10 câu hỏi
Sử dụng đồ thị dưới đây, xác định xem hàm số y = f(x) có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất hay cực trị tại mỗi điểm x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8 hay không.
Quan sát đồ thị, ta thấy:
Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại điểm x8.
Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm x7.
Hàm số đạt cực đại tại điểm x6.
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x4 và x7.
a) y = 3x4 – 4x3
Tập xác định: D = ℝ.
Ta có: y' = 12x3 – 12x2
y' = 0 ⇔ 12x3 – 12x2 = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 1.
Từ bảng biến thiên, ta được \(\mathop {\min }\limits_\mathbb{R} y = y\left( 1 \right) = - 1\).
Hàn số không có giá trị lớn nhất.
b) \(y = \frac{{{x^2}}}{{x - 1}}\), x > 1
Tập xác định: D = (1; +∞).
Ta có: y' = \(\frac{{2x\left( {x - 1} \right) - {x^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\) = \(\frac{{{x^2} - 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)
y' = 0 ⇔ \(\frac{{{x^2} - 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\) = 0 ⇔ x = 2 hoặc x = 0.
Do x > 1 nên x = 0 loại.
Ta có bảng biến thiên như sau:
Từ bảng biến thiên, ta được: \(\mathop {\min }\limits_{\left( {1; + \infty } \right)} y = y\left( 2 \right) = 4\).
Hàm số không có giá trị lớn nhất trên khoảng (1; +∞).
a) y = −x3 + 3x2 + 2
Tập xác định: D = ℝ.
Ta có: y' = −3x2 + 6x
y' = 0 ⇔ −3x2 + 6x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.
Ta có bảng biến thiên như sau:
Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số không có cả giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
b) \(y = \frac{x}{{{x^2} + 2}}\)
Tập xác định: D = ℝ.
Ta có: y' = \(\frac{{{x^2} + 2 - 2{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 2} \right)}^2}}}\) = \(\frac{{2 - {x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 2} \right)}^2}}}\)
y' = 0 ⇔ \(\frac{{2 - {x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 2} \right)}^2}}}\) = 0 ⇔ x = ±\(\sqrt 2 \).
Ta có bảng biến thiên như sau:
Từ bảng biến thiên, ta được:
\(\mathop {\min }\limits_\mathbb{R} y = y\left( { - \sqrt 2 } \right) = - \frac{{\sqrt 2 }}{4}\); \(\mathop {\max }\limits_\mathbb{R} y = y\left( {\sqrt 2 } \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\).
a) \(f(x) = x\sqrt {4 - {x^2}} \), −2 ≤ x ≤ 2
Ta có: f'(x) = \(\sqrt {4 - {x^2}} + \frac{{ - {x^2}}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}\) = \(\frac{{4 - 2{x^2}}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}\);
f'(x) = 0 ⇔ x = ±\(\sqrt 2 \).
Ta tính được các giá trị: f(−2) = f(2) = 0; f(−\(\sqrt 2 \)) = −2; f(\(\sqrt 2 \)) = 2.
Do đó, \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - \sqrt 2 } \right) = - 2\); \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( {\sqrt 2 } \right) = 2\).
b) f(x) = x – cosx, \( - \frac{\pi }{2} \le x \le \frac{\pi }{2}\)
Ta có: f'(x) = 1 + sinx
f'(x) = 0 ⇔ 1 + sinx = 0 ⇔ x = \( - \frac{\pi }{2} + k2\pi \) (k ∈ ℤ).
Do \( - \frac{\pi }{2} \le x \le \frac{\pi }{2}\) nên x = \( - \frac{\pi }{2}\) (với k = 0).
Ta tính được các giá trị: \(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{2}\); \(f\left( { - \frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{2}\).
Vậy \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - \frac{\pi }{2}} \right) = - \frac{\pi }{2}\), \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]} f\left( x \right) = f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{2}\).
Xét x ∈ (0; 2), ta có: f(x) = 2x – 1
f'(x) = 2 > 0 với mọi x ∈ (0; 2).
Mặt khác, ta có: f(0) = −1, f(2) = 3.
Xét x ∈ (2; 3), ta có: f(x) = x2 – 5x + 9
f'(x) = 2x – 5
f'(x) = 0 ⇔ x = \(\frac{5}{2}\) (thỏa mãn).
Mặt khác, f\(\left( {\frac{5}{2}} \right)\) = \(\frac{{11}}{4}\); f(3) = 3.
Vậy \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right)\) = f(0) = −1; \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right)\) = f(2) = f(3) = 3.a) Ta có: P' = \( - \frac{3}{{10}}\)s2 + 12s
P' = 0 ⇔ \( - \frac{3}{{10}}\)s2 + 12s = 0 ⇔ s = 0 hoặc s = 40.
Ta có bảng biến thiên:
Vậy để mang lại lợi nhuận tối đa, số tiền công ty phải chi cho quảng cáo là 40 nghìn USD.
b) Từ bảng biến thiên, suy ra:
Lợi nhuận của công ty tăng dần khi số tiền chi cho quảng cáo tăng từ 0 đến 40 nghìn USD
Lợi nhuận của công ty giảm dần khi số tiền chi cho quảng cáo lớn hơn 40 nghìn USD và khi đó, càng tăng tiền quảng cáo thì lợi nhuận càng giảm.
a) Ta có: C = C(x) = \(3,6.\left( {\frac{{2500}}{x} + x} \right)\) với x ∈ [10; 75].
C'(x) = 3,6.\(\left( { - \frac{{2500}}{{{x^2}}} + 1} \right)\)
C'(x) = 0 ⇔ x = 50 (do x ∈ [10; 75]).
Xét trên đoạn [10; 75], ta tính được: C(10) = 936; C(50) = 360; C(75) = 390.
Vậy xe tải đi với tốc độ 50 dặm/giờ thì chi phí nhiên liệu sẽ ít nhất.
b) Trong trường hợp người lái xe tải được trả lương 28 USD/giờ (khi xe chạy) thì chi phí C(X) khi lái xe s dặm là:
C(x) = 28. \(\frac{s}{x}\) + \(\frac{s}{{200}}\left( {\frac{{2500}}{x} + x} \right)\) = \(s.\left( {\frac{{81}}{{2x}} + \frac{x}{{200}}} \right)\).
Ta có: C'(x) = \(s\left( { - \frac{{81}}{{2{x^2}}} + \frac{1}{{100}}} \right)\).
Suy ra C'(x) < 0 với mọi x ∈ [10; 75], tức là hàm số C(x) nghịch biến trên đoạn [10; 75]
Vậy xe phải di chuyển với tốc độ 72 dặm/ giờ thì tiết kiệm chi phí nhất.
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 10 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
Xét hàm số: \(I = \frac{a}{{{x^2}}} + \frac{b}{{{{\left( {s - x} \right)}^2}}}\), 0 < x < s.
Ta có: I' = \( - \frac{{2a}}{{{x^3}}} + \frac{{2b}}{{\left( {s - z} \right)}} = \frac{{2\left[ {b{x^3} - a{{\left( {s - x} \right)}^3}} \right]}}{{{x^3}{{\left( {s - x} \right)}^3}}}\), 0 < x < s.
Do đó: I' = 0 ⇔ \(\frac{x}{{s - x}} = \frac{{\sqrt[3]{a}}}{{\sqrt[3]{b}}}\) ⇔ x = \(\frac{{s\sqrt[3]{a}}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}}\).
Ta có bảng biến thiên như sau:
Vậy tại điểm P trên AB và cách A một khoảng PA = x = \(\frac{{s\sqrt[3]{a}}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}}\) (m) thì nhiệt độ thấp nhất.
Một vật được phóng lên trời theo một góc xiên θ (45° ≤ x ≤ 90°) so với phương ngang với vận tốc ban đầu v0 (feet/giây) tính từ chân mặt phẳng nghiêng tạo một góc 45° so với phương ngang (xem hình vẽ). Nếu bỏ qua sức cản của không khí thì quãng đường R (tính bằng feet, 1 feet = 0,3048 m) mà vật di chuyển lên mặt phẳng nghiêng được cho bởi hàm số
R(θ) = \(\frac{{v_0^2\sqrt 2 }}{{16}}\cos \theta \left( {\sin \theta - \cos \theta } \right).\)
Góc nén θ nào làm cho quãng đường R lớn nhất? Giá trị lớn nhất của R là bao nhiêu?
Ta có: R(θ) = \(\frac{{v_0^2\sqrt 2 }}{{16}}\left( {\cos \theta \sin \theta - {{\cos }^2}\theta } \right)\) = \(\frac{{v_0^2\sqrt 2 }}{{32}}\left( {\sin 2\theta - \cos 2\theta - 1} \right)\), 45° ≤ θ ≤ 90°.
Do đó: R'(θ) = \(\frac{{v_0^2\sqrt 2 }}{{16}}\left( {\cos 2\theta + \sin 2\theta } \right)\)
R'(θ) = 0 ⇔ 2θ = 135° ⇔ θ = 67,5° (do 45° ≤ θ ≤ 90°).
Mặt khác, R(45°) = 0; R(67,5°) = \(\frac{{{v^2}\left( {2 - \sqrt 2 } \right)}}{{32}}\); R(90°) = 0.
Ta có bảng biến thiên như sau:
Vậy khi góc ném θ = 67,5° thì quãng đường R là lớn nhất và bằng \(\frac{{{v^2}\left( {2 - \sqrt 2 } \right)}}{{32}}\) feet, trong đó v0 (feet/giây) là vận tốc ban đầu của vật.
Một chiếc xe nhỏ chuyển động không có ma sát, gắn vào tường bằng một lò xo (xem hình vẽ), được kéo ra khỏi vị trí đứng yên 10 cm rồi thả ra tại thời điểm ban đầu t = 0 giây để chuyển động trong 4 giây. Vị trí s (cm) tại thời điểm t giây là s = 10cosπt.
a) Tốc độ lớn nhất của xe là bao nhiêu? Khi nào xe chuyển động với tốc độ như vậy, khi đó xe đang ở vị trí nào và gia tốc lúc đó có độ lớn là bao nhiêu?
b) Xe ở đâu khi độ lớn gia tốc là lớn nhất? Khi đó vận tốc của xe là bao nhiêu?
a) Vận tốc của xe là v(t) = s'(t) = −10πsinπt (cm/s).
Do đó, gia tốc của xe là a(t) = v'(t) = −10π2cosπt (cm/s2).
Ta có: v'(t) = 0 ⇔ t ∈ \(\left\{ {\frac{1}{2};\frac{3}{2};\frac{5}{2};\frac{7}{2}} \right\}\) (do t ∈ [0; 4]).
Mặt khác, v(0) = v(4) = 0; v\(\left( {\frac{1}{2}} \right)\) = v\(\left( {\frac{3}{2}} \right)\) = v\(\left( {\frac{5}{2}} \right)\) = v\(\left( {\frac{7}{2}} \right)\) = −10π.
Tốc độ của độ lớn của vận tốc, tức là \(\left| {v\left( t \right)} \right|\).
Vậy tốc độ lớn nhất của xe là 10π (cm/s), đạt được tại các thời điểm: \(\frac{1}{2};\frac{3}{2};\frac{5}{2};\frac{7}{2}\) giây.
Tại các thời điểm đó, xe đều có gia tốc bằng 0 và tại các vị trí s = 0 (tức là ở vị trí xe đứng yên, khi mà chưa kéo lò xo).
b) Ta có: a'(t) = 10π3sinπt
a'(t) = 0 ⇔ t ∈ {0; 1; 2; 3; 4}.
Khi đó, a(0) = a(2) = a(4) = −10π2; a(1) = a(3) = 10π2.
Độ lớn gia tốc của xe là \[\left| {a\left( t \right)} \right|\].
Do đó, độ lớn gia tốc là lớn nhất tại các thời điểm 0; 1; 2; 3; 4 giây.
Khi t = 0; 2; 4 giây, xe ở vị trí s = 10 (cm); khi t = 1; 3 giây, xe ở vị trí s = −10 (cm).
Vậy độ lớn của gia tốc của xe lớn nhất tại các vị trí s = 10 (cm) hoặc s = −10 (cm) (tức là khi xe ở mép phải hoặc mép trái của quãng đường dao động) và tại các vị trí đó, vận tốc của xe đều bằng 0.
Bạn có thích hoạt động này không?
Ý kiến của bạn sẽ giúp chúng tôi đề xuất nội dung phù hợp hơn.
![[Năm 2022] Đề thi thử môn Vật lí THPT Quốc gia có lời giải - Đề số 21](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fvideo.vietjack.com%2Fupload%2Fimages%2Fvj-image%2Fimage-3izficdefgfoel0s9j8s-1786772791.jpg&w=3840&q=75)
![[Năm 2022] Đề thi thử môn Vật lí THPT Quốc gia có lời giải - Đề số 20](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fvideo.vietjack.com%2Fupload%2Fimages%2Fvj-image%2Fimage-emy0gtcksawvorajezvv-1786772460.jpg&w=3840&q=75)
