Bài tập Một số bài toán thực tế ứng dụng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm lớp 12 (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Gọi cạnh đáy hình vuông x (cm), x > 0.

Tổng diện tích bề mặt của chiếc hộp bằng 243 cm² nên ta có: x² + 4xh = 243.

Suy ra \(h = \frac{{243 - {x^2}}}{{4x}}\).

Thể tích bể là \(V = {x^2} \cdot \frac{{243 - {x^2}}}{{4x}}\)\( = \frac{1}{4}\left( {243x - {x^3}} \right)\).

Có \(V' = \frac{1}{4}\left( {243 - 3{x^2}} \right)\); V' = 0 $\iff$ x = 9 vì x > 0.

Ta có bảng biến thiên như sau:

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có V(t) = S'(t) = −6t² + 48t + 6; V'(t) = −12t + 48; V'(t) = 0 $\iff$ t = 4.

Ta có bảng biến thiên

Vậy vận tốc lớn nhất của vật là 102 m/s.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Có N'(t) = −3t² + 24t; N"(t) = −6t + 24; N"(t) = 0 $\iff$ t = 4.

Có N'(0) = 0; N'(4) = 48; N'(12) = −144.

Vậy virus sẽ lây lan nhanh nhất vào tuần thứ 4.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Có h'(t) = −2t + 12; h'(t) = 0 $\iff$ t = 6.

Có h(0) = 0; h(6) = 36; h(12) = 0.

Vậy chiều cao lớn nhất của cây đạt được vào tháng thứ 6.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

P'(t) = 5e^-0,1t – 0,5te^-0,1t; P"(t) = −0,5e^-0,1t −0,5e^-0,1t + 0,05te^-0,1t = −e^-0,1t + 0,05t e^-0,1t;

P"(t) = 0 $\iff$ t = 20.

Bảng biến thiên như sau:

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai.              b) Đúng.              c) Sai.                   d) Sai.

a) Sai. Quãng đường chất điểm đó di chuyển được là

s(3) = −2×3³ + 45×3² = 351 m.

b) Đúng. v(t) = s'(t) = −6t² + 90t.

c) Sai. a(t) = v'(t) = −12t + 90.

Khi đó a(5) = −12×5 + 90 = 30 m/s².

d) Sai. Có v'(t) = 0 $\iff$ −12t + 90 = 0 $\iff$ t = 7,5.

Ta có bảng biến thiên như sau:

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Đúng.              c) Đúng.               d) Sai.

a) Đúng. Gọi x là chiều rộng đáy bể (x > 0). Suy ra chiều dài đáy bể là 3x.

Khi đó thể tích của bể là V = 3x²h.

b) Đúng. Diện tích nguyên vật liệu xây bể là S = 3x² + 8xh.

c) Đúng. Vì V = 18 nên 3x²h = 18 \( \Leftrightarrow h = \frac{6}{{{x^2}}}\).

d) Sai. Với \(h = \frac{6}{{{x^2}}}\). Khi đó \(S = 3{x^2} + \frac{{48}}{x}\).

Có \(S' = 6x - \frac{{48}}{{{x^2}}}\); \(S' = 0 \Leftrightarrow x = 2\).

Bảng biến thiên như sau

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Sai.                  c) Đúng.               d) Sai.

a) Đúng. Có \(C'\left( v \right) = - \frac{{16000}}{{{v^2}}} + \frac{5}{2}\); C'(v) = 0 $\iff$ v = 80 (vì 0 < v ≤ 120).

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, chi phí xăng đạt giá trị nhỏ nhất khi xe chạy với tốc độ v = 80 km/h.

b) Sai. Vì hàm số nghịch biến trên (0; 80) nên 60 < 80 thì C(60) > C(80).

c) Đúng. Dựa bảng biến thiên ta có C(120) > C(80).

d) Sai. Dựa vào bảng biến thiên, chi phí xăng đạt giá trị nhỏ nhất là 400 nghìn đồng.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai.              b) Đúng.              c) Đúng.               d) Sai.

Gọi x (nghìn đồng) là số tiền mà cửa hàng sẽ tăng giá, (x > 0).

Khi đó giá bán mỗi bánh xà phòng là 30 + x (nghìn đồng).

Số bánh xà phòng bán được khi tăng giá là 5000 – 100x (bánh).

Lợi nhuận thu được là f(x) = (30 + x)(5000 – 100x) – 18(5000 – 100x) (nghìn đồng).

Ta có f(x) = (30 + x)(5000 – 100x) – 18(5000 – 100x)

= 150000 – 3000x + 5000x – 100x² – 90000 + 1800x

= −100x² + 3800x + 60000.

Ta có f'(x) = −200x + 3800; f'(x) = 0 $\iff$ x = 19.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

a) Sai. Để đạt lợi nhuận lớn nhất thì mỗi bánh xà phòng cần tăng thêm 19000 đồng.

b) Đúng. Để đạt lợi nhuận lớn nhất thì mỗi bánh xà phòng cần bán với giá

30000 + 19000 = 49000 đồng.

c) Đúng. Để đạt lợi nhuận lớn nhất thì sau khi tăng giá mỗi bánh xà phòng lãi

49000 – 18000 = 31000 đồng.

d) Sai.  Để đạt lợi nhuận lớn nhất thì số bánh xà phòng bán ra giảm 100‧19 = 1900 bánh.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Đúng.              c) Đúng.               d) Đúng.

a) Đúng. Khi cắt hình vuông có cạnh bằng 1 dm thì cạnh của đáy hộp là 6 – 2 = 4 dm.

Khi đó diện tích của đáy hộp là 4‧4 = 16 dm².

b) Đúng. Thể tích hộp khi cắt hình vuông có cạnh bằng 1 dm là V = 16‧1 = 16 dm³.

c) Đúng. Gọi x (dm) là độ dài cạnh hình vuông cần cắt đi, (0 < x < 3).

Cạnh hình vuông đáy có độ dài là 6 – 2x (m).

Diện tích hình vuông đáy là (6 – 2x)² (m²).

Thể tích hộp là V(x) = x(6 – 2x)² = 4x³ – 24x² + 36x.

d) Đúng. Ta có V'(x) = 12x² – 48x + 36; V'(x) = 0 $\iff$ x = 3 hoặc x = 1.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy cắt bỏ hình vuông có cạnh bằng 1 dm thì chiếc hộp đạt thể tích lớn nhất.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 6

Có C(t) = 20(e^-0,2t – e^-1,2t).

C'(t) = 20(−0,2e^-0,2t + 1,2e^-1,2t);

C'(t) = 0 $\iff$ −0,2e^-0,2t + 1,2e^-1,2t = 0 \( \Leftrightarrow \frac{{{e^{ - 1,2t}}}}{{{e^{ - 0,2t}}}} = \frac{{0,2}}{{1,2}} = \frac{1}{6}\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{{{e^t}}} = \frac{1}{6} \Rightarrow t = \ln 6\).

Ta có C(0) = 0; C(ln6) ≈ 11,6; C(10) ≈ 2,7.

Vậy nồng độ chất A đạt giá trị lớn nhất khi t = ln6. Suy ra b = 6.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 9

Có h'(t) = −2t  + 6; h'(t) = 0 $\iff$ t = 3.

Ta có h(0) = 0; h(3) = 9; h(6) = 0.

Vậy con diều đạt độ cao lớn nhất so với mặt đất là 9 m.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 20

Ta có N'(t) = 60t – 3t²; N'(t) = 0 $\iff$ t = 0 hoặc t = 20.

Ta có N(0) = 1000; N(20) = 5000; N(30) = 1000.

Vậy số vi khuẩn lớn nhất sau 20 phút.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 5

Có \(R'\left( x \right) = \frac{{25000{e^{ - x}}}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - x}}} \right)}^2}}},x \ge 0\).

\(R''\left( x \right) = \frac{{ - 25000{e^{ - x}}{{\left( {1 + 5{e^{ - x}}} \right)}^2} + 25000{e^{ - x}} \cdot 2 \cdot \left( {1 + 5{e^{ - x}}} \right) \cdot 5{e^{ - x}}}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - x}}} \right)}^4}}}\).

\(R''\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \ln 5\).

Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, ta thấy tốc độ bán hàng đạt tối đa tại thời điểm x = ln5.

Suy ra a = 5.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2

Ta có v(t) = s'(t) = 12t – 3t².

Có v'(t) = 12 – 6t = 0 $\iff$ t = 2 $\in$ [0; 4].

Ta có v(0) = 0; v(2) = 12; v(4) = 0.

Vậy chất điểm đạt giá trị lớn nhất tại thời điểm t = 2 giây.