Đề kiểm tra Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lớp 12 (có lời giải) - Đề 4

Dựa vào đồ thị ta có \(\mathop {max}\limits_{{\rm{[}} - 1;2]} y = 2\)

Ta có \[M = \mathop {max}\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 1} \right) = 3\] và \(m = \mathop {min}\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} \,f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = 0\).

Vậy \(M + m = 3\).

Chọn A.

Hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 3}}{{x - 1}}\) liên tục trên đoạn \(\left[ {2;4} \right].\)

Ta có \(y'\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1 \notin \left( {2;\,4} \right)\\x = 3\,\,\,\, \in \left( {2;\,4} \right)\end{array} \right.\)

Tính \(y'\left( 2 \right) = 7;\,\,y'\left( 4 \right) = \frac{{19}}{3};\,\,y'\left( 3 \right) = 6\).

Suy ra \(m = 6\).

Sử dụng Casio

Nhập MODE 7 . \(f\left( X \right) = \frac{{{x^2} + 3}}{{x - 1}}\).

Start? \(2\) End? \(4\) Step? \(\frac{1}{9}\). Kết luận.

Chọn A

\[f'(x) = 2x - 3\]

\[f'(x) = 0 \Rightarrow 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}\]

\[f(0) = 0;f(2) =  - 2;f\left( {\frac{3}{2}} \right) = \frac{{ - 9}}{4}\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là \[\frac{{ - 9}}{4}\] khi \[x = \frac{3}{2}\]

Quan sát đồ thị trên đoạn \[\left[ { - 2\,;\,2} \right]\], giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y = f\left( x \right)\] là \[ - 4\].

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\)giá trị lớn nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) bằng\(3\).

Chọn C

\[f\left( x \right) =  - \frac{1}{{40}}{x^3} + \frac{3}{4}{x^2}\]

\[f'\left( x \right) =  - \frac{3}{{40}}{x^2} + \frac{3}{2}x\]

\[f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow  - \frac{3}{{40}}{x^2} + \frac{3}{2}x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0(l)\\x = 20(n)\end{array} \right.\]

Bảng biến thiên.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là \[25\] khi \[x = 20\]

TXĐ: \[D = \mathbb{R}\]

\(y' = {2^x}\ln 2 - 4\ln 2\)

Cho \(y' = 0 \Leftrightarrow \)\({2^x}\ln 2 - 4\ln 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2\)

Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \[\left[ {0;4} \right]\] bằng \(4 - 8\ln 2\) tại \(x = 2\).

Khi đó: \(a + b + c = 4 + 8 + 2 = 14.\)

Chọn D

Tập xác định \(D = \left( {0; + \infty } \right)\)

Ta có \(y' = 1 - \frac{1}{x}\). Xét \(y' = 0 \Leftrightarrow 1 - \frac{1}{x} = 0 \Leftrightarrow x = 1 \in \left[ {\frac{1}{2};e} \right]\)

Xét \(y\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{2} + \ln 2,\,\,y\left( 1 \right) = 1,\,y\left( e \right) = e - 1\)

Do đó \(m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {\frac{1}{2};e} \right]} y = 1\) và \(M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {\frac{1}{2};e} \right]} y = e - 1\)

Suy ra \(M - m = e - 1 - 1 = e - 2\).

Tập xác định: \(D = \left[ { - 2;\,2} \right].\).

Ta có:

+\(y' = \frac{{ - x}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }};\,y' = 0 \Leftrightarrow x = 0.\)

+ \(y\left( 0 \right) = 2;\,y\left( { \pm 2} \right) = 0.\)

Vậy \(\mathop {\max }\limits_D y = y\left( 0 \right) = 2;\,\mathop {\min }\limits_D y = y\left( { \pm 2} \right) = 0\). Vậy khẳng định C là sai.

Hàm số \(y = f\left( x \right) = x - 5 + \frac{1}{x}\) luôn xác định trên khoảng \(\left( {0;\; + \infty } \right).\)

Ta có \(y' = 1 - \frac{1}{{{x^2}}} \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - 1 \notin \left( {0;\, + \infty } \right)\end{array} \right.\).

BBT của hàm số \(y = f\left( x \right) = x - 5 + \frac{1}{x}\) trên khoảng \(\left( {0;\; + \infty } \right)\)

Vậy \(\mathop {\min }\limits_{\left( {0;\, + \infty } \right)} y = y\left( 1 \right) =  - 3\).

Ta có :

+ \(y' =  - 4{x^3} + 12x,\,y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \in \left[ { - 1;1} \right]\\x = \sqrt 3  \notin \left[ { - 1;1} \right]\\x =  - \sqrt 3  \notin \left[ { - 1;1} \right]\end{array} \right.\);

+ \(y\left( 0 \right) = m;y\left( { \pm 1} \right) = m + 5;\)

Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} y = y\left( { \pm 1} \right) = m + 5 = 5 \Leftrightarrow m = 0\).

\(f'\left( x \right) = 4x - \frac{{500}}{{{x^2}}} = \frac{{4{x^3} - 500}}{{{x^2}}}\), \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 500 = 0 \Leftrightarrow x = 5\).

Bảng biến thiên.

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng\[\left( {0; + \infty } \right)\]là \[150\] khi \(x = 5\).

a) đúng.

b) sai.

c) sai.

d) đúng.

Gọi số tiền cần tăng giá mỗi chiếc khăn là \(x\) (nghìn đồng).

Vì cứ tăng giá thêm \(1\) (nghìn đồng) thì số khăn bán ra giảm \(100\) chiếc nên tăng \(x\) (nghìn đồng) thì số khăn bán ra giảm \(100x\) chiếc.

Do đó tổng số khăn bán ra mỗi tháng là: \(3000 - 100x\) chiếc.

Lúc đầu bán với giá \(30\) (nghìn đồng), mỗi chiếc khăn có lãi \(12\) (nghìn đồng). Sau khi tăng giá, mỗi chiếc khăn thu được số lãi là: \(12 + x\) (nghìn đồng).

Do đó tổng số lợi nhuận một tháng thu được sau khi tăng giá là:

\(f\left( x \right) = \left( {3000 - 100x} \right)\left( {12 + x} \right)\) (nghìn đồng).

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \left( {3000 - 100x} \right)\left( {12 + x} \right)\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Ta có: \(f\left( x \right) = - 100{x^2} + 1800x + 36000\).

\(f'\left( x \right) = - 200x + 1800\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - 200x + 1800 = 0 \Leftrightarrow x = 9\)

Lập bảng biến thiên của hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(\left( {0;\, + \infty } \right)\) ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất khi\[x = 9\]

Như vậy, để thu được lợi nhuận cao nhất thì cơ sở sản xuất cần tăng giá bán mỗi chiếc khăn là \(9.000\) đồng, tức là mỗi chiếc khăn bán với giá mới là\(39.000\) đồng.

Vậy:

a) sai.

b) đúng.

c) sai.

d) đúng.

a) Trên \(\mathbb{R},\) hàm số có giá trị lớn nhất bằng 5.

b) Trên \(\mathbb{R},\) hàm số không có giá trị nhỏ nhất.

c) Trên \(\left[ { - 1;1} \right]\), hàm số có giá trị lớn nhất bằng 5, giá trị nhỏ nhất bằng 2. Do đó tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(\left[ { - 1;1} \right]\)là 7

d) Ta có:

a)    Ta có: \(\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ { - 1;3} \right]} f\left( x \right) = 3 = f\left( 3 \right).\)

b)    Ta có: \(\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ { - 1;3} \right]} f\left( x \right) =  - 2.\)

c) Trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\), giá trị lớn nhất của hàm số là 2, giá trị nhỏ nhất là \( - 2\). Do đó tập giá trị của hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(\left[ { - 1;2} \right]\) là \(\left[ { - 2;2} \right]\)

d) Đặt \(t = 3{\sin ^2}x - 1 \Rightarrow t \in \left[ { - 1;2} \right].\)

Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = f\left( {3{{\sin }^2}x - 1} \right)\) là giá trị lớn nhất của hàm số \(y = f\left( t \right)\)trên \(\left[ { - 1;2} \right]\).

Dựa vào đồ thị ta có: \(\mathop {\max }\limits_\mathbb{R} y = \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} f\left( t \right) = 2\).

Đáp số: 3

Hàm số \(y = {x^2} + \frac{2}{x}\) liên tục trên đoạn \(\left[ {\frac{1}{2};2} \right]\)

Đặt \(y = f\left( x \right) = {x^2} + \frac{2}{x}\).

Ta có \(y' = 2x - \frac{2}{{{x^2}}} = \frac{{2{x^3} - 2}}{{{x^2}}}\), \(y' = 0 \Rightarrow x = 1 \in \left[ {\frac{1}{2}{\mkern 1mu} ;{\mkern 1mu} 2} \right]\).

Khi đó \(f\left( 1 \right) = 3,f\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{{17}}{4},f\left( 2 \right) = 5\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {\frac{1}{2};2} \right]} {\mkern 1mu} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = 3\).

Đáp số: \(0,37\)

-  Hàm số \(g(x) = \frac{{\ln x}}{x}\) liên tục trên đoạn \([1;4]\)

Ta có: \({g^\prime }(x) = \frac{{1 - \ln x}}{{{x^2}}}\). Khi đó, trên khoảng \((1;4),{g^\prime }(x) = 0\) khi \(x = e\).

\(g(1) = 0,g(e) = \frac{1}{e},g(4) = \frac{{\ln 4}}{4} = \frac{{\ln 2}}{2}\).

Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;4} \right]} g(x) = \frac{1}{e},\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;4} \right]} g(x) = 0 \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;4} \right]} g(x) + \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;4} \right]} g(x) = \frac{1}{e} \approx 0,37\).

Đáp số: \(1,125\)

Hàm số \(f\left( x \right) = \sin x + \cos 2x\) liên tục trên \(\left[ {0;\pi } \right]\)

\(f\left( x \right) = \sin x + \cos 2x\)\( = \sin x + 1 - 2{\sin ^2}x\)

Đặt \(\sin x = t\) . Vì \(x \in \left[ {0;\pi } \right]\) nên \(t \in \left[ {0;1} \right]\)

Bài toán trở thành: Tìm giá trị lớn nhất của  hàm số \(h\left( t \right) =  - 2{t^2} + t + 1\) trên \(\left[ {0;1} \right]\)

Hàm số \(h\left( t \right) =  - 2{t^2} + t + 1\)  liên tục trên \(\left[ {0;1} \right]\)

\(h\left( t \right) =  - 2{t^2} + t + 1\), \(h'\left( t \right) =  - 4t + 1\)

\(h'\left( t \right) = 0\)\( \Leftrightarrow t = \frac{1}{4}\)

\(h\left( 0 \right) = 1\), \(h\left( 1 \right) = 0\), \(h\left( {\frac{1}{4}} \right) = \frac{9}{8}\)

Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} h\left( t \right) = \frac{9}{8}\).               

Đáp số: \(2,4\).

Đặt \[OA = x\,\,\left( m \right)\]  với \[x > 0\]

Ta có: \[{\rm{tan}}\widehat {BOC} = {\rm{tan}}\left( {\widehat {AOC} - \widehat {AOB}} \right) = \frac{{\tan \widehat {AOC} - \tan \widehat {AOB}}}{{1 + \tan \widehat {AOC}.\tan \widehat {AOB}}}\]        

                                                          \[ = \frac{{\frac{{AC}}{{OA}} - \frac{{AB}}{{OA}}}}{{1 + \frac{{AC.AB}}{{O{A^2}}}}} = \frac{{\frac{{1,4}}{x}}}{{1 + \frac{{3,2.1,8}}{{{x^2}}}}} = \frac{{1,4x}}{{{x^2} + 5,76}}\]

Để góc quan sát \(BOC\) lớn nhất thì \(\tan \widehat {BOC}\) lớn nhất.

Xét hàm số \[f(x) = \frac{{1,4x}}{{{x^2} + 5,76}}\] với \[x > 0\].

Ta có hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) và  \[f'(x) = \frac{{ - 1,4{x^2} + 1,4.5,76}}{{{{\left( {{x^2} + 5,76} \right)}^2}}}\], \[f'(x) = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 2,4\]

Lập bảng biến thiên của hàm số \(f\left( x \right)\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) thì ta có \(f\left( x \right)\) đạt giá trị lớn nhất tại \(x = 2,4\).

Vậy \(AO = 2,4\,\,\,m\) thì góc quan sát \(BOC\) lớn nhất.

Đáp số: 7200

Gọi hai kích thước của hình chữ nhật là \(x\) và \(y\), với \(2x + y = 240\) \(\left( {0 < x < 120;0 < y < 240} \right)\).

Suy ra \(y = 240 - 2x\)

Diện tích của mảnh vườn hình chữ nhật là:

\(S = xy = x\left( {240 - 2x} \right) = 240x - 2{x^2},0 < x < 120\).

\(S' = 240 - 4x\); \(S' = 0 \Leftrightarrow x = 60 \in \left( {0;120} \right)\)

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta thấy \(\mathop {\max }\limits_{\left( {0;120} \right)} S = 7200 \Leftrightarrow x = 60\)

Vậy ông nông dân có thể rào được cánh đồng với diện tích lớn nhất là \(7200\)m^­2.

Đáp số: \(2,34\)

Gọi bán kính đáy của hình trụ là \(R,R > 0\). Ta có

\(V = \pi {R^2}h \Rightarrow h = \frac{{10}}{{\pi {R^2}}}\).

Suy ra chi phí (đơn vị ngàn đồng) làm thùng

\(\begin{array}{l}C = \pi {R^2}.400 + \pi {R^2}.200 + 2\pi Rh.300\\\,\,\,\,\, = 600\left( {\pi {R^2} + \frac{{10}}{R}} \right)\end{array}\).

\(C' = 600\left( {2\pi R - \frac{{10}}{{{R^2}}}} \right)\); \(C' = 0 \Leftrightarrow 2\pi R - \frac{{10}}{{{R^2}}} = 0 \Leftrightarrow {R^3} = \frac{5}{\pi } \Leftrightarrow R = \sqrt[3]{{\frac{5}{\pi }}}\)

Bảng biến thiên

Dẫn dến

\(\mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} C = 1800\sqrt[3]{{25\pi }} \Leftrightarrow R = \sqrt[3]{{\frac{5}{\pi }}}\).

Vậy để chi phí nhỏ nhất thì chiều cao của hình trụ là \(h = \frac{{10}}{{\sqrt[3]{{25\pi }}}} \approx 2,34\,m\).