Bài tập Một số bài toán hàm hợp liên quan đến giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số của hàm lớp 12 (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Vì −1 ≤ cosx ≤ 1. Đặt t = cosx, −1 ≤ t ≤1.

Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(t), −1 ≤ t ≤1.

Dựa vào đồ thị hàm số ta có \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} f\left( t \right) = - 1\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Đặt \(t = \sqrt {4 - {x^2}} \), 0 ≤ t ≤ 2.

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = f(t) với 0 ≤ t ≤ 2.

Dựa vào bảng biến thiên ta có \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( t \right) = 2\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Đặt t = x² – 2x.

Với x ∈ [0; 3] thì t ∈ [0; 3].

Bài toán trở thành tìm \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( t \right)\).

Dựa vào đồ thị hàm số y = f(x), ta có \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( t \right) = 5\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Có g'(x) = f'(x) – 2x – 1.

g'(x) = 0 $\iff$ f'(x) = 2x + 1.

Dựa vào đồ thị hàm số ta có g'(x) = 0 \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 1\\x = 2\end{array} \right.\].

Ta có bảng biến thiên của hàm số g(x) như sau

Dựa vào bảng biến thiên ta có \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} g\left( x \right) = g\left( 1 \right)\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Đặt t = e^x.

Vì x ∈ [0; ln3] thì t ∈ [1; 3].

Bài toán trở thành tìm \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} f\left( t \right)\).

Dựa vào bảng biến thiên ta có \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} f\left( t \right) = - 2\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                   b) Sai.                  c) Sai.                  d) Đúng.

a) Đúng. Dựa vào đồ thị hàm số y = f(x), ta có \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = 2\).

b) Sai. Đặt t = 2sinx + 1.

Vì −1 $\le$ sinx $\le$ 1 nên −1 $\le$ 2sinx + 1 $\le$ 3 hay −1 $\le$ t $\le$ 3.

Bài toán trở thành tìm \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} f\left( t \right)\).

Dựa vào đồ thị hàm số, ta có \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} f\left( t \right) = 2\).

c) Sai. Dựa vào đồ thị hàm số, ta có \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} f\left( t \right) = - 2\).

d) Đúng. M + m = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                   b) Sai.                  c) Đúng.              d) Đúng.

a) Đúng. Dựa vào đồ thị hàm số ta có giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên đoạn [−1; 2] là 3.

b) Sai. Dựa vào đồ thị hàm số ta có giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên đoạn [−1; 1] là −1.

c) Đúng. Đặt t = 2x³ + x – 1. Với x $\in$ [0; 1] thì t $\in$ [−1; 2].

Bài toán trở thành tìm \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} f\left( t \right)\).

Dựa vào đồ thị hàm số ta có \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} f\left( t \right) = - 1\).

Vậy \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} f\left( {2{x^3} + x - 1} \right) = - 1\).

d) Đúng. Dựa vào đồ thị hàm số ta có \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} f\left( t \right) = 3\).

Do đó \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} f\left( {2{x^3} + x - 1} \right) = 3\)\[ \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} \left[ {f\left( {2{x^3} + x - 1} \right) + m} \right] = 3 + m\].

Theo đề có 3 + m = −10 $\iff$ m = −13.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai.             b) Sai.                  c) Sai.                  d) Sai.

a) Sai. Có f'(x) = −3x² + 6x; f'(x) = 0 $\iff$ x = 0 hoặc x = 2.

Bảng biến thiên của hàm số f(x) như sau

Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số y = f(x) không có giá trị nhỏ nhất.

b) Sai. Đặt t = e^x. Với x ∈ [0; ln2] thì t ∈ [1; 2].

Bài toán trở thành tìm \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;2} \right]} f\left( t \right)\).

Dựa vào bảng biến thiên ta có \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;2} \right]} f\left( t \right) = 6\).

c) Sai. Bài toán trở thành tìm \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;2} \right]} f\left( t \right)\).

Dựa vào bảng biến thiên ta có \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;2} \right]} f\left( t \right) = f\left( 1 \right) = 4\).

d) Sai. \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;2} \right]} f\left( t \right) + \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;2} \right]} f\left( t \right) = 6 + 4 = 10\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai.             b) Đúng.              c) Đúng.              d) Sai.

a) Sai. Dựa vào đồ thị hàm số ta có \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} f\left( x \right) = 5\).

b) Đúng. Dựa vào đồ thị hàm số ta có \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} f\left( x \right) = - 5,5\).

c) Đúng. Đặt t = x² – 2x.

Với x ∈ [−1; 2] thì t ∈ [0; 3].

Bài toán trở thành tìm \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( t \right)\).

Dựa vào đồ thị hàm số ta có \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( t \right) = - 5,5\).

d) Sai. Đưa bài toán tìm \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} f\left( {{x^2} - 2x} \right)\) về bài toán tìm \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( t \right)\).

Dựa vào đồ thị hàm số ta có \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( t \right) = 5\).

Khi đó \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} f\left( {{x^2} - 2x} \right) + \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} f\left( {{x^2} - 2x} \right) = - 5,5 + 5 = - 0,5\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai.             b) Đúng.              c) Đúng.              d) Đúng.

a) Sai. Dựa vào bảng xét dấu của f'(x), ta có \(\mathop {\max }\limits_{\left( { - \infty ;1} \right)} f\left( x \right) = f\left( { - 1} \right)\).

b) Đúng. Đặt g(x) = f(x²).

Ta có g'(x) = 2xf'(x²).

Có g'(x) = 0 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\f'\left( {{x^2}} \right) = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = 1\\{x^2} = 4\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm 1\\x = \pm 2\end{array} \right.\).

Bảng xét dấu của g'(x) trên đoạn [−2; 2] như sau

Ta có g(−2) = g(2) = f(4) và g(0) = f(0).

Vì f(0) < f(4) nên \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( {{x^2}} \right) = f\left( 4 \right)\).

c) Đúng. Có g(−1) = g(1) = f(1).

Do đó \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( {{x^2}} \right) = f\left( 1 \right)\).

d) Đúng. \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( {{x^2}} \right) + \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( {{x^2}} \right) = f\left( 4 \right) + f\left( 1 \right)\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 0

Đặt t = x² – 1. Với \(x \in \left[ {0;\sqrt 2 } \right]\) thì t ∈ [−1; 1].

Bài toán trở thành tìm \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} f\left( t \right)\).

Dựa vào đồ thị hàm số ta có \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} f\left( t \right) = 2\) khi t = −1.

Suy ra x² – 1 = −1 $\iff$ x = 0.

Do đó a = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 8

Đặt t = x² – 2x. Với x ∈ [0; 3] thì t ∈ [0; 3].

Khi đó \(M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( t \right) = 12;m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( t \right) = - 4\).

Suy ra M + m = 8.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2

Đặt t = sinx. Khi đó t $\in$ [−1; 1].

Dựa vào bảng biến thiên ta có \(M = \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} f\left( t \right) = 5;m = \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} f\left( t \right) = - 3\).

Do đó M + m = 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: −2

Đặt \(t = \sqrt x \) với t $\in$ [0; +∞).

Dựa vào đồ thị hàm số ta có \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} f\left( t \right) = - 2\).

Vậy \(\min f\left( {\sqrt x } \right) = - 2\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: −4

Đặt \(t = \frac{x}{2}\). Vì x $\in$ [−5; 3] nên \(t \in \left[ { - \frac{5}{2};\frac{3}{2}} \right]\).

Bài toán trở thành tìm \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - \frac{5}{2};\frac{3}{2}} \right]} f\left( t \right)\).

Dựa vào đồ thị hàm số đã cho ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - \frac{5}{2};\frac{3}{2}} \right]} f\left( t \right) = f\left( { - 2} \right) \Rightarrow \frac{x}{2} = - 2 \Rightarrow x = - 4\).

Vậy a = −4.