Giải SBT Toán 8 Cánh Diều Tứ giác có đáp án
10 câu hỏi
Tính số đo x ở hình 6a
Trong tứ giác ABCD, ta có: \(\widehat {DAB} + \widehat B + \widehat C + \widehat D = 360^\circ \).
Do đó: \(\widehat {DAB} = 360^\circ - \left( {\widehat B + \widehat C + \widehat D} \right) = 360^\circ - \left( {120^\circ + 80^\circ + 50^\circ } \right) = 110^\circ \).
Ta có: \(\widehat {DAB} + x = 180^\circ \) (hai góc kề bù).
Suy ra \(x = 180^\circ - \widehat {DAB} = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \).
Tính số đo y ở hình 6b
Ta có: \(\widehat {GHI} + 65^\circ = 180^\circ \) (hai góc kề bù).
Suy ra \(\widehat {GHI} = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ \).
Trong tứ giác GHIK, ta có: \(\widehat G + \widehat {GHI} + \widehat I + \widehat K = 360^\circ \).
Do đó: 90° + 115° + 90° + y = 360°
Hay y + 295° = 360°.
Suy ra y = 65°.
Tính số đo z ở hình 6c
Ta có: \(\widehat {MNP} + 60^\circ = 180^\circ \) (hai góc kề bù). Suy ra \(\widehat {MNP} = 120^\circ \).
Ta cũng có: \(\widehat {NPQ} + 130^\circ = 180^\circ \) (hai góc kề bù). Suy ra \(\widehat {NPQ} = 50^\circ \).
Trong tứ giác MNPQ, ta có: \(\widehat M + \widehat {MNP} + \widehat {NPQ} + \widehat Q = 360^\circ \).
Do đó: 90° + 120° + 50° + z = 360°
Hay z + 260° = 360°.
Suy ra z = 100°.
Góc kề bù với một góc của tứ giác được gọi là góc ngoài của tứ giác. Chứng minh tổng các góc ngoài của tứ giác ABCD ở Hình 7 (tại mỗi đỉnh chỉ chọn một góc ngoài): \({\widehat A_1} + {\widehat B_1} + {\widehat C_1} + {\widehat D_1} = 360^\circ \).
Trong tứ giác ABCD, ta có: \(\widehat {DAB} + \widehat {ABC} + \widehat {BCD} + \widehat {CDA} = 360^\circ \).
Ta có: \(\widehat {DAB} + \widehat {{A_1}} = \widehat {ABC} + \widehat {{B_1}} = \widehat {BCD} + \widehat {{C_1}} = \widehat {CDA} + \widehat {{D_1}} = 180^\circ \) (các cặp góckề bù).
Suy ra:
\(\left( {180^\circ - \widehat {{A_1}}} \right) + \left( {180^\circ - \widehat {{B_1}}} \right) + \left( {180^\circ - \widehat {{C_1}}} \right) + \left( {180^\circ - \widehat {{D_1}}} \right) = 360^\circ \)
Hay \[720^\circ - \left( {\widehat {{A_1}} + \widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}} + \widehat {{D_1}}} \right) = 360^\circ \].
Do đó \(\widehat {{A_1}} + \widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}} + \widehat {{D_1}} = 360^\circ \).
Vậy \(\widehat {{A_1}} + \widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}} + \widehat {{D_1}} = 360^\circ \).
Cho tứ giác ABCD có AB // CD, \(\widehat B = 135^\circ \), \(\widehat D = 70^\circ \), \(\widehat {ACB} = 25^\circ \) (Hình 8a). Tính số đo góc DAC.
Trong tam giác ABC, ta có: \(\widehat {ABC} + \widehat {BAC} + \widehat {BCA} = 180^\circ \)
Suy ra \(\widehat {BAC} = 180^\circ - \left( {\widehat {ABC} + \widehat {BCA}} \right) = 180^\circ - \left( {135^\circ + 25^\circ } \right) = 20^\circ \).
Do AB // CD nên \(\widehat {ACD} = \widehat {BAC} = 20^\circ \) (hai góc so le trong).
Trong tam giác ACD, ta có: \(\widehat {ADC} + \widehat {ACD} + \widehat {DAC} = 180^\circ \)
Suy ra \(\widehat {DAC} = 180^\circ - \left( {\widehat {ADC} + \widehat {ACD}} \right) = 180^\circ - \left( {70^\circ - 20^\circ } \right) = 90^\circ \).
Vậy \(\widehat {DAC} = 90^\circ \).
Cho tứ giác GHIK có \(\widehat {KGH} = \widehat K = 90^\circ ,\widehat I = 65^\circ \). Trên HI lấy điểm E sao cho \(\widehat {EGH} = 25^\circ \) (Hình 8b). Tính số đo góc GEI.
Trong tứ giác GHIK, ta có: \(\widehat {KGH} + \widehat H + \widehat I + \widehat K = 360^\circ \)
Suy ra \(\widehat H = 360^\circ - \left( {\widehat {KGH} + \widehat I + \widehat K} \right) = 360^\circ - \left( {90^\circ + 65^\circ + 90^\circ } \right) = 115^\circ \).
Trong tam giác GHE, ta có: \(\widehat H + \widehat {HGE} + \widehat {HEG} = 180^\circ \)
Suy ra \(\widehat {HEG} = 180^\circ - \left( {\widehat {HGE} + \widehat H} \right) = 180^\circ - \left( {25^\circ + 115^\circ } \right) = 40^\circ \).
Mà \(\widehat {HEG} + \widehat {GEI} = 180^\circ \)(hai góc kề bù)
Suy ra\(\widehat {GEI} = 180^\circ - \widehat {HEG} = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ \).
Vậy \(\widehat {GEI} = 140^\circ \).
Cho tứ giác MNPQ có PM là tia phân giác của góc NPQ, \(\widehat {QMN} = 110^\circ \), \(\widehat N = 120^\circ \), \(\widehat Q = 60^\circ \) (Hình 8c). Tính số đo các góc NPM, MPQ, QMP.
Trong tứ giác MNPQ, ta có:\(\widehat Q + \widehat {QMN} + \widehat N + \widehat {NPQ} = 360^\circ \)
Suy ra \(\widehat {NPQ} = 360^\circ - \left( {\widehat {QMN} + \widehat N + \widehat Q} \right) = 360^\circ - \left( {110^\circ + 120^\circ + 60^\circ } \right) = 70^\circ \).
Do PM là tia phân giác của góc NPQ nên ta có:
\(\widehat {NPM} = \widehat {MPQ} = \frac{{\widehat {NPQ}}}{2} = \frac{{70^\circ }}{2} = 35^\circ \).
Trong tam giác MPQ, ta có: \(\widehat Q + \widehat {QMP} + \widehat {MPQ} = 180^\circ \)
Suy ra \(\widehat {QMP} = 180^\circ - \left( {\widehat {MPQ} + \widehat Q} \right) = 180^\circ - \left( {35^\circ + 60^\circ } \right) = 85^\circ \).
Vậy \(\widehat {NPM} = \widehat {MPQ} = 35^\circ \), \(\widehat {QMP} = 85^\circ \).
Chứng minh rằng: Trong một tứ giác, tổng độ dài hai đường chéo lớn hơn tổng độ dài hai cạnh đối.
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD trong tứ giác ABCD.
Xét tam giác OAB, ta có: OA + OB > AB.
Xét tam giác OCD, ta có: OC + OD > CD.
Suy ra OA + OB + OC + OD > AB + CD hay AC + BD > AB + CD.
Tương tự, ta cũng chứng minh được: AC + BD > AD + BC.
Vậy: trong một tứ giác, tổng độ dài hai đường chéo lớn hơn tổng độ dài hai cạnh đối.
Thả diều là một trò chơi dân gian của nhiều trẻ em ở Việt Nam cũng như nhiều nước trên thế giới. Một tứ giác ABCD với AB = AD, BC = CD gọi là hình “chiếc diều” (Hình 9).
So sánh \(\widehat B\) và \(\widehat D\).
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.
Xét ∆ABC và ∆ADC có:
AB = AD, BC = CD, cạnh AC chung
Do đó ∆ABC = ∆ADC (c.c.c)
Suy ra \(\widehat {ABC} = \widehat {ADC}\) (hai góc tương ứng).
Thả diều là một trò chơi dân gian của nhiều trẻ em ở Việt Nam cũng như nhiều nước trên thế giới. Một tứ giác ABCD với AB = AD, BC = CD gọi là hình “chiếc diều” (Hình 9).
Tìm mối liên hệ giữa hai đường chéo AC và BD.
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.
Cách 1:
Do AB = AD nên A nằm trên đường trung trực của BD
Do CB = CD nên C nằm trên đường trung trực của BD
Do đó AC là đường trung trực của BD
Suy ra AC ⊥ BD.
Cách 2:
Do ∆ABC = ∆ADC(chứng minh câu a) nên \(\widehat {BAO} = \widehat {DAO}\).
Xét ∆ABO và ∆ADO có:
AB = AD;
\(\widehat {BAO} = \widehat {DAO}\) (chứng minh trên);
Cạnh AO chung
Do đó ∆ABO = ∆ADO (c.g.c).
Suy ra \(\widehat {AOB} = \widehat {AOD}\) (hai góc tương ứng).
Mà \(\widehat {AOB} + \widehat {AOD} = 180^\circ \) (kề bù) nên \(\widehat {AOB} = \widehat {AOD} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \).
Vậy AC ⊥ BD.
