ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định lượng - Sử dụng phương pháp đổi biến số để tính tích phân
29 câu hỏi
Hàm số y=f(x) có nguyên hàm trên (a;b) đồng thời thỏa mãn f(a)=f(b). Lựa chọn phương án đúng:
\[\mathop \smallint \limits_a^b f'\left( x \right){e^{f\left( x \right)}}dx = 0\]
\[\mathop \smallint \limits_a^b f'\left( x \right){e^{f\left( x \right)}}dx = 1\]
\[\mathop \smallint \limits_a^b f'\left( x \right){e^{f\left( x \right)}}dx = - 1\]
\[\mathop \smallint \limits_a^b f'\left( x \right){e^{f\left( x \right)}}dx = 2\]
Đặt\[t = f\left( x \right) \Rightarrow dt = f'\left( x \right)dx\]
Đổi cận: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = a \Rightarrow t = f(a)}\\{x = b \Rightarrow t = f(b)}\end{array}} \right.\)
Khi đó\[I = \mathop \smallint \limits_{f\left( a \right)}^{f\left( b \right)} {e^t}dt = 0\](Vì\[f\left( a \right) = f\left( b \right)\]
Đáp án cần chọn là: A
Cho hàm số f(x) liên tục trên R và \[\mathop \smallint \limits_{ - 2}^4 f(x)dx = 2\] . Mệnh đề nào sau đây là sai?
\[\mathop \smallint \limits_{ - 1}^2 f\left( {2x} \right)d{\rm{x}} = 2\]
\[\mathop \smallint \limits_{ - 3}^3 f\left( {x + 1} \right)d{\rm{x}} = 2\]
\[\mathop \smallint \limits_{ - 1}^2 f\left( {2x} \right)d{\rm{x}} = 1\]
\[\mathop \smallint \limits_0^6 \frac{1}{2}f\left( {x - 2} \right)d{\rm{x}} = 1\]
Dựa vào các đáp án, xét:
\[\mathop \smallint \limits_{ - 1}^2 f(2x)dx = \frac{1}{2}\mathop \smallint \limits_{ - 1}^2 f(2x)d(2x) = \frac{1}{2}\mathop \smallint \limits_{ - 2}^4 f(x)dx = 1\]
\[\begin{array}{*{20}{l}}{\mathop \smallint \limits_{ - 3}^3 f(x + 1)dx = \mathop \smallint \limits_{ - 3}^3 f(x + 1)d(x + 1)}\\{ = \mathop \smallint \limits_{ - 2}^4 f(x)dx = 2}\end{array}\]
\[\mathop \smallint \limits_0^6 \frac{1}{2}f(x - 2)dx = \mathop \smallint \limits_0^6 \frac{1}{2}f(x - 2)d(x - 2) = \frac{1}{2}\mathop \smallint \limits_{ - 2}^4 f(x)dx = 1\]
Do đó các đáp án B, C, D đều đúng, đáp án A sai.
Đáp án cần chọn là: A
Cho y=f(x) là hàm số lẻ và liên tục trên \[\left[ { - a;a} \right].\]Chọn kết luận đúng:
\[\mathop \smallint \limits_{ - a}^a f\left( x \right)dx = 0\]
\[\mathop \smallint \limits_{ - a}^a f\left( x \right)dx = 1\]
\[\mathop \smallint \limits_{ - a}^a f\left( x \right)dx = - 1\]
\[\mathop \smallint \limits_{ - a}^a f\left( x \right)dx = a\]
Hàm số\[y = f\left( x \right)\]là hàm số lẻ nếu\[f\left( x \right) = - f\left( { - x} \right)\]
Đặt\[x = - t \Rightarrow dx = - dt\]
Đổi cận\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = a \Rightarrow t = - a}\\{x = - a \Rightarrow t = a}\end{array}} \right.\)
\[ \Rightarrow \mathop \smallint \limits_{ - a}^a f\left( x \right)dx = \mathop \smallint \limits_a^{ - a} f\left( { - t} \right)\left( { - dt} \right) = \mathop \smallint \limits_{ - a}^a \left( { - f\left( t \right)} \right)dt = - \mathop \smallint \limits_{ - a}^a f\left( t \right)dt = - \mathop \smallint \limits_{ - a}^a f\left( x \right)dx\]
Do đó
\[\mathop \smallint \limits_{ - a}^a f\left( x \right)dx = - \mathop \smallint \limits_{ - a}^a f\left( x \right)dx \Leftrightarrow 2\mathop \smallint \limits_{ - a}^a f\left( x \right)dx = 0 \Leftrightarrow \mathop \smallint \limits_{ - a}^a f\left( x \right)dx = 0\]
Đáp án cần chọn là: A
Cho \[\mathop \smallint \nolimits_0^4 f(x)dx = - 1\], tính \(I = \mathop \smallint \limits_0^1 f(4x)dx\):
\[I = \frac{{ - 1}}{2}\]
\[I = - \frac{1}{4}\]
\[I = \frac{1}{4}\]
\[I = - 2\]
Đặt\[4x = t\]khi đó\[4dx = dt\]
Đổi cận với x=0 thì t=0;x=1 thì t=4
\[\mathop \smallint \limits_0^1 f\left( {4x} \right)dx = \frac{1}{4}\mathop \smallint \limits_0^4 f(t)dt = - \frac{1}{4}\]
vì tích phân không phụ thuộc vào biến số.
Đáp án cần chọn là: B
Tính tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_0^\pi {\cos ^3}x\sin xdx\]
Đặt \[\cos x = t \Rightarrow - \sin xdx = dt \Rightarrow \sin xdx = - dt\]
Đổi cận:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0 \Rightarrow t = 1}\\{x = \pi \Rightarrow t = - 1}\end{array}} \right.\)
\( \Rightarrow I = - \int\limits_1^{ - 1} {{t^3}dt = } \int\limits_{ - 1}^1 {{t^3}dt = \frac{{{t^4}}}{4}} \left| {_{ - 1}^1} \right. = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 0\)
\[I = - \frac{1}{4}{\pi ^4}\]
\[I = - {\pi ^4}\]
\[I = 0\]
\[I = - \frac{1}{4}\]Trả lời:
C
Cho tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \sin x\sqrt {8 + \cos x} dx\] Đặt \[u = 8 + cosx\] thì kết quả nào sau đây là đúng?
\[I = 2\mathop \smallint \limits_8^9 \sqrt u du\]
\[I = \frac{1}{2}\mathop \smallint \limits_8^9 \sqrt u du\]
\[I = \mathop \smallint \limits_9^8 \sqrt u du\]
\[I = \mathop \smallint \limits_8^9 \sqrt u du\]
Đặt\[u = 8 + \cos x \Rightarrow du = - \sin xdx \Rightarrow \sin xdx = - du\]
Đổi cận:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0 \Rightarrow t = 9}\\{x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow t = 8}\end{array}} \right. \Rightarrow I = - \mathop \smallint \limits_9^8 \sqrt u du = \mathop \smallint \limits_8^9 \sqrt u du\)
Đáp án cần chọn là: D
Tính tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_{\ln 2}^{\ln 5} \frac{{{e^{2x}}}}{{\sqrt {{e^x} - 1} }}dx\] bằng phương pháp đổi biến số \[u = \sqrt {{e^x} - 1} \]. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
\[I = \left( {\frac{{{u^3}}}{3} + u} \right)\left| {_1^2} \right.\]
\[I = \frac{4}{3}\left( {{u^3} + u} \right)\left| {_1^2} \right.\]
\[I = 2\left( {\frac{{{u^3}}}{3} + u} \right)\left| {_1^2} \right.\]
\[I = \frac{1}{3}\left( {\frac{{{u^3}}}{3} + u} \right)\left| {_1^2} \right.\]
Đặt\[u = \sqrt {{e^x} - 1} \Rightarrow {u^2} = {e^x} - 1 \Rightarrow 2udu = {e^x}dx\] và\[{e^x} = {u^2} + 1\]
Đổi cận:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = ln2 \Rightarrow u = 1}\\{x = ln5 \Rightarrow u = 2}\end{array}} \right.\)
Khi đó ta có
\(I = \int\limits_{\ln 2}^{\ln 5} {\frac{{{e^{2x}}}}{{\sqrt {{e^x} - 1} }}dx = 2\int\limits_1^2 {\frac{{({u^2} + 1)udu}}{u}} } = 2\int\limits_1^2 {({u^2} + 1)du} = = 2\left( {\frac{{{u^3}}}{3} + u} \right)\left| {_1^2} \right.\)
Đáp án cần chọn là: C
Biết rằng \[I = \mathop \smallint \limits_0^1 \frac{x}{{{x^2} + 1}}dx = \ln a\] với \[a \in R\]. Khi đó giá trị của a bằng:
\[a = 2\]
\[a = \frac{1}{2}\]
\[a = \sqrt 2 \]
\[a = 4\]
Đặt\[{x^2} + 1 = t \Rightarrow 2xdx = dt \Rightarrow xdx = \frac{{dt}}{2}\]
Đổi cận\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0 \Rightarrow t = 1}\\{x = 1 \Rightarrow t = 2}\end{array}} \right.\)
Khi đó ta có:
\(I = \int\limits_0^1 {\frac{x}{{{x^2} + 1}}} dx = \frac{1}{2}\int\limits_1^2 {\frac{{dt}}{t}} = \frac{1}{2}\ln \left| t \right|\left| {_1^2} \right. = \frac{1}{2}(ln2 - ln1)\)
\[ = \frac{1}{2}\ln 2 = \ln \sqrt 2 \Rightarrow a = \sqrt 2 \,\,\left( {tm} \right)\]
Đáp án cần chọn là: C
Cho \[2\sqrt 3 m - \mathop \smallint \limits_0^1 \frac{{4{x^3}}}{{{{\left( {{x^4} + 2} \right)}^2}}}dx = 0\]. Khi đó \[144{m^2} - 1\;\]bằng:
\[ - \frac{2}{3}\]
\[4\sqrt 3 - 1\]
\[\frac{{2\sqrt 3 }}{3}\]
Kết quả khác
Đặt\[t = {x^4} + 2 \Rightarrow dt = 4{x^3}dx\]
Đổi cận: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0 \Rightarrow t = 2}\\{x = 1 \Rightarrow t = 3}\end{array}} \right.\)
Khi đó ta có:
\[\mathop \smallint \limits_0^1 \frac{{4{x^3}}}{{{{\left( {{x^4} + 2} \right)}^2}}}dx = \int\limits_2^3 {\frac{{dt}}{{{t^2}}}} = \frac{{ - 1}}{t}\left| {_2^3} \right. = \frac{{ - 1}}{3} + \frac{1}{2} = \frac{1}{6}\]
\( \Rightarrow 2\sqrt 3 m - \frac{1}{6} \Leftrightarrow m = \frac{1}{{12\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{{36}} \Rightarrow 144{m^2} - 1 = - \frac{2}{3}\)
Đáp án cần chọn là: A
Đổi biến \[u = \ln x\] thì tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_1^e \frac{{1 - \ln x}}{{{x^2}}}dx\] thành:
\[I = \mathop \smallint \limits_1^0 \left( {1 - u} \right)du\]
\[I = \mathop \smallint \limits_0^1 \left( {1 - u} \right){e^{ - u}}du\]
\[I = \mathop \smallint \limits_1^0 \left( {1 - u} \right){e^{ - u}}du\]
\[I = \mathop \smallint \limits_1^0 \left( {1 - u} \right){e^{2u}}du\]
Đặt u = lnx ⇒\[ \Rightarrow du = \frac{{dx}}{x}\] và\[x = {e^u}\]
Đổi cận: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 \Rightarrow u = 0}\\{x = e \Rightarrow u = 1}\end{array}} \right.\)
Khi đó ta có: \[I = \mathop \smallint \limits_1^e \frac{{1 - \ln x}}{{{x^2}}}dx = \mathop \smallint \limits_0^1 \frac{{1 - u}}{{{e^u}}}du = \mathop \smallint \limits_0^1 \left( {1 - u} \right){e^{ - u}}du\]
Đáp án cần chọn là: B
Cho \[I = \mathop \smallint \limits_1^e \frac{{\sqrt {1 + 3\ln x} }}{x}dx\] và \[t = \sqrt {1 + 3lnx} \;\]. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:
\[I = \frac{2}{3}\mathop \smallint \limits_1^2 tdt\]
\[I = \frac{2}{3}\mathop \smallint \limits_1^2 {t^2}dt\]
\[I = \left( {\frac{2}{9}{t^3} + 2} \right)\left| {_1^2} \right.\]
\[I = \frac{{14}}{9}\]
Đặt
\[t = \sqrt {1 + 3\ln x} \Rightarrow {t^2} = 1 + 3\ln x \Rightarrow 2tdt = \frac{{3dx}}{x} \Rightarrow \frac{{dx}}{x} = \frac{2}{3}tdt\]
Đổi cận: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 \Rightarrow t = 1}\\{x = e \Rightarrow t = 2}\end{array}} \right.\)
Khi đó ta có:
\(I = \frac{2}{3}\int\limits_1^2 {{t^2}dt = } \frac{2}{3}\frac{{{t^3}}}{3}\left| {_1^2} \right. = \frac{2}{9}{t^3}\left| {_1^2} \right. = \left( {\frac{2}{9}{t^3} + 2} \right)\left| {_1^2} \right. = \frac{2}{9}(8 - 1) = \frac{{14}}{9}\)
Vậy A sai.
Đáp án cần chọn là: A
Kết quả tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_1^e \frac{{\ln x}}{{x\left( {{{\ln }^2}x + 1} \right)}}dx\] có dạng \[I = aln2 + b\;\] với \[a,b \in Q\;\]. Khẳng định nào sau đây là đúng?
\[2a + b = 1\]
\[{a^2} + {b^2} = 4\]
\[a - b = 1\]
\[ab = \frac{1}{2}\]
Cách 1: Đặt\[t = {\ln ^2}x + 1 \Rightarrow dt = 2\ln x\frac{{dx}}{x} \Rightarrow \frac{{\ln xdx}}{x} = \frac{{dt}}{2}\]
Đổi cận:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 \Rightarrow t = 1}\\{x = e \Rightarrow t = 2}\end{array}} \right.\)
Khi đó ta có:
\(I = \frac{1}{2}\int\limits_1^2 {\frac{{dt}}{t}} = \frac{1}{2}\ln \left| t \right|\left| {_1^2} \right. = \frac{1}{2}\ln 2 = aln2 + b \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{1}{2}}\\{b = 0}\end{array}} \right. \Rightarrow 2a + b = 1\)
Đáp án cần chọn là: A
Cho tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_1^{\sqrt 3 } \frac{{\sqrt {1 + {x^2}} }}{{{x^2}}}dx\]. Nếu đổi biến số \[t = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x}\;\] thì:
\[I = - \mathop \smallint \limits_{\sqrt 2 }^{\frac{2}{{\sqrt 3 }}} \frac{{{t^2}}}{{{t^2} - 1}}dt\]
\[I = \mathop \smallint \limits_2^3 \frac{{{t^2}}}{{{t^2} + 1}}dt\]
\[I = \mathop \smallint \limits_{\sqrt 2 }^{\frac{2}{{\sqrt 3 }}} \frac{{{t^2}}}{{{t^2} - 1}}dt\]
\[I = \mathop \smallint \limits_2^3 \frac{t}{{{t^2} + 1}}dt\]
Đặt
\[\begin{array}{*{20}{l}}{t = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x} \Leftrightarrow {t^2} = \frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2}}} = 1 + \frac{1}{{{x^2}}}}\\{ \Rightarrow 2tdt = - \frac{2}{{{x^3}}}dx \Rightarrow tdt = - \frac{{dx}}{{{x^3}}}}\end{array}\]
Và\[{t^2}{x^2} = {x^2} + 1 \Rightarrow {x^2}\left( {{t^2} - 1} \right) = 1 \Leftrightarrow {x^2} = \frac{1}{{{t^2} - 1}} \Rightarrow \frac{{dx}}{x} = - \frac{t}{{{t^2} - 1}}dt\]
Đổi cận:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 \Rightarrow t = \sqrt 2 }\\{x = \sqrt 3 \Rightarrow t = \frac{2}{{\sqrt 3 }}}\end{array}} \right.\)
Khi đó ta có:\[I = - \mathop \smallint \limits_{\sqrt 2 }^{\frac{2}{{\sqrt 3 }}} \frac{{{t^2}}}{{{t^2} - 1}}dt\]
Đáp án cần chọn là: A
Đổi biến \[x = 4\sin t\] của tích phân \(I = \int\limits_0^{\sqrt 8 } {\sqrt {16 - {x^2}} } \) ta được:
\[I = - 16\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\cos ^2}tdt\]
\[I = 8\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{4}} \left( {1 + \cos 2t} \right)dt\]
\[I = 16\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\sin ^2}tdt\]
\[I = 8\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{4}} \left( {1 - \cos 2t} \right)dt\]
Đặt\[x = 4\sin t \Rightarrow dx = 4\cos tdt\]
Đổi cận: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0 \Rightarrow t = 0}\\{x = \sqrt 8 \Rightarrow t = \frac{\pi }{4}}\end{array}} \right.\)
Khi đó ta có:
\[I = 4\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{4}} \sqrt {16 - 16{{\sin }^2}t} \cos tdt = 16\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\cos ^2}tdt = 8\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{4}} \left( {1 + \cos 2t} \right)dt\]
Đáp án cần chọn là: B
Cho tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_0^1 \frac{{dx}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}\]. Bằng phương pháp đổi biến thích hợp ta đưa được tích phân đã cho về dạng:
\[I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{6}} dt\]
\[I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{6}} tdt\]
\[I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{6}} \frac{{dt}}{t}\]
\[I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{3}} dt\]
Đặt \[x = 2\sin t \Rightarrow dx = 2\cos tdt\]
Đổi cận:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0 \Rightarrow t = 0}\\{x = 1 \Rightarrow t = \frac{\pi }{6}}\end{array}} \right.\)
Khi đó ta có: \[I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{6}} \frac{{2\cos tdt}}{{\sqrt {4 - 4{{\sin }^2}t} }} = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{6}} \frac{{2\cos tdt}}{{2\cos t}} = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{6}} dt\]
Đáp án cần chọn là: A
Tìm a biết \(I = \int\limits_{ - 1}^2 {\frac{{{e^x}dx}}{{2 + {e^x}}}} = \ln \frac{{ae + {e^3}}}{{ae + b}}\) với a,bb là các số nguyên dương.
\[a = 1\]
\[a = - \frac{1}{3}\]
\[a = 2\]
\[a = --2\]
Đặt \[t = {e^x} \Rightarrow dt = {e^x}dx\]
Đổi cận:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1 \Rightarrow t = {e^{ - 1}}}\\{x = 2 \Rightarrow t = {e^2}}\end{array}} \right.\)
Khi đó
\(\begin{array}{l}I = \int\limits_{{e^{ - 1}}}^{{e^2}} {\frac{{dt}}{{t + 2}}} = ln|t + 2|\left| {_{{e^{ - 1}}}^{{e^2}}} \right. = ln({e^2} + 2) - ln({e^{ - 1}} + 2) = ln\frac{{{e^2} + 2}}{{{e^{ - 1}} + 2}}\\ = \ln \frac{{{e^2} + 2}}{{\frac{1}{e} + 2}} = \ln \frac{{2e + {e^3}}}{{2e + 1}} = \ln \frac{{ae + {e^3}}}{{ae + b}}\end{array}\)
\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ae + {e^3} = 2e + {e^3}}\\{ae + b = 2e + 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 2}\\{b = 1}\end{array}} \right.\)
Đáp án cần chọn là: C
Cho tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} {e^{{{\sin }^2}x}}\sin x{\cos ^3}xdx\]. Nếu đổi biến số \[t = si{n^2}x\] thì:
Đặt\[t = {\sin ^2}x \Rightarrow dt = 2\sin x\cos xdx \Rightarrow \sin x\cos xdx = \frac{1}{2}dt\] và\[{\cos ^2}x = 1 - {\sin ^2}x = 1 - t\]
Đổi cận: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0 \Rightarrow t = 0}\\{x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow t = 1}\end{array}} \right.\)
Khi đó
\[I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} {e^{{{\sin }^2}x}}\sin x{\cos ^3}xdx = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} {e^{{{\sin }^2}x}}co{s^2}x\sin x\cos xdx = \frac{1}{2}\mathop \smallint \limits_0^1 {e^t}\left( {1 - t} \right)dt\]
\[I = \frac{1}{2}\mathop \smallint \limits_0^1 {e^t}\left( {1 - t} \right)dt\]
\[I = 2\left[ {\mathop \smallint \limits_0^1 {e^t}dt + \mathop \smallint \limits_0^1 t{e^t}dt} \right]\]
\[I = 2\mathop \smallint \limits_0^1 {e^t}\left( {1 - t} \right)dt\]
\[I = \frac{1}{2}\mathop \smallint \limits_0^1 {e^t}\left( {1 - {t^2}} \right)dt\]Trả lời:
A
\[\mathop \smallint \limits_0^1 \frac{{\pi {x^3} + {2^x} + {\rm{e}}{x^3}{{.2}^x}}}{{\pi + {\rm{e}}{{.2}^x}}}{\rm{d}}x = \frac{1}{m} + \frac{1}{{{\rm{e}}\ln n}}\ln \left( {p + \frac{{\rm{e}}}{{{\rm{e}} + \pi }}} \right)\] với m, n, p là các số nguyên dương. Tính tổng \[S = m + n + p\].
\[S = 6\]
\[S = 5\]
\[S = 7\]
\[S = 8\]
Ta có\[\mathop \smallint \limits_0^1 \frac{{\pi {x^3} + {2^x} + {\rm{e}}{x^3}{{.2}^x}}}{{\pi + {\rm{e}}{{.2}^x}}}{\rm{d}}x = \mathop \smallint \limits_0^1 \left( {{x^3} + \frac{{{2^x}}}{{\pi + {\rm{e}}{{.2}^x}}}} \right){\rm{d}}x\]
\( = \frac{{{x^4}}}{4}\left| {_0^1} \right. + \int\limits_0^1 {\frac{{{2^x}}}{{\pi + e{{.2}^x}}}dx} = \frac{1}{4} + \int\limits_0^1 {\frac{{{2^x}}}{{\pi + e{{.2}^x}}}dx = \frac{1}{4} + J} \)
Tính\[J = \mathop \smallint \limits_0^1 \frac{{{2^x}}}{{\pi + {\rm{e}}{{.2}^x}}}{\rm{d}}x\]
Đặt\[\pi + {\rm{e}}{.2^x} = t \Rightarrow {\rm{e}}{.2^x}\ln 2{\rm{d}}x = {\rm{d}}t \Leftrightarrow {2^x}{\rm{d}}x = \frac{1}{{{\rm{e}}.\ln 2}}{\rm{d}}t\]
Đổi cận: Khi x=0 thì \[t = \pi + {\rm{e}}\] khi x=1 thì\[t = \pi + 2{\rm{e}}\]
Khi đó
\[J = \mathop \smallint \limits_0^1 \frac{{{2^x}}}{{\pi + {\rm{e}}{{.2}^x}}}{\rm{d}}x = \frac{1}{{eln2}}\int\limits_{\pi + e}^{\pi + 2e} {\frac{1}{t}} dt = \frac{1}{{eln2}}\ln \left| t \right|\left| {_{\pi + e}^{\pi + 2e}} \right. = \frac{1}{{eln2}}\ln \left( {1 + \frac{e}{{e + \pi }}} \right)\]
Suy ra\[\mathop \smallint \limits_0^1 \frac{{\pi {x^3} + {2^x} + {\rm{e}}{x^3}{{.2}^x}}}{{\pi + {\rm{e}}{{.2}^x}}}{\rm{d}}x = \frac{1}{4} + \frac{1}{{{\rm{e}}\ln 2}}\ln \left( {1 + \frac{{\rm{e}}}{{{\rm{e}} + \pi }}} \right) \Rightarrow m = 4,n = 2,p = 1\]
Vậy\[S = 7\]
Đáp án cần chọn là: C
Biết \[\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \frac{{3\sin x + \cos x}}{{2\sin x + 3\cos x}}dx = - \frac{7}{{13}}\ln 2 + b\ln 3 + c\pi \,\,\left( {b,c \in \mathbb{Q}} \right).\]. Tính \(\frac{b}{c}\).
\[\frac{{13}}{{9\pi }}\]
\[\frac{{14}}{9}\]
\[\frac{{14}}{{9\pi }}\]
\[\frac{{14\pi }}{9}\]
Ta có\[3\sin x + \cos x = A\left( {2\sin x + 3\cos x} \right) + B\left( {2\cos x - 3\sin x} \right)\]
\[ \Leftrightarrow 3sinx + cosx = (2A - 3B)sinx + (3A + 2B)cosx\]
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2A - 3B = 3}\\{3A + 2B = 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{A = \frac{9}{{13}}}\\{B = - \frac{7}{{13}}}\end{array}} \right.\)
Nên
\[3\sin x + \cos x = \frac{9}{{13}}\left( {2\sin x + 3\cos x} \right) - \frac{7}{{13}}\left( {2\cos x - 3\sin x} \right)\]
Từ đó ta có
\(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{3sinx + cosx}}{{2sinx + 3cosx}}} dx = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\frac{9}{{13}}(2sinx + 3cosx) - \frac{7}{{13}}(2cosx - 3sinx)}}{{2sinx + 3cosx}}dx} \)
\(\begin{array}{l} = \frac{9}{{13}}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {dx - \frac{7}{{13}}} \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{2cosx - 3sinx}}{{2sinx + 3cosx}}} dx\\ = \frac{{9\pi }}{{26}} - \frac{7}{{13}}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{1}{{2sinx + 3cosx}}} d(2sinx + 3cosx)\\ = \frac{{9\pi }}{{26}} - \frac{7}{{13}}ln|2sinx + 3cosx|\left| {_0^{\frac{\pi }{2}}} \right.\\ = \frac{{9\pi }}{{26}} - \frac{7}{{13}}ln2 + \frac{7}{{13}}ln3\end{array}\)
Suy ra\[b = \frac{7}{{13}};c = \frac{9}{{26}} \Rightarrow \frac{b}{c} = \frac{{14}}{9}\]
Đáp án cần chọn là: B
Cho \[\mathop \smallint \limits_0^1 f\left( x \right)dx = 1.\]Tính \[I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{4}} \left( {2{{\sin }^2}x - 1} \right)f\left( {\sin 2x} \right)dx\]
\(\frac{1}{2}\)
\( - \frac{1}{2}\)
2
-2
Đặt\[t = \sin 2x \Rightarrow dt = 2\cos 2xdx \Rightarrow - \frac{1}{2}dt = \left( {2{{\sin }^2}x - 1} \right)dx\]
Đổi cận: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0 \Rightarrow t = 0}\\{x = \frac{\pi }{4} \Rightarrow t = 1}\end{array}} \right.\)
\[ \Rightarrow I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{4}} \left( {2{{\sin }^2}x - 1} \right)f\left( {\sin 2x} \right)dx = - \frac{1}{2}\mathop \smallint \limits_0^1 f\left( t \right)dt = - \frac{1}{2}.1 = - \frac{1}{2}.\]
Đáp án cần chọn là: B
Cho hàm số f(x) liên tục trên \[\left[ { - 1;2} \right]\]và thỏa mãn điều kiện \[f\left( x \right) = \sqrt {x + 2} + xf\left( {3 - {x^2}} \right)\] Tính tích phân \[\mathop \smallint \limits_{ - 1}^2 f\left( x \right)dx\]
\[I = \frac{{14}}{3}\]
\[I = \frac{{28}}{3}\]
\[I = \frac{4}{3}\]
\[I = 2\]
Ta có
\[\begin{array}{*{20}{l}}{f\left( x \right) = \sqrt {x + 2} + xf\left( {3 - {x^2}} \right)}\\{ \Rightarrow I = \mathop \smallint \limits_{ - 1}^2 f\left( x \right)dx = \mathop \smallint \limits_{ - 1}^2 \sqrt {x + 2} dx + \mathop \smallint \limits_{ - 1}^2 xf\left( {3 - {x^2}} \right)dx}\\{ \Rightarrow I = {I_1} + {I_2}}\end{array}\]
Xét tích phân\[{I_1} = \mathop \smallint \limits_{ - 1}^2 \sqrt {x + 2} dx\]
Đặt\[t = \sqrt {x + 2} \Rightarrow {t^2} = x + 2 \Rightarrow 2tdt = dx\]
Đổi cận:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1 \Rightarrow t = 1}\\{x = 2 \Rightarrow t = 2}\end{array}} \right.\)
\( \Rightarrow {I_1} = \int\limits_1^2 {t.2tdt = } 2\int\limits_1^2 {{t^2}.dt = } \frac{{2{t^3}}}{3}\left| {_1^2} \right. = \frac{{14}}{3}\)
Xét tích phân\[{I_2} = \mathop \smallint \limits_{ - 1}^2 xf\left( {3 - {x^2}} \right)dx\]
Đặt\[u = 3 - {x^2} \Rightarrow du = - 2xdxu = 3 - {x^2} \Rightarrow du = - 2xdx\]
Đổi cận: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 \Rightarrow u = 2}\\{x = 2 \Rightarrow u = - 1}\end{array}} \right.\)
\[ \Rightarrow {I_2} = \mathop \smallint \limits_2^{ - 1} - \frac{1}{2}f\left( u \right)du = \frac{1}{2}\mathop \smallint \limits_{ - 1}^2 f\left( x \right)dx = \frac{1}{2}I\]
Vậy \[I = \frac{{14}}{3} + \frac{1}{2}I \Leftrightarrow \frac{1}{2}I = \frac{{14}}{3} \Leftrightarrow I = \frac{{28}}{3}\]
Đáp án cần chọn là: B
Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện \[x.f({x^3}) + f({x^2} - 1) = {e^{{x^2}}},\forall x \in \mathbb{R}\]. Khi đó giá trị của \[\mathop \smallint \limits_{ - 1}^0 f\left( x \right)dx\] là:
3(1−e)
3e
0
3(e−1)
Ta có: \[x.f\left( {{x^3}} \right) + f\left( {{x^2} - 1} \right) = {e^{{x^2}}} \Leftrightarrow {x^2}.f\left( {{x^3}} \right) + xf\left( {{x^2} - 1} \right) = x{e^{{x^2}}}\]
Lấy tích phân tư -1 đến 0 hai vế phương trình ta có:
\[\mathop \smallint \limits_{ - 1}^0 {x^2}.f\left( {{x^3}} \right)dx + \mathop \smallint \limits_{ - 1}^0 xf\left( {{x^2} - 1} \right)dx = \mathop \smallint \limits_{ - 1}^0 x{e^{{x^2}}}dx\,\,\left( * \right)\]
Xét\[{I_1} = \mathop \smallint \limits_{ - 1}^0 {x^2}.f\left( {{x^3}} \right)dx\]
Đặt \[t = {x^3} \Rightarrow dt = 3{x^2}dx \Rightarrow {x^2}dx = \frac{{dt}}{3}\]
Đổi cận:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1 \Rightarrow t = - 1}\\{x = 0 \Rightarrow t = 0}\end{array}} \right.\) khi đó ta có\[{I_1} = \frac{1}{3}\mathop \smallint \limits_{ - 1}^0 f\left( t \right)dt = \frac{1}{3}\mathop \smallint \limits_{ - 1}^0 f\left( x \right)dx\]
Xét\[{I_2} = \mathop \smallint \limits_{ - 1}^0 xf\left( {{x^2} - 1} \right)dx\]
Đặt\[u = {x^2} - 1 \Rightarrow du = 2xdx \Rightarrow xdx = \frac{1}{2}du\]
Đổi cận:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1 \Rightarrow u = 0}\\{x = 0 \Rightarrow u = - 1}\end{array}} \right.\) khi đó ta có\[{I_2} = \frac{1}{2}\mathop \smallint \limits_0^{ - 1} f\left( u \right)du = - \frac{1}{2}\mathop \smallint \limits_{ - 1}^0 f\left( x \right)dx\]
Xét \[{I_3} = \mathop \smallint \limits_{ - 1}^0 x{e^{{x^2}}}dx\]
Đặt\[v = {x^2} \Rightarrow dv = 2xdx \Rightarrow xdx = \frac{1}{2}dv\]
Đổi cận:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1 \Rightarrow v = 1}\\{x = 0 \Rightarrow v = 0}\end{array}} \right.\) khi đó ta có
\({I_3} = \frac{1}{2}\int\limits_1^9 {{e^v}dv = \frac{1}{2}} {e^v}\left| {_1^0} \right. = \frac{1}{2} - \frac{e}{2} = \frac{{1 - e}}{2}\)
Thay tất cả vào (*) ta có:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{1}{3}\mathop \smallint \limits_{ - 1}^0 f\left( x \right)dx - \frac{1}{2}\mathop \smallint \limits_{ - 1}^0 f\left( x \right)dx = \frac{{1 - e}}{2}}\\{ \Leftrightarrow - \frac{1}{6}\mathop \smallint \limits_{ - 1}^0 f\left( x \right)dx = \frac{{1 - e}}{2}}\\{ \Leftrightarrow \mathop \smallint \limits_{ - 1}^0 f\left( x \right)dx = 3\left( {e - 1} \right)}\end{array}\]
Đáp án cần chọn là: D
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn \[\left[ {0;1} \right]\;\]và \[\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} f\left( {\sin x} \right)dx = 5\] Tính \[I = \mathop \smallint \limits_0^\pi xf\left( {\sin x} \right)dx\]
\[I = 5\]
\[I = \frac{5}{2}\pi \]
\[I = 5\pi \]
\[I = 10\pi \]
Ta có:\[I = \mathop \smallint \limits_0^\pi xf\left( {\sin x} \right)dx = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} xf\left( {\sin x} \right)dx + \mathop \smallint \limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi xf\left( {\sin x} \right)dx\]
Xét \[{I_1} = \mathop \smallint \limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi xf\left( {\sin x} \right)dx\]đặt\[t = \pi - x \Rightarrow dt = - dx\]
Đổi cận: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow t = \frac{\pi }{2}}\\{x = \pi \Rightarrow t = 0}\end{array}} \right.\)
Khi đó ta có:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{{I_1} = - \mathop \smallint \limits_{\frac{\pi }{2}}^0 \left( {\pi - t} \right)f\left( {\sin \left( {\pi - t} \right)} \right)\,dt}\\{\,\,\,\,\,\, = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \left( {\pi - t} \right)f\left( {\sin t} \right)\,dt}\\{\,\,\,\,\,\, = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \left( {\pi - x} \right)f\left( {\sin x} \right)\,dx}\\{\,\,\,\,\,\, = \pi \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} f\left( {\sin x} \right)\,dx - \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} xf\left( {\sin x} \right)\,dx}\end{array}\]
\[\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} xf\left( {\sin x} \right)dx + \pi \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} f\left( {\sin x} \right)\,dx - \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} xf\left( {\sin x} \right)\,dx}\\{ \Rightarrow I = \pi \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} f\left( {\sin x} \right)\,dx = 5\pi .}\end{array}\]
Đáp án cần chọn là: C
Cho hàm số f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \[\mathop \smallint \limits_1^9 \frac{{f\left( {\sqrt x } \right)}}{{\sqrt x }}{\rm{d}}x = 4,\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} f\left( {\sin x} \right)\cos x{\rm{d}}x = 2\]. Tính tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_0^3 f\left( x \right){\rm{d}}x\]
\[I = 6.\]
\[I = 4.\]
\[I = 10.\]
\[I = 2.\]
Xét tích phân\[\mathop \smallint \limits_1^9 \frac{{f\left( {\sqrt x } \right)}}{{\sqrt x }}{\rm{d}}x = 4\]
Đặt\[t = \sqrt x \Rightarrow {t^2} = x \Rightarrow 2tdt = dx\]
Đổi cận:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 \Rightarrow t = 1}\\{x = 9 \Rightarrow t = 3}\end{array}} \right.\)
Khi đó ta có: \[\mathop \smallint \limits_1^9 \frac{{f\left( {\sqrt x } \right)}}{{\sqrt x }}{\rm{d}}x = \mathop \smallint \limits_1^3 \frac{{f\left( t \right)2tdt}}{t} = 2\mathop \smallint \limits_1^3 f\left( t \right)dt = 2\mathop \smallint \limits_1^3 f\left( x \right)dx\]
\[ \Rightarrow 2\mathop \smallint \limits_1^3 f\left( x \right)dx = 4 \Leftrightarrow \mathop \smallint \limits_1^3 f\left( x \right)dx = 2\]
Xét tích phân\[\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} f\left( {\sin x} \right)\cos x{\rm{d}}x = 2\]
Đặt\[u = \sin x \Rightarrow du = \cos xdx\]
Đổi cận:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0 \Rightarrow u = 0}\\{x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow u = 1}\end{array}} \right.\)
Khi đó ta có:\[\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} f\left( {\sin x} \right)\cos x{\rm{d}}x = \mathop \smallint \limits_0^1 f\left( u \right)du = \mathop \smallint \limits_0^1 f\left( x \right)dx = 2\]
Vậy \[I = \mathop \smallint \limits_0^3 f\left( x \right){\rm{d}}x = \mathop \smallint \limits_0^1 f\left( x \right){\rm{d}}x + \mathop \smallint \limits_1^3 f\left( x \right){\rm{d}}x = 2 + 2 = 4\]
Đáp án cần chọn là: B
Với mỗi số k, đặt \[{I_k} = \int\limits_{ - \sqrt k }^{\sqrt k } {\sqrt {k - {x^2}} } dx\]. Khi đó \[{I_1} + {I_2} + {I_3} + ... + {I_{12}}\;\] bằng:
\[78\pi \]
\[650\pi \]
\[325\pi \]
\[39\pi \]
Đặt\[x = \sqrt k \sin t \Rightarrow dx = \sqrt k \cos tdt\]
Đổi cận:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - \sqrt k \Leftrightarrow sint = - 1 \Leftrightarrow t = - \frac{\pi }{2}}\\{x = \sqrt k \Leftrightarrow sint = 1 \Leftrightarrow t = \frac{\pi }{2}}\end{array}} \right.\)
Khi đó ta có
\[{I_k} = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\sqrt {k - k{{\sin }^2}t} } .\sqrt k costdt\]
Biết hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục và có đạo hàm trên \[\left[ {0;2} \right],f\left( 0 \right) = \sqrt 5 ,f\left( 2 \right) = \sqrt {11} .\] Tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_0^2 f\left( x \right).f'\left( x \right)dx\] bằng:
\[\sqrt {11} - \sqrt 5 \]
6
\[\sqrt 5 - \sqrt {11} \]
3
\[I = \mathop \smallint \limits_0^2 f\left( x \right).f'\left( x \right)dx\]
Đặt\[f\left( x \right) = t \Rightarrow dt = f'\left( x \right)dx\]
Đổi cận:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0 \Rightarrow t = \sqrt 5 }\\{x = 2 \Rightarrow t = \sqrt {11} }\end{array}} \right.\)
\( \Rightarrow I = \int\limits_{\sqrt 5 }^{\sqrt {11} } {tdt = \frac{{{t^2}}}{2}} \left| {_{\sqrt 5 }^{\sqrt {11} }} \right. = \frac{1}{2}(11 - 5) = 3.\)
Đáp án cần chọn là: D
Cho hàm số f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có \[I = \mathop \smallint \limits_0^1 f\left( x \right)dx = 3\mathop \smallint \limits_0^3 f\left( x \right)dt = 6\]. Giá trị của \[\mathop \smallint \limits_{ - 1}^1 f\left( {\left| {2x - 1} \right|} \right)dx\] bằng:
\[\frac{2}{3}.\]
4
\[\frac{3}{2}.\]
6
Ta có\[\mathop \smallint \limits_{ - 1}^1 f\left( {\left| {2x - 1} \right|} \right)dx = \mathop \smallint \limits_{ - 1}^{\frac{1}{2}} f\left( {1 - 2x} \right)dx + \mathop \smallint \limits_{\frac{1}{2}}^1 f\left( {2x - 1} \right)dx\]
\[ \Rightarrow I = - \frac{1}{2}\mathop \smallint \limits_{ - 1}^{\frac{1}{2}} f\left( {1 - 2x} \right)d\left( {1 - 2x} \right) + \frac{1}{2}\mathop \smallint \limits_{\frac{1}{2}}^1 f\left( {2x - 1} \right)d\left( {2x - 1} \right)\]
\[\begin{array}{*{20}{l}}{ \Leftrightarrow I = - \frac{1}{2}\mathop \smallint \limits_3^0 f\left( t \right)dt + \frac{1}{2}\mathop \smallint \limits_0^1 f\left( t \right)dt}\\{ \Leftrightarrow I = \frac{1}{2}\mathop \smallint \limits_0^3 f\left( t \right)dt + \frac{1}{2}\mathop \smallint \limits_0^1 f\left( t \right)dt = \frac{1}{2}\left( {2 + 6} \right) = 4}\end{array}\]
Đáp án cần chọn là: B
Cho f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \[f(x) = f(2020 - x)\;\] và \[\int\limits_3^{2017} {f(x)dx = 4} \]. Khi đó \[\int\limits_3^{2017} {xf(x)dx} \] bằng:
16160
4040
2020
8080
Xét tích phân\[\mathop \smallint \limits_3^{2017} xf\left( x \right)dx\]
Đặt\[x = 2020 - t \Rightarrow dx = - dt\]
Đổi cận:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 \Rightarrow t = 2017}\\{x = 2017 \Rightarrow t = 3}\end{array}} \right.\) khi đó ta có:
\[\begin{array}{l}\mathop \smallint \limits_3^{2017} xf\left( x \right)dx = - \int\limits_{2017}^3 {(2020 - t)f(2020 - t)dt} \\ = \mathop \smallint \limits_3^{2017} (2020 - x)f(2020 - x)dx\\ = \mathop \smallint \limits_3^{2017} (2020 - x)f(x)dx\\ = 2020\mathop \smallint \limits_3^{2017} f(x)dx - \mathop \smallint \limits_3^{2017} xf(x)dx\\ \Leftrightarrow 2\mathop \smallint \limits_3^{2017} xf(x)dx = 2020\mathop \smallint \limits_3^{2017} f(x)dx\\ \Leftrightarrow \mathop \smallint \limits_3^{2017} xf(x)dx = 1010.4\\ \Leftrightarrow \mathop \smallint \limits_3^{2017} xf(x)dx = 4040\end{array}\]
Đáp án cần chọn là: B
Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ. Biết các miền A và B có diện tích lần lượt là 4 và 1. Tính \[I = \mathop \smallint \limits_1^2 4xf\left( {{x^2}} \right)dx\]
Bước 1: Đổi biến
Đặt\[t = {x^2} \Rightarrow dt = 2xdx\]
Đổi cận:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 \Rightarrow t = 1}\\{x = 2 \Rightarrow t = 4}\end{array}} \right.\)
Bước 2:
Khi đó ta có \[I = \mathop \smallint \limits_1^2 4xf\left( {{x^2}} \right)dx = \mathop \smallint \limits_1^4 2f\left( t \right)dt = 2\mathop \smallint \limits_1^4 f\left( x \right)dx\]
\[ = 2\left[ {\mathop \smallint \limits_1^3 f\left( x \right)dx + \mathop \smallint \limits_3^4 f\left( x \right)dx} \right] = 2\left( {4 - 1} \right) = 6\]
