Đề kiểm tra Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lớp 12 (có lời giải) - Đề 2

Dựa vào định nghĩa về GTLN và GTNN của hàm số, ta được khẳng định đúng là khẳng định (II).

Ta có: \(y = - {x^2} + 9 \le 9\); \(\forall x \in \mathbb{R}\) nên hàm số đạt giá trị lớn nhất là \(9\).

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right).\)

\(M = \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2\,;\,2} \right]} f\left( x \right) =  - 1\) khi \(x =  - 1\) hoặc \(x = 2\).

\(m = \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2\,;\,2} \right]} f\left( x \right) =  - 5\) khi \(x =  - 2\) hoặc \(x = 1\).

Không tồn tại giá trị lớn nhất của hàm số vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty \).

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\).

Ta có \(y' = 1 - \frac{9}{{{x^2}}}\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x =  - 3\,\,\left( l \right)\end{array} \right.\).

\(y\left( 2 \right) = \frac{{13}}{2}\), \(y\left( 4 \right) = \frac{{25}}{4}\), \(y\left( 3 \right) = 6\).

Vậy \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {2\,;\,4} \right]} y = 6\).

Tập xác định \(D = \left[ { - 1\,;\,6} \right]\).

\(y' = \frac{1}{{2\sqrt {x + 1} }} - \frac{1}{{2\sqrt {6 - x} }}\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow \sqrt {x + 1}  = \sqrt {6 - x}  \Leftrightarrow x + 1 = 6 - x \Leftrightarrow x = \frac{5}{2}\)

Ta có \(y\left( { - 1} \right) = \sqrt 7 \), \(y\left( 6 \right) = \sqrt 7 ,\) \(y\left( {\frac{5}{2}} \right) = \sqrt {14} \).

Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất tại \(x = \frac{5}{2}\).

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\).

Đặt \(t = {\cos ^2}x,\) \(t \in \left[ {0\,;\,1} \right]\).

Hàm số viết lại \(y = {t^2} - t + 4\)

\(y' = 2t - 1\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2}\)

Ta có \(y\left( 0 \right) = 4,\) \(y\left( 1 \right) = 4,\) \(y\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{{15}}{4}\).

Vậy giá trị lớn nhất là 4.

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

\(y' = \frac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} > 0,\,\,\forall x \in D\).

Ta có \(y\left( 3 \right) = 2,\) \(y\left( 5 \right) = \frac{3}{2}.\)

Vậy \(M - m = 2 - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}\).

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\).

\(y' =  - 3{e^{2 - 3x}} < 0,\,\,\forall x \in \left[ {0\,;\,2} \right]\)

Ta có \(y\left( 0 \right) = {e^2}\), \(y\left( 2 \right) = {e^{ - 4}}\).

Vậy \(m.M = {e^{ - 4}}.{e^2} = {e^{ - 2}} = \frac{1}{{{e^2}}}\).

Ta có \(y' = \frac{{2x}}{{\left( {{x^2} + 4} \right)\ln 2}} = 0 \Rightarrow x = 0\).

Khi đó: \(y\left( { - 2} \right) = {\log _2}8 = 3;\,\,\,y\left( 0 \right) = {\log _2}4 = 2;\,\,\,y\left( 5 \right) = {\log _2}29\).

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \[\left[ { - 2;\,5} \right]\] là \({\log _2}29\).

a) Đúng

Ta có \(y = f\left( x \right) = \left| {{x^3} - 3{x^2} + m} \right| \ge 0\) với mọi giá trị của \(x\).

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \({x^3} - 3{x^2} + m = 0\), tức là phương trình \({x^3} - 3{x^2} + m = 0\) có nghiệm (hay đồ thị của hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + m\) cắt trục hoành).

Do đó, nếu đồ thị của hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + m\) luôn cắt trục hoành thì giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \left| {{x^3} - 3{x^2} + m} \right|\) bằng 0.

b) Đúng

Với \(m = 2\) ta có \(f\left( x \right) = \left| {{x^3} - 3{x^2} + 2} \right|\). Xét hàm số \(g\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 2\) trên đoạn \(\left[ {3;\,\,5} \right]\).

Ta có, \(g'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \notin \left[ {3;\,\,5} \right]\\x = 2 \notin \left[ {3;\,\,5} \right]\end{array} \right.\).

Khi đó, \(g\left( 3 \right) = 2,\,\,g\left( 5 \right) = 52\). Vậy \[\mathop {\min }\limits_{\left[ {3;\,\,5} \right]} g\left( x \right) = 2\].

Suy ra \[\mathop {\min }\limits_{\left[ {3;\,\,5} \right]} \left| {g\left( x \right)} \right| = 2\] hay \[\mathop {\min }\limits_{\left[ {3;\,\,5} \right]} f\left( x \right) = 2\].

 c) Sai

Xét hàm số \(g\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + m \Rightarrow g'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \in \left[ {0;\,\,1} \right]\\x = 2 \notin \left[ {0;\,\,1} \right]\end{array} \right.\).

Khi đó, \(g\left( 0 \right) = m,\,\,g\left( 1 \right) = m - 2\).

Vì \(m < 0\) nên \(m - 2 < m < 0\), suy ra \(f\left( 0 \right) = \left| m \right| =  - m,\,\,f\left( 1 \right) =  - m + 2\) và \( - m + 2 >  - m > 0\).

Do đó, \[\mathop {Max}\limits_{\left[ {0;\,\,1} \right]} f\left( x \right) =  - m + 2\].

d) Sai

Xét hàm số \(g\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + m \Rightarrow g'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \in \left[ { - 2;\,\,2} \right]\\x = 2 \in \left[ { - 2;\,\,2} \right]\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow g\left( { - 2} \right) = m - 20,\,\,g\left( 0 \right) = m,\,\,g\left( 2 \right) = m - 4\).

Khi đó, \(\mathop {Max}\limits_{\left[ { - 2;\,\,2} \right]} g\left( x \right) = m,\,\,\,\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;\,\,2} \right]} g\left( x \right) = m - 20\).

Suy ra \[\mathop {Max}\limits_{\left[ { - 2;\,\,2} \right]} f\left( x \right) = {\rm{max}}\left\{ {\left| m \right|,\left| {m - 20} \right|} \right\} = 10 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left| {m - 20} \right| = 10\\\left| {m - 20} \right| \ge \left| m \right|\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}\left| m \right| = 10\\\left| m \right| \ge \left| {m - 20} \right|\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 10\\m = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 10\]

Vậy tổng các giá trị của tham số \(m\)bằng 10.

+ Đặt \(f(x) = {x^4} - 2{x^2} + 3m\), ta có \(f'(x) = 4{x^3} - 4x;\,f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = - 1\end{array} \right.\)

+ Khi \(m = 1\)ta có \(f(0) = 3;f(1) = 2;f(2) = 11\) do đó \(y(0) = 3;y(1) = 2;y(2) = 11\). Vậy a) đúng, b) Sai

+ Ta có \(f(0) = 3m;f(1) = f( - 1) = 3m - 1\) do đó \(y(0) = \left| {3m} \right|;y(1) = y( - 1) = \left| {3m - 1} \right|\)

+ Để giá trị lớn nhất trên đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\) bằng 9 ta có 2 trường hợp

+/ TH1:\(\left\{ \begin{array}{l}\left| {3m} \right| > \left| {3m - 1} \right|\\\left| {3m} \right| = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {3m} \right| > \left| {3m - 1} \right|\\m = \pm 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left| 9 \right| > \left| 8 \right|\\m = 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}\left| { - 9} \right| > \left| { - 10} \right|\\m = - 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 3\)

+/ TH 2:\(\left\{ \begin{array}{l}\left| {3m - 1} \right| > \left| {3m} \right|\\\left| {3m - 1} \right| = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {3m - 1} \right| > \left| {3m} \right|\\\left[ \begin{array}{l}m = \frac{{10}}{3}\\m = - \frac{8}{3}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left| 9 \right| > \left| {10} \right|\\m = \frac{{10}}{3}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}\left| { - 9} \right| > \left| { - 8} \right|\\m = - \frac{8}{3}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m = - \frac{8}{3}\)

-    Vậy có hai giá trị của tham số \[m\]nên c) đúng

+/ Ta có \(f(0) = 3m;f(1) = 3m - 1;\,f(2) = 8 + 3m\) do đó \(y(0) = \left| {3m} \right|;y(1) = \left| {3m - 1} \right|;y(2) = \left| {8 + 3m} \right|\)

+ Đặt \(A = \left\{ {\left| {3m} \right|;\left| {3m - 1} \right|;\left| {8 + 3m} \right|} \right\}\)thì giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\) nhận một trong các giá trị của \[A\]. Có 3 trường hợp

+ Giá trị nhỏ nhất trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\) bằng \(\left| {3m} \right|\) ta có \(\left| {3m} \right| = 2024 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{{2024}}{3}\\m = - \frac{{2024}}{3}\end{array} \right.\)

-    Với \(m = \frac{{2024}}{3}\) ta có \(A = \left\{ {2024;2023;2031} \right\}\)(Loại)

-    Với \(m = - \frac{{2024}}{3}\) ta có \(A = \left\{ {2024;2025;2016} \right\}\)(Loại)

+ Giá trị nhỏ nhất trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\) bằng \(\left| {3m - 1} \right|\) ta có \(\left| {3m - 1} \right| = 2024 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{{2025}}{3}\\m = - \frac{{2023}}{3}\end{array} \right.\)

-    Với \(m = \frac{{2025}}{3}\) ta có \(A = \left\{ {2025;2024;2033} \right\}\)(Chọn)

-    Với \(m = - \frac{{2023}}{3}\) ta có \(A = \left\{ {2023;2024;2017} \right\}\)(Loại)

+ Giá trị nhỏ nhất trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\) bằng \(\left| {8 + 3m} \right|\) ta có \(\left| {8 + 3m} \right| = 2024 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{{2016}}{3}\\m = - \frac{{2032}}{3}\end{array} \right.\)

-    Với \(m = \frac{{2016}}{3}\) ta có \(A = \left\{ {2016;2015;2024} \right\}\)(Loại)

-    Với \(m = - \frac{{2032}}{3}\) ta có \(A = \left\{ {2032;2033;2024} \right\}\)(Chọn)

Vậy \(3\left| {{m_1} - {m_2}} \right| = 4057\) nên d) đúng

Đặt \(t = {{\rm{e}}^x} \Rightarrow t \in \left[ {1\,;\,4} \right]\). Ta có \(f\left( t \right) = {t^2} - 4t + m\) với \(t \in \left[ {1\,;\,4} \right]\).

Do đó: \(f'\left( t \right) = 2t - 4\). Xét \(f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 2t - 4 = 0 \Leftrightarrow t = 2\) (nhận).

Ta có: \(f\left( 1 \right) = m - 3\); \(f\left( 2 \right) = m - 4\); \(f\left( 4 \right) = m\).

+ Với \[m = 1\] ta có \[f\left( 1 \right) = 1 - 3 =  - 2\]; \(f\left( 2 \right) = 1 - 4 =  - 3\); \(f\left( 4 \right) = 1\).

Do đó

a)  Đúng

b)  Sai

+ Với \[m = 9\] ta có\(f\left( 1 \right) = 9 - 3 = 6\); \(f\left( 2 \right) = 9 - 4 = 5\); \(f\left( 4 \right) = 9\). Vậy giá trị nhỏ nhất trên \(\left[ {0\,;\,\ln 4} \right]\)bằng 5 là đúng

c)  Đúng

+ Theo trên ta có giá trị nhỏ nhất của \(f\left( x \right) = \left| {{{\rm{e}}^{2x}} - 4{{\rm{e}}^x} + m} \right|\) trên \(\left[ {0\,;\,\ln 4} \right]\) sẽ thuộc \(A = \left\{ {\left| {m - 3} \right|\,;\,\left| {m - 4} \right|\,;\,\left| m \right|} \right\}\).

Ø Xét \(\left| {m - 4} \right| = 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 10 \Rightarrow A = \left\{ {7\,;\,6\,;\,10} \right\}\\m =  - 2 \Rightarrow A = \left\{ {5\,;\,6\,;\,2} \right\}\end{array} \right.\).

Ta thấy \(m = 10\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0\,;\,\ln 4} \right]} f\left( x \right) = 6\).

Ø Xét \(\left| {m - 3} \right| = 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 9 \Rightarrow A = \left\{ {5\,;\,6\,;\,9} \right\}\\m =  - 3 \Rightarrow A = \left\{ {7\,;\,6\,;\,3} \right\}\end{array} \right.\)(Không có \[m\] thỏa mãn).

Ø Xét \(\left| m \right| = 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 6 \Rightarrow A = \left\{ {2\,;\,3\,;\,6} \right\}\\m =  - 6 \Rightarrow A = \left\{ {10\,;\,9\,;\,6} \right\}\end{array} \right.\).

Ta thấy \(m =  - 6\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0\,;\,\ln 4} \right]} f\left( x \right) = 6\).

Vậy có hai giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

d)  Đúng

a) Đúng.

Vì hàm số \[y = f(x)\] nghịch biến trên đoạn \[\left[ { - 1;2} \right]\] nên giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \[\left[ { - 1;2} \right]\] là \[f( - 1) \Rightarrow \]a) Đúng.

b) Sai.

Căn cứ BXD ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại \[x = 2\] nên giá trị lớn nhất của hàm số \[y = f(x)\]trên đoạn \[\left[ { - 1;3} \right]\] là \[f(2) \Rightarrow \] b) Sai.

c) Sai.

 Ta có \[h'\left( x \right) = 2f'(2x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x =  - 1\\2x = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{1}{2}\\x = 1\end{array} \right.\] .

BBT của hàm số \[h\left( x \right) = f(2x)\] là

vậy giá trị lớn nhất của hàm số \[h\left( x \right) = f(2x)\]trên đoạn \[\left[ { - 1;1} \right]\] là \[f( - \frac{1}{2})\]   \( \Rightarrow \) c) Sai.

d) Đúng.

Ta có

\(g'\left( x \right) = \left( {2x - 2} \right)f'\left( {{x^2} - 2x} \right) - 6x + 6 = \left( {2x - 2} \right)\left[ {f'\left( {{x^2} - 2x} \right) - 3} \right]\)

\(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - 2 = 0\\f'\left( {{x^2} - 2x} \right) - 3 = 0\end{array} \right.\)

Với \(x \in \left[ {0;2} \right] \Rightarrow {x^2} - 2x \in \left[ { - 1;0} \right]\)

Trên \(\left[ { - 1;0} \right]\), \(f'\left( {{x^2} - 2x} \right) \le 0 \Rightarrow f'\left( {{x^2} - 2x} \right) - 3 < 0\)

Do đó \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1\)

Ta có bẳng biến thiên như sau

Đáp số: 5.

\(D = \mathbb{R}\)

\(f'(x) = 3{x^2} - 6x + 4\)

Ta có \(f'(x) > 0,\forall x \in \mathbb{R}\). Do đó hàm số đồng biến trên \(\left( {0;1} \right]\)

Hàm số đạt giá trị lớn nhất là \(M = f(1) = {m^2} - 2m + 2\)

\(M \le 8 \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 2 \le 8\)\( \Leftrightarrow {m^2} - 2m - 6 \le 0 \Leftrightarrow 1 - \sqrt 7  \le m \le 1 + \sqrt 7 \)

Các giá trị nguyên của \(m\)thỏa mãn là \( - 1;\,0\,;\,1;\,2;\,3\).

Có \(5\) giá trị nguyên của tham số \(m\) để \(M \le 8\).

Ta có \(y = f\left( x \right) = \cos x\left( {1 - 2\cos 2x} \right) = \cos x\left( { - 4{{\cos }^2}x + 3} \right) =  - 4{\cos ^3}x + 3\cos x\).

Đặt \(t = \cos x,\,\,t \in \left[ { - 1;1} \right]\). Hàm số trở thành \(y = f\left( t \right) =  - 4{t^3} + 3t\) với \(t \in \left[ { - 1;1} \right]\).

Khi đó \(y' = f'\left( t \right) =  - 12{t^2} + 3\). Cho \(f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t =  \pm \frac{1}{2}\).

Ta tính \(f\left( { - 1} \right) = 1;f\left( 1 \right) =  - 1;f\left( { - \frac{1}{2}} \right) =  - 1;f\left( {\frac{1}{2}} \right) = 1\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f\left( x \right) = \cos x\left( {1 - 2\cos 2x} \right)\) là \( - 1\).

Gọi cạnh đáy của bể nước có độ dài là \(x\left( m \right)\) và chiều cao của bể nước là \(h\left( m \right)\). Điều kiện \(x,h > 0\).

Khi đó thể tích của bể nước là \(16{m^3}\) nên \({x^2}h = 16 \Leftrightarrow h = \frac{{16}}{{{x^2}}}\).

Diện tích cần để xây bể nước (bao gồm diện tích xung quanh và diện tích mặt đáy) là

\(S = 4xh + {x^2} = 4x.\frac{{16}}{{{x^2}}} + {x^2} = \frac{{64}}{x} + {x^2}\).

Để tìm số tiền tối thiểu, ta tìm giá trị nhỏ nhất của hàm \(y = S\left( x \right)\) với \(x > 0\).

Ta có \(S'\left( x \right) =  - \frac{{64}}{{{x^2}}} + 2x\). Cho \(S'\left( x \right) = 0 \Rightarrow 2{x^3} - 64 = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{{32}}\).

Lập bảng biến thiên, ta dễ thấy \(\mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} S\left( x \right) = S\left( {\sqrt[3]{{32}}} \right)\).

Vậy số tiền tối thiểu phải trả là \(500\,000.S\left( {\sqrt[3]{{32}}} \right) \approx 15\,119\,053\)(đồng).

Gọi cạnh hình tam giác cân bị cắt bỏ có độ dài \(x\,\,(0 < x < 3)\)

\( \Rightarrow AN = BM = x \Rightarrow MN = 6 - 2x\)

\( \Rightarrow EM = EN = \frac{{6 - 2x}}{{\sqrt 2 }}\)

Hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông cạnh \(MF = x\sqrt 2 \),

Có chiều cao \(EN = \frac{{6 - 2x}}{{\sqrt 2 }}\)

\( \Rightarrow V = M{F^2}.EN = 2{x^2}.\frac{{6 - 2x}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 {x^2}\left( {6 - 2x} \right) =  - 2\sqrt 2 {x^3} + 6\sqrt 2 {x^2}\)

\( \Rightarrow V' =  - 6\sqrt 2 {x^2} + 12\sqrt 2 x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = 2}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow {V_{{\rm{max}}}} = V\left( 2 \right) =  - 2\sqrt 2 {.2^3} + 6\sqrt 2 {.2^2} = 8\sqrt 2 \)

Gọi \[x\]là chiều dài 1 mặt hàng rào hình chữ E ( trong ba mặt song song,\[x > 0\] ).

Gọi \[y\]là chiều dài mặt hàng rào hình chữ E song song với bờ sông (\[y > 0\]).

Số tiền phải làm là:

\[x.3.50000 + y.60000 = 15.000.000 \Leftrightarrow y = \frac{{500 - 5x}}{2}\].

Diện tích đất:

\[S = x.y = x.\frac{{500 - 5x}}{2} = 250x - \frac{5}{2}{x^2}\]

Ta có:

\[S' = 250 - 5x\].

\[S' = 0 \Leftrightarrow 250 - 5x \Leftrightarrow x = 50.\]

Bảng biến thiên: