Bài tập Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng, đoạn hay nửa khoảng lớp 12 (có lời giải)
25 câu hỏi
Giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = x3 – 3x2 – 9x +10 trên đoạn [−2; 2] bằng
−12;
10;
15;
−2.
Đáp án đúng là: C
Xét hàm số f(x) = x3 – 3x2 – 9x +10 trên đoạn [−2; 2] , ta có: f'(x) = 3x2 – 6x – 9.
Có f'(x) = 0 3x2 – 6x – 9 = 0 x = −1 [−2; 2] hoặc x = 3 [−2; 2]
Có f(−2) = 8; f(−1) = 15; f(2) = −12.
Suy ra \[\mathop {max}\limits_{\left[ { - 2;\,2} \right]\,} f\left( x \right) = f\left( { - 1} \right) = 15\].
Trên đoạn [1; 5], hàm số \(y = x + \frac{4}{x}\) đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm
x = 5;
x = 2;
x = 1;
x = 4.
Đáp án đúng là: B
Ta có \(y' = 1 - \frac{4}{{{x^2}}} \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 4 \Rightarrow x = 2\) (vì x (1; 5)).
Khi đó y(1) = 5; y(2) = 4 và \(y\left( 5 \right) = \frac{{29}}{5}\).
Do đó \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;5} \right]} y = 4\) tại x = 2.
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\) trên đoạn [0; 3] là:
−3;
\(\frac{1}{2}\);
−1;
1.
Đáp án đúng là: C
Hàm số đã cho liên tục trên [0; 3]
Ta có \(y' = \frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0\) với ∀x [0; 3] .
Có y (0) = −1; \(y\left( 3 \right) = \frac{1}{2}\). Do đó \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} y = y(0) = - 1\).
Hàm số y = cos2x – 3 đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0; π] bằng:
−4;
−3;
−2;
0.
Đáp án đúng là: A
Ta có: $y'=-2\sin2x;\ y'=0 \Leftrightarrow \sin2x=0 \Leftrightarrow x=\frac{k\pi}{2}\ (k\in\mathbb{Z})$.
Vì $x\in[0;\pi]$ nên $0\le \frac{k\pi}{2}\le \pi \Leftrightarrow 0\le k\le 2$.
Mà $k$ là số nguyên nên $k\in\{0;1;2\}$. Do đó, $x\in\left\{0;\frac{\pi}{2};\pi\right\}$.
Do đó, $y(0)=-2;\ y\left(\frac{\pi}{2}\right)=-4;\ y(\pi)=-2$. Vậy $\min_{[0;\pi]} y=-4$.
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = (x − 3)e2x .
\[\mathop {\min }\limits_\mathbb{R} f\left( x \right) = - \frac{{{e^5}}}{2}\];
\[\mathop {\min }\limits_\mathbb{R} f\left( x \right) = \frac{{{e^5}}}{2}\];
\[\mathop {\min }\limits_\mathbb{R} f\left( x \right) = {e^5}\];
Không tồn tại.
Đáp án đúng là: A
Ta có: f'(x) = (2x – 5)e2x; f'(x) = 0 \(x = \frac{5}{2}\).
Bảng biến thiên của hàm số:
Vậy \(\mathop {\min }\limits_\mathbb{R} f\left( x \right) = - \frac{{{e^5}}}{2}\).
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \[y = f(x) = \frac{x}{{{x^2} + 1}}\] trên nửa khoảng (0; +∞).
2;
\[\frac{1}{2}\];
\[\frac{1}{4}\];
4.
Đáp án đúng là: B
\(f'\left( x \right) = \frac{{ - {x^2} + 1}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\).
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{ - {x^2} + 1}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = 1\)
Bảng biến thiên
Vậy giá trị lớn nhất là \[\frac{1}{2}\] khi x = 1.
Cho hàm số y = 2x – 4xln2. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0; 4] có dạng a – blnc. Tính a + b + c?
−2;
14;
34;
0.
Đáp án đúng là: B
Tập xác định: D = ℝ.
Có y' = 2xln2 – 4ln2; y' = 0 2xln2 – 4ln2 = 0 x = 2.
![Cho hàm số y = 2x – 4xln2. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0; 4] có dạng a – blnc. Tính a + b + c? (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/images/1742395227/1742396016-image3.png)
Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0; 4] bằng 4 – 8ln2 tại x = 2.
Khi đó: a + b + c = 4 + 8 + 2 = 14 .
Hàm số \(y = \sqrt {1 + x} + \sqrt {1 - x} \) có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất lần lượt là:
\(\sqrt 2 ;1\);
1; 0;
\(2;\sqrt 2 ;\)
2; 1.
Đáp án đúng là: C
Tập xác định: D = [−1; 1].
Ta có: \(y' = \frac{1}{{2\sqrt {1 + x} }} - \frac{1}{{2\sqrt {1 - x} }}\).
Có y' = 0 \(\frac{1}{{2\sqrt {1 + x} }} - \frac{1}{{2\sqrt {1 - x} }} = 0\)\( \Leftrightarrow \sqrt {1 - x} = \sqrt {1 + x} \Leftrightarrow x = 0\).
Khi đó: \(y\left( { - 1} \right) = \sqrt 2 ;y\left( 0 \right) = 2;y\left( 1 \right) = \sqrt 2 \).
Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 2, giá trị nhỏ nhất bằng \(\sqrt 2 \).
Hàm số y = (x – 1)2 + (x + 3)2 có giá trị nhỏ nhất bằng:
3;
−1;
10;
8.
Đáp án đúng là: D
Tập xác định: D = ℝ.
Ta có: y = (x – 1)2 + (x + 3)2 = 2x2 + 4x + 10.
Ta có y' = 4x + 4 ; y' = 0 x = −1.
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 8.
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}}\) trên khoảng (1; +∞) là:
−1;
3;
5;
\( - \frac{7}{3}\).
Đáp án đúng là: B
Hàm số xác định với ∀x ∈ (1; +∞).
Có \(f'\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\); f'(x) = 0 x = 0 hoặc x = 2.
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có: \(\mathop {\min }\limits_{\left( {1; + \infty } \right)} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = 3\).
\(\mathop {\min }\limits_{(2;6)} y\) = 8.
\(\mathop {\min }\limits_{(2;6)} y\) = 4.
\(\mathop {\min }\limits_{(2;6)} y\) = 3.
\(\mathop {\min }\limits_{(2;6)} y\) = 2.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Xét hàm số y = \(\frac{{{x^2}}}{{x - 2}}\) liên tục trên đoạn (2; 6).
y' = \(\frac{{{x^2} - 4x}}{{{{(x - 2)}^2}}}\).
y' = 0 ⇔ x2 – 4x = 0 ⇔\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0 \notin \left( {2;6} \right)}\\{x = 4 \in \left( {2;6} \right)}\end{array}} \right.\).
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, \(\mathop {\min }\limits_{(2;6)} y\) = f(4) = 8.
Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x3 – 3x + 1 trên khoảng (0; 2) là
1.
3.
0.
−1.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Hàm số liên tục trên khoảng (0; 2).
Ta có: y' = 3x2 – 3.
y' = 0 ⇔ 3x2 – 3 = 0 \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1}\\{x = 1}\end{array}} \right.\)
Vì đang xét hàm số trên khoảng (0; 2) nên ta loại giá trị x = −1.
Xét bảng biến thiên của hàm số trên khoảng (0; 2):
Dựa vào bảng biến thiên suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số \(\mathop {\min }\limits_{(0;2)} y\) = f(1) = −1 đạt tại x = 1.
Không tồn tại giá trị lớn nhất.
\(\mathop {\max }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} y\) = 1.
\(\mathop {\max }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} y\) = −1.
\(\mathop {\max }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} y\) = 0.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Xét hàm số y = x – 3 + \(\frac{1}{x}\) trên khoảng (0; +∞).
y' = 1 − \(\frac{1}{{{x^2}}}\).
y' = 0 ⇔ 1 − \(\frac{1}{{{x^2}}}\) = 0 ⇔ x2 – 1 = 0 ⇔\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x = - 1}\end{array}} \right.\).
Vì đang xét hàm số trên khoảng (0; +∞) nên ta loại giá trị x = −1.
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số không tồn tại giá trị lớn nhất.
\(\mathop {\min }\limits_{\left( { - \infty ; + \infty } \right)} y\) = 0.
\(\mathop {\min }\limits_{\left( { - \infty ; + \infty } \right)} y\) = \(\frac{1}{4}\).
\(\mathop {\min }\limits_{\left( { - \infty ; + \infty } \right)} y\) = \(\frac{{ - 1}}{4}\).
\(\mathop {\min }\limits_{\left( { - \infty ; + \infty } \right)} y\) = −2.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Hàm số y = \(\frac{x}{{4 + {x^2}}}\) liên tục trên khoảng (−∞; +∞).
y' = \(\frac{{4 - {x^2}}}{{{{(4 + {x^2})}^2}}}\).
y' = 0 ⇔ 4 – x2 = 0 ⇔\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2}\\{x = - 2}\end{array}} \right.\).
Bảng biến thiên của hàm số như sau:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{\left( { - \infty ; + \infty } \right)} y\) = f(−2) = \(\frac{{ - 1}}{4}\).
\(\frac{{22}}{5}\).
\(\frac{6}{{13}}\).
\(\frac{{ - 58}}{{65}}\).
\(\frac{{ - 74}}{{101}}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Hàm số f(x) = \(\frac{{6 - 8x}}{{{x^2} + 1}}\) liên tục trên khoảng (−∞; 1).
Ta có f'(x) = \(\frac{{8{x^2} - 12x - 8}}{{{{({x^2} + 1)}^2}}}\).
f'(x) = 0 ⇔ 8x2 – 12x – 8 = 0 ⇔\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 \notin \left( { - \infty ;1} \right)}\\{x = \frac{{ - 1}}{2} \in \left( { - \infty ;1} \right)}\end{array}} \right.\)
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\max }\limits_{\left( { - \infty ;1} \right)} f\left( x \right)\) = 8 ⇒ P = \(\frac{{6 - 8a}}{{{a^2} + 1}}\) = \(\frac{{ - 58}}{{65}}\).
Cho hàm số y = 2x – e2x. Khi đó:
Hàm số đã cho luôn xác định trên ℝ.
f'(ln2) = 6.
Trên đoạn [−1; ln2], giá trị lớn nhất của hàm số bằng 0 tại x = 0.
Trên đoạn [−1; ln2], giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 2ln2 – 4 tại x = ln2.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.
y = 2x – e2x.
y' = 2 – 2e2x ⇒ f'(ln2) = −6.
y' = 0 ⇔ 2 – 2e2x = 0 ⇔ e2x = 1 ⇔ x = 0.
Bảng biến thiên của hàm số trên đoạn [−1; ln2]:
a) Đúng. Hàm số đã cho luôn xác định trên ℝ.
b) Sai. f'(ln2) = −6.
c) Sai. Trên đoạn [−1; ln2], giá trị lớn nhất của hàm số bằng −1 tại x = 0.
d) Đúng. Trên đoạn [−1; ln2], giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 2ln2 – 4 tại x = ln2.
Cho hàm số y = ln[(x − 1)(3 − x)]. Khi đó:
Hàm số đã cho xác định trên ℝ.
y' = \(\frac{{ - 2x + 4}}{{(x - 1)(3 - x)}}\).
Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 0 tại x = 2.
Hàm số không có giá trị lớn nhất.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
Xét hàm số y = ln[(x − 1)(3 − x)].
Để hàm số xác định thì: (x − 1)(3 − x) > 0 ⇔ 1 < x < 3.
Hàm số đã cho xác định và liên tục trên khoảng (1; 3).
y' = \(\frac{{ - 2x + 4}}{{(x - 1)(3 - x)}}\).
y' = 0 ⇔ −2x + 4 = 0 ⇔ x = 2.
Bảng biến thiên:
![Cho hàm số y = ln[(x − 1)(3 − x)]. Khi đó: (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/06/blobid6-1780730075.png)
a) Sai. Hàm số đã cho xác định và liên tục trên khoảng (1; 3).
b) Đúng. y' = \(\frac{{ - 2x + 4}}{{(x - 1)(3 - x)}}\).
c) Sai. Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 0 tại x = 2.
d) Sai. Hàm số có giá trị lớn nhất là 0.
Cho hàm số y = f(x) = 2x3 – 6x2 – 15. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên đoạn [−2; 1]. Khi đó:
M = −15.
Giá trị lớn nhất của hàm số đạt được tại x = 1.
m = −19.
M + m = −70.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.
Ta có y' = 6x2 – 12x; y' = 0 Û x = 0 (chọn) hoặc x = 2 (loại).
Ta có y(−2) = −55; y(0) = −15; y(1) = −19.
a) Đúng. M = −15.
b) Sai. Giá trị lớn nhất của hàm số đạt được tại x = 0.
c) Sai. m = −55.
d) Đúng. M + m = −15 + (−55) = −70.
Cho hàm số \(y = \frac{{ - 4x + 5}}{{x + 3}}\) có đồ thị (C).
Hàm số đã cho có giá trị lớn nhất trên đoạn [0; 5] là \(\frac{5}{3}\).
Hàm số đạt giá trị lớn nhất trên đoạn [0; 5] tại điểm x = 5.
Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [−2; −1] là 35.
Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn [−2; −1] tại điểm x = −2.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Sai.
Ta có \(y' = \frac{{ - 17}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} < 0\). Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; −3) và (−3; +∞).
a) Đúng. \[\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;5} \right]} y = y\left( 0 \right) = \frac{5}{3}\].
b) Sai. Hàm số đạt giá trị lớn nhất trên đoạn [0; 5] tại điểm x = 0.
c) Sai.\(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2; - 1} \right]} y = y\left( { - 2} \right) = 13;\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2; - 1} \right]} y\left( { - 1} \right) = \frac{9}{2}\).
Do đó tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [−2; −1] là \(\frac{{35}}{2}\).
d) Sai. Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn [−2; −1] tại điểm x = −1.
Cho hàm số y = x3 – 3x.
\(\mathop {\min }\limits_{\left( { - 2;2} \right)} f\left( x \right) = - 2\).
\(\mathop {\max }\limits_{\left( { - 2;2} \right)} f\left( x \right) = 2\).
\(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( x \right) = - 2\).
\(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( x \right) + \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( x \right) = 0\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
Xét hàm số y = x3 – 3x.
Có y' = 3x2 – 3; y' = 0 Û x = 1 hoặc x = −1.
Ta có bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, ta có
a) Đúng.\(\mathop {\min }\limits_{\left( { - 2;2} \right)} f\left( x \right) = - 2\).
b) Đúng.\(\mathop {\max }\limits_{\left( { - 2;2} \right)} f\left( x \right) = 2\).
c) Sai. \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( x \right) = 2\).
d) Đúng. \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( x \right) = - 2\). Suy ra \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( x \right) + \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( x \right) = 2 + \left( { - 2} \right) = 0\).
Cho hàm số y = x + \(\sqrt {4 - {x^2}} \). Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số trên.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: −2
Tập xác định D = [−2; 2].
Xét hàm số y = x + \(\sqrt {4 - {x^2}} \).
y' = 1 − \(\frac{x}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}\) = \(\frac{{ - x + \sqrt {4 - {x^2}} }}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}\), x ∈ (−2; 2).
y' = 0 ⇔\(\sqrt {4 - {x^2}} \) − x = 0 ⇔\(\sqrt {4 - {x^2}} \) = x ⇔\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 0}\\{x = \sqrt 2 \in \left( { - 2;2} \right)}\\{x = - \sqrt 2 \notin \left( { - 2;2} \right)}\end{array}} \right.\) \[\]
Ta có bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} y\) = −2.
Cho hàm số y = ex(x2 – 3), gọi M = \(\frac{a}{{e{}^b}}\) (a ϵ ℕ, b ∈ ℕ) là giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [−5; −2]. Tính giá trị của biểu thức P = a + b.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 9
Xét hàm số y = ex(x2 – 3) trên đoạn [−5; −2].
Ta có y' = ex(x2 + 2x – 3) = 0 ⇔\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 3 \in \left[ { - 5; - 2} \right]}\\{x = 1 \notin \left[ { - 5; - 2} \right]}\end{array}} \right.\)
Ta có bảng biến thiên:
![Dựa vào bảng biến thiên ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} y\) = −2. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/06/blobid8-1780730263.png)
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 5; - 2} \right]} y\) = \(\frac{6}{{{e^3}}}\)⇒ a = 6; b = 3 ⇒ a + b = 3 + 6 = 9.
Cho hàm số y = x3 – 3x + 91. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [−2; 2] bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 182
Có y' = 3x2 – 3; y' = 0 Û x = 1 (chọn) hoặc x = −1 (chọn).
Có y(−2) = 89; y(−1) = 93; y(1) = 89; y(2) = 93.
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [−2; 2] là 89, giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [−2; 2] là 93.
Vậy tổng là 89 + 93 = 182.
Cho hàm số y = 300(x2 – x3) + 4. Trên đoạn [0; 0,5] hàm số đạt giá trị lớn nhất tại \(x = \frac{1}{a}\). Tìm a.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 2
Có y' = 300(2x – 3x2); y' = 0 Û x = 0 (chọn) hoặc \(x = \frac{2}{3}\) (loại).
Có y(0) = 4; y(0,5) = 41,5.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 41,5 đạt được tại \(x = \frac{1}{2}\). Suy ra a = 2.
Biết giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) = 2cosx + x trên đoạn \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\) là \(\sqrt a + \frac{\pi }{b}\) (a, b Î ℕ*). Tính a + b.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 9
Có y' = −2sinx + 1; y' = 0 Û\(x = \frac{\pi }{6}\) vì \(x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\).
Có y(0) = 1; \(y\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \sqrt 3 + \frac{\pi }{6}\); \(y\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{2}\).
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) = 2cosx + x trên đoạn \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\) là \(\sqrt 3 + \frac{\pi }{6}\).
Suy ra a = 3; b = 6. Vậy a + b = 9.
