$.

Xét tứ giác MNPQ ta có MN // PQ (vì cùng song song với AD) và $\text{MN}=\text{PQ}\left(=\frac{\text{AD}}{2}\right)$

Suy ra tứ giác MNPQ là hình bình hành.