Bài tập Một số bài toán thực tế ứng dụng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm lớp 12 (có lời giải)
25 câu hỏi
Một chất điểm chuyển động theo quy luật S(t) = 1 + 3t2 – t3. Vận tốc của chuyển động đạt giá trị lớn nhất khi t bằng bao nhiêu:
t = 2;
t = 1;
t = 3;
t = 4.
Đáp án đúng là: B
Ta có v(t) = S'(t) = −3t2 + 6t = −3(t2 – 2t + 1) + 3 = −3(t – 1)2 + 3 ≤ 3.
Dấu “=” xảy ra khi t = 1.
Vậy vận tốc của chuyển động đạt giá trị lớn nhất bằng 3 khi t = 1.
Một vật chuyển động theo quy luật \(s = - \frac{1}{3}{t^3} + 6{t^2}\) với t (giây) là khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 9 giây kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu?
243 (m/s);
27 (m/s);
144 (m/s);
36 (m/s).
Đáp án đúng là: D
Ta có: v = s' = −t2 + 12t; v' = −2t + 12; v' = 0 t = 6.
Bảng biến thiên
Nhìn bảng biến thiên ta thấy vận tốc đạt giá trị lớn nhất khi t = 6.
Giá trị lớn nhất là v(6) = 36 m/s.
Một chất điểm chuyển động theo quy luật \(S = - \frac{1}{3}{t^3} + 4{t^2} + 9t\) với t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và S (mét) là quãng đường vật chuyển động trong thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của chất điểm là bao nhiêu?
88 m/s;
25 m/s;
100 m/s;
11 m/s.
Đáp án đúng là: B
Ta có v = S' = −t2 + 8t + 9, t ∈ (0; 10).
Có v' = −2t + 8; v' = 0 t = 4 ∈ (0; 10).
Bảng biến thiên:
Vậy vận tốc lớn nhất của chất điểm là 25 m/s tại t = 4.
Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích 48 cm2, hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất bằng:
\(16\sqrt 3 \) cm;
\(4\sqrt 3 \)cm;
24 cm;
\(8\sqrt 3 \)cm.
Đáp án đúng là: A
Gọi cạnh của hình chữ nhật: a, b; 0 < a, b 
48>
Ta có: \(ab = 48 \Leftrightarrow b = \frac{{48}}{a}\). Chu vi: \(P\left( a \right) = 2\left( {a + \frac{{48}}{a}} \right)\).
Có \[P'\left( a \right) = 2\left( {1 - \frac{{48}}{{{a^2}}}} \right);P'\left( a \right) = 0 \Leftrightarrow a = 4\sqrt 3 \].
Bảng biến thiên:
Vậy hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất là \(16\sqrt 3 \).
Cho một tấm nhôm hình chữ nhật có kích thước 15 cm × 24 cm. Người ta cắt bỏ 4 góc của tấm tôn 4 miếng hình vuông bằng nhau rồi gò lại thành một hình hộp chữ nhật không có nắp. Để thể tích của hình hộp đó lớn nhất thì độ dài cạnh hình vuông của các miếng tôn bị cắt bỏ bằng
3 cm;
4 cm;
5 cm;
2 cm.
Đáp án đúng là: A
Giả sử độ dài cạnh hình vuông của các miếng tôn bị cắt bỏ bằng
x (\[0 < x < \frac{{15}}{2}\]).
Khi đó hình hộp chữ nhật có chiều cao bằng x, chiều rộng bằng 15 – 2x và chiều dài bằng 24 – 2x.
Suy ra hình hộp chữ nhật có thể tích V = x(15 – 2x)(24 – 2x) = 4x3 – 78x2 + 360x.
Xét hàm f(x) = 4x3 – 78x2 + 360x trên \[\left( {0;\frac{{15}}{2}} \right)\].
Có f'(x) = 12x2 – 156x + 360 = 0 x = 3 hoặc x = 10.
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số đạt giá trị lớn nhất trên \[\left( {0;\frac{{15}}{2}} \right)\] tại x = 3 hay hình hộp chữ nhật có thể tích lớn nhất khi độ dài cạnh hình vuông của miếng tôn bị cắt bỏ bằng 3 cm.
Để thiết kế một chiếc bể cá hình hộp chữ nhật không có nắp có chiều cao là 60 cm, thể tích 96000 cm3. Người thợ dùng loại kính để sử dụng làm mặt bên có giá thành 70000 đồng/m2 và loại kính để làm mặt đáy có giá thành 100000 đồng/m2. Chi phí thấp nhất để hoàn thành bể cá bằng
83200 đồng;
320000 đồng;
832000 đồng;
32000 đồng.
Đáp án đúng là: A
Gọi x (m), y (m) (x > 0, y > 0) là chiều dài và chiều rộng của đáy bể.
Theo giả thiết ta có 0,6xy = 0,096 \( \Rightarrow y = \frac{4}{{25x}}\).
Ta có diện tích mặt đáy là \(xy = x.\frac{4}{{25x}} = 0,16\).
Giá tiền làm kính mặt đáy là 0,16.100000 = 16000 đồng.
Diện tích xung quanh bể là 2x.0,6 + 2y.0,6 = \(1,2\left( {x + \frac{{0,16}}{x}} \right)\).
Giá tiền làm kính các mặt xung quanh là \(1,2\left( {x + \frac{{0,16}}{x}} \right).70000 = 84000\left( {x + \frac{{0,16}}{x}} \right)\) (đồng).
Tổng chi phí là \(f\left( x \right) = 84000\left( {x + \frac{{0,16}}{x}} \right) + 16000 \ge 84000.2\sqrt {x.\frac{{0,16}}{x}} + 16000 = 83200\) đồng.
Chi phí thấp nhất để hoàn thành bể cá bằng 83200 đồng.
Một loại thuốc được dùng cho một bệnh nhân với nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân được giám sát bởi bác sĩ. Biết rằng nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân sau khi tiêm vào cơ thể trong t giờ được tính theo công thức \(c\left( t \right) = \frac{t}{{{t^2} + 1}}\). Sau khi tiêm thuốc bao lâu thì nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất?
4 giờ;
1 giờ;
3 giờ;
2 giờ.
Đáp án đúng là: B
Tập xác định: D = (0; +∞).
Có \(c'\left( t \right) = \frac{{1 - {t^2}}}{{{t^2} + 1}}\); c'(t) = 0 t = 1 (vì t > 0).
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy sau khi tiêm thuốc 1 giờ thì nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất.
Một hãng điện thoại đưa ra quy luật bán buôn cho từng đại lí, đó là đại lí càng nhập nhiều chiếc điện thoại của hãng thì giá bán buôn một chiếc điện thoại càng giảm. Cụ thể, nếu đại lí mua x điện thoại thì giá tiền của mỗi điện thoại là 6000 – 3x (nghìn đồng), x ∈ ℕ*, x < 2000 . Đại lí nhập cùng một lúc bao nhiêu chiếc điện thoại thì hãng có thể thu về nhiều tiền nhất từ đại lí đó?
100;
1000;
200;
2000.
Đáp án đúng là: B
Số tiền hãng thu được khi đại lí nhập x chiếc điện thoại là f(x) = x(6000 – 3x).
Ta có: f'(x) = −6x + 6000. Khi đó, f'(x) = 0 x = 1000.
Bảng biến thiên của hàm số f(x) là:
Vậy đại lí nhập cùng lúc 1000 chiếc điện thoại thì hãng có thể thu nhiều tiền nhất từ đại lí đó với 3 000 000 (nghìn đồng).
Bạn Hoa cần gấp một hộp quà có dạng hình lăng trụ tứ giác đều với diện tích toàn phần là 200 cm2. Hộp quà mà bạn Hoa gấp được có thể tích lớn nhất bằng bao nhiêu centimet khối (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
192;
129;
219;
291.
Đáp án đúng là: A
Gọi độ dài cạnh đáy và chiều cao hộp quà lần lượt là x (cm) và y (cm) (x > 0, y > 0).
Theo giả thiết, ta có: 2x2 + 4xy = 200 \( \Rightarrow y = \frac{{50}}{x} - \frac{x}{2}\) và x < 10 (vì y > 0).</>
Xét hàm số \(V(x) = {x^2}\left( {\frac{{50}}{x} - \frac{x}{2}} \right) = 50x - \frac{1}{2}{x^3}\left( {0 < x < 10} \right)\)là thể tích của hộp quà mà bạn Hoa gấp được.
Ta có: \(V'\left( x \right) = 50 - \frac{3}{2}{x^2} = 0 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt {\frac{{100}}{3}} \).
Bảng biến thiên của hàm số V(x) là:
Vậy bạn Hoa có thể gấp hộp quà có thể tích lớn nhất là \(V\left( {\sqrt {\frac{{100}}{3}} } \right) \approx 192(c{m^3}).\)
Một xưởng in có 8 máy in, mỗi máy in được 3600 bản in trong một giờ. Chi phí để vận hàng một máy in trong mỗi lần in là 50 nghìn đồng. Chi phí cho n máy in chạy trong một giờ là 10(6n + 10) nghìn đồng. Hỏi nếu in 50000 tờ quảng cáo thì phải sử dụng bao nhiêu máy in để được lãi nhiều nhất.
5;
6;
7;
8.
Đáp án đúng là: A
Giả sử có n máy in thì chi phí cố định là 50n (n = {1; 2; 3; …; 8}).
Để in 50000 tờ cần \(\frac{{50000}}{{3600n}} = \frac{{125}}{{9n}}\) (giờ in).
Chi phí cho n máy chạy trong một giờ là 10(6n +10) nghìn đồng.
Khi đó tổng chi phí để in 50000 tờ quảng cáo là:
\(f\left( n \right) = 50n + \frac{{10\left( {6n + 10} \right).125}}{{9n}} = \frac{{450{n^2} + 7500n + 12500}}{{9n}}\).
Để lãi là nhiều nhất thì tổng chi phí là thấp nhất, vậy ta tìm giá trị nhỏ nhất của tổng chi phí.
Thay các giá trị n ∈ {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} ta thấy giá trị nhỏ nhất là \(f\left( 5 \right) = \frac{{12250}}{9}\).
Một bể cá không nắp dạng hình hộp chữ nhật, có đáy là hình vuông cạnh x (cm) và chiều cao h (cm). Biết tổng diện tích bề mặt của chiếc hộp bằng 243 cm2. Để thể tích bể lớn nhất thì x bằng
x = 9.
x = 8.
x = 5.
x = 7.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Gọi cạnh đáy hình vuông x (cm), x > 0.
Tổng diện tích bề mặt của chiếc hộp bằng 243 cm2 nên ta có: x2 + 4xh = 243.
Suy ra \(h = \frac{{243 - {x^2}}}{{4x}}\).
Thể tích bể là \(V = {x^2} \cdot \frac{{243 - {x^2}}}{{4x}}\)\( = \frac{1}{4}\left( {243x - {x^3}} \right)\).
Có \(V' = \frac{1}{4}\left( {243 - 3{x^2}} \right)\); V' = 0 Û x = 9 vì x > 0.
Ta có bảng biến thiên như sau:
Dựa bảng biến thiên, ta có để thể tích lớn nhất thì x = 9.
120 m/s.
102 m/s.
60 m/s.
6 m/s.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Ta có V(t) = S'(t) = −6t2 + 48t + 6; V'(t) = −12t + 48; V'(t) = 0 Û t = 4.
Ta có bảng biến thiên
Vậy vận tốc lớn nhất của vật là 102 m/s.
Tuần thứ 4.
Tuần thứ 6.
Tuần thứ 8.
Tuần thứ 12.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Có N'(t) = −3t2 + 24t; N"(t) = −6t + 24; N"(t) = 0 Û t = 4.
Có N'(0) = 0; N'(4) = 48; N'(12) = −144.
Vậy virus sẽ lây lan nhanh nhất vào tuần thứ 4.
Một loại cây trồng mới được nghiên cứu, chiều cao h(cm) của cây sau t tháng kể từ khi gieo được mô hình hóa bởi h(t) = −t2 + 12t (0 ≤ t ≤ 12). Hỏi cây đạt chiều cao lớn nhất vào tháng thứ mấy?
Tháng thứ 3.
Tháng thứ 6.
Tháng thứ 9.
Tháng thứ 12.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Có h'(t) = −2t + 12; h'(t) = 0 Û t = 6.
Có h(0) = 0; h(6) = 36; h(12) = 0.
Vậy chiều cao lớn nhất của cây đạt được vào tháng thứ 6.
Số dân của một thành phố (tính bằng triệu người) sau t năm được mô hình hóa bởi hàm số P(t) = 5te-0,1t, t ≥ 0. Tốc độ tăng dân số nhanh nhất xảy ra vào năm thứ bao nhiêu?
Năm thứ 5.
Năm thứ 10.
Năm thứ 15.
Năm thứ 20.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
P'(t) = 5e-0,1t – 0,5te-0,1t; P"(t) = −0,5e-0,1t −0,5e-0,1t + 0,05te-0,1t = −e-0,1t + 0,05t e-0,1t;
P"(t) = 0 Û t = 20.
Bảng biến thiên như sau:
Vậy tốc độ tăng dân số nhanh nhất là vào năm thứ 20.
Một chất điểm chuyển động theo quy luật s(t) = −2t3 + 45t2, trong đó thời gian t tính bằng giây, quãng đường S(t) tính bằng mét.
Trong khoảng thời gian 3 giây kể từ khi chất điểm bắt đầu chuyển động, quãng đường chất điểm đó di chuyển được là 216 m.
Vận tốc của chất điểm tại thời điểm t là v(t) = −6t2 + 90t.
Gia tốc của chất điểm tại thời điểm t = 5 giây là 35 m/s2.
Trong khoảng thời gian 9 giây kể từ khi chất điểm bắt đầu chuyển động, vận tốc tức thời lớn nhất của chất điểm bằng 330 m/s.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Sai. Quãng đường chất điểm đó di chuyển được là
s(3) = −2×33 + 45×32 = 351 m.
b) Đúng. v(t) = s'(t) = −6t2 + 90t.
c) Sai. a(t) = v'(t) = −12t + 90.
Khi đó a(5) = −12×5 + 90 = 30 m/s2.
d) Sai. Có v'(t) = 0 Û −12t + 90 = 0 Û t = 7,5.
Ta có bảng biến thiên như sau:
Dựa vào bảng biến thiên ta có vận tốc tức thời lớn nhất của chất điểm bằng 337,5 m/s.
Người ta muốn xây một cái bể hình hộp đứng có thể tích V = 18 m3. Biết đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp 3 lần chiều rộng và bể không có nắp.
Thể tích bể được tính bởi công thức V = 3x2h, trong đó x là chiều rộng đáy bể, h là chiều cao bể.
Diện tích nguyên vật liệu cần dùng để xây bể (không có nắp) là S = 3x2 + 8xh.
Khi V = 18 thì ta có \(h = \frac{6}{{{x^2}}}\).
Diện tích nguyên vật liệu nhỏ nhất đạt được khi x = 3m, h = 2m.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Gọi x là chiều rộng đáy bể (x > 0). Suy ra chiều dài đáy bể là 3x.
Khi đó thể tích của bể là V = 3x2h.
b) Đúng. Diện tích nguyên vật liệu xây bể là S = 3x2 + 8xh.
c) Đúng. Vì V = 18 nên 3x2h = 18 \( \Leftrightarrow h = \frac{6}{{{x^2}}}\).
d) Sai. Với \(h = \frac{6}{{{x^2}}}\). Khi đó \(S = 3{x^2} + \frac{{48}}{x}\).
Có \(S' = 6x - \frac{{48}}{{{x^2}}}\); \(S' = 0 \Leftrightarrow x = 2\).
Bảng biến thiên như sau
Dựa vào bảng biến thiên ta có diện tích nguyên vật liệu nhỏ nhất đạt được khi x = 2m, h = 1,5 m.
Chi phí xăng đạt giá trị nhỏ nhất khi xe chạy với tốc độ v = 80 km/h.
Nếu xe chạy với tốc độ v = 60 km/h thì chi phí xăng nhỏ hơn chi phí khi chạy với tốc tộ 80 km/h.
Nếu xe chạy với tốc độ v = 120 km/h thì chi phí xăng lớn hơn chi phí nhỏ nhất.
Giá trị nhỏ nhất của chi phí xăng là 300 nghìn đồng.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Có \(C'\left( v \right) = - \frac{{16000}}{{{v^2}}} + \frac{5}{2}\); C'(v) = 0 Û v = 80 (vì 0 < v ≤ 120).
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, chi phí xăng đạt giá trị nhỏ nhất khi xe chạy với tốc độ v = 80 km/h.
b) Sai. Vì hàm số nghịch biến trên (0; 80) nên 60 < 80 thì C(60) > C(80).
c) Đúng. Dựa bảng biến thiên ta có C(120) > C(80).
d) Sai. Dựa vào bảng biến thiên, chi phí xăng đạt giá trị nhỏ nhất là 400 nghìn đồng.
Một cơ sở sản xuất xà phòng thủ công đang bán mỗi bánh xà phòng với giá 30000 đồng và mỗi tháng cơ sở bán được trung bình 5000 bánh xà phòng. Cơ sở đang có kế hoạch tăng giá để có lợi nhuận tốt hơn. Sau khi tham khảo thị trường, người quản lí thấy rằng nếu từ mức giá 30000 đồng mà cứ tăng giá lên 1000 đồng thì mỗi tháng sẽ bán ít hơn 100 bánh. Biết vốn sản xuất một bánh xà phòng không thay đổi là 18000 đồng. Khi đó:
Để đạt lợi nhuận lớn nhất thì mỗi bánh xà phòng cần tăng thêm 20000 đồng.
Để đạt lợi nhuận lớn nhất thì mỗi bánh xà phòng cần bán với giá 49000 đồng.
Để đạt lợi nhuận lớn nhất thì sau khi tăng giá mỗi bánh xà phòng lãi 31000 đồng.
Để đạt lợi nhuận lớn nhất thì số bánh xà phòng bán ra giảm 2000 bánh.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
Gọi x (nghìn đồng) là số tiền mà cửa hàng sẽ tăng giá, (x > 0).
Khi đó giá bán mỗi bánh xà phòng là 30 + x (nghìn đồng).
Số bánh xà phòng bán được khi tăng giá là 5000 – 100x (bánh).
Lợi nhuận thu được là f(x) = (30 + x)(5000 – 100x) – 18(5000 – 100x) (nghìn đồng).
Ta có f(x) = (30 + x)(5000 – 100x) – 18(5000 – 100x)
= 150000 – 3000x + 5000x – 100x2 – 90000 + 1800x
= −100x2 + 3800x + 60000.
Ta có f'(x) = −200x + 3800; f'(x) = 0 Û x = 19.
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta có:
a) Sai. Để đạt lợi nhuận lớn nhất thì mỗi bánh xà phòng cần tăng thêm 19000 đồng.
b) Đúng. Để đạt lợi nhuận lớn nhất thì mỗi bánh xà phòng cần bán với giá
30000 + 19000 = 49000 đồng.
c) Đúng. Để đạt lợi nhuận lớn nhất thì sau khi tăng giá mỗi bánh xà phòng lãi
49000 – 18000 = 31000 đồng.
d) Sai. Để đạt lợi nhuận lớn nhất thì số bánh xà phòng bán ra giảm 100‧19 = 1900 bánh.
Bạn Việt muốn dùng tấm bìa hình vuông cạnh 6 dm làm một chiếc hộp không nắp, có đáy là hình vuông bằng cách cắt bỏ đi 4 hình vuông nhỏ ở bốn góc của tấm bìa (như hình vẽ)
Khi cắt hình vuông có cạnh bằng 1 dm thì diện tích của đáy hộp là 16 dm2.
Thể tích hộp khi cắt hình vuông có cạnh bằng 1 dm là 16 dm3.
Hàm số biểu thị thể tích hộp theo x với x là độ dài cạnh hình vuông cần cắt đi là 4x3 – 24x2 + 36x.
Cắt bỏ hình vuông có cạnh bằng 1 dm thì chiếc hộp đạt thể tích lớn nhất.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. Khi cắt hình vuông có cạnh bằng 1 dm thì cạnh của đáy hộp là 6 – 2 = 4 dm.
Khi đó diện tích của đáy hộp là 4‧4 = 16 dm2.
b) Đúng. Thể tích hộp khi cắt hình vuông có cạnh bằng 1 dm là V = 16‧1 = 16 dm3.
c) Đúng. Gọi x (dm) là độ dài cạnh hình vuông cần cắt đi, (0 < x < 3).
Cạnh hình vuông đáy có độ dài là 6 – 2x (m).
Diện tích hình vuông đáy là (6 – 2x)2 (m2).
Thể tích hộp là V(x) = x(6 – 2x)2 = 4x3 – 24x2 + 36x.
d) Đúng. Ta có V'(x) = 12x2 – 48x + 36; V'(x) = 0 Ûx = 3 hoặc x = 1.
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy cắt bỏ hình vuông có cạnh bằng 1 dm thì chiếc hộp đạt thể tích lớn nhất.
Trong phản ứng, chất A được tạo ra rồi dần bị phân hủy. Nồng độ của chất A (g/l) sau t giờ được mô hình hóa bởi công thức C(t) = 20(1 – e-t)e-0,2t . Biết rằng trong 10 giờ đầu tiên, nồng độ chất A đạt giá trị lớn nhất khi t = lnb (b ∈ ℕ*). Tìm b.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 6
Có C(t) = 20(e-0,2t – e-1,2t).
C'(t) = 20(−0,2e-0,2t + 1,2e-1,2t);
C'(t) = 0 Û −0,2e-0,2t + 1,2e-1,2t = 0 \( \Leftrightarrow \frac{{{e^{ - 1,2t}}}}{{{e^{ - 0,2t}}}} = \frac{{0,2}}{{1,2}} = \frac{1}{6}\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{{{e^t}}} = \frac{1}{6} \Rightarrow t = \ln 6\).
Ta có C(0) = 0; C(ln6) ≈ 11,6; C(10) ≈ 2,7.
Vậy nồng độ chất A đạt giá trị lớn nhất khi t = ln6. Suy ra b = 6.
Trong ngày hội làng, các em học sinh thả một con diều. Ước tính độ cao h (m) của con diều so với mặt đất tại thời điểm t (phút) được cho bởi công thức: h(t) = −t2 + 6t (0 ≤ t ≤ 6). Con diều đạt độ cao lớn nhất so với mặt đất là a (m). Hãy xác định a.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 9
Có h'(t) = −2t + 6; h'(t) = 0 Û t = 3.
Ta có h(0) = 0; h(3) = 9; h(6) = 0.
Vậy con diều đạt độ cao lớn nhất so với mặt đất là 9 m.
Người ta giới thiệu một loại thuốc kích thích sự sinh sản của một loại vi khuẩn. Sau ít phút, số vi khuẩn được xác định theo công thức N(t) = 1000 + 30t2 – t3 (0 ≤ t ≤ 30). Hỏi sau bao nhiêu phút thì số vi khuẩn lớn nhất?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 20
Ta có N'(t) = 60t – 3t2; N'(t) = 0 Û t = 0 hoặc t = 20.
Ta có N(0) = 1000; N(20) = 5000; N(30) = 1000.
Vậy số vi khuẩn lớn nhất sau 20 phút.
Doanh số bán hệ thống âm thanh nổi mới trong một khoảng thời gian dự kiến sẽ tuân theo đường cong logistic \(R = R\left( x \right) = \frac{{5000}}{{1 + 5{e^{ - x}}}},x \ge 0\) trong đó thời gian x được tính bằng năm. Hỏi tốc độ bán hàng đạt tối đa tại thời điểm x = lna. Tìm a.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 5
Có \(R'\left( x \right) = \frac{{25000{e^{ - x}}}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - x}}} \right)}^2}}},x \ge 0\).
\(R''\left( x \right) = \frac{{ - 25000{e^{ - x}}{{\left( {1 + 5{e^{ - x}}} \right)}^2} + 25000{e^{ - x}} \cdot 2 \cdot \left( {1 + 5{e^{ - x}}} \right) \cdot 5{e^{ - x}}}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - x}}} \right)}^4}}}\).
\(R''\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \ln 5\).
Ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên, ta thấy tốc độ bán hàng đạt tối đa tại thời điểm x = ln5.
Suy ra a = 5.
Một chất điểm chuyển động với quãng đường s(t) cho bởi công thức s(t) = 6t2 – t3, t (giây) là thời gian. Hỏi trong khoảng thời gian từ 0 đến 4 giây, vận tốc tức thời của chất điểm đạt giá trị lớn nhất tại thời điểm t (giây) bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 2
Ta có v(t) = s'(t) = 12t – 3t2.
Có v'(t) = 12 – 6t = 0 Û t = 2 Î [0; 4].
Ta có v(0) = 0; v(2) = 12; v(4) = 0.
Vậy chất điểm đạt giá trị lớn nhất tại thời điểm t = 2 giây.
